CÁLCULO DE TAXAS DE JUROS

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1 CÁLCULO DE TAXAS DE JUROS Entender e dominar os diferentes tipos de taxas de juros e suas formas de cálculo é essencial para o estudo da renda fixa e posteriormente derivativos. O cálculo do preço de títulos públicos e privados, a construção das curvas de juros e o cálculo de preços a termo e futuros são todas funções das taxas de juros e suas diferentes formas de cálculo. Portanto, um sólido e claro entendimento desse capítulo é essencial para um desenvolvimento rápido e claro dos assuntos subsequentes. O capítulo cobre os três tipos existentes de cálculos de juros, simples, composto e uma forma particular do juro composto, o juro contínuo. Também serão apresentados os conceitos de juro nominal e efetivo, taxas de juros equivalentes, convenções de contagem de dias, fator de desconto, taxas de juros acumuladas e por fim taxa de juros à vista e a termo. 2.1 TAXA DE JURO SIMPLES O juro simples, R s, é a forma mais simples de cálculo de juros, os juros são cobrados apenas sobre o montante inicial, não são cobrados juros sobre juros. Considere um montante inicial A 0, um montante final A n, a taxa de juros anual R s e o período de n anos, sob o regime de juros simples o montante final A n é dado por: A n = A 0 (1 + R s n) (2.1) 1

2 Exemplo 2.1 Considere um montante inicial A 0 de R$100,00, uma taxa de juros simples R s de 10% a.a e um prazo n de 2 anos. Calcule o montante final A n. A n = R$100,00 (1 + 0,10 2) = R$120,00 Portanto, um valor de R$100,00 aplicado a taxa de juros simples de 10%a.a ao final de 2 anos gera R$20,00 de juros. Ao executar qualquer cálculo de juros é muito importante ficar atento ao período no qual a taxa de juros está expressa, o período pode ser de dias, (a.d.)., meses (a.m). ou anos (a.a.). O período no qual o prazo é expresso também é importante, seja ele dias, meses ou anos, sempre podemos expressar o prazo em frações, por exemplo um mês expresso em anos equivale a 1/12 anos ou 0,08333 anos. O período no qual a taxa de juros é expressa deve sempre ser equivalente ao período no qual o prazo é expresso, essa regra vale para qualquer forma de cálculo de juros, seja ela simples com a equação 2.1 ou as formas que veremos a seguir, como juros compostos, equação 2.4 e 2.5, e por fim juros contínuos, equação 2.7. Exemplo 2.2 Considere um montante inicial A 0 de R$100,00, uma taxa de juros simples R s de 10% a.a e um prazo n de 6 meses 1. Calcule o montante final A n. A n = R$100,00 (1 + 0,10 0,5) = R$105,00 Portanto, um valor de R$100,00 aplicado a taxa de juros simples de 10%a.a. ao final de 6 meses gera R$5,00 de juros. 2.2 TAXA DE JURO COMPOSTA O juro composto, R m, é equivalente ao juro simples se a taxa de juros for aplicada ao final de cada período sobre o montante final do período 1 O prazo, n, de 6 meses foi expresso em 0,5 ano para manter a relação com a taxa de 10%, também expressa ao ano.

3 imediatamente anterior e não sobre o montante inicial. Ou seja, ocorre a cobrança de juros sobre o montante inicial somado aos juros já calculados nos períodos anteriores, dai vem o famoso jargão juros sobre juros, para entender esse conceito observe o exemplo 2.3 abaixo. Para ilustrar o conceito de juros compostos, considere um montante inicial A 0 de R$100,00, uma taxa de juro composto R m de 10% a.a e um prazo n de 2 anos, podemos calcular o montante final A n aplicando a fórmula de juros simples, equação 2.1. A 2 = A 0 (1 + R s n 1 ) (1 + R s n 2 ) (2.2) onde n 1 = n 2 = 1 ano temos A 2 = R$100,00 (1 + 0,10 1) (1 + 0,10 1) Logo A 1 A 2 = 110,00 (1 + 0,10 1) = R$121,00 Portanto, um valor de R$100,00 aplicado a taxa de juros simples de 10%a.a. por 1 ano gera R$10,00 de juros e um montante A 1 de R$110,00 ao final do primeiro período, ou ao final do primeiro ano. Aplicando os R$110,00 novamente à taxa de juros simples de 10%a.a. por mais 1 ano, teremos R$11,00 de juros e um montante final A 2 de R$121,00 ao final do segundo período ou segundo ano. Ao expandir a equação 2.2, considerando um prazo indeterminado n e dado que a unidade de tempo no qual n é expresso é a mesma na qual R s é expressa, obtemos a equação 2.3 que define os juros compostos, R m A n = A 0 (1 + R s ) 1 (1 + R s ) 2 (1 + R s ) n 1 (1 + R s ) n A n = A 0 (1 + R m ) n (2.3) Exemplo 2.3 Considere um montante inicial A 0 de R$100,00, uma taxa de juros composto R m de 10% a.a e um prazo n de 2 anos. Calcule o montante final A n. A n = R$100,00 (1 + 0,10) 2 = R$121,00 3

4 Portanto, um valor de R$100,00 aplicado a taxa de juros composto de 10%a.a. ao final de 2 anos gera R$21,00 de juros. 2.3 FREQUÊNCIA DE CAPITALIZAÇÃO Capitalização de juros é a frequência, em um ano, na qual juros são calculados sobre um montante inicial qualquer A o. O conceito de capitalização de juros apenas existe no universo dos juros compostos, por definição uma taxa de juros simples é capitalizada sempre uma única vez. Não precisamos nos preocupar com a frequência de capitalização da taxa de juros no exemplo 2.3, a informação foi omitida uma vez que a frequência de capitalização era igual a unidade de tempo na qual a taxa de juros era expressa, anual. Contudo, quando a frequência de capitalização dos juros, que definiremos pelo parâmetro m, é diferente da unidade de tempo na qual a taxa de juros é expressa devemos utilizar a fórmula abaixo para calcular o montante final utilizando juros compostos. A t = A 0 (1 + R m m )n m (2.4) O parâmetro m é o número de vezes por ano em que os juros são capitalizados, por exemplo se m = 2 os juros serão capitalizados semestralmente, se m = 4 os juros serão capitalizados trimestralmente, se m = 12 os juros serão capitalizados mensalmente, se m = 365 os juros serão capitalizados diariamente. E se m, qual será a freqüencia de capitalização? Exemplo 2.4 Considere um montante inicial A 0 de R$100,00, uma taxa de juro composta R m de 10% a.a capitalizada mensalmente e um prazo n de 0,25 ano ou 3 meses. Calcule o montante final A t. O primeiro passo é transformar a taxa de 10%a.a em uma taxa mensal 2 10%a. a. = 10% = 0,83%a. m Lembre-se, ao realizar cálculo com taxas de juros o período no qual a taxa de juros é expressa deve sempre ser equivalente ao período no qual o prazo é expresso.

5 Podemos então aplicar a equação 2.3 A t = R$100,00 (1 + 0,0083) 3 = R$102,51 Outra forma é evitar o primeiro passo e aplicar diretamente a equação 2.4, o que é muito mais prático A t = R$100,00 (1 + 0,10 12 ) 0,25 12 = R$102,51 Portanto, um valor de R$100,00 aplicado a taxa de juros composta de 10%a.a., capitalizada mensalmente ao final de 3 meses gera R$2,51 de juros. Observe que os juros compostos são nada mais que juros simples aplicados sobre juros simples e os juros compostos capitalizados são uma forma particular de juros compostos, onde o período de capitalização é diferente do anual. Podemos afirmar que, para prazos maiores que um ano, quanto maior a frequência de capitalização de uma taxa de juros composta maior será o valor total final dos juros cobrados, logo o agente financeiro que toma dinheiro emprestado tem o menor custo sob o regime de juros simples, enquanto o agente que empresta tem a maior receita quanto maior a frequência de capitalização. Teoria na Prática 2.1 Forma Padrão de Juros Compostos Quando tratamos do mercado financeiro de renda fixa e derivativos no Brasil, o padrão adotado para expressar a unidade de tempo das taxas de juros é na esmagadora maioria das vezes o anual, um profissional trabalhando com renda fixa ou derivativos tende a utilizar taxas de juros expressas ao ano, a.a. Ainda no mercado financeiro, a capitalização dos juros compostos também segue um padrão, os juros serão na grande maioria das vezes capitalizados na mesma unidade na qual as taxas de juros são expressas, ou seja, ao ano. Portanto, utilizando taxas de juros expressas ao ano e juros capitalizados anualmente, a fórmula de juros compostos utilizada a maior parte do tempo será a forma mais simples, determinada na equação

6 2.4 JUROS NOMINAIS E EFETIVOS As taxas de juros efetivas representam o valor real dos juros devidos em um período qualquer, n, de vigência da taxa de juros. As taxas de juros nominais não representam o valor real dos juros devidos, portanto não são uma boa escolhe para se tomar decisões financeiras. A diferença entre juros nominais e juros efetivos está relacionada ao conceito de capitalização de juros, uma taxa de juro nominal é expressa em uma unidade de tempo diferente da frequência de capitalização da taxa, enquanto uma taxa de juro efetiva é sempre expressa na mesma unidade de tempo da frequência de capitalização. Como não existe frequência de capitalização no regime de juros simples 3 taxas de juros simples são por definição taxas de juros efetivas. A relação entre taxa de juros nominal e efetiva é dada pela equação abaixo Taxa Efetiva = Taxa Nominal m (2.5) Exemplo 2.5 Considere uma taxa de juros nominal de 15% a.s. capitalizada mensalmente, m = 12, calcule a taxa de juros efetiva mensal e anual. Aplicando a equação 2.5 temos a taxa efetiva mensal, expressa no mesmo período da frequência de capitalização Taxa efetiva ao mês = 0,15 6 = 2,50% a. m. Para obter a taxa efetiva ao ano podemos considerar um montante inicial de R$1,00 aplicado por 12 períodos de 1 mês à taxa de juro composta efetiva de 2,50%a.m. A 12 = 1 (1 + 0,025) 12 = 1, Sob o regime de juros simples a capitalização ocorre sempre uma única vez no período, n, de vigência da taxa seja esse período de um mês, seis meses, um ano, dois anos, ou qualquer outro prazo.

7 Por definição uma taxa de juros no período pode ser dada pelo quociente entre os montantes final e inicial subtraído de 1 Taxa efetiva ao ano = 1, = 34,49%a. a. 1 Ou de forma mais rápida podemos realizar diretamente a operação Taxa efetiva ao ano = (1 + 0,15 6 ) 12 1 = 34,49%a. a. Observe que a taxa efetiva ao ano é bem maior que a taxa nominal ao ano de 30%, 15% multiplicado por dois. Exemplo 2.6 Um banco A oferece um empréstimo de crédito pessoal pelo prazo de 20 meses à taxa de 21%a.a, capitalizados anualmente. O banco B oferece o mesmo empréstimo a taxa de 20%a.a, capitalizados mensalmente. Qual das duas ofertas oferece o menor custo de juros para o cliente? Observe que o banco A mostra para seus clientes a taxa efetiva, 21%a.a, uma vez que a unidade de tempo da taxa, anual, é a mesma unidade de tempo da frequência de capitalização. O banco B, pouco idôneo, divulga apenas a taxa nominal, 20%a.a, para seus clientes, uma vez que a frequência de capitalização é mensal e a unidade de tempo da taxa é anual. A taxa efetiva anual do banco B é calculada da seguinte forma: Taxa efetiva ao mês = 0,20 12 = 1,67%a. m. Taxa efetiva ao ano = ( 1 + 0,20 12 ) = 21,94%a. a. Observe que o banco B, que aparentemente apresenta uma taxa menor em 1%a.a., na realidade cobra uma taxa 0,94%a.a. maior que o banco A. Esse tipo de prática foi um sério problema no Brasil até fins de 2007, quando entrou em vigor o conceito do custo efetivo total. 7

8 Teoria na Prática 2.2 Resoluções da CMN e Custo Efetivo Total, CET Antes das resolução CMN 3.517, de dezembro de 2007 e da resolução CMN 3.909, de setembro de 2010 que determinaram às instituições financeiras o uso do CET, custo efetivo total, era muito comum bancos e financeiras apresentarem taxas nominais para os clientes que eram muito menores que as taxas efetivas reais de juros que os mesmos pagariam ao longo do financiamento, empréstimo ou desconto de recebíveis. As resoluções também exigiram que os bancos incluíssem na CET todos os custos relacionados à operação de crédito, como seguros, taxas de abertura de crédito e outros. Sempre que for realizar uma operação de crédito no Brasil o cliente deve comparar as taxas de CET das diferentes instituições, de forma a evitar escolher uma instituição com juros menores porém com elevados custos de abertura de crédito e/ou seguro. 2.5 JUROS CONTÍNUOS O conceito de juros contínuos, R c, pode ser entendido a partir do conceito de juros compostos quando aumentamos a frequência de capitalização ao infinito. Aumentar a frequência de capitalização de juros compostos ao infinito é equivalente a cobrar juros a cada milésimo de segundo, sob esse conceito a nota de 1 real que é emprestada, seja por um milésimo de segundo, já deve ser acrescida de juros no momento da sua devolução. Como é impossível expressar uma taxa de juro em uma unidade de tempo que tende a zero, por exemplo um milésimo de segundo, o que seria equivalente a uma frequência de capitalização que tende ao infinito, as taxas de juros contínuas são sempre taxas de juros nominais. No dia a dia o juro contínuo não existe, contudo em tópicos mais avançados de finanças ou mesmo em tópicos mais simples na literatura estrangeira esse conceito é amplamente aplicado, logo entender o conceito é essencial para o profissional e estudante de finanças ter acesso à literatura estrangeira de finanças e se aventurar em tópicos avançados.

9 Matematicamente representamos o cálculo de juros contínuos a partir do limite da fórmula de juros compostos: se m, logo, A t = A 0 (1 + R m m ) n m A t = A 0 lim (1 + R n m m m m ) A t = A 0 e R c n 4 (2.6) Para fazer a conta inversa, o cálculo da taxa de juro contínua ao ano a partir dos montantes inicial e final dado um prazo n qualquer, devemos aplicar o logarítmo neperiano, ln. Partindo da equação 2.6, isolamos R c e R c n = A t A 0 aplicamos ln em ambos os lados da equação ln(e R c n ) = ln ( A t A 0 ) como ln(e R c n ) = R c n, temos Logo R c n = ln ( A t A 0 ) R c = 1 n ln (A t A 0 ) 4 Uma boa aproximação da taxa de juros contínua, equação 2.6, é a capitalização diária de juros compostos. 9

10 Exemplo 2.6 Considere uma taxa de juros de 10% a.a., calcule o montante final dado um montante inicial igual a R$100,00 e prazo de dois anos, utilize juros contínuos. A t = R$100,00 e 0,10 2 A t = R$100,00 2,718282e 0,10 2 = R$122,14 Exemplo 2.7 Considere um montante inicial de R$100,00, um montante final de R$111,25 e prazo de 1,5 anos. Calcule a taxa de juros contínua ao ano. R c = 1 1,5 ln (R$111,25) = 7,11%a. a. R$100, COMPARATIVO ENTRE OS REGIMES DE JUROS Nesse tópico faremos uma breve análise comparativa entre os três regimes de juros apresentados até aqui nesse livro. Ao longo do capítulo alguns leitores devem ter se perguntado qual seria o melhor regime de juros para se tomar dinheiro emprestado ou emprestar dinheiro, se o leitor respondeu que o pior regime de juros para tomar dinheiro emprestado é o regime de juros contínuos, esta correto. Contudo nem sempre é melhor tomar dinheiro emprestado em juros simples, em algumas situações o juro composto é melhor. Exemplo 2.8 Considere uma taxa de juros de 10%a.a, prazo de 2 anos, montante inicial de R$ 100,00. Calcule o montante final sob os regimes de juro simples, juro composto com capitalização anual, juro composto com capitalização semestral, juro composto com capitalização trimestral, juro composto com capitalização mensal, juro composto com capitalização diária e juro contínuo.

11 Sob o regime de juro simples A t = R$100,00 (1 + 0,10 2) = R$120,00 Sob o regime de juro composto, capitalização anual A t = R$100,00 (1 + 0,10) 2 = R$121,00 Sob o regime de juro composto, capitalização semestral A t = R$100,00 (1 + 0,10 2 ) 2 2 = R$121,55 Sob o regime de juro composto, capitalização trimestral A t = R$100,00 (1 + 0,10 4 ) 2 4 = R$121,84 Sob o regime de juro composto, capitalização mensal A t = R$100,00 (1 + 0,10 12 ) 2 12 = R$122,04 Sob o regime de juro composto, capitalização diária A t = R$100,00 (1 + 0, ) = R$122,137 Sob o regime de juro contínuo A t = R$100,00 2, ,10 2 = R$122,140 Analisando o exemplo 2.8, observe que para prazos maiores que 1 ano quanto maior a capitalização dos juros compostos, maior é o valor do montante final e portanto dos juros pagos. Também podemos observar que quanto maior a frequência de capitalização mais nos aproximamos do juro contínuo. Exemplo 2.9 Calcule o montante final sob cada um dos três regimes de juros, utilizando uma taxa de juros de 50%a.a. e prazo de seis meses. 11

12 juro simples A t = R$10 000,00 ( ,5) = R$15 000,00 juro composto, capitalização anual A t = R$10 000,00 (1 + 1) 0,5 = R$14 142,14 juro contínuo A t = R$10 000,00 2, ,5 = R$16 487,21 A taxa de juro composto acumulou menos juros que a taxa simples e a taxa contínua, isso ocorre em todos os prazos menores que um ano. No prazo de um ano é indiferente escolher entre juro simples e composto, já para prazos maiores que um ano o juro composto acumula sempre mais juros que o simples, veja a figura 2.1. Figura 2.1 Comparativo entre juros simples, composto e contínuo, taxa de 50%a.a., prazo de 6 meses.

13 2.7 TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES Taxas de juro equivalentes são taxas com características diferentes como valor, regime de juros ou capitalização, que geram o mesmo valor de juros dado um prazo e montante inicial constantes. É importante entender esse conceito quando comparamos o retorno de ativos financeiros com características diferentes. Definição 2.1 Duas taxas de juros são equivalentes se dado um mesmo montante inicial e prazo ambas retornarem o mesmo montante final. Aplicando a definição 2.1 acima podemos achar taxas de juros compostas equivalentes à taxas de juros simples, taxas de juros simples equivalentes à taxas de juros contínuas, taxas de juros compostas equivalentes à taxas de juros contínuos ou mesmo taxas de juros compostas com capitalizações diferentes mas equivalentes entre si. Equivalência Entre Juros Simples e Compostos Aplicando a definição 2.1, basta igualar e resolver as equações 2.1 e 2.4, seja para R s ou R m, que teremos uma taxa de juro simples equivalente a uma taxa de juro composta e vice versa. Isolando R s A 0 (1 + R s n) = A 0 (1 + R m m ) n m R s = (1+R m m )n m 1 n (2.7) ou isolando R m R m = m [(1 + R s n) 1 n m 1] (2.8) 13

14 Equivalência Entre Juros Simples e Contínuos Aplicando a definição 2.1, basta igualar e resolver as equações 2.1 e 2.6, seja para R s ou R c, que teremos uma taxa de juro simples equivalente a uma taxa de juro contínua e vice versa. Isolando R s A 0 (1 + R s n) = A 0 e R c n ou isolando R c por definição, ln(e x ) = x R s = er c n 1 n e R c n = (1 + R s n) (2.9) Logo ln(e R c n ) = ln(1 + R s n) R c = ln(1+r s n) n (2.10) Equivalência Entre Juros Compostos e Contínuos Aplicando a definição 2.1, basta igualar e resolver as equações 2.4 e 2.6, seja para R m ou R c, que teremos uma taxa de juro composta equivalente a uma taxa de juro contínua e vice versa. Isolando R m A 0 (1 + R m m ) n m = A 0 e R c n R m = m (e R c 1 m 1) (2.11) ou isolando R c e R c n = (1 + R m m )n m por definição, ln(e x ) = x, e ln(x a ) = a ln (x) ln(e R c n ) = ln (1 + R m m ) n m

15 logo R c = m ln (1 + R m m ) (2.12) Equivalência Entre Juros Compostos Aplicando a definição 2.1, basta igualar e resolver as equações 2.4 e 2.5 5, seja para R m1 ou R m2, que teremos uma taxa de juro composta equivalente a uma taxa de juro contínua e vice versa. Isolando R m1 A 0 (1 + R n m 1 m 1 ) = A m 0 (1 + R n m 2 m 2 ) 1 m 2 R m1 = m 1 [(1 + R m 2 m1 m2) 1] (2.13) m 2 ou isolando R m2 R m2 = m 2 [(1 + R m 1 m2 m1) 1] (2.14) m 1 Exemplo 2.10 Considere uma taxa de juros simples de 10% a.a. e prazo de 2 anos. Calcule as taxas de juros equivalentes para os regimes de juro composto com capitalização anual, juro composto com capitalização semestral, juro composto com capitalização trimestral, juro composto com capitalização mensal, juro composto com capitalização diária e juro contínuo. Sob o regime de juro composto, capitalização anual, aplicando a equação 2.8 temos: R m = 1 [(1 + 0,10 2) ] = 9,54%a. a. Sob o regime de juro composto, capitalização semestral, aplicando a equação 2.8 temos: R m = 2 [(1 + 0,10 2) ] = 9,33%a. a. 5 Observe que as equações são iguais, o que muda é o parâmetro m, referente a freqüencia de capitalização de cada uma das duas taxas. 15

16 Sob regime de juro composto, capitalização trimestral, aplicando a equação 2.8 temos: R m = 4 [(1 + 0,10 2) ] = 9,22%a. a. Sob o regime de juro composto, capitalização mensal, aplicando a equação 2.8 temos: R m = 12 [(1 + 0,10 2) ] = 9,15%a. a. Sob o regime de juro composto, capitalização diária, aplicando a equação 2.8 temos: R m = 365 [(1 + 0,10 2) ] = 9,1172%a. a. 1 Sob o regime de juro contínuo, aplicando a equação 2.10 temos R c = ln(1 + 0,10 2) 2 = 9,1161%a. a. Observe que, à medida que aumentamos a capitalização dos juros, partindo de uma vez por ano até infinitas vezes por ano, a taxa de juro equivalente é cada vez menor. Entende-se que quanto maior a capitalização dos juros menor deve ser a taxa para se obter o mesmo valor de juros, compare os resultados com o exemplo CONTAGEM DE DIAS Existem diferentes convenções para se calcular o prazo de uma taxa de juro, mas antes de apresentar as convenções devemos definir o prazo, n, da seguinte forma: n = nº de dias entre o data final e a data de início nº de dias total no ano (2.15) Neste livro veremos apenas as três convenções mais comuns para o cálculo do prazo, a convenção BUS/252, ACT/360 e 30/360, existem muitas outras, contudo essas três são as mais utilizadas no mercado financeiro, sendo a primeira uma especificidade do mercado brasileiro.

17 Convenção BUS/252 A convenção BUS/252 trabalha com dias úteis 6, meses de 21 dias úteis e anos de 252 dias úteis. O termo BUS vem do inglês business que significa negócios, termo que faz referências aos dias úteis nos quais a indústria financeira está aberta e funcionando. Exemplo 2.11 Um investidor realizou uma aplicação de R$100,00 no dia 19 de julho de 2012 com vencimento em 19 de novembro de A aplicação foi feita à taxa de 10%a.a., juros compostos capitalizados uma vez por ano, calcule o montante final utilizando a convenção de contagem de dias BUS/252. Entre os dias 19 de julho de 2012 e 19 de novembro de 2012 existem 83 dias úteis 7. A t = R$100,00 (1 + 0,10) 83 = R$103,19 Convenção ACT/360 A convenção ACT/360 trabalha com um calendário padrão, com dias corridos e anos de 360 dias corridos. O termo ACT vem do inglês actual que significa real ou existente, termo que faz referências ao real número de dias corridos entre duas datas ou dentro de um ano. Exemplo 2.12 Um investidor realizou uma aplicação de R$100,00 no dia 19 de julho de 2012 com vencimento em 19 de novembro de A aplicação foi feita à taxa de 10%a.a., juros simples, calcule o montante final utilizando a convenção de contagem de dias ACT/ Finais de semana e feriados são excluídos. 7 Podemos consultar o número de dias úteis entre duas datas utilizando um calendário em papel, no mercado financeiro conhecido como redoma ou utilizando o EXCEL. Para calcular o número de dias úteis no EXCEL devemos utilizar a função de data NETWORKDAYS, subtraindo o número 1 ao final da função e ter uma lista de feriados brasileiros, que pode ser copiada de -> informações técnicas - >feriados bancários. 17

18 Entre os dias 19 de julho de 2012 e 19 de novembro de 2012 existem 123 dias corridos 8. A t = R$100,00 (1 + 0, ) = R$103,4 Convenção 30/360 A convenção 30/360 trabalha com um calendário fictício, 30 refere-se a meses de exatos 30 dias e 360 refere-se a anos de exatos 360 dias corridos. Teoria na Prática 2.3 Convenção BUS/252 O mercado financeiro do Brasil é o único entre os mercados emergentes e as economias avançadas onde é utilizada uma convenção de contagem de dias baseada em dias úteis e um ano de 252 dias úteis, ou seja a convenção BUS/252.Essa particularidade torna a vida dos gerentes de projeto de sistemas e programadores de bancos estrangeiros de investimento bastante desafiadora, uma vez que exige muitas adaptações ao formato global dos sistemas desses bancos. Existe um motivo econômico histórico para o uso do BUS/252 no Brasil, o mercado financeiro no Brasil apresentou um certo desenvolvimento nos anos 80 e primeira metade dos anos 90, com a criação da bolsa de mercadorias e futuros, BMF, o aumento da negociação de contratos derivativos e títulos públicos. Contudo, ao mesmo tempo em que ocorria um certo desenvolvimento do mercado financeiro o ambiente econômico no Brasil era de extrema incerteza e deterioração, com taxas de médias de inflação girando ao redor de 700% ao ano, taxas nominais de juros ao redor de 400% ao ano, que sofriam variações diárias de dois ou até três dígitos e um sistema de câmbio fixo com maxidesvalorizações. É natural que sob um ambiente de extrema incerteza, como o vívido nos anos 80 e primeira metade dos anos 90, os agentes de mercado retraiam-se para operações de prazos curtíssimos, daí vem a característica de taxas de juros nominais overnight e convenção de contagem de dias BUS/252, que exclui fins de semana e feriados no Brasil. 8 Podemos consultar o número de dias corridos entre duas datas utilizando um calendário em papel, no mercado financeiro conhecido como redoma ou utilizando o EXCEL. Para calcular o número de dias corridos entre duas datas no EXCEL basta subtrair a data maior da data menor.

19 Exemplo 2.13 Um investidor realizou uma aplicação de R$100,00 no dia 19 de julho de 2012 com vencimento em 19 de novembro de A aplicação foi feita à taxa de 10%a.a., juros contínuos, calcule o montante final utilizando a convenção de contagem de dias 30/360. Entre os dias 19 de julho de 2012 e 19 de novembro de 2012 existem 120 dias utilizando a convenção 30/ A t = R$100,00 e 0, FATOR DE DESCONTO = R$103,39 O fator de desconto de uma taxa de juros R qualquer de prazo n é o valor monetário hoje, que aplicado a taxa de juros R pelo prazo n, retorna um montante final igual a uma unidade monetária, por exemplo R$1,00. Outra forma de entender o fator de desconto é como o valor presente de uma unidade monetária descontada por uma taxa R qualquer de prazo n. Em finanças o fator de desconto é conhecido pelo termo DF, do inglês discount factor, o fator de desconto é o inverso do fator da taxa e tem por propriedade trazer qualquer fluxo de caixa futuro ao valor presente ao ser multiplicado por esse fluxo. Fator de Desconto em Juros Simples Sob o regime de juros simples o fator de desconto é dado por DF = 1,00 (1+R s n) (2.16) Fator de Desconto em Juros Compostos Sob o regime de juros compostos o fator de desconto é dado por DF = 1,00 (1+ R m m )n m 9 Para calcular o número de dias entre duas datas utilizando a convenção 30/360 devemos utilizar a função de data DAYS360 no EXCEL. 19

20 Como no mercado financeiro o mais comum é utilizar a forma padrão dos juros compostos, taxa expressa ao ano e capitalização de juros anual, podemos redefinir o fator de desconto da seguinte forma DF = 1,00 (1+R m ) n (2.17) Fator de Desconto em Juros Contínuos Sob o regime de juros contínuos o fator de desconto é dado por DF = 1,00 e R c n (2.18) Exemplo 2.14 Considere uma taxa de juros de 10%a.a. e prazo de 100 dias corridos ou 69 dias úteis, calcule o fator de desconto sob os regimes de juros simples com convenção ACT/360, juros compostos na forma padrão com convenção BUS/252 e juros contínuos com convenção ACT/360. Sob o regime de juros simples 1,00 DF = (1 + 0, ) = 0, Sob o regime de juros compostos, forma padrão DF = 1,00 (1 + 0,10) = 0, Sob o regime de juros contínuos, forma padrão DF = 1,00 e 0, = 0, TAXAS DE JUROS ACUMULADAS O conceito de taxas de juros acumuladas é essencial para o entendimento das taxas de juros a termo, que veremos a seguir e dos contratos futuros

21 de DI, que veremos alguns capítulos mais à frente. Acumular taxas de juros é semelhante a calcular a média ponderada pelo período de várias taxas de juros, obtendo-se assim uma taxa final acumulada vigente por um período igual a soma dos períodos de cada uma das taxas de juros que foram acumuladas. Acumulação de taxas de juros simples Considere as n taxas de juros simples, R s1, Rs 2, R s3,.., R sn 1 R sn, com os respectivos período em anos de, n 1, n 2, n 3,.., n n 1, n n. Matematicamente, podemos definir a taxa de juros simples acumulada, R sacm, de período (n 1 + n 2 + n n n 1 + n n ) da seguinte forma: R sacm = [(1 + R s1 n 1 ) (1 + R s2 n 2 ) (1 + R s3 n 3 ) (1 + R sn 1 n n 1 ) (1 + R sn n n )] 1 (n 1 +n 2+n 3 + +n n 1 +n n ) (2.19) Observe que a taxa acumulada, R sacm, nada mais é do que o produto dos fatores de cada uma das n taxas de juros simples R s1, Rs 2, R s3,.., R sn 1 R sn. Uma forma de checar se o resultado da equação 2.19 faz sentido é calcular a taxa média ponderada pelos períodos n 1, n 2, n 3,.., n n 1, n n das taxas R s1, Rs 2, R s3,.., R sn 1 R sn, contudo sob o regime de juros simples existe um erro considerável nessa simplificação. Exemplo 2.15 Considere as seguintes taxas de juros simples e seus respectivos períodos, 8%a.a vigente por 0,5 ano, 10%a.a. vigente por 1 ano e 15%a.a. vigente por 2 anos. Calcule a taxa de juro simples acumulada de período igual a 3,5 anos, expresse a taxa ao ano. Aplicando a equação 2.19 R sacm = [(1 + 0,08 0,5) (1 + 0,10 1) (1 + 0,15 2)] 1 3,5 R sacm = 13,92%a. a. 21

22 A média ponderada pelo prazo 10 é de 12,57%, para efeitos de checagem a ordem de grandeza é similar, contudo o valor é bastante diferente da taxa calculada acima. Acumulação de taxas de juros compostas Considere as n taxas de juros compostas na forma padrão, R m1, Rm 2, R m3,.., R mn 1 R mn, com os respectivos periodo em anos de,n 1, n 2, n 3,.., n n 1, n n. Matematicamente, podemos definir a taxa de juros acumulada, R macm, de período (n 1 + n 2 + n n n 1 + n n ) da seguinte forma R macm = (1 + R m1 ) n1 (1 + R m2 ) n2 (1 + R m3 ) n3 (1 + R mn 1 ) n n 1 (1 + R mn ) nn ] 1 (n1+n2+n3+ +nn 1+nn) (2.20) Observe que a taxa acumulada, R macm, nada mais é do que o produto dos fatores de cada uma das n taxas de juros compostos R m1, Rm 2, R m3,.., R mn 1 R mn. Uma forma de checar se o resultado da equação 2.20 faz sentido é calcular a taxa média ponderada pelos períodos n 1, n 2, n 3,.., n n 1, n n das taxas R m1, Rm 2, R m3,.., R mn 1 R mn, contudo sob o regime de juros compostos existe um erro 11 nessa simplificação. Exemplo 2.16 Considere as seguintes taxas de juros compostas na forma padrão e seus respectivos períodos, 8%a.a vigente por 0,5 ano, 10%a.a. vigente por 1 ano e 15%a.a. vigente por 2 anos. Calcule a taxa de juro composto, na forma padrão, acumulada de período igual a 3,5 anos. Aplicando a equação 2.20 R macm = [(1 + 0,08) 0,5 (1 + 0,10) 1 (1 + 0,15) 2 ] 1 3,5 10 Média ponderada pelos períodos, 8% 0,5+10% 1+15% 2 =12,57%. 11 O erro sob o regime de juros compostos é bastante menor que o erro sob regime de juros simples. 3,5

23 R macm = 12,53%a. a. A média ponderada pelo prazo é de 12,57%, para efeitos de checagem o valor é relativamente próximo da taxa calculada acima, observe que o erro é bem menor se comparado ao regime de juros simples. Acumulação de taxas de juros contínuos Considere as n taxas de juros contínuos, R c1, Rc 2, R c3,.., R cn 1 R cn, com os respectivos período em anos de n 1, n 2, n 3,.., n n 1, n n. Matematicamente, podemos definir a taxa de juros acumulada, R cacm, de período (n 1 + n 2 + n n n 1 + n n ) da seguinte forma R cacm = e (R c1 n 1) e (R c2 n 2) e (R c3 n 3) e (R cn 1 n n 1) e (R cn n n) ] 1 (n 1 +n 2+n 3 + +n n 1 +n n ) (2.21) Observe que a taxa acumulada, R cacm, nada mais é do que o produto dos fatores de cada uma das n taxas de juros contínuos R c1, R c2, R c3,.., R cn 1 R cn. As taxas de juros contínuas tem uma propriedade interessante, podemos calcular a taxa R cacm simplesmente calculando a média ponderada pelos períodos n 1, n 2, n 3,.., n n 1, n n das taxasr c1, R c2, R c3,.., R cn 1 R cn, o resultado será exatamente igual ao obtido na equação Exemplo 2.17 Considere as seguintes taxas de juros contínuas e seus respectivos períodos, 8%a.a vigente por 0,5 ano, 10%a.a. vigente por 1 ano e 15%a.a. vigente por 2 anos. Calcule a taxa de juro contínua acumulada de período igual a 3,5 anos. Aplicando a equação 2.21 R cacm = 1 3,5 ln(e0,08 0,5 e 0,10 1 e 0,15 2 ) 23

24 R cacm = 12,57%a. a. A média ponderada pelo prazo é 12,57%, exatamente igual ao valor calculado acima, portanto quando trabalhamos com juros contínuos taxas acumuladas podem e devem ser calculadas simplesmente através da média das taxas ponderada pelos respectivos períodos, evitando assim trabalho algébrico e complicação desnecessária com a equação TAXAS DE JUROS À VISTA E A TERMO Até agora trabalhamos apenas com taxas de juros à vista, ou seja, taxas que tinham um período de vigência, n, contado a partir da data de hoje. Porém, não nos basta entender apenas o conceito de juros à vista, em finanças é muito comum e também muito utilizado o conceito de taxa de juro a termo. Taxa de juro à vista O conceito de taxa de juro à vista é fácil de compreender, uma vez que a grande maioria das operações financeiras que realizamos ao longo de nossa vida, seja uma aplicação em um CDB de um banco, ou um empréstimo bancário via CDC ou mesmo o uso do cartão de crédito implicam o cálculo de juros a partir da data de contração que geralmente é no dia em que assinamos o contrato ou no máximo alguns dias depois. Definição 2.2 A taxa de juros à vista 12 de período igual a n é a taxa que remunera um investimento, ou onera uma dívida, contratada hoje e válida por n anos a partir de hoje, principal e juros são recebidos, ou pagos, apenas no vencimento, não existem fluxos intermediários. Taxa de juro a termo Taxa de juro a termo é uma taxa cujo período de vigência começa a vigorar em uma determinada data futura. Por exemplo, uma taxa de juro a termo de 10%a.a. com prazo de 1 ano e data de início daqui a 6 meses, 12 No mercado financeiro o termo taxa de juros à vista também é conhecido por taxa bullet ou bullet rate, taxa zero coupon ou zero coupon rate ou mesmo taxa zero ou zero rate.

25 começa a remunerar um investimento, ou onerar uma dívida, em 6 meses contados a partir de hoje, seu vencimento ocorrerá em 1,5 anos a partir de hoje, ou seja, em 1 ano a partir da data de início. Definição 2.3 A taxa de juros a termo 13 de período igual a n é a taxa que remunera um investimento, ou onera uma dívida, contratada hoje cuja data de início é uma data futura qualquer, a taxa será válida por n anos a partir da data de início, principal e juros são recebidos ou pagos apenas no vencimento, não existem fluxos intermediários. Por definição taxas de juros a termo são expectativas feitas hoje das taxas de juros à vista em vigor em um determinado momento do futuro. Outra forma de entender as taxas a termo é como sendo taxas implícitas nas taxas de juros à vista. Para facilitar o entendimento observe a figura 2.2 abaixo, a taxa a termo R 1,2 é a expectativa hoje da taxa de juros à vista R 1 em vigor daqui a 6 meses, ao mesmo tempo a taxa a termo R 1,2 é uma taxa implícita entre as taxas à vista R 1 e R 2. Figura 2.2 Diagrama comparativo entre taxa de juros à vista e a termo 13 No mercado financeiro a taxa de juros a termo também é conhecida por taxa forward, um contrato financeiro referente a uma taxa a termo também é conhecido por FRA ou forward rate agreement. 25

26 Taxa de juro a termo sob regime de juros simples Sob o regime de juros simples podemos determinar a taxa a termo simples R s1,2 entre os períodos 1 e 2 da seguinte forma R s1,2 = [ (1+R s2 n 2) (1+R s 1 n 1) 1] 1 (n 2 n 1 ) (2.22) Exemplo 2.18 Considere uma taxa de juros simples à vista de 12%a.a e período de 1 ano. Considere também uma taxa de juros simples de 13%a.a. e período de 2 anos, calcule a taxa de juros simples a termo com início em 1 ano e prazo de um ano. (1 + 0,13 2) R s1,2 = [ (1 + 0,12 1) 1] 1 = 12,50%a. a 1 A taxa de juro simples a termo entre os anos 1 e 2 é de 12,50%a.a. Taxa de juro a termo sob regime de juros compostos Sob o regime de juros compostos podemos determinar a taxa a termo composta R m1,2 entre os períodos 1 e 2 da seguinte forma 1 R m1,2 = [ (1+R m2 )n 2 ] (n2 n 1 ) (1+R m 1 )n 1 1 (2.23) Exemplo 2.19 Considere uma taxa de juros à vista composta, com capitalização anual, de 12%a.a e período de 1 ano. Considere também uma taxa de juro a termo composta, com capitalização anual, de 14%a.a. início em 1 ano e prazo de 1 ano, calcule a taxa de juros à vista composta, com capitalização anual, e prazo de 2 anos. Podemos resolver esse exercício, isolando algebricamente R m2 na equação 2.23 logo (1 + R m2 ) n2 = (1 + R m1,2 ) (n 2 n 1 ) (1 + Rm1 ) n 1

27 e R m2 = [(1 + R m1,2 ) (n 1 2 n 1 ) (1 + Rm1 ) n1 n2 ] 1 R m2 = [(1 + 0,14) 1 (1 + 0,12) 1 ] = 13,00% Portanto, a partir da taxa de juros à vista de 1 ano e a taxa a termo entre os anos 1 e 2, calculamos a taxa de juro à vista composta com capitalização anual e prazo de 2 anos de 13,00%a.a. Taxa de juro a termo sob regime de juros contínuos Sob o regime de juros contínuos podemos determinar a taxa a termo contínua R c1,2 entre os períodos 1 e 2 da seguinte forma R c1,2 = 1 (n 2 n 1 ) n2 ln (erc2 ) (2.24) e R c1 n 1 Exemplo 2.20 Considere uma taxa de juros à vista contínua de 12%a.a e período de 1 ano. Considere também uma taxa de juros à vista contínua de 13%a.a. e período de 2 anos, calcule a taxa de juros simples a termo com início em 1 ano e prazo de um ano. R c1,2 = 1 (2 1) ln (e0,13 2 e0,12 1) = 14%a. a RESUMO Assim como podemos calcular a taxa R cacm simplesmente calculando a média ponderada pelos períodos n 1, n 2, n 3,.., n n 1, n n das taxas R c1, R c2, R c3,.., R cn 1 R cn, podemos calcular a taxa a termo de juros contínuos,r c1,2,simplesmente dividindo pela diferença dos prazos a diferença entre o produto das taxas à vista e seus respectivos prazos. R c1,2 = 13% 2 12% = 14%a. a. Neste capítulo vimos as três principais formas de cálculo de juros, simples, composta e contínua, também vimos que juros compostos podem ser capitalizados diversas vezes ao ano e que uma taxa de juro composta 27

28 capitalizada diariamente é a melhor aproximação da mesma taxa sob o regime de juros contínuos. O conceito de juro nominal e juro efeito tem relação com o valor real dos juros calculados, para tomar decisões financeiras o juro nominal não é uma boa variável de análise, uma vez que não representa o valor real dos juros calculados. O juro nominal também pode ser entendido como aquele no qual a taxa não é expressada no mesmo período no qual ocorre a capitalização, taxas de juros efetivas representam o real valor dos juros calculados e por definição são expressas na mesma unidade de tempo no qual os juros são capitalizados. Taxas de juros sob diferentes regimes podem ser equivalentes, basta que a ambas gerem o mesmo montante final dado um mesmo montante inicial e um mesmo prazo. O conceito de fator de desconto é simples e refere-se ao valor monetário que aplicado hoje retorna uma unidade monetária no vencimento. Taxas de juros acumuladas podem ser entendidas, de forma simplificada, como a média ponderada pelo prazo de diversas outras taxas, esse conceito simplificado encaixa-se perfeitamente sob o regime de juros contínuos, contudo é um pouco falho sob o regime de juros compostos e bastante falho sob o regime de juros simples. Por fim, vimos os conceitos de taxas de juros à vista e a termo, sendo que a taxas de juros à vista remuneram um investimento, ou oneram uma dívida, a partir de hoje, ao passo que taxas a termo remuneram um investimento ou oneram uma dívida, a partir de uma data futura. Taxas a termo também podem ser entendidas como a expectativa hoje de uma taxa à vista no futuro ou como taxas implícitas nas taxas à vista EXERCÍCIOS BÁSICOS 2.1 Considere uma taxa de juros de 7,50%a.a. e prazo de 7 meses. Calcule o montante final dado um montante inicial de R$50,00 sob os regimes de juros simples, juro composto na forma padrão, juro composto capitalizado semestralmente, juro composto capitalizado trimestralmente, juro composto capitalizado mensalmente, juro composto capitalizado diariamente e juro contínuo. 2.2 Compare os resultados do exercício 2.1, existe uma relação entre o valor do montante final e a frequência de capitalização, explique.

29 2.3 Considere uma taxa de juros simples de 1% a.m. Calcule a taxa de juros simples efetiva ao trimestre, ao semestre e ao ano. 2.4 Considere uma taxa de juros composta de 8,00%a.a. capitalizada mensalmente. Calcule a taxa de juros composta efetiva ao mês, ao trimestre, ao semestre e ao ano. 2.5 Considere um montante final de R$120,00, um montante inicial de R$100,00 e um prazo de 2 anos, calcule a taxa de juros contínua. 2.6 Qual regime de juros oferece a melhor aproximação ao regime de juros contínuo, explique. 2.7 Entre os regimes de juros simples, composto e contínuo um deles sempre apresenta taxas de juros efetivas e outro sempre apresenta taxas de juros nominais, identifique e explique. 2.8 Considere uma taxa de juros simples de 9,50%a.a. e prazo de 5 anos, calcule as taxas de juros equivalentes sob os regimes de juro composto com capitalização anual, semestral e sob o regime de juro contínuo. 2.9 Considere uma taxa de juros composto de 10%a.a. capitalizada semestralmente e prazo de 2 anos, calcule a taxa de juro composto equivalente com capitalização diária Quais as três convenções de contagem de dias mais utilizadas em finanças, qual delas é uma particularidade do mercado brasileiro? 2.11 Entre duas datas existem 300 dias corridos sob a convenção ACT/360, 207 dias úteis sob a convenção BUS/252 e 295 dias sob a convenção 30/360. Considere uma taxa de juros composta na forma padrão de 10%a.a. e um montante inicial de R$100,00 calcule o montante final utilizando ACT/360, BUS252 e 30/ Defina fator de desconto Calcule o fator de desconto da taxa de 11%a.a e prazo de 10 anos sob os regimes de juros simples, juro composto padrão e juro contínuo. 29

30 2.14 Considere as seguintes taxas de juros, seus prazos: 10%a.a. e prazo de 1 ano, 12%a.a. e prazo de 2 anos e 13%a.a. e prazo de 3 anos. Calcule a taxa de juros acumulada entre hoje e 6 anos no futuro sob os regimes de juro simples, juro composto na forma padrão e juro contínuo Defina taxa de juros à vista e taxa de juros a termo, desenhe um diagrama explicativo Calcule a taxa a termo entre os períodos de 1 ano e 3 anos no exercício 2.15 sob os regimes de juros simples, composto na forma padrão e contínuo Quando acumulamos uma taxa de juros à vista e uma taxa de juros a termo o que obtemos? 2.18 Considere as seguintes taxas de juros: taxa de juros à vista de 10%a.a. e prazo de 1 ano, taxa de juros a termo de 12,75%a.a. válida entre 1 ano e 2 anos. Calcule a taxa de juros à vista de 2 anos, sob os regimes de juros simples, juro composto e juro contínuo EXERCÍCIOS AVANÇADOS 2.19 Um produto bancário hipotético conhecido como Certificado de Juros sobre Juros remunera o investidor com juros simples de 2%a.m. Pelas características do produto os juros ao final de cada mês são calculados sobre o valor inicial aplicado corrigido pelos juros até o período imediatamente anterior, o prazo do produto é de 3 meses. Calcule o valor do investimento ao final de cada período e o valor final resgatado pelo investidor que aplicou R$100,00 nesse produto Desenhe um gráfico com montante final no eixo vertical e prazos no eixo horizontal, compare a evolução dos montantes finais sob os regimes de juros simples, juro composto na forma padrão e juro contínuo, identifique no seu gráfico os prazos de 6 meses, 1 ano e 2 anos Um investidor tem três opções de investimento e duas opções de empréstimo a sua disposição em um banco, todas para o prazo de 6 meses. A primeira opção de investimento é uma aplicação que paga juros simples de 10%a.a, a segunda paga juros compostos de 10%a.a e a terceira paga juros contínuos de 10%a.a. Entre as opções de empréstimo,

31 a primeira custa juro simples de 15%a.a e a segunda juros compostos capitalizados anualmente de 15%a.a. Qual a melhor opção de investimento e qual a melhor opção de empréstimo Um banco A vende para seus clientes um produto que paga juros simples de 15%a.a pelo prazo de 2 anos. O banco B lançou um produto que paga juros contínuos e está fazendo bastante sucesso. O banco A também deseja lançar um produto que paga juros contínuos, contudo o banco deseja que a taxa seja equivalente a do produto que paga juros simples, calcule essa taxa Um banco oferece a seus clientes um CDB-DI como opção de investimento. O CDB-DI é um título que paga a taxa de juros DI acumulada entre a data de contratação e a data de resgate. A taxa de juros DI é uma taxa composta na forma padrão que é divulgada diariamente. Calcule a taxa de juros acumulada e o valor do investimento de um cliente que comprou R$10.000,00 em CDB-DI 5 dias atrás, utilize a tabela abaixo com as taxas DI divulgadas em cada um dos 5 dias. Taxa DI Dia a.a 1 7,10% 2 7,11% 3 7,13% 4 7,15% 5 6,90% 2.25 Um banco oferece a seus clientes duas opções de aplicação, uma delas é um título que paga uma taxa de juros composta capitalizada anualmente de 10%a.a., a aplicação é feita à vista e tem prazo de 2 anos. Outra aplicação é um título que paga uma taxa de juros composta capitalizada anualmente de 13%a.a., a aplicação é também feita à vista e tem prazo de 5 anos. O banco deseja lançar um novo título cuja a aplicação será feita em 2 anos a partir da data de contratação, tenha prazo de 3 anos e taxa de juro composta com capitalização anual. O banco também deseja que o cliente seja indiferente entre aplicar nos dois produtos já existentes ou no novo lançamento, calcule a taxa do novo produto. 31