1a Questão: a) (1,0) Interprete detalhadamente cada uma das seguintes equações do CCAPM: ~p t+1 + Y ~ (~c t+ ) (c. t )

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1 Fundação Getúlio Vargas Curso: Ciências Econômicas Disciplina: Teoria das Decisões Financeiras Professor: Marcelo Pessoa Data: /06/009 a Prova Obs: Consultas não serão permitidas. Poderá ser feita a lápis e com o uso de calculadora. a Questão: a) (,0) Interprete detalhadamente cada uma das seguintes equações do CCAPM: U 0 (c t ) p t = E t nu 0 (~c t+ ) ~p t+ + Y ~ o t+ () X U p t = E t 0 (~c t+ ) ~Y U 0 t+ (c = t ) E t ~r j;t+ r f;t+ = ( + r f;t+ ) cov t U 0 (c t+ ) U 0 (c t ) ; ~r j;t+ R.: () O lado esquerdo da equação, U 0 (c t ) p t é a perda de utilidade no período t associada com a diminuição do consumo em t para a compra de uma unidade a mais do ativo: utilidade marginal vezes o preço de uma unidade do ativo comprado. O lado direito da equação é o ganho esperado descontado de utilidade no período seguinte com o consumo de uma unidade a mais do bem devido à compra do ativo feita no período anterior: U 0 (~c t+ ) é a utilidade marginal de uma unidade adicional de consumo em t + e ~p t+ + Y ~ t+ é o consumo extra no período t + de vender uma unidade adicional do ativo após coletar os dividendos. O agente, portanto, estará maximizando utilidade aos preços p t se a perda de utilidade hoje por ter comprado o ativo for compensada pelo ganho de utilidade trazido por um consumo maior amanhã vindo da propriedade do ativo. A alocação a esses preços é tal, portanto, que o agente não pode mais melhorar sua situação amanhã sem prejudicá-la hoje e vice-versa. () O preço do ativo é o valor presente descontado dos dividendos futuros. (3) O prêmio de risco do ativo será alto quando a covariância for alta e negativa. Isso acontece quando o ativo paga muito quando o consumo é alto (baixa utilidade marginal do consumo) e pouco quando o consumo é baixo (alta utilidade marginal do consumo). Esses ativos estão impedindo o plano de suavização do consumo: eles pagam retorno alto quando não se precisa deles e paga pouco quando se mais precisa deles. Como eles não são desejáveis, têm um preço baixo e oferecem um retorno mais alto em relação ao ativo livre de risco. b) (0,5) Comente as principais semelhanças e diferenças entre os seguintes modelos de preci cação de ativos: CAPM; APT; Arrow-Debreu; CCAPM. () (3)

2 R.: Tanto no CAPM como no APT, apenas o risco sistemático é preci cado. No entanto, no APT, o risco sistemático pode ser desagregado em diversos fatores. Também no APT, ao contrário dos demais modelos, o preço encontrado não é de equilíbrio, mas de uma economia sem arbitragem. O modelo CAPM, em oposição ao AD e ao CCAPM, é de apenas dois períodos e não abarca o lado real da economia. A preci cação Arrow-Debreu, de forma semelhante ao CCAPM, inclui a possibilidade de produção, mas não é dinâmica. Apenas o CCAPM é um modelo dinâmico de preci cação. c) (,0) Suponha U (c) = ln (c) ; = 0; 98; Y ; Y = (0:5; ) ; e matriz de transição dada por: 0:6 0:4 0:4 0:6 Encontre os preços de equilíbrio do ativo nos estados e. R.: Seja U 0 (c t ) p t = E t nu 0 (~c t+ ) ~p t+ + Y ~ o t+ Basta construir o sistema de equações: 4p = 0:98 [0:6 4 (p + 0:5) + 0:4 (q + )] q = 0:98 [0:4 4 (p + 0:5) + 0:6 (q + )] resolvendo esse sistema, temos: p = ; 5; q = 49: a Questão: Suponha que, dentro de ano, você precisará de um empréstimo de R$4.000,00. Você quer pagar o empréstimo apenas dentro de 3 anos. Não há mercado para um empréstimo forward, mas existem diversos títulos zero-cupom com valor de face igual a R$000 no mercado, que podem ser comprados ou emitidos em quantidades fracionárias: Título com vencimento em ano: R$950,00 Título com vencimento em anos: R$867,00 Título com vencimento em 3 anos: R$805,00 Título com vencimento em 4 anos: R$740,00 a) (,0) Que operação você pode realizar com títulos zero-cupom, já que não não há mercado para o empréstimo? Qual o uxo de caixa dessa operação? R.: Se você precisa de um empréstimo de R$ 4.000,00 dentro de um ano, uma opção é comprar 4 títulos de maturidade. Como é um empréstimo forward, você não quer pagar por essa compra hoje, apenas ao nal de três anos. Portanto, irá nanciá-la com títulos de maturidade 3 numa quantidade tal que, em t=0, temos:

3 x 805 = 0 ) x = 4; 705 Assim, dentro de ano, seu uxo de caixa será: $ Dentro de anos, seu uxo de caixa será $ 0. Dentro de 3 anos, seu uxo de caixa será: $ -4.70,5. b) (0,5) Que taxa de juros anual você pagará por esse empréstimo? R.: A taxa de juros anual será dada por: ( + r) = 470: = :80 ) r = :80 = = 8; 634% Uma outra forma de calcular essa taxa, como taxa forward: ( + f 3 ) = ( + y 3) 3 ( + y ) = :0753 :056 = :80 ) f 3 = :80 = = 8; 634% 3a Questão: Suponha uma economia Arrow-Debreu com agentes A e B e um único bem perecível. A dotação dos agentes encontra-se no quadro abaixo: Agentes Dotação t=0 t= A B 4 3 A probabilidade do estado é /3 e a do estado é /3. O fator de desconto temporal é igual a 0,95. Há ativos Arrow-Debreu para cada estado futuro. A preferência dos agentes é representada pela seguinte função de utilidade esperada aditiva no tempo: Ck 0 + 0; 95E[ln C k ] a) (,0) Encontre os preços dos ativos Arrow-Debreu em equilíbrio competitivo e o consumo dos agentes. R.: Resolvendo o problema dos agentes, temos: q k 0@ 3

4 Com a condição de mercados em equilíbrio, X c k = X e k k k encontramos: q = 0:95 3 q = 0:95 3 q = 0:95 3 q = 0:95 3 c A c B c A c B c A + c B = 9 c A + c B = 5 c k 0 = c k 0 + q e k + q e k q c k q c k q = 0; 848; q = 0; 5333; c A = c B = 4; 5; c A = c B = ; 5; c A 0 = 8; 80; c B 0 = 3; 978: b) (0,5) O preço de um ativo complexo que paga 3 no estado e 8 no estado é R$ 5,37. De acordo com a preci cação Arrow-Debreu, esse ativo está caro ou barato? Explique. R.: O preço desse ativo de acordo com a preci cação AD é o mesmo preço de uma carteira formada por 3 ativos AD que pagam no estado e 8 ativos AD que pagam no estado. Portanto, seu preço deve ser: 30:848+80:5333 = ; 87. Assim, o ativo está caro. 4a Questão Suponha duas carteiras bem diversi cadas A e B com retornos esperados iguais a % e a 9% e betas iguais a, e a 0,8 respectivamente. O APT é válido e há apenas um fator macroeconômico afetando os retornos. a) (,0) Qual a relação beta-retorno esperado nessa economia? R.: De acordo com o APT, devemos ter: E(r) = r f + [E(r ) r f ] : Substituindo os retornos e os betas na relação beta retorno esperado, obtemos duas equações: 4

5 0; = r f + ; P R 0; 09 = r f + 0; 8P R então, e 0; 03 = 0; 4P R ) P R = 0; 03 0; 4 = 0; 075 r f = 0; ; 0; 075 = 0; 03: Assim, a relação beta-retorno esperado é dada por: E(r) = 0:03 + 0:075 b) (0,5) Agora, usando o resultado da questão acima, você pretende decidir se compra ou não uma ação C, cujo beta no fator é igual a 0,8. Você espera que esta ação pague 5 de dividendos e tenha preço igual a 05 no próximo ano. Hoje, esta ação vale 00. Você compraria essa ação? Explique. R.: Temos, de acordo com o APT e a relação beta-retorno esperado para essa economia: E(r C ) = 0:03 + 0:075 0:8 = 9% Agora, seu retorno esperado observado é: E(r) = = 0% 00 Como o retorno esperado observado é maior que o retorno esperado justo de acordo com o APT, compraria a ação. 5a Questão: Suponha CAPM válido e duas ações A e B com retornos esperados iguais a % e a 4% respectivamente. O beta de A é 0,8 e o de B é,5. A taxa livre de risco é 6% e o retorno do IBOVESPA é %. O desvio-padrão de A é 0% e o de B é %. a) (,0) Se você já tiver uma carteira bem-diversi cada, escolheria uma das duas ações ou compraria as duas? Se fosse escolher apenas uma, qual seria? Explique. R.: Temos: A = Er a [r f + a (Er m r f )] = 0: [0:06 + 0:8 (0: 0:06)] = 0:% 5

6 e b = 0:4 [0:06 + :5 (0: 0:06)] = 0:% Assim, compraria a ação A e caria vendido na ação B. b) (0,5) Se sua carteira fosse composta apenas de títulos livre de risco e você pudesse comprar somente uma dessas duas ações, qual seria a escolhida? Explique. R.:Nesse caso, compraria a ação que colocasse minha carteira (ação + ativo livre de risco) na reta com maior índice de Sharpe, dado que as carteiras dessa reta dominariam todas as outras em média-variância. Assim, como: compraria a ação B. IS a = IS b = 0: :06 = 0:5 0: 0:4 :06 = 0:73 0: 6a Questão: Suponha uma economia com três fundos mútuos: um fundo de ações, E, com retorno esperado e desvio-padrão iguais a 4% e a 36%; um fundo de títulos de longo prazo, D, com retorno esperado e desvio-padrão iguais a 5% e a 8%; e um fundo de títulos de curto prazo, F, com retorno esperado igual a 8% e volatilidade zero. A correlação entre o fundo de ações e o fundo de títulos de longo prazo é igual a 0,. a) (0,5) Suponha que o retorno esperado da carteira arriscada ótima seja 8,4%. Qual o desvio-padrão dessa carteira? R.: O retorno esperado é igual a: Er A = w 0:4 + ( w) 0:5 = 8; 4% O desvio-padrão é igual a: ) w = 0:38 A = 0:38 0:36 + 0:6 0:8 + 0:38 0:6 0:36 0:8 0: = = 9; 3% b) (,0) Um investidor quer aplicar R$.000,00 numa carteira que possua retorno esperado igual a 30%. O que você indicaria? Diga em que ativos ele deve aplicar e quanto precisaria investir nesses ativos. R.: Indicaria uma carteira na LAC, pois estas são as carteiras e cientes. Assim, temos: 6

7 Er c = r f + IS c ) 0:3 = 0:08 + ) w = ; 3 0:84 0:08 0:93 w 0:93 Então, ele deve tomar emprestado ( :3) 000 = R$ :; 3 à taxa livre de risco e aplicar :3 0: = R$ 80; 9 em ações e :3 0:6 000 = R$ :309 em títulos de longo prazo. 7