Matemática Financeira

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Vitória Bastos
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1 Matemática Financeira ANA CAROLINA MAIA EAC0218 CIÊNCIAS ATUARIAIS 2/2018

2 Valor Presente Se a taxa de juros de um período é i, o valor presente de um montante de 1 aplicado por um período é 1/1+i. O fator (1/1+i) é chamado de v na notação atuarial e é denominado fator de desconto

3 Valor Presente No contexto de juros compostos, temos:

4 Exemplo 1.5 (cálculo do valor presente) Ted quer investir uma quantidade suficiente em um fundo a fim de que o valor acumulado seja de um milhão de dólares em sua data de aposentadoria em 25 anos. Ted considera duas opções. Ele pode investir em ações de um Fundo, que investe no mercado de ações. Este fundo possui em média uma taxa composta anual de retorno de 19,5% desde a sua criação há 30 anos, embora seu crescimento anual tenha sido tão baixo quanto 2% e tão alto quanto 38%. O Fundo não oferece garantias quanto ao seu desempenho futuro. Outra opção de Ted é investir em uma zero-coupon bond or stripped bond (Título com pagamento apenas na data de vencimento e que não paga juros durante sua vigência. É negociado com desconto sobre o valor de face, logo a rentabilidade é calculada pela diferença entre o preço de compra e o valor de face), com um efetivo anual garantido de taxa de juros de 11,5%, até sua data de vencimento em 25 anos. a) Quanto Ted deve investir se ele optar Fundo assumindo que a taxa média anual de rentabilidade vai continuar por mais 25 anos? b) Qual o montante que ele deve investir se ele opta pelo investimento stripped bond? c) Qual a taxa anual efetiva mínima necessária para que um investimento de US $ possa acumular a meta de Ted de um milhão em 25 anos? d) Quantos anos são necessários para Ted para atingir milhão de dólares se ele investe a quantidade encontrada na parte (a) com a taxa do investimento descrito em (b)?

5 Equação de equivalência Fluxo de caixa: Mostra montantes desembolsados e montantes recebidos de uma transação financeira Equação de valor: mostra, em um mesmo ponto do tempo, os valores que tornam iguais: (1) O valor acumulado de todos os pagamentos já efetuados mais o valor presente dos pagamentos ainda não desembolsados e (2) O valor acumulado de todos os pagamentos já recebidos mais o valor presente de todos os pagamentos a serem recebidos

6 Equação de equivalência exemplo livro Exemplo1.7 Toda sexta-feira de fevereiro (dias 7, 14, 21 e 28) Antonio colocou uma aposta de US $ 1000, a crédito, em um serviço de apostas ilegal, que cobra uma taxa de juros semanal efetiva de 8% sobre todo o crédito estendido. Infelizmente para Antonio, ele perdeu todas as apostas e concordou em pagar sua dívida em quatro parcelas, a serem feitas em 7, 14, 21 e 28 de março. Antonio paga $ 1100 em cada uma das 3 primeiras parcelas. Quanto Antonio deve pagar em 28 de março para quitar totalmente a sua dívida?

7 Acumulação dos juros e taxas efetivas Taxas efetivas de juros Na prática, o montante acumulado depende da frequência de pagamento dos juros. Dessa forma, comparar dois investimentos referenciando apenas a taxa de juros pode nos levar a erros. Uma taxa de 0,75% a.m com juros compostos creditados mensalmente tem uma taxa efetiva anual de 9,38% a.a {(1,0075) 12 =1.0938}

8 Acumulação dos juros e taxas efetivas Frequencia de composição dos juros: Taxa mais comum é a anual, mas a acumulação pode ser numa frequencia menor Para enfatizar esta diferença, vamos usar i (m) ou r (m) para denotar a taxa nominal de juros paga m vezes ao ano, então m é a frequencia de composição por ano e 1/m é o período de conversão

9 Taxas nominais Para enfatizar a diferença entre taxas nominais e efetivas, vamos usar i (m) ou r (m) para denotar a taxa nominal de juros paga m vezes ao ano, então m é a frequencia de composição por ano e 1/m é o período de conversão

10 Taxas nominais Uma taxa nominal anual de juros capitalizada ou convertível m vezes por ano refere-se a um período de capitalização de juros de 1/m anos Taxa de juros para 1/m período=taxa nominal annual de juros/m

11 Taxas nominais =>Taxa anual nominal de juros composta mensalmente de 24%= taxa efetiva de 2% ao mês ou efetiva de 26,82% ao ano. e 26,82% efetiva a.a. equivale a 2% efetiva a.m.

12 Exemplo 1.9 Tom precisa decidir entre duas opções: Banco A oferece uma taxa anual de 15,25% com capitalização semianual. Banco B oferece uma taxa anual de 15% com capitalização mensal. Qual banco tem a maior taxa anual efetiva?

13 Exemplo 1.9 Banco A Efetiva semestral: Efetiva anual: Banco B Efetiva mensal: Efetiva anual:

14 Notação atuarial para taxas nominais i (m) : taxa nominal anual com capitalização m vezes por ano (m) não é um expoente!!!!! No exemplo anterior, as taxas nominais são:

15 Equivalência entre taxas nominais e efetivas

16 Equivalência entre taxas nominais e efetivas (ex: taxa efetiva annual de 12%)

17 Acumulação dos juros e taxas efetivas Exemplo: $1000 é depositado num conta de investimento que paga 3% de juros nominais a.a com capitalização mensal. Qual é o montante acumulado depois de 2,5 anos?

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