Matemática Financeira Aplicada. Aula 3. Contextualização. Período Fracionário. Prof. Nelson Pereira Castanheira. Período Fracionário.

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Eugénio de Andrade Mendes
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1 Matemática Financeira Aplicada Aula 3 Contextualização Prof. Nelson Pereira Castanheira Período Fracionário Taxa Nominal Taxa Efetiva Taxa Real Taxa Aparente Período Fracionário O Período Fracionário corresponde a uma capitalização descontínua. Há um período inteiro e um período fracionário sobre os quais devemos calcular juros Como exemplo, suponha que temos uma conta vencida há 3 meses e 22 dias e o juro de mora é de 2% ao mês. Temos como período 3 meses inteiros e mais 22 dias, que são uma fração do mês Convenção linear: aplicamos juro simples na parte fracionária do tempo Convenção exponencial: aplicamos juro composto também na parte fracionária do tempo 1

2 Taxas Taxa Nominal X Taxa Efetiva A Taxa Nominal é aquela que nos informam que pagaremos; a Taxa Efetiva é a que, de fato, pagaremos No mercado financeiro, a Taxa Nominal é a que aparece escrita em um título de crédito ou em um contrato qualquer, independente do prazo de formação do juro e da sua incorporação ao capital que o produziu O que isso significa? Significa que, normalmente, nos informam uma taxa relacionada a um período longo. Por exemplo: uma taxa ao ano. Entretanto, a capitalização ocorre com periodicidade menor. Por exemplo: mês a mês Assim, ao final de um ano, a taxa de juro efetivamente paga será maior que a taxa nominal que nos informaram, uma vez que foi calculado juro sobre juro durante 12 meses Taxa Real X Taxa Aparente A Taxa Real é aquela que leva em conta a inflação relativa ao período a que a taxa se refere Instrumentalização A Taxa Aparente não leva em conta a inflação do período 2

3 Convenção Linear O cálculo deve ser feito em duas etapas: 1) para a parte inteira do tempo (n), calcula-se o montante a juro composto 2) para a fração não inteira de tempo (n), admite-se a formação linear de juros, ou seja, calcula-se o montante a juro simples M = C. ( 1 + i ) n. ( 1 + i.n 1 ) Juro composto Juro simples Convenção Exponencial O cálculo do juro em um período fracionário, adotando a convenção exponencial, tem em conta o juro composto o tempo todo, ou seja, tanto na parte inteira do tempo (n) quanto na parte não inteira (n 1 ) M = C. ( 1 + i ) n+n 1 Juro composto o tempo inteiro Taxa Nominal Utiliza-se a fórmula matemática: Taxa que se quer conhecer i i = 2 1 Taxa conhecida. n n 1 2 Período da taxa que se quer conhecer Período da taxa conhecida Taxa Aparente X Taxa Real A relação existente entre as taxas aparente e real é dada Taxa real por meio de: i = (1+i a) (1+I) Taxa de inflação - 1 Taxa aparente 3

4 Exemplo 1 Aplicação Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de juro composto de 2% a.m. por um período de 4 meses e 15 dias, com capitalização mensal Qual será o montante obtido, utilizando a convenção linear? Temos que: C = 1.000,00 i = 2% = 0,02 a.m. n = 4 m ; n 1 = 15 d = 15/30 m M = C. ( 1 + i ) n. ( 1 + i. n 1 ) M = C. ( 1 + i ) n. ( 1 + i. n 1 ) M = 1000.(1 + 0,02) 4.(1 + 0,02.0,5) M = , ,01 Juro composto Juro simples M = 1.093,26 Exemplo 2 Suponha o exercício anterior Temos que: C = 1.000,00 i = 2% = 0,02 a.m. n = 4 m ; n 1 = 15 d = 0,5 m M = C. ( 1 + i ) n+n 1 M = (1 + 0,02) 4 + 0,5 M = , M = 1.093,20 Atenção: no período fracionário, o juro simples é maior que o composto 4

5 2) Uma pessoa emprestou R$ 3.000,00 e pagou, no final do período, R$ 3.300,00. Essa pessoa pagou, no ato do empréstimo, despesas no valor de R$ 30,00. Determine as taxas nominal, efetiva e real dessa operação, sabendo que a inflação no período foi de 2% Valor do Capital: C = 3000 Valor do Montante: M = 3300 Taxa de despesa: 30 Taxa de inflação: I = 0,02 Cálculo da Taxa Nominal M = C. ( 1 + i ) n 3300 = (1 + i ) 1 i = 300 = 0,10 no período 3000 Ou seja: i = 10% no período Cálculo da Taxa Efetiva M = C. ( 1 + i ) n 3300 = ( ). (1 + i ) n = i i = 330 = 0,1111 no período 2970 Ou seja: i = 11,11% no período Cálculo da Taxa Real O capital menos as despesas, corrigido pela inflação, é: ( ). 1,02 = 3029,40 M = C. ( 1 + i ) n Síntese 3300 = 3029,40. (1 + i ) n i = 270,60 = 0, ,40 i = 8,98% no período 5

6 Período Fracionário e Taxas Em período fracionário, o mercado utiliza a Convenção linear As aparências enganam: a Taxa Real é menor que a Aparente, pois é descontada a inflação do período Realmente, as aparências enganam: a Taxa Nominal (que nos contam que pagaremos) é sempre menor que a Taxa Efetiva (aquela que realmente pagaremos) Referências de Apoio ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Matemática financeira aplicada. Curitiba: Ibpex,

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