Derivativos - MFEE Monitoria do dia 26/10/ Monitor: Rafael Ferreira

Transcrição

1 Derivativos - MFEE Monitoria do dia 26/10/ Monitor: Rafael Ferreira Questão 1 (3.5, Hull 5th ed.) Explain carefully why the futures price of gold can be calculated from its spot price and other observable variables whereas the futures price of copper cannot. Como o ouro é um ativo de investimento, se o preço futuro do ouro está muito alto, podemos contar com os investidores para elevar suas posições de ouro no mercado spot e vender ouro no mercado futuro. Analogamente, se o preço futuro estiver muito baixo, os investidores tenderão a reduzir suas posições em ouro e a entrar comprado no mercado futuro. O cobre, no entanto, não é um ativo de investimento, mas de consumo. Logo, se o preço do cobre estiver muito baixo, a estratégia de vender cobre no mercado spot e comprar no mercado futuro não é comumente usada por quem possui cobre. Portanto, há um limite superior para o seu preço, mas não um limite inferior. Questão 2 (3.11, Hull 5th ed.) A one-year long forward contract on a nondividend-paying stock is entered into when the stock price is $40 and the risk-free rate of interest is 10% per annum with continuous compounding. a) What are the forward price and the initial value of the forward contract? b) Six months later, the price of the stock is $45 and the risk-free rate is still 10%. What are the forward price and the value of forward contract? O preço a termo (forward price) é calculado usando um argumento de ausência de arbitragem. Denote por F 0 o preço a termo da ação. Se F 0 > 40e 0,1 1, então um investidor poderia tomar $40 emprestado, comprar a ação e entrar na ponta vendida do contrato a termo. Depois de um ano, o investidor teria que pagar 40e 0,1 = $44, 21 referente ao empréstimo, mas receberia F 0 > 44, 21, obtendo lucro da operação. Se, por outro lado, F 0 < 40e 0,1 1, o investidor poderia entrar na ponta comprada do contrato a termo e vender ações, investindo o valor da venda das ações a 10% ao ano. Depois de um ano, ele teria 40e 0,1 = $44, 21 > F 0. Pagaria, então, o investidor pagaria F 0 e zeraria a sua posição, obtendo um lucro positivo. Portanto, se não há oportunidades de arbitragem, o preço a termo da ação deve ser F 0 = 40e 0,1 = $44, 21. O valor inicial de todo contrato a termo é zero, já que o seu preço de entrega é igual ao preço a termo vigente. 1 Por falta de tempo, as questões 19 e 20 não foram feitas na monitoria, mas decidi colocar suas respostas nesse arquivo, para facilitar o estudo. 1

2 Depois de seis meses, o preço a termo será: F 0 = S 0 e rt = 45e 0,1 0,5 = $47, 31 O valor do contrato a termo, que denotamos por f, é o valor presente da diferença entre o preço a termo e o preço de entrega do contrato. Logo, temos que f = (F 0 K)e rt = (47, 31 44, 21)e 0,1 0,5 = $2, 95 Questão 3 (3.12, Hull 5th ed.) The risk-free rate of interest is 7% per annum with continuous compounding, and the dividend yield on a stock index is 3, 2% per annum. The current value of the index is 150. What is the six month futures price? De modo geral, um índice é composto por diversas ações, que pagam dividendos em diferentes períodos do tempo. Como aproximação, no entanto, consideramos como se fosse um ativo pagando um dividend yield continuamente capitalizado. Dessa forma, desenvolvendo um argumento de ausência de arbitragem, semelhante ao da questão anterior, temos que: De fato, suponha que F 0 S 0 e (r q)t : F 0 = S 0 e (r q)t (1) Se F 0 > S 0 e (r q)t, pode-se obter um lucro por arbitragem vendendo contratos futuros de índice e tomando dinheiro emprestado à taxa livre de risco para comprar as ações no mercado spot. Ao fim do período, obtémse um lucro de F 0 S 0 e r q T. Se F 0 < S 0 e (r q)t, pode-se obter um lucro por arbitragem comprando contratos futuros de índice, vendendo as subjacentes no mercado spot e aplicando esse valor à taxa livre de risco. Ao fim do período, obtém-se um lucro de S 0 e r q T F 0. Portanto,se não há oportunidades de arbitragem, a equação (1) deve valer. Substituindo os valores da questão na equação, encontramos o preço futuro para seis meses: F 0 = 150e (0,07 0,032) 0,5 = 152, 88 Questão 4 (3.14, Hull 5th ed.) Suppose that the risk-free interest rate is 10% per annum with continuous compounding and that the dividend yield on a stock index is 4% per annum. The index is standing at 400, and the futures price for a contract deliverable in four months is 405. What arbitrage opportunities does this create? 2

3 O preço futuro teórico é dado por: F 0 = S 0 e (r q)t = 400e (0,1 0,04) 1 3 = 408, 08 O preço futuro teórico é maior que o preço futuro efetivamente negociado. Assim é possível realizar uma estratégia de arbitragem bem-sucedida ao entrar comprado em futuros do índice e vender as ações subjacentes ao índice. Questão 5 (Hull, th ed.) A bank offers a corporate client a choice between borrowing cash and gold at 11% and 2%, respectively, per annum, with annual compounding. (If gold is borrowed, interest must be repaid in gold. Thus, 100 ounces borrowed today would require 102 ounces to be repaid in 1 year.) The risk-free interest rate and the storage costs are 9.25% and 0.5%, respectively, per annum, with continuous compounding. Discuss whether the rate of interest on the gold loan is too high or too low in relation to the rate of interest on the cash loan. The interest rates on the two loans are expressed with annual compounding. The risk-free interest rate and storage costs are expressed with continuous compounding. Assume that no income is earned on gold. Suponha que o preço do ouro está em $250 por onça e que o cliente corporativo deseja tomar emprestado $ O cliente tem duas opções: 1. tomar o valor emprestado da maneira usual, e depois pagar , 11 = $ ; 2. tomar onças de ouro emprestado, e depois pagar , 02 = Para commodities com custo de estocagem, o preço a termo é dado pela expressão: F 0 = S 0 e (r+u)t em que u é o custo de estocagem. Logo, substituindo os valores r = 0, 0925 e u = 0, 005, chegamos ao valor do preço a termo: F 0 = 250e (0,005+0,0925) 1 = 275, 603 Ao comprar onças de ouro no mercado a termo, o cliente corporativo pode se assegurar de que custo do pagamento do empréstimo em ouro é dado por: , 603 = $281, 115 Logo, o empréstimo em dinheiro é melhor que o empréstimo em ouro: 281, 115 > 277, 500 3

4 Questão 6 (3.24, Hull 4th ed.) A company has a $10 million portfolio with beta of 1,2. The S&P is currently 900 and one futures contract is on 250 times the index. How can the company use futures contracts on the S& P to completely hedge its risk over the next six months? What position should it take to reduce the beta of the portfolio? A equação principal do CAPM nos dá uma relação entre o excesso de retorno de um portfólio e o excesso de retorno do mercado. Essa relação é descrita pelo beta de um portfólio, o coeficiente da regressão linear: E[r p ] = r f + β(e[r m ] r f ) Portanto, se eu vendo N unidades do portfólio de mercado, cada uma com valor de A, e o portfólio de mercado sobe y%, eu perco y% na posição vendida e ganho β y% no valor do meu portfólio, P. A idéia do hedge é igualar os ganhos às perdas: N A y 100 = P β y 100 N = β P A Essa operação de hedge equivale a tornar o portfólio imune aos movimentos de mercado, isto é, tornar o β igual a zero. No entanto, poderíamos estar interessados em tornar o β do portfólio igual a β. Nesse caso, bastaria vender N contratos, em que: N = (β β ) P A Se N < 0, então devem ser comprados N contratos. Para valores do enunciado da questão, temos: N = 1, = 53, 3 Logo, deveríamos vender 53 contratos futuros. Se estivermos interessados em baixar o β do portfólio para um β, precisamos vender: N(β ) = (1, 2 β ) = 53, 33 44, 44β Questão 7 (7.8, Hull 5th ed.) The treasurer of a corporation is trying to choose between options and forward contracts to hedge the corporation s foreign exchange risk. Discuss the relative advantages and disadvantages of each. Contrato a termo: torna pré-determinada a taxa de câmbio que incidirá sobre uma transação futura, não requer investimento inicial e elimina ao máximo a incerteza em torno da operação. Por outro lado, o resultado do hedge com contrato a termo pode ser significativamente pior que o resultado sem hedge ou 4

5 com um hedge usando opções. Opção: permite um seguro contra níveis indesejados da taxa de câmbio e dá ao seu detentor o direito de exercer ou não a operação subjacente à opção. No entanto, requer um investimento inicial em sua compra. Questão 8 (7.16, Hull th ed.) The price of a stock is $40. The price of a one-year European put option on the stock with a strike price of $30 is quoted as $7 and the price of a one-year European call option on the stock with a strike price of $50 is quoted as $5. Suppose that an investor buys 100 shares, shorts 100 call options, and buys 100 put options. Draw a diagram illustrating the investor s profit or loss varies with the stock price over the next year. How does the answer change if the investor buys 100 shares, shorts 200 call options, and buys 200 put options? Para facilitar as contas, vamos montar uma tabela ilustrando como variam lucros e perdas de um portfólio com uma ação comprada, uma put comprada e uma call vendida, à medida que muda o preço da ação subjacente. Para o portfólio pedido na questão, basta multiplicar o resultado por 100. Considere, portanto, a seguinte tabela: Lucros Preço da Ação Por Call Por Put Por Ação Total S T < 30 5 (30 S T ) 7 S T < S T < S T 40 S T 42 S T > 50 (S T 50) S T 40 8 O gráfico seguinte mostra a relação entre cada ativo e o resultado do portfólio: 5

6 Agora, vamos montar uma tabela ilustrando como variam lucros e perdas de um portfólio com uma ação comprada, duas puts compradas e duas calls vendidas, à medida que muda o preço da ação subjacente. Mais uma vez, para o portfólio pedido na questão, basta multiplicar o resultado por 100. Considere, portanto, a seguinte tabela: Lucros Preço da Ação Por Call Por Put Por Ação Total S T < (30 S T ) 14 S T S T 30 < S T < S T 40 S T 44 S T > 50 2(S T 50) S T S T O gráfico seguinte torna explícita a forma como cada ativo contribui para o resultado deste novo portfólio. Note que agora também para S T < 30 e S T > 50 o resultado do portfólio depende do valor de S T, diferentemente do portfólio anterior: Questão 9 (8.4, Hull 5th ed.) Give two reasons why the early exercise of an American call option on a non-dividend-paying stock is not optimal. The first reason should involve the time value of money. The second reason should apply even when interest rates are zero. Se o exercício da call pode ser realizado até T e o detentor exerce em t < T, terá que pagar o valor de K em t, perdendo os juros que K renderia entre t e T. 6

7 Além disso, se o detentor da call exerce a opção prematuramente, comprará a ação no período t por K < S t, em que S t é o preço da ação em t < T. Ao fim do período de exercício, a ação que ele comprou valerá S T, que pode ser maior ou menor que o preço de exercício K. Se, contudo, o detentor só exerce a call em T, ele pode comprar a ação por min{s T, K}. Portanto, ao exercer prematuramente a opção o detentor perde o seguro que ela representa, entre t e T. Esse argumento é válido mesmo quando as taxas de juros são nulas. Questão 10 (8.9, Hull 5th ed.) What is a lower bound for the price of a two-month European put option on a non-dividend-paying stock when the stock price is $58, the strike price is $65 and the risk-free interest rate is 5% per annum? Vamos resolver esse problema primeiro para o caso genérico, em que temos uma opção de venda europeia com preço p, vencimento em T, preço de exercício igual a K, taxa de juros livre de risco igual a r, preço atual da ação subjacente igual a S 0, e preço da ação subjacente no vencimento da opção igual a S T. Considere, então, os seguintes portfólios: 1. Portfólio 1: uma opção de venda europeia, e uma ação. 2. Portfólio 2: dinheiro no valor de Ke rt Suponha que o valor em dinheiro é investido à taxa livre de risco. Portanto, no período T teremos (Ke rt ) e rt = K. Se, ao fim desse período, o preço da ação for maior que K, então a opção de venda não valerá nada, e o Portfólio 1 valerá apenas o valor da ação, S T ; se, no entanto, S T for menor que K, o Portfólio 1 valerá o preço da opção de venda mais o preço da ação, i.e., (K S T ) + S T = K. Em suma, o Portfólio 1 valerá: { ST, se S max{s T, K} = T > K K, se S T < K Portanto, como o Portfólio 1 tem um payoff em dois meses pelo menos tão bom quanto o payoff do Portfólio 2, na ausência de oportunidades de arbitragem seu valor hoje não pode ser menor que o preço do Portfólio 2: p + S 0 Ke rt p Ke rt S 0 Como uma opção também não tem valor negativo, o limite inferior para o preço da opção de venda europeia é: p max{ke rt S 0 ; 0} Para os valores desse exercício, temos o seguinte limite inferior para o preço da opção de venda: p max{65e 0,05 1/6 58, 0} = max{6, 46; 0} = 6, 46 7

8 Questão 11 (8.10, Hull 5th ed.) A four-month European call option on a dividend-paying stock is currently selling for $5. The stock price is $64, the strike price is $60, and a dividend of $0, 80 is expected in one month. The riskfree interest rate is 12% per annum for all maturities. What opportunities are there for an arbitrageur? Vamos desenvolver um racicínio semelhante ao da questão anterior. Considere a mesma notação da questão anterior, sendo que c é o preço da call e D é o valor presente dos dividendos da ação. Podemos formar os seguintes portfólios: 1. Portfólio 1: uma call europeia e D + Ke rt em dinheiro, investido à taxa de juros livre de risco. 2. Portfólio 2: uma ação. Ao final do período T, que é quando vence a call, o Portfólio 2 valerá S T. Já o Portfólio 1, se S T > K, valerá: (S T K) + (D + Ke rt )e rt = S T K + De rt + K = S T + De rt Caso S T < K, a call não valerá nada, e o portfólio valerá: (D + Ke rt )e rt = De rt + K Note que em ambos os casos, o Portfólio vale mais que o Portfólio 2. Logo, seu valor hoje não pode ser inferior ao valor do Portfólio 2: c + D + Ke rt S T c S T D Ke rt Como o valor de uma call é sempre não-negativo, tempos: c max{s T D Ke rt, 0} Para os valores desse exercício, temos primeiro que calcular o valor presente dos dividendos: D = 0, 08e 0,12 1/12 = 0, 08e 0,01 = 0, 0792 Tem-se, então, o seguinte limite inferior para o preço da call: c max{64 0, ,12 1/3, 0} = max{5, 56; 0} = 5, 56 Note, contudo, que a opção está sendo vendida a $5, abaixo do limite inferior. Abre-se, então, a seguinte oportunidade de arbitragem: 1. Compra da opção; 2. Venda da ação, investindo à taxa livre de risco. 8

9 Se o preço da ação cair abaixo de K, o portfólio valerá, em valor presente, pelo menos: c + S 0 D Ke rt = 5 + (64 0, 79 57, 65) = 0, 56 Se o preço da ação ficar acima de K, o portfólio valerá, em valor presente, exatamente: c+(s T K)e rt +S 0 D S T e rt = c+s 0 D Ke rt = 5+(64 0, 79 57, 65) = 0, 56 Portanto, não importa o que aconteça com o valor da ação, a operação sempre apresentará um lucro positivo. Questão 13 (8.22, Hull 5th ed. Prova 2008) Suppose that c 1, c 2, and c 3 are the prices of European call options with strike prices K 1, K 2 and K 3, respectively, where K 3 > K 2 > K 1 and K 3 K 2 = K 2 K 1. All options have the same maturity. Show that: c 2 0.5(c 1 + c 3 ) (Hint: Consider a portfolio that is long one option with strike price K 1, long one option with strike price K 3, and short two options with strike price K 2.) Vamos seguir a sugestão do enunciado da questão, e montar um portfólio formado a partir da compra de uma opção de compra com strike K 1 e uma opção de compra com strike K 3, e da venda de uma opção de compra com strike K 2, todas europeias. Denotemos por z T (S T ) o valor do nosso portfólio. Temos então que: Se S T K 1, então nenhuma das opções tem valor, e o portfólio vale: z T (S T ) = 0 Se K 1 < S T < K 2, então apenas a opção 1 tem valor, e o portfólio vale: z T (S T ) = S T K 1 > 0 Se K 2 < S T < K 3, então as opções 1 e 2 têm valor, e o portfólio vale: z T (S T ) = S T K 1 2(S T K 2 ) = K 2 S T + (K 2 K 1 ) 0 Se K 3 < S T, então todas as opções têm valor, e o portfólio vale: z T (S T ) = S T K 1 +S T K 3 2(S T K 2 ) = (K 3 K 2 )+(K 2 K 1 ) = 0 9

10 Portanto, para qualquer valor da ação subjacente, o portfólio tem valor nãonegativo. Portanto, na ausência de oportunidades de arbitragem, seu valor hoje deve ser também não-negativo: z 0 = c 1 + c 3 2c 2 0 c (c 1 + c 3 ) Questão 18 (10.1, Hull 5th ed.) A stock price is currently $40. It is known that at the end of one month it will be either $42 or $38. The risk-free interest rate is 8% per annum with continuous compounding. What is the value of a one-month European call option with a strike price of $39? Antes de resolver essa questão, façamos o caso geral, que facilitará a resolução desta e das questões seguintes. Considere uma opção de compra de uma ação cujo preço hoje é S 0. O preço da call é f. Daqui a T períodos, a ação irá valer us 0 ou ds 0, d < 1 < u, e a opção valerá f u ou f d, respectivamente. Temos, portanto, a seguinte árvore para os valores dos ativos: Considere, portanto, o portfólio formado pela compra de ações e pela venda de uma opção. O valor desse portfólio hoje é S 0 f, e em T será us 0 f u se o preço da ação subir, ou ds 0 f d se o preço da ação cair. A ideia por trás do apreçamento pelo modelo binomial é encontrar o valor de que torna esse portfólio livre de risco. Isto é, quantas ações eu preciso comprar para que o valor do portfólio se o preço da ação subir seja igual ao valor do portfólio se o preço da ação cair? us 0 f u = ds 0 f d S 0 (u d) = f u f d = f u f d S 0 (u d) Portanto, se comprarmos a quantidade de ações acima determinada por, teremos um portfólio livre de risco que, portanto, deve ter rendimento igual à taxa livre de risco. S 0 f = (us 0 f u )e rt Logo, o preço da opção deve ser: f = S 0 (us 0 f u )e rt (2) 10

11 Substituindo o na equação (2), temos: Note que: Logo, segue que: em que: f = S 0 (1 ue rt ) + f u e rt ( ) fu f d = S 0 (1 ue rt ) + f u e rt S 0 (u d) = f u(1 ue rt ) f d (1 ue rt ) + f u e rt (u d) u d = f u(1 de rt ) f d (1 ue rt ) u d = e rt [ f u ( e rt d u d 1 ) ( e rt )] u f d u d ( e rt ) d = u d ert + d = ert u u d u d u d f = e rt [pf u + (1 p)f d ] (3) p = ert d u d (4) Voltemos, então, à resolução desta questão. Sabemos que o payoff da opção segue a seguinte árvore: em que, para cada nó, o valor de cima dá o preço da ação subjacente, e o valor de baixo dá o preço da opção. Caso o preço da ação suba até $42, a call irá valer $3; caso o preço da ação caia até $38, a opção não valerá nada. Considere um portfólio formado pela compra de ações e pela venda de uma opção. Caso o preço da ação suba, esse portfólio irá valer 42 3; caso o preço da ação caia, esse portfólio irá valer 38. Qual a quantidade de ações que torna o valor do portfólio igual em ambos os casos? 42 3 = 38 4 = 3 = 3 = 0,

12 Portanto, se montarmos um portfólio comprando 0, 75 ação e vendendo uma opção, esse portfólio terá o mesmo valor ao final de um mês, não importando se o preço da ação subiu ou caiu. De fato, note que: 42 3 = 42 0, 75 3 = 31, 5 3 = 28, 5 38 = 38 0, 75 = 28, 5 Montamos, então, um portfólio livre de risco e, na ausência de oportunidades de arbitragem, esse portfólio deve render o mesmo que a taxa de juros livre de risco. Logo, trazendo o valor do portfólio a valor presente, temos que: Portanto, a opção deve valer $1, f = 28, 5 e 0,08 1/12 = $1, 69 Questão 19 (10.11, Hull 5th ed.) A stock price is currently $50. Over each of the next two three-month periods it is expected to go up by 6% or down by 5%. The risk-free interest rate is 5% per annum with continuous compounding. What is the value of a six-month European call option with a strike price of $51? Nessa questão, basta desenvolver argumento semelhante ao da questão anterior, atentos apenas ao fato de que agora temos dois períodos. O payoff da opção de compra segue a seguinte árvore: em que, para cada nó, o valor de cima dá o preço da ação subjacente, e o valor de baixo dá o preço da opção. O preço da opção no primeiro período é dado por f 0, e o preço no segundo período, caso a ação tenha subido de preço, é dado por f 1. Começamos resolvendo a questão de trás para frente, calculando primeiro o valor de f 1. Para tal, basta calcular a probabilidade neutra ao risco, que derivamos na equação (4) da questão anterior: p = ert d u d = e0,05 0,25 0, 95 = 0, 569 1, 06 0, 95 Substituindo a probabilidade neutra ao risco na equação (3) da questão anterior, chegamos ao preço da opção no segundo período: f = e 0,05 0,25 [0, 569 5, 18 + (1 0, 569) 0] = $2, 91 12

13 Repetindo o mesmo processo para o preço da opção no primeiro período, chegamos a: f = e 0,05 0,25 [0, 569 2, 91 + (1 0, 569) 0] = $1, 635 Portanto, o preço da call européia é $1, 635. Questão 20 (10.14, Hull 5th ed.) A stock price is currently $50. It is known that at the end of one month it will be either $60 or $42. The risk-free interest rate is 12% per annum with continuous compounding. Calculate the value of a six-month European call option with an exercise price of $48. Verify that noarbitrage arguments and risk-neutral valuation arguments give the same answer. Como a opção tem preço de exercício de $48, a árvore de payoffs será: Comecemos pelo argumento de não-arbitragem, montando o portfólio livre de risco, a partir da venda de uma call e da compra de ações. Se a ação subir de preço, o portfólio valerá 60 12; se a ação cair de preço, o portfólio valerá 42. Para que ambos os valores sejam iguais, precisamos ter: = 42 = 12 = 0, Se comprarmos 0, 667 ação e vendermos uma opção temos um portfólio livre de risco, que deve, por não-arbitragem, ter um rendimento igual à taxa livre de risco: ( ) f = 3 42 e 0,12 1/12 f = 2 3 (50 42e 0,01 ) = $5, 612 Logo, se não há oportunidades de arbitragem, o preço da opção deve ser f = $5, 612. Agora, vamos calcular o preço da opção pelo método da probabilidade neutra ao risco. Para calcular essa probabilidade, recorremos à equação (4), que derivamos em questão anterior: p = ert d u d = e0,01 0, 84 = 0, , 2 0, 84 Da equação (3), obtemos o preço da opção: p = e 0,01 [0, (1 0, 4724) 0] = $5, 612 Portanto, o argumento de probabilidade neutra ao risco resulta no mesmo valor para a opção que obtivemos desenvolvendo o argumento de não-arbitragem. 13