Derivativos NotasdeAula-01

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1 Derivativos NotasdeAula-01 PauloC.Coimbra-Lisboa EPGE/FGV 23deAgostode Ausência de Arbitragens e o Apreçamento de Opções Se uma carteira possuir payoffs futuros que são não positivos(não negativos) então seu payoff inicial deve ser positivo(negativo), i.e., para que não haja oportunidades de arbitragens em algum período, deve existir um custodesemontarumadeterminadacarteira. Nocasoondeospayoffsfuturossãonulosentãooseucustono período inicial deve ser idêntico a zero. Aolongo desta seçãoestaremosutilizandoahipótese dequeaexisteumataxa dejuroslivrederisco, r, queapreçaostítulosequeécontinuamentecomposta,demodoqueovalorpresentedeumativolivrederisco quepagax nadatat édadoporxe rt. Proposição1 Considere uma opção de compra sobre uma ação que pode ou não pagar dividendosantes da datadevencimentodaopção,t. Entãoovalordeumaopçãodecompra(queserádenotadoporc)ésempre inferioraopreçospotdaaçãohoje(queserádenotadopors 0 ): c S 0 Proof. Consideremos a seguinte estratégia: Emt=0: Vende-se uma opção de compra; Compra-se uma ação. Emt=T: Aopçãoéexercidaseforlucrativo; Tal estratégia irá produzir o seguinte fluxo de caixa: Compra-seumaação S 0 S T S T Total c S 0 S T >0 K>0 onde: K éopreçodeexercíciodaopçãodecompra. Logo, a estratégia montada irá gerar um payoff positivo no futuro. Então, para não existir oportunidades de arbitragem, tal estratégia deve possuir um fluxo de caixa inicial não positivo; portanto, c S 0 Aluno do Programa de Doutoramento em Economia - EPGE/FGV; Monitor da Disciplina "Derivativos", Ministrada pelo Prof. Marcelo Fernandes. pc.coimbra@gmail.com. URL: Escola de Pós Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas, Praia de Botafogo, n o 184 a192, 11 o andar. CEP: Rio de Janeiro, Brasil. 1

2 Proposição2 Considereumaopção decompra sobre uma ação que nãoirá pagar dividendos antes da data devencimentodaopção,t. Entãoomenorvalordeumaopçãodecompraédadopor: c max{0,s 0 Ke rt } Proof. Consideremos a seguinte estratégia: Emt=0: Compra-se uma ação; Toma-se emprestado o valor presente do preço de exercício da opção; Vende-se uma opção de compra. Emt=T: Aopçãoéexercidaseforlucrativo; Paga-seomontanteK,referenteaoempréstimodoVPdeK. Tal estratégia irá produzir o seguinte fluxo de caixa: Compradaação S 0 S T S T EmpréstimodoVPdeK K e rt K K Total S 0 +K e rt +c S T K 0 0 Pode-se,então,notarqueemt=T ofluxodecaixaresultantedestaoperaçãoouénegativo(seaopçãode compranãoforexercida)ounulo(seaopçãodecompraforexercida). Logo,aestratégiamontada irá gerar um payoff não positivo no futuro. Então, para não existir oportunidades de arbitragem, tal estratégia deve possuir um fluxo de caixa inicial positivo; portanto, S 0 +Ke rt +c>0ouc>s 0 Ke rt Finalmente,lembremosqueemnenhumcasoépossívelqueovalordeumaopçãodecomprasejamenordo que zero. Logo, devemos ter que: c max{0,s 0 Ke rt } Exercise 1 Mostrequeseovalordeumaaçãofornulaentãoovalordequalqueropçãodecomprasobreesta ação também deve ser nulo. R.: ComoS 0 =0segue,daproposição1,quec 0;poroutrolado,daproposição2seguequec 0. Logoc=0. Uma consequência da proposição 2 é que em muitos casos não vale à pena exercer a opção de compra americanaantesdadatadevencimentot,oqueimplicaquenóspodemosavaliá-lacomoumaopçãoeuropéia. Um caso de particular interesse é apresentado na seguinte proposição: Proposição 3 Considere uma opção de compra americana sobre uma ação que não irá pagar dividendos antes dadatadevencimentodaopçãot. Entãonuncaéótimoexerceraopçãoantesdoseuvencimento. Proof. Suponha que o detentor da opção de compra esteja considerando a possibilidade de exercê-la antes deseu vencimento, em alguma data t <T. A única razão para se considerar tal exercício prematuro é que S T K >0,ondeS T éopreçoàvistadaaçãonotempot. Entretanto, pelaproposiçãoanteriorovalorde mercado da opção no tempo t épelo menoss T Ke r(t t), onde r é a taxa dejuros livre de risco. Dado que S T Ke r(t t) > S T K, segue-se que o detentor da opção estará melhor vendendo a opção do que exercendo-a. Desse modo, de acordo com esta proposição, muitas opções de compra americanas podem ser precificadas como se fossem opções de compra européias. 2

3 Proposição 4 Considere uma opção de compra sobre uma ação que paga dividendos(considere D como sendo ovalorpresentedofluxodedividendospago)antesnadatadevencimentot. Entãoomenorvalordaopção decompraédadopor: c max{0,s 0 D Ke rt } Proof. Aprovadestaproposiçãoémuitosimilaràprovadaproposição1. Compradaação S 0 S T +D S T +D Empréstimo do VP de D D D D EmpréstimodoVPdeK K e rt K K Total S 0 +D+K e rt +c S T K 0 0 Proposição 5 Considere uma opção de compra americana sobre uma ação que irá pagar dividendos até a data devencimentot. Entãoovalordaopçãodecompraamericana(quedenotaremosporC)édadopor: C max{0,s 0 K,S 0 D K e rt } Proof. Notemos,inicialmente,quenãopodemosterqueC<S 0 Kpois,deoutromodo,bastariacomprar a opção de compra americana e exercê-la imediatamente por K. Comoovalordeumaopçãodecompraamericanaésempremaiordoqueodeumaeuropéiaequivalente, segue-se o resultado, utilizando a proposição 4. Exercise 2 Mostrequese o preço de exercício de umaopção decompra for nulo então ovalor daopção de compraamericanaoueuropéiasobreaaçãoquenãopagadividendosseráigualaovalordaação. R.: Dasproposições2e4vemquec S 0,enquantoquedaproposição1temosquec S 0. Logo,c=S 0. Exercise 3 Mostrequeovalordeumaopçãodecompradecrescecomopreçodeexercício. R.: Sejac(K)opreçodeumaopçãodecompracomofunçãodospreçosdeexercício. SuponhaqueK 1 ek 2 sãoospreçosdeexercíciodeduasopçõesdecompra sobreumamesmoativo comomesmo vencimento,tais quek 1 <K 2. Se,alémdisso,c(K 1 )<c(k 2 ),entãopode-sevenderasegundaopçãoporc(k 2 )ecomprara primeiraporc(k 1 ),realizandoumlucrodec(k 2 ) c(k 1 )>0. Seodetentordaopçãodecompravendidaexercerasuaopçãoemumdadoinstante,bastaexerceraopção comprada ao mesmo tempo, entregando-lhe o ativo subjacente assim obtido e realizando um ganho positivo K 2 K 1 >0. Casocontráriopode-semanteraopçãocompradaemmãosatéamaturidade,realizandoumganho adicional sempre positivo, o que, mais uma vez, contituiria uma possibilidade de arbitragem, contrariando a hipótese. Logo,seK 1 <K 2 entãoc(k 1 ) c(k 2 ). Proposição 6 Relação de Paridade entre Opções de Compra e Opções de Venda Considere umaação quenãoirá pagardividendosantesda data T. Suponha que existamduas opções do tipo europeu sobre esta ação, uma de compra (com preço c) e outra de venda (com preço p), ambas com a mesmadatadevencimentot,eomesmopreçodeexercício,k. Então: c+k e rt p S 0 =0 3

4 Proof. Consideremos uma carteira composta de quatro ativos: um título, uma ação, uma opção de compra sobreestaaçãoeumaopçãodevendasobreestaação. Compradeumaopçãodecompra c 0 S T K CompradeumtítulocompayoffK emt=t K e rt K K Vendadeumaopçãodevenda p (K S T ) 0 Vendaadescobertodeumaação S 0 S T S T Total c K e rt +p+s Dadoqueaestratégiapossuipayoffsfuturosquesãonulos,nãoimportandooqueaconteçacomopreçoda ação,segue-sequeofluxodecaixainicialdaestratégiadevetambémserigualazero. Portanto, c+k e rt p S 0 =0 Exercise 4 Mostrequearelaçãodeparidadeentreopçõesdecompraeopçõesdecendanocasodeumaação queirápagardividendosatéumadatadevencimentot édadapor: R.: Omitida. Análoga à Proposição 6. c+d+k e rt p S 0 =0 Uma nota: Arelaçãode paridadeentreopçõesde compraeopçõesdevenda estabelecequeopreço de umaaçãos 0,opreçodeumaopçãodecompraccompreçodeexercícioK eopreçodeumaopçãodevenda pcompreçodeexercíciok sãosimultaneamentedeterminadoscomataxadejurosr. Proposição7 Considereumaopçãodevendasobreumaaçãoquenãoirápagardividendosantesdadatade vencimentot. Entãoomenorvalordaopçãodevenda(queserádenotadoporp)édadopor: Proof. Omitida. Análoga à da proposição 1. p max{0,k e rt S 0 } Aproposição3nãopossuiasuacontraparteparaocasodeopçõesdevendaamericanas. Exercise 5 Mostre um exemplo para o qual é ótimo exercer uma opção de venda americana antes de seu vencimento. R.: Suponha que o preço de exercício seja $10 e o preço da ação seja, virtualmente, zero. Ao exercer imediatamente a opção, o investidor realiza um ganho imediato de $10. Seoinvestidoresperar,oganhodoexercíciopodesermenordoque$10,masnãopodesermaiorque $10,poisospreçosdasaçõesnãopodemsernegativos. Portanto,dadoquereceber$10agoraémelhordoquereceber$10depois,segue-sequeaopçãodeveser exercida imediatamente. Exercise 6 Mostrequeomenorvalordeumaopçãodevendasobreumaaçãoqueirápagardividendosantes dadatadevencimentot édadopor: R.: Omitida. Análogo à Proposição 4. p max{0,d+k e rt S 0 } Exercise 7 Mostrequeovalor de uma opçãodevenda americanasobre uma ação que irá pagar dividendos atéadatadevencimentot satifaz: K P max{0,k S 0,D+K e rt S 0 } R.: Omitida. decorredaproposição5edoexercício4. 4

5 2 Algumas Estratégias com Opções: Aidéiabásicadesecombinaropçõeséadetentar,simultaneamente,controlarotipoderiscoeaalavancagem dado o que se antecipa que serão os movimentos de mercado dos preços dos ativos. Eis algumas destas estratégias. 1-CallBullVerticalSpread: compradeumaopçãodecompracomumpreçodeexercíciok 1 evenda deumaoutraopçãodecompracompreçodeexercíciok 2 ecomk 2 >K 1. 2-CallBearVerticalSpread: vendadeumaopçãodecompracomumpreçodeexercíciok 1 ecompra deumaoutraopçãodecompracompreçodeexercíciok 2 ecomk 2 >K 1. 3-CallButterflySpread: éumacombinaçãodasestratégiasanterioreseéconstituídadacompradeuma opçãodecompracompreçodeexercíciok 1, compradeumaoutra opçãodecompracompreçodeexercício K 3,vendadeduasopçõesdecompracompreçodeexercícioK 2,K 3 >K 2 >K 1. Talestratégiarefleteofato dequeoinvestidornãoesperaumavolatilidadenoentornodopreçodeexercíciok 2. 4-Put Bull Vertical Spread: compradeumaopçãodevendacomumpreçodeexercíciok 1 evenda deumaoutraopçãodevendacompreçodeexercíciok 2 ecomk 2 >K 1. 5-Put Bear Vertical Spread: vendadeumaopçãodevendacomumpreçodeexercíciok 1 ecompra deumaoutraopçãodevendacompreçodeexercíciok 2 ecomk 2 >K Put Butterfly Spread: é uma combinação das estratégias anteriores e é constituída da compra de umaopçãodevendacompreçodeexercíciok 1,compradeumaoutraopçãodevendacompreçodeexercício K 3,vendadeduasopçõesdevendacompreçodeexercícioK 2,K 3 >K 2 >K 1. 7-BottonStradle: consitenacombinaçãodacompradeumaopçãodecompraecompradeumaopção devenda,ambascomomesmopreçodeexercício. 8 - Top Stradle: consite na combinação da venda de uma opção de compra e venda de uma opção de venda, ambas com o mesmo preço de exercício. 9-BottonVertical: consitenacombinaçãodacompradeumaopçãodecompracompreçodeexercício K 1 ecompradeumaopçãodevendacompreçodeexercício.k 2,comK 2 >K Top Vertical: consitenacombinaçãodavendadeumaopçãodecompracompreçodeexercíciok 1 evendadeumaopçãodevendacompreçodeexercício.k 2,comK 2 >K BottonStrangle: consitenacombinaçãodacompradeumaopçãodecompracompreçodeexercício K 1 ecompradeumaopçãodevendacompreçodeexercício.k 2,comK 2 <K Top Vertical: consitenacombinaçãodavendadeumaopçãodecompracompreçodeexercíciok 1 evendadeumaopçãodevendacompreçodeexercício.k 2,comK 2 <K 1. 5