Elementos de Análise Financeira Outros Fluxos de Caixa

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1 Elementos de Análise Financeira Outros Fluxos de Caixa Fonte: Capítulo 5 - Zentgraf (1999) Matemática Financeira Objetiva 2ª. Ed. Editoração Editora Rio de Janeiro - RJ

2 Perpetuidades Postecipadas em Progressão Geométrica P A A(1+g) A(1+g) 2 A(1+g) 3 A(1+g) 4 A(1+g) n P = A () A(1 + g) A(1 + g)2 A(1 + g)n n P = A. 1 () (1 + g) (1 + g)2 (1 + g)n n Soma de uma PG em que q = 1 + g Fonte: Zentgraf (1999) Matemática Financeira Objetiva Cap. 4

3 Perpetuidades Postecipadas em Progressão Geométrica S n n 1 q a 1 1 q P = A g = A. 1 1 g P = A, g < i i g

4 Perpetuidades Postecipadas em Progressão Geométrica Exemplo 1: quanto deverá ser depositado hoje em uma conta que rende 1,50% a.m. se daqui a um mês você pretende retirar $1.000, daqui a dois meses $1.010, daqui a três meses $1.020,10 e assim sucessivamente, em regime de perpetuidade? Solução: trata-se de uma perpetuidade postecipada em PG, onde A = 1.000; i = 1,50%a.m. e g = 1,00%. P = A i g = ,015 0,01 = ,005 = ,00

5 Perpetuidades Postecipadas em Progressão Geométrica Exemplo 2: Refaça o exemplo anterior admitindo que a primeira prestação de $1.000 seja recebida apenas em t = 5. Solução: trata-se de uma perpetuidade diferida, e o valor P anteriormente encontrado estará posicionado na data t = 4. Trazê-lo a data zero implica: P = (1 + 0,015) 4 = ,85 Obs.: a expressão para o valor presente de uma perpetuidade diferida em PG, com a primeira prestação em t = (n+1) pode ser generalizada da seguinte forma: P = A n+1 i g 1 () n

6 Perpetuidades Postecipadas em Progressão Geométrica Exemplo 3: Qual taxa de juros deverá remunerar uma aplicação financeira para que um depósito de $2.000 efetuado hoje proporcione uma retirada de $100,00 daqui a um mês, $110,00 daqui a dois meses, $121,00 daqui a três meses, e assim sucessivamente, em regime de perpetuidade? Solução: trata-se de uma perpetuidade postecipada em PG onde P = $2.000, A = $100,00 e g = 10%a.m. A partir da expressão para o valor presente P chegaremos à taxa de juros: P = A i g i = A P + g i = ,10 = 0,15 = 15,00%a. m.

7 Séries Postecipadas em PG (Finitas) A A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A = P=? P1 =? A5 A6 A P2 =?

8 Séries Postecipadas em PG (Finitas) Sendo a primeira prestação A 1, igual a um 6valor A qualquer, encontraremos P 1 : P 1 = P 2 é o valor presente de uma perpetuidade diferida. No exemplo como (n+1) = 5, P 2 pode ser definido como: Como as prestações formam uma PG A 5 = A 1 (1 + g) 4 e dado que A1 = A teremos P 2 : A i g P 2 = A 5 i g 1 () 4

9 Séries Postecipadas em PG (Finitas) P 2 = A 5 i g 1 () 4 P 2 = A (1 + g)4 i g 1 () 4 = A i g 1 + g 4 Finalmente, dado que P = P 1 P 2, chegaremos a: P = P 1 P 2 = A i g A i g 1 + g Generalizando para qualquer valor de n, e simplificando: 4 P = A i g g n

10 Séries Postecipadas em PG (Finitas) Exemplo 4: quanto deverá ser depositado hoje em uma conta que renda 1,50% a.m. se daqui a um mês você pretende retirar $1.000,00, daqui a dois meses $1.010,00, daqui a três meses $1.020,10 e assim sucessivamente, até o 12º. mês, inclusive? Solução: trata-se de uma série postecipada cm PG onde A = $ 1.000,00; i = 1,50% a.m.; g = 1,00% a.m. e n = 12 meses. P = A i g g n = ,015 0,01 1 1,01 1, P = $11.507,54

11 Determinação do VP de um DFC Genérico $500 $300 $ i = 20,00% a. a. P=? P = 300 1, , ,20 5 = 520,38 Obs.: solução na HP-12C na página 193 P = n i=1 CF i () n = CF 1 () + CF 2 () CF n () n

12 Determinação da Taxa Interna de Retorno (TIR) de um DFC Genérico Supondo no fluxo anterior que P = 500, qual a TIR? 500 = () () 5 0 = () () 5 Obs.: solução na HP-12C na página 194 VPL = 0 = CF 0 + CF 1 () + CF 2 () CF n n = 0

13 Exemplos Aplicados

14 Problemas de avaliação (Valuation) Estimadas entradas e saídas de caixa futuras de caixa para um ativo ou projeto e a taxa de juros adequada ao nível de risco do empreendimento (custo de oportunidade) determina-se o valor presente do fluxo de caixa Avaliação a Preço Justo ou Avaliação por Fluxo de Caixa Descontado Alternativa: calcular a TIR e comparar com o custo de oportunidade.

15 Matematicamente não é complicado O problema são as incertezas quanto aos fluxos de caixa futuros e à taxa adequada a ser utilizada Resultado: dificilmente dois avaliadores chegam a mesma estimativa de valor para um projeto, empresa ou ação!!

16 Modelo de Desconto de Dividendos Crescimento Nulo A ação da empresa XYZ promete o pagamento de dividendos no valor de $10,00 para o próximo ano. Admitindo que a empresa XYZ não pretenda crescer, mantendo estável o valor de seus dividendos anuais, qual deveria ser o preço justo hoje deste título se, para a sua classe de risco, o retorno esperado é de 20,00% a.a.? Solução: Se a empresa não tem prazo para encerrar as atividades; O preço justo da ação nada mais é do que o valor presente dos dividendos futuros em regime de perpetuidade; O raciocínio é válido para qualquer investidor, não sendo necessário que o mesmo fique com a ação eternamente, pois: Se em t=0 um investidor paga P 0 pelo título, em t=1 receberá o dividendo D 1 e poderá vender a ação por P 1 ; P 0 pode ser determinada a partir da expressão: P 0 = D 1 (1+i) + P 1 (1+i)

17 Modelo de Desconto de Dividendos Crescimento Nulo Solução: Admitindo que em t=1 o investidor venda a ação por P 1, que comprar receberá o dividendo D 2 e espera vendê-la por P 2 ; P 1 pode então ser determinado por: P 1 = D 2 (1+i) + P 2 (1+i) Juntando as expressões anteriores é fácil perceber que: P 0 = D 1 (1+i) + P 1 (1+i) = D 1 (1+i) + D2 (1+i) + P 2 (1+i) (1+i) = D 1 (1+i) + D 2 (1+i) 2 + P 2 (1+i) 2 Aceitando a hipótese de que a empresa não encerrará suas atividades, o processo se repete para um terceiro investidor, que repassará para um quarto e assim por diante. Como nunca haverá um preço final P n, a expressão poderá ser reescrita como: P 0 = D 1 (1+i) + D 2 (1+i) 2 + D 2 (1+i) 3 + D 4 (1+i) 4 + A expressão acima é a de uma perpetuidade

18 Modelo de Desconto de Dividendos Crescimento Nulo Solução: Voltando ao enunciado e fazendo D = A, termos A = $10,00 e i = 20,00%, encontraremos o preço justo P: P = 10,00 0,20 = 50,00 Conclusão: caso a ação esteja sendo negociada a um preço inferior a $50,00, teremos uma boa oportunidade de compra, desde que as projeções acerca dos dividendos futuros sejam consistentes!!

19 Modelo de Desconto de Dividendos Crescimento g% Também conhecido como Modelo de Gordon; A hipótese é de que os dividendos cresçam a uma taxa constante ao longo dos anos. Exemplo: suponha que a ação da empresa ABC prometa o pagamento de dividendos no valor de $10,00/ação para o próximo ano. Admitindo que haja a previsão de que a empresa venha a crescer nos próximos anos a uma taxa de 15,00% a.a. (em virtude dos projetos em que está atualmente investindo), qual deveria ser seu preço justo se, para a sua classe de risco, o retorno esperado é de 20,00% a.a.?

20 Modelo de Desconto de Dividendos Crescimento g% Solução: Temos A = $10,00; i = 20,00% e g = 15,00%; encontraremos o preço justo através de: P = A i g = 10,00 0,20 0,15 = 200,00 Conclusão: observe que comparativamente à empresa do exemplo anterior, o valor da ação da empresa ABC é superior ao de XYZ, mesmo diante de dividendos idênticos para o próximo ano. Por que?