Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV) Análise II Professor: Rubens Penha Cysne

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1 Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getulio Vargas (EPGE/FGV) Análise II Professor: Rubens Penha Cysne Lista de Exercícios 5 (Controle Ótimo no Caso Discreto e Programação Dinâmica (PD)) Postada Dias 30/31 de Maio Data de Entrega: Segunda Feira dia 9 de Junho de 2008, em sala de aula PARTE A Caso Determinístico A1- Considere o problema: max fu sg 1 t=0 bt r(x t ; u t ) onde b 2 (0; 1); sujeito a x t+1 = g(x t ; u t ): a) Suponha que x t+1 = g(x t ; u t ) = z(u t ) (1) z 0 > 0 e que r(:; :) é uma função côncava. Escreva a equação de Euler associada ao problema. b) Seja h(:) a função política e V (:) a função valor, ambas como de nidas em sala. Escreva a equação de Bellman associada a este problema usando h e V em função apenas da variável estado x. c) Escreva a condição de primeira ordem do problema: onde ~x = g(x; u): max(r(x; u) + bv (~x)) u d) Assuma que a função política h(:) seja diferenciável. Dada a função valor V (x) que você escreveu no item (b), calcule V 0 (x): 1

2 e) Suponha novamente que (1) seja válida. Mostre que neste caso tem-se simplesmente V 0 (x) = r 1 (x; h(x)) (Sugestão: utilize os resultados dos itens (c) e (d)). f) Suponha novamente que (1) seja válida. Mostre como, neste caso, a equação de Euler escrita por você no item (a) pode também ser obtida com o método de Bellman. A2) Considere o problema de Ramsey: sujeito a max fc s;k sg 1 t=0 bt u(c t ) c t + k t+1 = f(k t ) 1- Resolva este problema usando equações de Euler para obter: 2- Obtenha (2) usando o método de Bellman. 1 = b u0 (c t+1 ) u 0 (c t ) f 0 (k t+1 ) (2) PARTE B Caso Estocástico Todos os exercícios até aqui versaram sobre programação dinâmica determinística. Abordaremos agora o caso estocástico. B1- Considere o problema: max E 0 fu sg 1 t=0 bt r(x t ; u t ) onde b 2 (0; 1); sujeito a x t+1 = g(x t ; u t ; e t+1 ); x 0 conhecido e onde e t representa uma sequência de choques iid com função distribuição acumulada F e : O choque e t+1 se dá após a escolha de u no tempo t. a) Escreve a equação de Bellman associada ao problema usando explicitamente a distribuição F. 2

3 b) Ache a condição necessária de primeira ordem do problema: max (r(x; u) + be xv (~x)) u onde ~x = g(x; u; ~e): assumindo que o se possa intercambiar a diferenciação com o operador E. d) Calcule V 0 (x): e) Suponha que a função x t+1 = g(x t ; u t ; e t+1 ) possa se escrever como x t+1 = g(u t ; e t+1 ): Mostre que neste caso dos dois itens acima obtém-se a equação de Euler para o caso estocástico: r 2 (x; u) + be x (r 1 (x; u)g 2 (u; ~e) = 0 B2*- ) Considere o problema de Ramsey estocástico: sujeito a max E 0 fc s;k sg 1 t=0 bt u(c t ) c t + k t+1 = f(k t ) Utilize o método de Bellman para obter: 1 = be t u 0 (c t+1 ) u 0 (c t ) f 0 (k t+1 ) Parte C Aplicação de Programação Dinâmica a "Search" C.1* - Consider an economy populated by a continuum of workers. This economy can be imagined as a small economy in which all workers are contracted by foreign rms. For 0 < D < 1; consider the measurable space (; F; M) and, in this space, the measure m w induced by the wage-o er function w:! [0; D]: In the induced space [0; D]; B [0;D] ; m w ; denote by F w (t) the distribution function that (m w a:e: -uniquely) determines the measure m w : F w (k) := m w ([w k]). F w (:) is absolutely continuous in [0; D] with Fw(:) 0 = f w (:) (m w a.e.). 3

4 The analysis of the job search can be made as a function of just two states regarding the consumer s optimization problem: call it state w" and state 0": State w corresponds to a job o er of w at hand, and state 0 to no job o er. In state w the worker can accept or turn down the o er. If he (she) accepts it, by assumption he stays employed with that wage until he is laid o, which can happen, in each period, with probability (the "separation probability"): If he does not accept the o er or if he gets no o er, he remains in state 0: Being in state zero, the only thing he can do is to wait again for a job o er in the next period, which happens with probability 1 (the "job-o er nding rate"): By assumption, 0 < < 1 (3) 0 < 1 The job o ers are independent and drawn according to the measure m w ; which is supposed to be known by all workers. Consumers maximize the expected present value of their consumption:! 1X E t c t ; 0 < < 1 t=0 With v(w) stating for the value function, and A, R; respectively, for "accept" and "reject", the recursive version of the consumer s problem is given by the maximization of: v(w) = max fw + [(1 )v(w) + v(0)] ; v(0)g (4) A,R a) Write the expression for v(0). b) Let w be the value of w in (4) which makes w+ [(1 )v(w) + v(0)] = v(0): Show that if = 0 and for A = [ w; D]: Z w = (t w)df w (t) (5) 1 (1 ) [ w;d] c) Continue assuming = 0 in this item and in the following item. At any xed point of time, the fraction of people earning wages in the range s, 4

5 s + ds has an invariant cross-sectional (mixed) measure trivially determined by: 8 >< +m w(a) if s = 0 f p (s)ds = 0 if 0 < s < w (6) >: df w(s) +m w(a) if w s < D d) Show that the cross sectional average wage of all workers (employed and unemployed) in the economy is given by: Z tdf w (t) s A = (7) + m w (A) [ w;d] where w is implicitly determined by (5). 5