Derivativos - MFEE Monitoria do dia 20/10/ Monitor: Rafael Ferreira

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1 Derivativos - MFEE Monitoria do dia 20/10/ Monitor: Rafael Ferreira Questão 1 (4.1, Hull 4th ed.) As taxas de juros à vista (zero rates) com capitalização contínua são as seguintes: Vencimento (anos) Taxa (% ao ano) 1 8, 0% 2 7, 5% 3 7, 2% 4 7, 0% 5 6, 9% Calcule as taxas de juros a termo (forward) para o segundo, terceiro, quarto e quinto anos. A taxa de juros à vista (ou taxa zero) para n períodos é a taxa a que rende um investimento que se inicia hoje e dura n períodos, sem pagamentos intermediários. A taxa de juros a termo (ou forward) para o n-ésimo período é a taxa de juros para um investimento que se inicia no período anterior ao n-ésimo, e tem duração de um período. O valor da taxa a termo é dado implicitamente pelas taxas à vista. Por exemplo: suponha um investimento de um dólar hoje. No segundo ano, de acordo com os valores da tabela, o investimento pagaria (1 + 0, 08) = 1, 08 dólares. Se esse valor fosse reinvestido ao fim do primeiro ano, para resgate no segundo, qual seria a taxa de juros que daria um retorno anual, para os dois períodos, igual a 7, 5% ao ano, que é a taxa à vista para dois anos? Essa taxa é a taxa a termo para o segundo período. Fazendo as contas, chegamos a: (1 + r 1 )(1 + f 2 ) = (1 + r 2 ) 2 (1, 08)(1 + f 2 ) = (1, 075) 2 f 2 = 7% a.a. (1+r 2 ) 2 (1+f 3 ) = (1+r 3 ) 3 (1, 075) 2 (1+f 3 ) = (1, 072) 3 f 3 = 6, 6% a.a. (1 + r 3 ) 3 (1 + f 4 ) = (1 + r 4 ) 4 (1, 072) 3 (1 + f 4 ) = (1, 07) 4 f 4 = 6, 4% a.a. (1 + r 4 ) 4 (1 + f 5 ) = (1 + r 5 ) 5 (1, 07) 4 (1 + f 5 ) = (1, 069) 5 f 5 = 6, 5% a.a. 1 Todas as questões dessa monitoria são referentes à quarta edição do livro do Hull, que consta na bibliografia do curso. Hull, John C. Options, futures and other derivatives. Prentice Hall. 1

2 Questão 2 (4.3, Hull 4th ed.) A taxa zero de seis meses e a taxa zero de um ano são ambas iguais a 10% ao ano. Para um título que dura 18 meses e paga um cupom de 8% ao ano, o yield é de 10, 4% ao ano. Qual é o preço do título? Qual é a taxa zero de 18 meses? Considere capitalização semi-anual para todas as taxas. Considere um título com valor de face de $100. Obtemos seu preço descontando o fluxo de caixa a 10, 4% ao ano, ou 5, 2% ao semestre 2. Logo, o preço é dado por: 4 (1, 052) + 4 (1, 052) (1, 052) = 96, 74 (1, 052) 3 Se denotamos a taxa à vista (spot) para 18 meses por R, temos que: que resulta em R = 10, 42%. 4 (1, 05) + 4 (1, 05) = 96, 74 (1 + R/2) 3 Questão 3 (4.4, Hull 4th ed.) Estamos em 9 de janeiro de O preço de um Treasury Bond com cupom de 12% e vencimento em 12 de outubro de 2007 está cotado em Qual é o seu preço à vista (cash price)? O preço de um Treasury Bond é cotado para um valor de face de $100, e a cotação é dada em dólares e em um, trinta e dois avos de dólar. Assim, o título em questão está, na verdade, cotado a /32 = 102, No entanto, o preço cotado não é o mesmo preço à vista, que é pago pelo comprador do título. Entre as duas datas (a data atual e o último pagamento de cupom, 12/10/2000) há um intervalo de 89 dias. Portanto uma parcela do cupom proporcional a esses dias é devida ao vendedor do título. Logo, o preço à vista do título é obtido ao somar os juros acumulados ao preço cotado, i.e., 102, = 105, em que 182 é o número de dias que separa o último pagamento de cupom do próximo, em 12/04/ Foi perguntado em classe por que o Hull considerou nessa questão juros simples, e não juros compostos. De acordo com Garbade (1996, p. 20), o Tesouro americano computa o preço de um título usando juros simples, ao passo que o mercado costuma usar juros compostos (que, nesse caso, seriam algo em torno de 5, 07%). Para um dado yield, portanto, o Tesouro irá computar um preço mais baixo que o mercado. Para quem se interessar: Garbade, Kenneth D. Fixed income analytics. MIT Press,

3 Questão 4 (4.5, Hull 4th ed.) O preço de um Treasury Bill com resgate em 90 dias é cotado a 10, 00. Que retorno continuamente capitalizado um investidor terá com esse título em 90 dias? O preço cotado de um T-Bill segue uma lógica diferente do preço de uma T-Note ou de um T-Bond. Seja, então, Y o preço à vista do Treasury Bill e n o número de dias até o vencimento. Para um T-Bill, o preço cotado Q do título com valor de face $100 é dado por: Q = 360 (100 Y ) Y = 100 n n 360 Q que nos dá o retorno anualizado do T-Bill, em dólar, expresso como percentual do valor de face. Substituindo pelos valores do enunciado da questão, tem-se que: Y = = 97, Com capitalização contínua, temos o retorno em 90 dias dado por: 100 = 97, 5e R 90/365 ln , 5 = R R = ln = 10, 27% 97, 5 Questão 5 (4.14, Hull 4th ed.) O preço futuro de um T-bond é Qual dos seguintes títulos é o mais barato para entregar? Título Preço Fator de Conversão , , , , 4026 Para cada contrato futuro com um dado vencimento, há uma variedade de títulos que podem ser entregues. Esses títulos podem pagar qualquer cupom e ter qualquer vencimento acima do vencimento mínimo. Em muitos casos, os títulos que podem ser entregues incluem títulos recém-emitidos pelo Tesouro americano, alguns deles nem mesmo existiam quando do início dos negócios com o contrato. Sem que haja algum ajuste, um desses títulos provavelmente será mais vantajoso para a parte vendida do que outros. Se esse ajuste não levar em conta 3

4 o preço do título, por exemplo, todo trader iria querer entregar o título mais barato. O fator de conversão permite tornar comparáveis os diversos títulos disponíveis para entrega. Resumidamente, ele é encontrado supondo-se que o título tem valor de face de $1 e descontando seu fluxo de pagamentos à taxa de 6% ao ano 3. Quando da entrega de um título pela parte vendida do contrato, é o fator de conversão que determina o preço recebido, de modo que para cada $100 de valor de face, a parte vendida recebe: (Preço Futuro Cotado Fator de Conversão) + Juros acumulados No entanto, apesar de o fator de conversão diminuir a desigualdade entre os títulos, isso não é feito de forma completa. A parte vendida pode avaliar qual é o título mais barato para entregar, comparando o preço à vista do título com o preço que recebe pela entrega do título. Assim, o título mais barato para entregar é aquele para o qual: Preço Cotado Preço Futuro Fator de Conversão resulta no menor valor dentre os títulos considerados aceitáveis para fazer frente a um contrato futuro. Para o exercício em questão, temos: Título 1: 125, ,375 1,2131 = 2,178 Título 2: 142, ,375 1,3792 = 2,652 Título 3: 115, ,375 1,1149 = 2,946 Título 4: 144, ,375 1,4026 = 1,874 Logo, temos que o título 4 é o mais barato para entregar. Questão 6 (4.22, Hull 4th ed.) Em 1o. de Agosto, um administrador detém um portfólio de títulos de $10 milhões. A duration da carteira é 7, 1 anos. O preço futuro do T-Bond para dezembro está em 91-12, e o título mais barato para entregar tem duration de 8, 8. Como o administrador imunizaria seu porfólio contra mudanças nas taxas de juro nos dois meses seguintes? Antes que resolver o que se pede na questão, façamos uma pequena digressão. A duration de um portfólio de títulos nos diz quanto tempo, em média, o detentor tem que esperar até receber os pagamentos. E é um conceito importante também se quisermos usar contratos futuros de juros para fazer hedge. Com capitalização contínua, o preço teórico do título vencendo em n períodos é dado por: n B = c i e yti (1) i=1 3 Na página 107 do Hull, 5th ed., há uma explicação detalhada de como se calcula o fator de conversão. 4

5 em que c i é o i-ésimo pagamento, y é o yield e t i é o período (1 t i n). A duration é definida como: n i=1 D = t ic i e n [ ] yti ci e yti = t i (2) B B i=1 }{{} ω i em que ω i é a razão entre o valor presente do i-ésimo pagamento e o valor presente total do fluxo de pagamentos do título, e dá os pesos da média ponderada dos períodos. Note ainda que podemos expressar o efeito infinitesimal de mudanças no yield sobre o preço do título como função da duration e do próprio preço do título, utilizando as expressões (1) e (2): n B y = c i t i e yti = BD i=1 Para mudanças infinitesimais, portanto, esperamos ter 4 : B = yd (3) B que nos diz que uma variação percentual no preço do título deve ser igual a menos o produto entre a duration e a variação no yield. Mas como se dá a estratégia de hedge? Considere: F c preço contrato futuro de juros. D F duration do ativo subjacente ao contrato futuro. P valor a termo do portfolio para o qual será realizado o hedge. D P duration do portfolio. Supondo que y é a mesma para todos os vencimentos, temos então que o valor do portfólio muda de acordo com: P = P D P y Como aproximação razoável, também vale que: F c = F c D F y Temos, então, o número de contratos que devem ser vendidos para fazer o hedge contra variações no yield: N = P F c = P D P F c D F (4) 4 Essa expressão é consequência direta do fato de termos expressado o yield com capitalização contínua. Caso tivéssemos considerado capitalização anual, teríamos, ao invés da equação (3), a seguinte equação: B B = D y 1 + y 5

6 Voltando, então, ao que se pede na questão, resta-nos apenas substituir os valores que nos são dados no enunciado na equação (4): P = $10 milhões D P = 7, 1 anos F c = (91 + 0, 375) = $ D F = 8, 8 anos Lembrando que o contrato futuro é para a entrega de $ em valor de face de títulos, e que o preço cotado é para um título com valor de face de $100. Segue, então, que o número de contratos futuros a serem vendidos é dado por: N = Logo, devem ser vendidos 88 contratos , 1 88, , , 8 Questão 7 (4.7, Hull 4th ed.) Estamos em 30 de janeiro. Você administra uma carteira de títulos de $6 milhões. A duration média da carteira é de 8, 2 anos. O preço futuro do título do Tesouro para setembro é de e o título mais barato para entregar (cheapest-to-deliver) tem duration de 7, 6 anos. Como você realizaria o hedge contra mudanças nas taxas de juro nos próximos sete meses? Nessa questão, basta recorrer ao argumento desenvolvido na questão anterior. Aqui, temos: P = $6 milhões D P = 8, 2 anos F c = ( , 46875) = $ , 75 D F = 7, 6 anos O valor do contrato é 108, = , 75. O número de contratos a serem vendidos, portanto, é dado por: N = P D P F c D F = , 75 8, 2 7, 6 = 59, 7 Arredondando para o número inteiro mais próximo, podemos realizar o hedge vendendo 60 contratos. Questão 8 (4.19, Hull 4th ed.) Um título de cinco anos, com rendimento de 11% (continuamente capitalizado), paga cupons a 8% no final de cada ano. a) Qual é o preço do título? b) Qual é a duration do título? c) Pela duration, calcule o efeito de uma queda de 0, 02% de rendimento no preço do título. 6

7 d) Recalcule o preço do título com base em um rendimento de 10, 8% ao ano e verifique se o resultado está de acordo com sua resposta anterior. O preço do título é dado por: P = 8e 0,11 + 8e 0, e 0, e 0, e 0,11 5 = $86, 80 A duration do título é dada por: D P = 8e 0, e 0, e 0, e 0, e 0, , 80 = 4, 256 Pela equação (3), temos, para y = 0, 002: P = P D y = 86, 80 4, 256 ( 0, 002) = 0, 74 Logo, esperaríamos que o valor do título passasse de $86, 80 para $87, 54. E, de fato, com base em um rendimento de 10, 8% ao ano, o preço do título é dado por: P = 8e 0, e 0, e 0, e 0, e 0,108 5 = $87, 54 o que é consistente com o resultado encontrado. Questão 9 (5.1, Hull 4th ed.) As seguintes taxas ao ano, sobre um empréstimo de $20 milhões por cinco anos, são oferecidas às empresas A e B: Taxa Fixa Taxa Flutuante Empresa A 12, 0% LIBOR + 0,1% Empresa B 13, 4% LIBOR + 0,6% A empresa A quer seu empréstimo à taxa flutuante; a empresa B quer seu empréstimo à taxa prefixada. Monte um swap que faça um banco, agindo como intermediário, ter lucro líquido de 0, 1% ao ano e que seja igualmente atrativo para as duas empresas. Na situação expressa na tabela acima, a empresa A tem uma vantagem comparativa no mercado de taxas fixas, mas deseja um empréstimo a taxas flutuantes. A empresa B tem uma vantagem comparativa no mercado de taxas flutuantes, mas deseja um empréstimo a taxas fixas. Note que há uma diferença de 1, 4% ao ano entre as taxas fixas oferecidas às duas empresas, e uma diferença de 0, 5% entre as taxas flutuantes. Logo, o ganho para ambas as partes em realizar um swap é de 1, 4% 0, 5% = 0, 9%. Desses 0, 9%, o banco fica com 0, 1%, e como o swap deve ser igualmente vantajoso para as duas empresas, cada uma deve ter um ganho de 0, 8% 1/2 = 0, 4%. 7

8 Cada empresa toma emprestado no mercado em que tem uma vantagem comparativa. A empresa A toma emprestado à taxa fixa de 12%; a empresa B toma emprestado à taxa flutuante de LIBOR + 0,6%. Podemos, então, realizar o seguinte swap: Empresa A paga 12% ao ano a emprestadores externos paga LIBOR à empresa B recebe 12, 3% ao ano da empresa B Empresa B paga LIBOR + 0,6% ao ano a emprestadores externos paga 12, 4% à empresa A recebe LIBOR da empresa A Fluxo de caixa líquido: a empresa A paga LIBOR - 0,3%, que é 0,4% abaixo da taxa flutuante que lhe foi oferecida; e a empresa B paga 13% ao ano, que é 0,4% abaixo da taxa fixa que lhe foi oferecida. 8