Relações de Equivalência

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Tomás de Sá
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1 Parte I MATEMÁTICA FINANCEIRA Relações de Equivalência Prof. Wanderson S. Paris, M.Eng. prof@cronosquality.com.br

2 Relação entre P e F F 0 n 0 n P

3 Relação entre P e F Demonstração da relação: Principal + juros = P + ip = P (1+i) Dívida + juros = P (1+i) + ip (1+i) = P (1+i) 2 Dívida + juros = P (1+i) 2 + ip (1+i) 2 = P (1+i) 3 Logo: F = P (1+i) n

4 Relação entre P e F F = P (1+i) n è F = P. (F/P;i;n) P = F / (1+i) n è P = F. (P/F;i;n)

5 Relação entre P e F Exercício 01 Paulo conseguiu um papagaio (emprésmmo) de $ ,00 em um banco que cobra 5% ao mês de taxa de juros. Quanto deverá pagar se o prazo do emprésmmo for de cinco meses? Resp.: $ ,16

6 Relação entre P e F Exercício 02 Após quantos meses um capital empregado a 5% ao mês duplica seu valor? Resp.: n = 14,21 (15 meses)

7 Relação entre P e F Exercício 03 Caso a inflação esteja estabilizada em 20% ao ano, calcule em quantos anos os preços triplicam. Resp.: n = 6,025 ( aprox. 6 anos)

8 Relação entre P e F Exercício 04 Paulo emprestou a um amigo $ 2.500,00 o qual liquidou a dívida pagando $ 2.730,00 após dois meses. Qual a taxa de juros envolvida na transação? Resp.: i = 4,5% ao mês.

9 Relação entre P e F Períodos não inteiros: Neste, o fluxo de caixa pode ser feito de duas formas: Convenção Linear Convenção Exponencial

10 Relação entre P e F Exercício 05 Qual o montante obmdo pela aplicação de $ ,00 a 5% a.m. durante 14 meses e 15 dias? (linear e exponencial) Resp.: linear $ ,30 :: expon. $ ,26

11 Relação entre P e F Exercício 06 Se um etulo paga 5% líquido, efemvo ao mês, calcule qual o montante obmdo aplicando- se $ ,00 durante 45 dias. Resp.: $ ,00

12 Relação entre F e A Aqui, o que se busca é obter um valor futuro F equivalente a uma série uniforme de pagamentos A, e vice- versa. F 0 n 0 n A

13 Relação entre F e A F = A n! " ( 1 + i ) 1% $ ' # i & = A ( F/A, i, n ) A = F " $ # i % ( 1 + i ) n ' - 1& = F ( A/F, i, n )

14 Relação entre F e A Considere a seguinte situação: Se eu invesmr $ 100,00 por mês, empregado a uma taxa de 5%a.m., quanto terei ao final do sexto mês? Resp.: $ 680,19

15 Combinação de Fatores UMlizando o exemplo anterior, considerando os 6 depósitos de $ 100,00, mas remrando o dinheiro apenas no oitavo mês. Como resolveria? Resp.: $ 749,91

16 Relação entre P e A Busca- se obter um valor presente P equivalente a uma série uniforme de pagamentos A, e vice- versa. P 0 n 0 n A

17 Relação entre P e A P = A " $ # n ( 1 + i )! 1% n ' ( 1 + i ) i & = A ( P/A, i, n ) A = P " $ # n ( 1 + i ) i % n ' ( 1 + i ) - 1& = P ( A/P, i, n )

18 Relação entre P e A Exercício 07 Paulo está interessado em comprar uma moto, cujo preço a vista é $ 4.000,00. Se Paulo der uma entrada de $ 500,00 e pagar o restante em 24 meses, qual será o valor da prestação se a taxa for de 5%a.m.? Resp.: $ 253,65

19 Séries Perpétuas Também chamadas infinita ou custo capitalizado, tem estes nomes devido a possuírem um grande número de períodos. Este é um fato comum em aposentadorias, mensalidades, obras públicas, etc... P = A lim n P = A. 1 i 1 i 1 n (1 + i).i

20 Séries Perpétuas Exercício: Determine o valor presente de uma série infinita de depósitos de $1.000,00, os quais ocorrem a cada ano, sabendo- se que a taxa de juros é de 12%a.a. P = A/i = 1000/0,12 = 8.333,33

21 Série Gradiente n n i i n i i G P n i i i n i G A

22 Série Gradiente Qual é o valor presente do fluxo de caixa abaixo a uma taxa de 5%? Resp.: $ 1.390,24

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