FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO

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1 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO RENATO DE VITA ARBITRAGEM ESTATÍSTICA COM OPÇÕES UTILIZANDO MODELO DE VOLATILIDADE INCERTA E HEDGING ESTÁTICO SÃO PAULO 014

2 RENATO DE VITA ARBITRAGEM ESTATÍSTICA COM OPÇÕES UTILIZANDO MODELO DE VOLATILIDADE INCERTA E HEDGING ESTÁTICO Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia da Fundação Getúlio Vargas/EESP, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia, linha de Finanças Quantitativas. Orientador: Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto SÃO PAULO 014

3 De Vita, Renato. Arbitragem estatística com opções utilizando modelo de volatilidade incerta e hedging estático / Renato De Vita f. Orientador: Afonso de Campos Pinto Dissertação (MPFE) - Escola de Economia de São Paulo. 1. Arbitragem.. Hedging (Finanças). 3. Mercado de opções. 4. Investimentos. 5. Custos de transação. Finanças - Modelos matemáticos. I. Pinto, Afonso de Campos. II. Dissertação (MPFE) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título. CDU

4 RENATO DE VITA ARBITRAGEM ESTATÍSTICA COM OPÇÕES UTILIZANDO MODELO DE VOLATILIDADE INCERTA E HEDGING ESTÁTICO Dissertação apresentada ao Programa de Mestrado Profissional em Economia da Fundação Getúlio Vargas/EESP, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Economia, linha de Finanças Quantitativas. / / Data da Aprovação: Banca Examinadora: Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto (Orientador) FGV - EESP Prof. Dr. André Cury Maialy FGV EESP Prof. Dr. Rogério Rosenfeld UNESP IFT

5 AGRADECIMENTOS À minha futura esposa, Vanessa, pelo apoio incondicional durante esses últimos anos, me incentivando em todos os segundos com suas palavras e, principalmente, sua companhia. Ao Prof. Dr. Claudio Possani, por ensinar-me o gosto pelo estudo da matemática. Um agradecimento ao professor orientador, Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto e ao Prof. Dr. André Cury Maialy, pela sugestão de um tema desafiador, pela paciência em nossas discussões e pela confiança depositada em mim nesta dissertação de mestrado.

6 RESUMO Com o objetivo de identificar oportunidades de arbitragem estatística no mercado de opções brasileiro, este trabalho utiliza o modelo de volatilidade incerta e o conceito de Hedging Estático, no apreçamento de um portfólio composto por diversas opções. São também incluídos os custos de transação relacionados a estruturação de um portfólio livre de risco, obtendo assim um modelo que pode ser facilmente implementado através da utilização do método de diferenças finitas explicito. Na aplicação do modelo ao mercado de opções sobre a ação preferencial da Petrobrás (PETR4), foi estabelecido um critério para estabelecer a frequência do ajuste do delta hedge do portfólio livre de risco de maneira a não incorrer em custos de transação elevados. Foi escolhido o período entre 19/05/08 e 0/01/14 para analisar o desempenho do modelo, selecionando-se em cada data de cálculo um conjunto de 11 opções de diferentes strikes e mesmo vencimento para compor o portfólio. O modelo apresentou um bom desempenho quando desconsiderados os custos de transação na apuração do resultado da estratégia de arbitragem, obtendo na maior parte dos casos resultados positivos. No entanto, ao incorporar os custos de transação, o desempenho obtido pelo modelo foi ruim, uma vez que na maior parte dos casos o resultado apresentado foi negativo.

7 ABSTRACT For the purpose to identify statistical arbitrage opportunities in the Brazilian options market, this paper uses the model of uncertain volatility and the concept of Static Hedging, in the pricing of a portfolio comprised of several options. Also were included transaction costs related to structure a risk free portfolio, thus obtaining a model that can be easily implemented by using the explicit finite difference method. In applying the model for the Petrobras preferred (PETR4) options, were established a criterion to define the frequency of delta hedges adjustment of the risk-free portfolio in order to do not incur in high transaction costs. The period between 19/05/08 and 01/0/14 was chosen to analyze the performance of the model, selecting at each calculation date a set of 11 options of different strikes and the same maturity to compose the portfolio. The model performed well when ignored transaction costs in determining the outcome of the arbitration strategy, obtaining in most cases positive results. However, once incorporated transaction costs, the performance obtained by the model was bad, since in most cases the result presented was negative.

8 Sumário Resumo... 5 Abstract... 7 Sumário... 8 Lista de Figuras Lista de Tabelas Introdução Motivação para o trabalho Objetivos do trabalho Bibliografica Desenvolvimento do modelo / teoria Uncertain volatility model (UVM) Worst case scenario e Best case scenario Estratégia replicante ótima Hedging Estatico Ótimo Considerações sobre o bid and ask spread Hedge discreto Portfólio replicante no mundo discreto Custos de transação Incorporando os custos de transação na Equação diferencial parcial não linear Definição da estratégia de delta hedge Estimação do intervalo de volatilidade Média Móvel utilizando volatilidade implicita Resultado de casos práticos da aplicação do Modelo de Arbitragem Estatistica Arbitragem Estatistica utilizando o Modelo de Volatilidade Incerta e o conceito de Hedging Estatico... 54

9 4.. Arbitragem Estatística desconsiderando o bid and ask spread e os custos de transação Arbitragem Estatística incluindo o bid and ask spread e os custos de transação Análise geral dos resultados obtidos Conclusões Referências... 7 Anexo I Valor de um call spread sob o UVM Anexo II Resultado de uma estratégia replicante ótima Anexo III - Implementação numérica UVM Anexo IV - Considerações sobre o bid and ask spread Anexo V Incremento do portfólio replicante no tempo discreto... 8 Anexo VI Minimização da variância do incremento do portfólio replicante Anexo VII Distribuição dos erros de replicação no tempo discreto... 9 Anexo VIII - Equação diferencial parcial no tempo discreto Anexo IX Análise comparativa dos valores do delta hedge no tempo discreto Anexo X Exemplo dos efeitos advindos do hedge dicreto Anexo XI Variância do incremento do portfólio replicante quando o intervalo de tempo entre os ajustes do delta hedge tende a zero Anexo XII - Variância do incremento do portfólio replicante incluindo os custos de transação quando o intervalo de tempo entre os ajustes do delta hedge tende a zero Anexo XIII Distribuição dos erros de replicação quando considerados os custos de transação

10 Lista de Figuras figura 1: Payoff portfólio Hedging Estático figura : Valor da função para diferentes custos de transação figura 3: Gráfico de dispersão variância vs média estratégia replicante ótima figura 4: Volatilidade implícita da opção de delta 0.5 e prazo 1 d.u figura 5: Intervalo do UVM estimado a partir da volatilidade implícita histórica... 5 figura 6: Intervalo UVM para o período entre 19/05/08 e 1/07/ figura 7: Comparativo entre a volatilidade do UVM e a volatilidade realizada figura 8: Resultado estratégia replicante ótima desconsiderando o bid and ask spread e os custos de transação figura 9: Comparativo resultado estratégia replicante ótima com e sem a consideração bid and as spread e dos custos de transação figura 10: Comparativo entre a volatilidade do UVM e a volatilidade realizada para estratégia com a inclusão de custos figura 11: Resultado estratégia replicante ótima considerando o bid and ask spread e os custos de transação figura 1: Comparativo resultado estratégia replicante ótima com ajuste diário e com ajuste condicional figura 13:Comparativo do preço das opções sob o UVM figura 14: Distribuição do resultado da estratégia replicante ótima autofinanciável figura 15: Comparativo dos erros quadráticos figura 16: Box Plot 5% / 75% - Comparativo soma dos erros quadráticos figura 17: Comparativo do comportamento do preço do ativo subjacente e do erro de replicação I figura 18: Comparativo do comportamento do preço do ativo subjacente e do erro de replicação II figura 19: Histograma dos erros de replicação figura 0: Box Plot 5% / 75% - Soma dos erros de replicação figura 1: Comparativo entre as médias dos erros quadráticos e as médias dos custos de transação figura : Box Plot 5% /75% - Soma erros de replicação sem custos de transação figura 3: Box Plot 5% /75% - Soma erros de replicação com custos de transação

11 Lista de Tabelas tabela 1: Exemplo estratégia replicante ótima com venda de put... 9 tabela : Vencimento e strike das opções consideradas tabela 3: Exemplo hedge discreto com compra de call tabela 4: Exemplo custo de transação com compra de call

12 1 1. Introdução 1.1. Motivação para o trabalho Quando estamos trabalhando com problemas relacionados ao apreçamento de derivativos nos deparamos com modelos que possuem diferentes premissas sendo o mais conhecido dentre todos o modelo de Black & Scholes (Black & Scholes, 1973). No entanto, quando as premissas envolvidas não são consistentes com o observado no mercado, podemos estar diante de uma oportunidade de obter ganho financeiro através da arbitragem. Podemos classificar a arbitragem em dois tipos, a arbitragem pura e a arbitragem estatística. Uma arbitragem pura significa uma oportunidade de obter lucro sem incorrer em risco. Na arbitragem estatística, a principal diferença é que o lucro não é auferido sem risco, mas somente quando algumas condições especificas são satisfeitas. No presente trabalho exploraremos as oportunidades de arbitragem estatísticas existentes no mercado brasileiro de opções com o objetivo de obtermos lucro. Procuraremos distorções nos preços de mercado das opções negociadas, usando como referência os preços calculados pelo modelo por nós desenvolvido. 1.. Objetivos do trabalho Aplicaremos nosso modelo especificamente no mercado de opções sobre a ação preferencial da Petrobrás (PETR4). Uma vez identificadas as oportunidades de arbitragem, estruturarmos uma estratégia autofinanciável afim de obter ganhos financeiros. A estratégia autofinanciável consiste na compra e venda de opções sobre uma determinada ação juntamente com o delta hedge da exposição remanescente feito através de operações no mercado a vista de ações. Toda o recurso financeiro necessário para operação é obtido no mercado de capitais a um custo proporcional a taxa livre de risco. Todo o recurso

13 13 financeiro excedente será aplicado no mercado de capitais rentabilizado também a taxa livre de risco. O conceito do delta hedge será melhor explicado ao longo do trabalho. Para alcançar nosso objetivo, ou seja, identificar uma oportunidade de arbitragem estatística, utilizaremos os seguintes conceitos e modelos: o Modelo de Volatilidade Incerta: o UVM será utilizado para identificar preços de mercado de derivativos que podem ser arbitrados. Essa identificação será feita a partir do cálculo do valor máximo e mínimo do preço de um determinado derivativo, ou portfolio composto por diversos derivativos, assumindo que a volatilidade estará contida dentro de um intervalo de valores. Caso sejam identificados derivativos negociados no mercado por valores fora do intervalo de preços, máximo e mínimo, calculados utilizando o UVM, estaremos diante de uma oportunidade de arbitragem estatística. Para que os ganhos da arbitragem estatística se materializem, é necessário que a volatilidade realizada do ativo subjacente no período esteja dentro do intervalo de valores definido pelo UVM. o Hedging Estático Ótimo: utilizaremos o conceito de Hedging Estático Ótimo com o objetivo de maximizarmos os ganhos de um portfólio composto por derivativos. A maximização dos ganhos será feita através da escolha ótima das quantidades individuais de cada uma das opções que compõem o portfólio. o Delta discreto: o risco relativo a exposição remanescente do portfólio composto por derivativos encontrado utilizando o método de Hedging Estático Ótimo dever ser neutralizado através do delta hedge, ou seja, da compra ou venda de delta quantidades do ativo subjacente. No entanto, o ajuste das quantidades do ativo subjacente relacionadas ao delta hedge é feito em intervalos de tempo discretos e não contínuos como sugere a teoria descrita no modelo de Black & Scholes. A consequência desse fato é que, ao considerarmos o delta hedge discreto, o risco do portfólio não pode ser completamente eliminado comprometendo assim a arbitragem estatística.

14 14 o Custos de transação: os custos de transação estão diretamente relacionados a frequência dos ajustes do delta hedge. Ao considerarmos tais custos reduzimos os ganhos potencias da estratégia de arbitragem. Quanto maior for a frequência dos ajustes do delta hedge, menor será o risco remanescente do portfólio mas, em contrapartida, maiores serão os custos de transação. De maneira inversa, quanto menor for a frequência dos ajustes do delta hedge, maior será o risco remanescente do portfólio e menores serão os custos de transação. Portanto, definiremos no presente trabalho critérios para estabelecer a frequência de ajustes do delta e como iremos incorporar os custos de transação na equação de apreçamento do portfólio de maneira a não superestimarmos os ganhos potenciais da arbitragem. Todos esses conceitos serão cuidadosamente estudados nos próximos capítulos e então combinados para assim definirmos nossa estratégia de arbitragem. Em linhas gerais, o trabalho é dividido em seis capítulos incluindo esta introdução. O capítulo dois traz uma revisão da literatura relacionada aos estudos de modelos de volatilidade incerta, hedging estático e dos efeitos advindos do hedge discreto e custos de transação que sustentam a abordagem da dissertação. O capítulo três apresenta todos os conceitos teóricos utilizados na aplicação da metodologia proposta. O capítulo quatro expõe e analisa os resultados empíricos e, finalizando, o capítulo cinco apresenta as principais conclusões e indica sugestões de pesquisas futuras.

15 15. Revisão bibliográfica O objetivo do capítulo em questão é revisar os trabalhos e estudos relacionados ao modelo de volatilidade incerta, Hedging Estático, efeitos advindos do hedge discreto e da incorporação dos custos de transação no apreçamento de derivativos. A fórmula presente no modelo clássico de Black & Scholes, utilizada extensamente por todos os agentes do mercado para efetuar o apreçamento de derivativos, foi publicada originalmente no artigo de 1973 intitulado "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". O conceito básico do modelo é a elaboração de um portfólio replicante livre de risco autofinanciável, ou seja, um portfólio composto por um derivativo e delta quantidades de seu respectivo ativo subjacente cujos incrementos replicam perfeitamente os incrementos obtidos por um ativo livre de risco de mesmo valor financeiro. Esse portfólio é autofinanciável no sentido de não exigir recursos financeiros próprios dos agentes de mercado para efetuar sua composição. Além de utilizar o conceito de portfólio replicante, o modelo de Black & Scholes é baseado em algumas premissas, dentre elas iremos citar as que são objeto de estudo do presente trabalho: o valor da volatilidade do ativo subjacente é considerado conhecido e determinístico, os ajustes das quantidades do delta hedge são efetuados continuamente e não há custos de transação no mercado. Tais premissas não se demonstram verdadeiras no mercado financeiro e existe vasta literatura sobre os efeitos ocasionados no apreçamento dos derivativos quando elas são relaxadas. Citaremos aqui alguns dos trabalhos existentes sobre o assunto assim como os conceitos e modelos apresentados pelos respectivos autores. Posteriormente, situaremos o presente trabalho na literatura existente, apresentando a forma como alguns desses conceitos foram aplicados ao mercado brasileiro de derivativos e qual a sua contribuição ao contexto atual. Em 1985 Hayne E. Leland publicou o artigo Option Pricing and Replication with Transactions Costs no The Journal of Finance, Vol. 40. Nesse artigo o autor aborda questões relacionadas a inclusão dos custos de transação no apreçamento de derivativos, incorporando tais efeitos através de um ajuste no valor da volatilidade implícita dos ativos subjacentes. Pelo fato dos custos de transação dependerem dos preços de mercado, não apenas os correntes como também os futuros, a priori, não é possível saber precisamente

16 16 qual o custo de transação total relacionado a um determinado portfólio replicante. Dessa forma, o autor propõe incorporar a esperança calculada dos custos na equação diferencial utilizada para efetuar o apreçamento dos derivativos. Um ponto importante destacado pelo autor no artigo, e que exploraremos posteriormente de forma mais detalhada, é o fato de que o portfólio replicante reproduzirá ao longo do tempo os incrementos de um ativo livre de risco se, e somente se, o ajuste do delta hedge ocorrer de forma continua. No entanto, na prática, esses ajustes ocorrem em intervalos de tempo discretos. Assim, para minimizar os erros de replicação do portfólio, advindos do hedge discreto, é necessário que o intervalo de tempo entre os ajustes do delta hedge seja suficientemente pequeno. No entanto, como os custos de transação estão justamente relacionados a frequência do delta hedge, no limite, se tais ajustes forem feitos quase que de forma continua, os custos de transação, por menores que sejam, irão tender ao infinito. Uma das principais questões relacionadas a incorporação dos custos de transação a equação de apreçamento dos derivativos é justamente essa: é necessário achar a frequência ideal de ajustes do delta hedge, ponderando os erros de replicação provenientes do hedge discreto e os custos totais incorridos. No artigo, através de algumas simulações, o autor apresenta os impactos no cálculo da esperança dos custos de transação e sua respectiva variância, utilizando diferentes frequências de ajuste do delta hedge. Antes de falarmos mais a respeito dos efeitos do hedge discreto, vale salientar um fato importante presente no artigo de Leland. Ao incorporar os custos de transação utilizando sua esperança, o autor obtém uma equação diferencial parcial não linear cuja solução define o preço do derivativo, diferentemente da equação diferencial de Black & Scholes que é uma equação linear. Ao longo de todo o trabalho lidaremos com diferentes equações diferenciais não lineares e utilizaremos para encontrar as respectivas soluções métodos numéricos, e não soluções fechadas. Outro trabalho que aborda de maneira interessante as questões relacionadas aos efeitos do hedge discreto, é o artigo de Paul Wimott de 1994 Discrete Charms publicado na Risk Magazine volume 7. O principal objetivo do artigo é calcular o valor do delta hedge que minimiza a variância dos erros de replicação para qualquer intervalo de tempo considerado entre seus ajustes. Como apresentado no artigo, o valor do delta hedge encontrado através do cálculo de minimização da variância é distinto do valor do delta considerado no modelo

17 17 de Black & Scholes. É possível verificar no resultado encontrado para o valor do delta a presença do drift determinístico característico do ativo subjacente, representado pela letra. Esse drift é eliminado no caso continuo, e substituído pelo valor da taxa livre de risco ao se efetuar a mudança de medida para medida neutra ao risco. Outros trabalhos, como o artigo de Marco Avellaneda, Antonio Levy & Antonio Parás de 1995, intitulado Pricing and Hedging derivative securities in markets with uncertain volatilities e o artigo de 1996 Managing the volatility risk of portfolios of derivative securities: the Lagrangian uncertais volatility model também dos autores Marco Avellaneda & Antonio Parás, abordam o fato da volatilidade do ativo subjacente não ser determinística e nem mesmo conhecida. De fato, a volatilidade considerada nos preços de mercado dos derivativos calculados utilizando o modelo de Black & Scholes, a chamada volatilidade implícita, muda diariamente. Na verdade, é amplamente reconhecido entre os operadores que o valor da volatilidade do ativo subjacente muda de forma imprevisível. Em outras palavras, há uma incerteza relacionada a volatilidade, incerteza essa que não é considerada na dedução do modelo de Black & Scholes. Existe vasta literatura quantitativa onde são apresentados modelos para estimação da volatilidade futura e a incorporação desses modelos no apreçamento dos derivativos. No artigo (Avellaneda, Levy, & Parás, 1995) os autores consideram um modelo de apreçamento que ao invés de considerar a volatilidade futura como sendo constante, ou uma função determinística do tempo (estrutura a termo da volatilidade), ou mesmo um processo estocástico com determinada distribuição de probabilidade, propõe uma condição menos restrita onde a volatilidade futura dos preços está contida em um intervalo de valores, sendo seu valor exato e distribuição desconhecidos. O modelo de volatilidade incerta impõe muito menos premissas sobre o comportamento da volatilidade do que os modelos convencionais e, claro, do que o modelo de Black & Scholes. Ao considerarem a volatilidade como sendo uma variável incerta, os autores obtêm uma equação diferencial parcial não linear conhecida como Black-Scholes-Barenblatt (BSB), que é uma generalização da equação diferencial parcial de Black & Scholes. A BSB é uma equação não linear, similar a equação obtida por Leland ao incluir os custos de transação, pois o valor da volatilidade a ser considerada em cada instante de tempo dependerá do valor do gamma da posição no derivativo em questão. Sob tal premissa, a solução da

18 18 equação permitirá definir um valor máximo e um valor mínimo para o derivativo ou portfólio composto por diversos derivativos. Uma das principais vantagens apresentadas pelo modelo de volatilidade incerta é justamente relacionada ao delta hedge da posição. No artigo são apresentadas simulações do resultado de um portfólio composto por um call spread e seu respectivo delta hedge. O valor do delta hedge foi calculado considerando tanto um ambiente de volatilidade incerta quanto de volatilidade constante. No caso do modelo de volatilidade incerta, foi adotado o valor do delta hedge no worst case scenario, ou seja, o valor do delta calculado quando considerada a volatilidade que minimiza o valor do portfólio. Foram feitas simulações para o valor da volatilidade realizada utilizando um modelo de volatilidade. Nas simulações o portfólio cujo delta hedge foi calculado utilizando a volatilidade incerta mostrou-se mais eficiente que o hedge feito a partir da consideração de volatilidade constante, minimizando as perdas relacionadas a situações de valores extremos do valor da volatilidade realizada. No artigo de Marco Avellaneda & Antonio Parás de 1996 Managing the volatility risk of portfolios of derivative securities: the Lagrangian uncertais volatility model, os autores estendem algumas das ideias presentes no artigo de autoria deles e A. Levy (Avellaneda, Levy, & Parás, 1995), utilizando o conceito de volatilidade incerta aplicado a diversos diferentes experimentos. O grande diferencial do artigo em relação ao anterior é a introdução de opções para efetuar o hedge de uma posição em determinado derivativo, ao invés de efetuar o hedge exclusivamente com o ativo subjacente. A utilização de opções para efetuar o hedge de um portfólio que contêm derivativos permite reduzir de forma significativa o risco de volatilidade, assim como a necessidade de intensivo delta hedge ao longo da vida da operação. Um dos conceitos mais importantes presentes no artigo é relacionado a combinação ótima de opções liquidas, com preços observados no mercado, e uma opção ilíquida, cujo preço não é observável no mercado, para compor um portfólio. Utilizando o modelo de volatilidade incerta e um algoritmo de minimização, os autores obtêm o valor máximo e mínimo para o preço da opção ilíquida. O algoritmo é utilizado para minimizar a distância entre o valor máximo e mínimo do preço da opção ilíquida, obtendo assim, os preços ótimos de compra e venda sob o worst case scenario.

19 19 Para a otimização em questão os autores dão o nome de Langragian Uncertain volatility model. De maneira prática, a utilização da otimização permite encontrar valores mais competitivos para os preços de mercado das opções ilíquidas. O conceito de Hedging Estático utilizado ao longo do presente trabalho é exatamente o mesmo do Langragian Uncertain volatility model. O nome Hedging Estático foi extraído do livro Quantitative Finance Volume 3 de autoria de Paul Wilmott. Um exemplo utilizado pelos autores, considerando opções de Telmex, permite verificarmos que a utilização de outras opções para efetuar o hedge do risco de volatilidade, permite tornar muito mais eficiente o delta hedge da exposição remanescente, principalmente em um mercado muito volátil. Esse fato é possível pois a menor necessidade de delta hedge reduz drasticamente os custos de transação relacionados ao delta hedge. No entanto, o artigo (Avellaneda & Parás, 1996) não aborda de forma mais detalhada a questão dos custos de transação, exceto pela incorporação do bid and ask spread. A questão dos custos de transação é abordada de forma indireta, como consequência da menor necessidade de delta hedge utilizando o ativo subjacente quando utilizadas opções na composição do hedge do portfólio. Nenhum dos artigos citados contemplou no mesmo estudo os impactos combinados do risco de volatilidade, efeitos do hedge discreto e custos de transação no apreçamento dos derivativos. Tão pouco, os conceitos abordados nos respectivos estudos foram voltados a identificação de estratégias de arbitragem estatística autofinanciáveis, ou seja, com o objetivo de elaborar operações combinando os diversos instrumentos existentes no mercado de forma a obter lucros quase certos sem que seja necessário desembolso de caixa próprio. O objetivo do presente trabalho é essencialmente esse: identificar oportunidades de arbitragem e, assim, obter lucro. Assim, utilizamos os conceitos presentes nos artigos citados, combinando-os com o objetivo de identificarmos oportunidades de arbitragem estatística nos preços de mercado dos derivativos negociados. Aplicamos o modelo resultante ao mercado brasileiro de ações, mais especificamente ao mercado de opções de Petrobrás (PETR4) no período entre 19/05/008 e 0/01/014. Para identificar tais oportunidades de arbitragem, elaboramos o nosso modelo primordialmente em duas etapas.

20 0 Primeiro, utilizamos o modelo de volatilidade incerta, cujo limite máximo e mínimo para o valor da volatilidade da ação da Petrobrás foi obtido através da utilização de informações históricas do valor da volatilidade implícita das opções, para efetuar o apreçamento de um portfólio composto por diversas opções de diferentes strikes considerando sempre o worst case scenario para o valor do portfólio. Posteriormente, foram acrescentados ao problema os custos de transação e efeitos do hedge discreto, de forma a não negligenciar esses efeitos no momento da elaboração do portfólio replicante, composto pelo portfólio de opções encontrado pelo algoritmo mais o seu respectivo delta hedge. Caso tais efeitos fossem negligenciados, a potencial arbitragem encontrada pelo nosso algoritmo poderia simplesmente desaparecer ao incluirmos os custos de transação. Definimos também critérios de forma a definir qual a frequência de hedge mais apropriada quando considerados os erros de replicação existentes na presença do hedge discreto e os custos relacionados aos mesmos.

21 1 3. Desenvolvimento do modelo / teoria Para a apresentação do presente trabalho, iremos explicar detalhadamente cada um dos conceitos envolvidos e como eles foram incorporados em nosso modelo. Dessa forma, ficará claro os passos e racional utilizado, e também o que procuramos contemplar na equação diferencial utilizada para o apreçamento de derivativos e identificação de oportunidades de arbitragem estatística. Ao efetuarmos o apreçamento de qualquer derivativo existente no mercado, devemos considerar algumas variáveis intrínsecas ao problema. Vamos considerar como exemplo uma opção plain vanilla europeia sobre uma ação. Esse contrato concede ao comprador o direito de comprar ou vender uma ação especifica por um preço pré-estabelecido em uma determinada data futura. Representando matematicamente o problema, podemos definir o preço desse derivativo como uma função V da forma: Onde: V T t,, t, r t, q t, K T t é o tempo restante entre a data t, data em que estamos calculando o preço do contrato em questão, e a data T, data de vencimento do contrato; St é o valor da ação, ativo subjacente ao contrato, na data t ; t é o valor da volatilidade do ativo subjacente, na data t ; rt é o valor da taxa de juros livre de risco, na data t ; qt é o valor da taxa de dividendos do ativo subjacente, na data t ; K é o strike da opção, ou seja, o valor de compra ou venda da ação na data T. Os valores de T t e K são determinísticos, uma vez que t é conhecido e T e K são dados contratuais. Assim, vamos nos concentrar nas demais variáveis para analisarmos o problema.

22 O preço da ação, St, pode ser diretamente observado a partir das cotações de mercado. Vamos assumir que ele também é único (na verdade, existem diferentes cotações no mercado para o preço de venda e de compra, mas para ativos muito líquidos, essa diferença é marginal). Dessa forma, nos restam três variáveis que precisamos conhecer ou definir seus valores para encontrarmos o valor da função V, ou seja, o preço da opção plain vanilla europeia. Para definirmos o valor do contrato, precisamos conhecer não apenas o valor atual de t, rt e qt. Na verdade, precisamos conhecer todos os valores que essas variáveis assumirão entre a data considerada t e a data de vencimento T. Os valores futuros das variáveis t, rt e qt não são conhecidos em t, tão pouco são constantes ou sequer é possível inferi-los com precisão. De fato, podemos definir o comportamento futuro da volatilidade e das respectivas taxas de juros como incertos, ou seja, não conhecemos os seus valores e tão pouco as distribuições associadas a eles. No entanto, ao longo do presente trabalho consideraremos os valores de rt e qt como sendo conhecidos, únicos e constantes para todo instante de tempo entre t e T, de tal forma que r t qt r e q. Isso porque o impacto no preço da opção, das variações de valores de ambas as taxas é marginal quando comparado à volatilidade. Ao afirmarmos que o valor da volatilidade é incerto, estamos dizendo que não conhecemos o seu valor atual de forma precisa, e mais do que isso, que não somos capazes de prever o seu comportamento futuro. No entanto, podemos afirmar, com um grau de precisão maior, que o valor da volatilidade em um determinado intervalo de tempo futuro, estará contido em um certo intervalo de valores, máximo e mínimo, podendo assumir qualquer valor, ou trajetória dentro desse intervalo. Ou seja, ao afirmar que o valor da volatilidade é incerto, não estamos adotando nenhuma premissa especifica sobre a distribuição dos valores ou trajetórias que a volatilidade irá assumir, apenas que seu valor estará contido em um determinado intervalo de valores. Esse é o conceito por traz do modelo de volatilidade incerta, o UVM, que exploraremos de forma mais detalhada a seguir.

23 Uncertain volatility model (UVM) Na equação 1 temos a equação diferencial estocástica no tempo continuo, na medida neutra ao risco, que utilizaremos para modelar o comportamento do preço do ativo subjacente St(movimento () browniano geométrico) ds( t) r( t) S( t) dt ( t) S( t) dz t equação 1 O valor da volatilidade associada ao ativo objeto é representado por t e rt é a taxa de juros livre de risco que, como dito, assumiremos como constante de forma que r t. Assumiremos também que não há taxa de dividendos para o ativo subjacente, de forma que qt 0. O termo dz t representa um incremento browniano com distribuição normal com média zero e variância dt. A determinação do valor de r t é fundamental tanto para definirmos o preço dos derivativos como para determinar a estratégia de delta hedge. O problema, como dito anteriormente, é que o valor da volatilidade não é diretamente observável. É necessário estimá-lo, e ao fazer isso estaremos sujeito a incorrer nos erros relacionados a qualquer método de estimação. Ao invés de estimar o valor de () t utilizaremos o UVM para estabelecer um intervalo de valores em que a volatilidade futura do ativo subjacente estará contida em um determinado período de tempo considerado. Vamos assumir que o processo relacionado a volatilidade presente na equação 1 irá oscilar dentro de um intervalo definido por: () t MIN Para o cálculo do incremento do valor de um portfólio replicante sob o UVM, utilizaremos os mesmos argumentos de não arbitragem considerados no modelo de Black & Scholes. O portfólio replicante considerado é dado por MAX

24 4,, t V t t equação Na forma diferencial, temos:,, d t dv t t d equação 3 Utilizando o Lema de Itô para calcularmos os valores de dv t,, temos: dv t, dv t, dv t, 1 dv t, dt d d dt d d equação 4 onde: ds( t) ( t) S( t) dt equação 5 Fazendo as devidas substituições para dv t,, temos dv t, 1 dt d dv t ( ) ( ), dv t, dv t ( ) ( ), r t d t dv t, d ( t) S( t) dz t equação 6 dt Assim, obtemos a equação diferencial estocástica para o incremento do portfólio replicante dada por

25 5 d dv t, 1 d V t, dv t, t, t d d t d d t dt t Z equação 7 Para qualquer volatilidade, mesmo no modelo de volatilidade incerta, a escolha de t dv t, S eliminará o risco (relacionado a d portfólio livre de risco cujo incremento é dado por dz t ) do portfólio. Teremos então um dv t, 1 d V t, dt, t dt d d equação 8 No caso do modelo de Black & Scholes, onde a volatilidade é assumida como constante, ou seja, t risco, tal que:, incremento d t, é determinístico e proporcional a taxa livre de dv t, dt, r V t, dt d equação 9 Igualando a equação 8 e a equação 9, obtemos a EDP de Black & Scholes dada por dv t, dv t, 1 d V t, dv t, r r 0 d d d d equação 10 No entanto, uma vez que sob o UVM o valor de assumindo que () t intervalo dado por: MIN MAX t na equação 8 é desconhecido e, o valor do incremento d t, estará contido no

26 6 min m ax t MIN t MIN MAX MAX dv t d r V S t, t,, t dv t, ds 1 1 t dv t, d t d V t d, t d V t ds Onde o menor valor do incremento d t, é representado por min t S MIN MAX dv t S d t,, 1 d V t S d e o maior valor do incremento d t, é representado por dv t S m ax MIN t MAX d, 1, S t d V t S. Assim, quando o valor da volatilidade é assumido como incerto, não temos mais um valor determinístico para o incremento do portfólio replicante, mas um intervalo de possíveis valores. d Worst case scenario e Best case scenario Sob o UVM, podemos estabelecer o valor máximo e o valor mínimo que um derivativo, ou portfólio composto por diversos derivativos, pode assumir 1. O worst case scenario representa o menor valor que o portfólio replicante pode assumir sob o UVM. Podemos 1 Para exemplo, ver Anexo I.

27 7 observar que o termo da volatilidade é multiplicado pelo gamma da opção, Portanto, o worst case scenario é obtido quando, d V t S d. t caso MAX, d V t d 0 e t MIN caso, d V t d 0 De maneira oposta, o best case scenario é obtido quando t caso MAX, d V t d 0 e t MIN caso, d V t d 0 Assim, sob o UVM, teremos a equação diferencial parcial não linear, cujo valor da volatilidade dependerá do gamma da opção e estará contido dentro do intervalo de valores definido no UVM t dv t, dv t, 1 d V t, dv t, r t r 0 d d d ds equação 11 Essa será a primeira alteração em relação ao modelo clássico de Black & Scholes que utilizaremos em nosso modelo. Para fins práticos, a partir desse momento analisaremos apenas os casos considerados no worst case scenario. Isso porque na definição de nossa estratégia de arbitragem, estaremos sempre preocupados em calcular se mesmo na pior situação considerada é possível obter lucro Estratégia replicante ótima

28 8 A estratégia replicante ótima é aquela onde todos os resultados finais possíveis são valores positivos. Para definirmos a estratégia replicante ótima, vamos considerar o seguinte portfólio formado pela venda de um derivativo quantidades do ativo subjacente ts, t t St V t, equação 1 V t, e pela compra de t Vamos definir V t, vendida no derivativo () t ). MIN MAX como sendo o valor no worst case scenario para uma posição V t,, considerando o intervalo para volatilidade ( O objetivo é constituir um portfólio replicante cujos valores finais serão todos positivos. Para isso, será necessário vender o derivativo V t, subjacente. e em seguida efetuar o delta hedge comprando V t, por ao menos o valor de O valor do delta hedge considerado sob o worst case scenario é dado por dv t S t ds, t t equação 13 t quantidades do ativo Assim, o valor inicial do portfólio replicante considerado será dado por, dv t t, V d equação 14 t, Como demonstrado por Marco Avellaneda, Antonio Levy & Antonio Parás (Avellaneda, Levy, & Parás, 1995) a estratégia definida na equação 14 terá o menor custo inicial

29 9 possível, terá apenas resultados finais positivos quando considerado o intervalo de volatilidade () t. MIN MAX 3.. Hedging Estatico Ótimo O conceito base do Hedging Estático Ótimo é o mesmo do apresentado por Marco Avellaneda e Antonio Parás (Avellaneda & Parás, 1996). Ele será utilizado com o objetivo de maximizarmos os ganhos da estratégia replicante ótima. Utilizaremos um exemplo numérico para ilustrar nossa explicação. Suponha que desejamos estruturar uma estratégia replicante ótima efetuando a compra ou venda de uma opção de venda (put) plain vanilla com as características abaixo para posteriormente efetuarmos o delta hedge da posição. Preço inicial do ativo subjacente: St Valor da taxa livre de risco: rt 0.0% para t t t Valor da taxa de dividendos: qt 0.0% para t t t Strike K 3 Vencimento T t n , n 0, n tabela 1: Exemplo estratégia replicante ótima com venda de put Para calcularmos os limites superior e inferior do preço dessa opção utilizaremos o UVM com intervalo de volatilidade definido por 5% ( t) 40% Para exemplo, ver Anexo II.

30 30 Suponha que essa opção não seja negociada com frequência no mercado, não havendo preços de referência disponíveis para negociação. Assim, vamos calcular seu preço utilizando o UVM e em seguida vamos estruturar uma estratégia replicante ótima. No caso de uma put plain vanilla o menor valor para seu preço será obtido quando consideramos ( t) 5%, e este será representado por V t, O maior valor para seu preço será obtido quando consideramos ( t) 40%, e este será representado por V t, Os seus respectivos valores são dados por V t, e V t equação , 3.0 Assim, V t, e V t, representa o worst case scenario para uma posição comprada na put representa o worst case scenario para uma posição vendida. Para elaborarmos uma estratégia de arbitragem, devemos sempre considerar o worst case scenario para definirmos os custos iniciais da portfolio replicante. Para uma posição vendida na put, é necessário vender a opção por mais de R$ 3,0 e efetuar o delta hedge, e para uma posição comprada, é necessário comprar a opção por menos de R$ 1,98 e efetuar o delta hedge. Infelizmente, esse diferencial de preços é muito amplo, tornando praticamente inviável a identificação de oportunidades de arbitragem. Consideremos agora duas opções de venda (put) sobre o mesmo ativo subjacente, uma com strike 9 e outra com strike 35. Suponha que, diferentemente da put de strike 3, essas opções tenham liquidez o mercado e sejam negociadas no instante t t0 pelos seguintes preços V t, V t, Por ora, vamos desconsiderar os efeitos das diferenças entre o preço de compra e de venda (bid and ask spread), de maneira que o preço de compra e o preço de venda sejam sempre os mesmos. Vamos considerar agora em nosso portfólio as três opções de venda

31 31 comentadas acima. O portfólio será composto pela compra unitária da put de strike 3 e pela venda de 0.5 quantidades de cada uma das puts com strike 9 e 35. O resultado do payoff do portfólio será Payoff Preço do Ativo Subjacente figura 1: Payoff portfólio Hedging Estático Escrevendo na forma simbólica, temos que o portfólio é composto por V t, V3 t, 0.5 V9 t, 0.5 V35 t, equação 16 Onde V V t representa a put de strike 9, 9, 35, V t representa a put de strike 35 e t, representa o portfólio composto pela compra da opção ilíquida 3, V t e venda de 0.5 quantidades de cada uma das opções de strike 9 e 35 respectivamente. O valor de V t, está sujeito a condição final V tn, n max 3 n,0 0.5 max 9 n,0 0.5 max 35 n,0 equação 17

32 3 Calcularemos agora o valor do portfólio o intervalo de volatilidade dado pela. V n, tn no worst case scenario considerando Resolvendo o problema para t t0 utilizando o método de diferenças finitas explícito 3, sujeito a condição final dada equação 17 obtemos o resultado de o worst case scenario do portfólio descrito na equação 16 Assim, para uma posição comprada na opção ilíquida, obtemos V t, V t, equação 18 V t 0, 0 0.5, para Agora, vamos considerar o portfólio V t, V t, 0.5 V t, 0.5 V t, equação 19 Onde V t, representa o portfólio composto pela venda da opção ilíquida V3 t, e compra de 0.5 quantidades de cada uma das opções de strike 9 e 35, respectivamente. O valor de V t, está sujeito a condição final V tn, n max 3 n,0 0.5 max 9 n,0 0.5max 35 n,0 equação 0 Calculando o worst case scenario para o portfólio V t, 0 0, obtemos 3 Ver Anexo III.

33 V t, V3 t,.63 equação 1 Ou seja, calculando o valor do portfólio, V t obtemos um intervalo de preços para V t, entre.7 e.63, intervalo esse menor do que o obtido quando calculamos V t, de forma isolada. Dessa forma, caso o valor da compra de, V t seja menor que R$.7 ou seu valor de venda seja maior que R$.63, após efetuarmos o delta hedge da exposição remanescente, será obtida uma estratégia ótima cujos resultados finais serão positivos. No entanto, poderíamos escolher quantidades diferentes de V t e 9, V t para compor o portfólio de opções. Como nosso problema é não linear, a escolha de diferentes combinações de opções terão diferentes impactos sobre o apreçamento de V t. O objetivo do Hedging Estático Ótimo é definir qual a composição ótima dos derivativos que compõem o portfólio, de maneira a obter o menor spread possível entre os preços de compra e de venda, ou seja, o menor valor possível para possível para V t,. V t, 35, 3, e o maior valor Assim, consideremos o portfólio é composto por uma unidade da opção ilíquida, que denotaremos por, e por seu respectivo hedge, dado por i quantidades de opções liquidas com preços observados no mercado ( V i ). (em nosso exemplo anterior, o portfólio ilíquido era 35, V t ). V t e o seu respectivo hedge composto pelas opções 3, O portfólio será, portanto i i V t, t, V t, i 9, V t e

34 34 equação O problema de otimização de escrito na forma t t V t, será resolvido para o instante 0, e pode ser i n V t, V t, f,..., 0 0 i i equação 3 Nosso objetivo será determinar de forma a maximizar i f,..., 1 n se estivermos comprando ou minimizar f,..., 1 n se estivermos vendendo. Em outras palavras, queremos saber qual o valor mais caro que podemos comprar a opção ilíquida ou o valor mais barato que podemos vender a opção ilíquida de maneira a ainda obtermos uma estratégia replicante ótima. Utilizando nosso exemplo anterior, iremos definir as quantidades ótimas de V t e V t. Assim para uma posição comprada em uma unidade de 35, 3, V t, V t, V t, V t, equação 4 9, V t teremos Para uma posição vendida em uma unidade de 3, V t teremos V t, V t, V t, V t, equação 5 Desconsideramos aqui o bid and ask spread de forma que

35 35 V t, V t, e V35 t0, 0 V35 t0, equação 6 Devemos maximizar o valor de V t, e minimizar o valor de V t, definindo as quantidades 9 e 35, de maneira a obter o menor intervalo possível entre os dois preços. Em termos matemáticos, podemos escrever: e f, max V t, V t, V t, equação 7 g, min V t, V t, V t, equação 8 Após resolvermos o problema numericamente, obtemos os seguintes resultados: 9 35 f,.40 para e equação 9 e 9 35 g,.59 para e equação 30

36 36 Os valores f, e, 9 35 g nada mais representam que o valor máximo que 9 35 podemos comprar V t, e o valor mínimo que podemos vender, V t, respectivamente, de maneira a obter uma estratégia replicante ótima minimizando assim os custos iniciais. Podemos observar que a diferença de preços de compra e venda para, V t obtidos para o portfólio sem otimização das quantidades, e os portfolios com as quantidades otimizadas i é significativa Considerações sobre o bid and ask spread Utilizaremos a notação Vi para o bid price V i para o ask price de maneira que Vi V i o custo inicial relacionado às opções liquidas é dado por assim V i t, Vi t, se i 0 Vi t, se i 0 equação 31 Se i 0 teremos uma quantidade positiva do ativo i, comprado pelo valor do ask price, V ; se 0 teremos uma quantidade negativa do ativo i, vendido pelo valor do bid price, i Vi. i Nos mercados pouco líquidos, onde os efeitos do bid and ask são significativos, é fundamental considerarmos o diferencial dos preços de compra e venda na elaboração do heding estático Hedge discreto 4 Para exemplo, ver Anexo IV.

37 37 O objetivo desse capítulo é incorporar os efeitos do hedge discreto em nossa EDP não linear obtida sob o UVM, dada pela equação 11. Os efeitos do hedge discreto serão também considerados na elaboração de nossa estratégia de arbitragem de maneira a não negligenciar seus impactos no resultado final da operação. No entanto, antes de considerarmos o problema de forma completa, vamos discorrer de forma isolada sobre o hedge discreto. A abordagem adotada foi baseada no artigo de Willmot (Wilmott, Discrete Charms, 1994) Portfólio replicante no mundo discreto Consideremos o modelo para o comportamento do preço de uma ação no tempo discreto descrito pela equação 3. Asseguramos assim que o preço da ação não irá assumir valores negativos exp( x) equação 3 onde t x t t t equação 33 Essa é a versão discreta da equação diferencial que descreve o comportamento do preço de uma ação. A variável aleatória possui distribuição normal padrão. Assim, o termo t substitui o movimento browniano existente no modelo continuo. Podemos notar na equação 33 a presença do drift determinístico, diferentemente do mundo continuo onde sob a medida neutra ao risco tínhamos a taxa livre de risco r. Seja o portfólio replicante

38 38,, t V t equação 34 O incremento do valor do portfólio replicante no tempo discreto é dado por,, t V t equação 35 Utilizando expansão de Taylor para calcular os termos equação 5 : V t, e St, obtemos t dv t, t, t t ds, 1, 3/ t t t t t 1 dv t, t t ds dv t dt d V t t ds t 3 3 dv t, t 6 ds r t t t 3 3, St d V t t 6 d equação 36, t d V t ds 5 Ver Anexo V.

39 39 3/ Diferentemente do caso continuo, os termos de ordem t presentes no caso discreto não são desprezíveis. O próximo passo será definir o valor de. Iremos adotar a abordagem de minimização da variância do valor do portfólio replicante 6 baseado no artigo de Wilmott (Wilmott, Discrete Charms, 1994). O que minimiza a variância do portfólio replicante é dado por: d V t, d t r t dv t, Min d t t 4 t t t equação 37 Substituindo na equação 36 o valor de obtido na equação 37, obtemos dv t, 1 d V t, t, t t dt d d V t, d t r t 3 t t Ot t t 4 t t t equação 38 Podemos notar na equação 38 a presença da variável aleatória. Ou seja, no tempo discreto, não é possível eliminar toda a incerteza do incremento do portfólio replicante, diferentemente do caso no tempo continuo 7. A implicação desse efeito para o presente trabalho é que consequentemente, nossa estratégia de arbitragem terá sempre um risco 6 Vide Anexo VI. 7 Ver Anexo VII.

40 40 remanescente, e este fato deve ser levado em consideração ao aplicarmos o modelo no mundo real. Para encontrar a equação diferencial parcial no tempo discreto, igualamos o valor do incremento do portfólio replicante a taxa livre de risco e por fim, calculamos sua esperança 8. Ao final, iremos obter a equação diferencial parcial: dv t, 1 * d V t, dv t, r t r V t, 0 d d dt equação 39 onde t * ( r) r t t t 1 t t t 4 t t t equação 40 Sob o UVM, o valor da volatilidade t, e consequentemente de t *, estará contido em um intervalo de valores pré-definido. Assim a equação 39 representaria a equação diferencial parcial não linear do nosso modelo no tempo discreto. No entanto, após algumas analises efetuadas 9 constatamos que o uso de Min não traz benefícios significativos no sentido de reduzir a variância do erro de replicação. Além disso, o fato de que seu valor depende do drift determinístico real do ativo subjacente representado pela letra torna a utilização de Min ainda mais questionável. Na prática, esse parâmetro é de difícil estimação, e sua utilização, devido ao desconhecimento do seu valor real, pode ser mais prejudicial que benéfico para redução da variância dos erros de replicação. Quando 8 Ver Anexo VIII. 9 Ver Anexo VII.

41 41 assumimos que o valor de o mesmo valor do delta usual, ou seja é igual a taxa livre de risco r, obtemos para o valor de dv t,. d Assim, mesmo considerando os efeitos do hedge discreto, optamos por utilizar na equação diferencial de nosso modelo o valor de dv t, d, de forma a obtermos dv t, 1 d V t, dv t, r t r V t, 0 d d dt equação 41 Min onde, sob o UVM MIN t Ou seja, a consideração dos efeitos do hedge discreto não alterou o resultado da equação diferencial a ser utilizada no trabalho para precificação dos derivativos sob o UVM. No entanto, o estudo do tema trouxe informações importantes sobre a distribuição dos erros de replicação associados ao hedge discreto 10, e como estes estão relacionados a frequência com que os ajustes do delta hedge são efetuados 11. No próximo item do capítulo iremos incorporar outro fator importante para definição de nossa estratégia de arbitragem: os custos de transação. MAX 3.4. Custos de transação Vamos primeiramente situar os custos de transação em nosso problema. Quando identificamos uma oportunidade de arbitragem na compra ou venda de um conjunto de derivativos, de maneira a obtermos uma estratégia replicante ótima, devemos efetuar o 10 Ver Anexo X. 11 Ver Anexo XI.

42 4 delta hedge da exposição remanescente. No entanto, o delta hedge deve ser calibrado constantemente, idealmente de forma continua, eliminando assim o risco do portfólio. O problema é que, ao efetuar a compra ou venda de delta quantidades do ativo subjacente para calibrar o delta hedge da operação, incorremos em custos de transação, como corretagem por exemplo, podendo assim eliminar qualquer ganho potencial de nossa arbitragem e até reverter o resultado em perdas significativas. Como tanto os efeitos advindos do hedge discreto quanto os custos de transação são diretamente relacionados ao delta hedge, e a frequência em que é feito seu ajuste, faremos uma análise conjunta dos dois efeitos nesse item do capitulo Incorporando os custos de transação na Equação diferencial parcial não linear Incorporaremos os custos de transação baseando-nos no modelo de Hoggard, Whalley & Wilmott (Wilmott, Hoggard, & Whalley, 1994). Sendo k uma constante, St o preço do ativo objeto e vt a quantidade de hedge necessário para cada instante t, os custos de transação serão dados por k v t equação 4 A priori, não é possível definir qual será a quantidade de hedge necessária, pois isso irá depender da evolução do preço do ativo objeto. No entanto, podemos estimar vt através do incremento do delta hedge em cada intervalo de tempo t. Ou seja: v t t Estimaremos vt a partir do valor de EQUAÇÃO 43 um instante de tempo t para um instante de tempo t dv t, t, assim, o incremento de t d t é dado por: de

43 43,, t t t t t Utilizando a expansão de Taylor para calcular t, temos d t, d t, d t, t dt d dt d... dt d d Efetuando as substituições relacionadas a d e dv t, t d, d V t t t t O t d Ignorando os termos de ordem superior, encontramos assim uma aproximação para o valor de vt v t t t equação 44, d V t d Os custos de transação estimados para um intervalo de tempo t serão, portanto k v t t k t equação 45, d V t d Podemos observar que os custos de transação estimados terão distribuição de probabilidade relacionados a variável aleatória. Calculando a esperança dos custos de transação, dado pela equação 45, obtemos

44 44, d V t k v t t k t equação 46 Como os custos de transação afetam o valor do incremento do portfólio replicante sempre de forma subtrativa, iremos incorporar a esperança dos custos de transação obtidos na equação 46 na equação relativa ao incremento do portfólio replicante no tempo discreto, obtida também através do cálculo da esperança, dada pela equação 41. Obtemos assim d dv t, 1 d V t, dv t, r t d d dt, d V t r V t, t k t 0 d EQUAÇÃO 47 Quando incluímos os custos de transação na equação diferencial parcial, a incerteza, diferentemente do caso quando considerado exclusivamente os efeitos do hedge discreto, não pode ser eliminada com o aumento da frequência dos ajustes do delta hedge 1. Esse fato nos leva a uma conclusão importante: quando considerados os custos de transação, sob a ótica de redução de variância, a melhor estratégia de hedge não será efetuar o maior número de ajustes possíveis ao longo do tempo. Ao considerarmos ainda o valor médio dos incrementos do portfólio, como os custos de transação reduzem seu valor, fica ainda mais claro que efetuar muitos ajustes no delta hedge certamente não será a estratégia mais adequada 13. Rearranjando os termos da equação 47, obtemos 1 Ver Anexo XI 13 Vide Anexo XIII.

45 45 dv t, dv t, r r V t, d dt 1 d V t, k d V t, t 0 d t t d equação 48 Sob o UVM, estamos sempre interessados no worst case scenario e, assim, devemos considerar o valor da volatilidade no intervalo () t, de maneira a obtermos o menor incremento possível para o valor do portfólio. Quando o valor do gamma da função é negativo, temos MIN MAX Assim, o valor de dv t, dv t, r r V t, d dt d V t, 1 t k t 0 d t equação 49 t que minimiza o valor da equação 49 é dado por t d V MAX caso t, d No entanto, quando o valor do gamma da função é positivo temos um caso um pouco mais complicado. 0 dv t, dv t, r r V t, d dt d V t, 1 t k t 0 d t equação 50

46 46 Nesse caso, o valor de t, contido no intervalo () t, que minimiza o valor da função representada na equação 50 não será necessariamente o caso de MIN Para encontrar o valor de valor mínimo do termo: MIN MAX t. t que minimiza o valor da função, devemos encontrar qual o Na figura temos o valor de 1 f t t k t t f t equação 51 para diferentes valores de k (relacionados aos custos de transação) utilizando t 1/ 5 (ajuste diário do delta hedge). figura : Valor da função para diferentes custos de transação Podemos observar que para o intervalo de volatilidade considerado,10% ( t) 80%, o valor de f t é sempre crescente quando considerados os valores de k iguais a 0.5%, 0.50% e 1%. Quando considerado o valor de k igual a.00% e 5.00%, os valores de () t que minimizam f t se encontram em algum ponto entre 10% e 80%.

47 47 Podemos assim concluir que, quando considerados custos de transação relativamente pequenos (no exemplo dado k 1% ), o valor da volatilidade que minimiza a equação 50 é () t MIN. Para valores de k 1%, a analise deve ser feita numericamente de forma a identificar qual o valor de () t que minimiza a equação 50. No presente trabalho, no caso do valor do gamma da equação 48 ser positivo, no worst case scenario consideraremos sempre o valor de () MIN. Isso pode ser justificado na aplicação de nosso modelo em grande escala, onde os custos relativos do delta hedge são significativamente reduzidos. Como estamos lidando com um modelo de arbitragem, faz mais sentido operações em grande escala, inclusive pela questão de redução dos custos de transação. Essa abordagem facilitará a implementação numérica dos cálculos, e será utilizada posteriormente na aplicação de nosso modelo no mercado brasileiro de derivativos. Dito isso, ao considerarmos custos de transação relativamente pequenos, o valor da volatilidade sob o UVM estará também condicionado somente ao valor do gamma de nossa equação diferencial, ou seja: t t caso MAX, d V t d 0 e t caso MIN, d V t d 0 Podemos assim incluir os custos de transação no UVM adaptando o intervalo de mínimo e máximo que a volatilidade do ativo objeto pode assumir. Reescrevendo a equação 50, temos dv t, dv t, 1 * d V t, r r V t, t 0 d dt d equação 5

48 48 onde * t k t 1,, d V t d t t d V t d Caso, d V t, d V t d d equação 53 0, temos * k MIN t MIN t 1 t MIN * k 0, temos MAX t MAX t 1 t MAX t. t e caso O intervalo adaptado de volatilidade definido para o UVM, incluindo os custos de transação, será * t t t * * MIN MAX Assim, o intervalo entre o limite mínimo e máximo do valor da volatilidade no UVM após incluir os custos de transação será sempre maior que o intervalo quando não incluídos os custos de transação Definição da estratégia de delta hedge Adotaremos agora critérios para estabelecer a frequência de ajustes do delta hedge, considerando o trade-off existente entre os custos de transação e os efeitos do hedge discreto. Ao invés de definirmos a priori a quantidade de ajustes do delta hedge, definiremos uma regra mais dinâmica, onde o ajuste do delta hedge dependerá da oscilação do valor do delta calculado para o portfólio. Assim, quando o valor do delta variar pouco de um instante de tempo para outro, não iremos reajustar o valor do delta hedge,

49 49 uma vez que os erros de replicação para variações pequenas no delta são marginais, evitando assim incorrer em custos de transação desnecessários. Quando a variação do valor do delta for relevante de um instante para outro, reajustaremos o delta hedge. Com essa abordagem, esperamos ter uma estratégia mais eficiente, no sentido de reduzir a variância da estratégia ótima sem incorrer em custos elevados. A figura 3 representa a relação entre variância e média dos resultados do portfólio para as estratégias de delta hedge estáticas, com 1,, 5, 10, 5 e 50 ajustes, e para a estratégia de delta hedge dinâmica, cujo critério de atualização do delta hedge é o seguinte: Caso dv ti 1, i1 dv ti 1, i1 ti onde ti d d então não há ajuste do delta hedge, ou seja, i dv ti 1, 1 ti. d i1 i, i dv t d i Caso contrário, há ajuste do delta hedge, ou seja,, i dv ti ti. d i Variância dos Resultados da Estratégia Ótima Variância vs Média Estratégia Ótima 1 Ajuste DH Ajustes DH 5 Ajustes DH 10 Ajustes DH 5 Ajustes DH 50 Ajustes DH Ajuste Dinâmico Média dos Resultados da Estratégia Ótima figura 3: Gráfico de dispersão variância vs média estratégia replicante ótima

50 50 Podemos verificar que a estratégia de delta hedge dinâmica é mais eficiente, uma vez que possui uma relação melhor entre risco e retorno. Essa será a abordagem adotada para definirmos a frequência de hedge necessária ao aplicarmos nosso modelo ao mercado brasileiro de ações Estimação do intervalo de volatilidade A primeira definição que precisamos ter para a implementação do nosso modelo de arbitragem estatística é sobre o intervalo de volatilidade a ser considerado no UVM. Sabemos que a volatilidade não é uma variável observável, e por não conhecermos seu valor em um determinado instante de tempo e nem seu comportamento futuro, precisamos utilizar algumas técnicas para estimarmos a volatilidade e assim determinarmos o intervalo a ser utilizado no UVM. Nosso objetivo é estimar o intervalo de volatilidade no UVM para o período de vigência da estratégia ótima. Esse intervalo de volatilidade deve conter os valores mínimos e máximos que a volatilidade futura realizada do ativo subjacente poderá assumir em cada instante de tempo no intervalo considerado. Para definição dos intervalos de máximo e mínimo do UVM adotaremos uma abordagem que se baseará no valor histórico da volatilidade implícita da opção at the money, utilizando o valor máximo e mínimo observado para um determinado período dentro de uma janela móvel para estabelecer o intervalo do modelo de volatilidade incerta. Detalharemos melhor essa abordagem a seguir Média Móvel utilizando volatilidade implicita Como descrito anteriormente, a volatilidade implícita é a volatilidade que uma vez inserida no modelo de Black & Scholes nos fornece o preço de mercado negociado. Calculamos a volatilidade implícita das opções da ação preferencial da Petrobrás (PETR4) para o período entre 0/03/08 e 0/01/14, utilizando os preços médios de fechamento das opções mais liquidas, desconsiderando assim, para efeito de cálculo da volatilidade, os efeitos do bid and ask spread.

51 51 Foram consideradas apenas as opções de vencimentos mais curtos, até no máximo 3 meses, uma vez que para os vencimentos mais longos, devido à falta de liquidez do mercado, não existem informações confiáveis sobre os valores de mercado dos derivativos. Foram calculadas as volatilidades implícitas de cada uma dessas opções, para cada uma das datas de cálculo no período entre 19/05/08 e 0/01/14. Para a estimação de nosso intervalo de volatilidade do UVM, utilizaremos a informação do valor da volatilidade implícita da opção at the money, ou seja, da opção cujo valor de delta é 0.5. Para isso, transformamos a superfície de volatilidade calculada a partir dos preços de mercado das opções de strike fixo, em uma superfície no formato delta por prazo. Essa é uma maneira usual adotada pelos operadores de mercado para normalizar a superfície, uma vez que os deltas serão mesmos para todas as datas de cálculo, diferentemente do que ocorre quando considerada uma superfície no formato strike por prazo. Para o cálculo da superfície normalizada, foram adotados os valores de delta 0.10, 0.5, 0.50 (at the money), 0.75 e 0.90 e os prazos 1, 4, 63. Na figura 4 estão representados para o período em questão, os valores das volatilidades implícitas para as opções (teórica) cujo delta é 0.5 e o prazo até o vencimento de 1 dias uteis. Pela figura, podemos ver claramente que o valor da volatilidade implícita tem um comportamento bem volátil e imprevisível, diferentemente da hipótese assumida no modelo de Black & Scholes..5 Volatilidade Implicita Delta 0.5 Prazo 1 du Volatilidade /01/09 01/01/10 01/01/11 01/01/1 01/01/13 01/01/14 Data de Cálculo figura 4: Volatilidade implícita da opção de delta 0.5 e prazo 1 d.u

52 5 Utilizaremos esses valores de volatilidade para definir o intervalo de máximo e mínimo do UVM. Para uma determinada data de cálculo, utilizaremos os 4 dias anteriores para calcular o valor máximo e mínimo da volatilidade nesse período e então utilizaremos esses valores para definir intervalo do UVM a ser considerado para o dia posterior. Na figura 5 temos representados os intervalos de máximo e mínimo para cada uma das datas de cálculo para um período de dois anos, estimados a partir da volatilidade implícita da opção at the money de prazo 1 dias uteis..5 Intervalo Volatilidade UVM Volatilidade Delta 0.5 Volatilidade Maxima UVM Volatilidade Minimaa UVM Volatilidade /04/08 10/07/09 7/09/10 1/1/11 04/03/13 Data de Cálculo figura 5: Intervalo do UVM estimado a partir da volatilidade implícita histórica Utilizaremos o intervalo do UVM estimado a partir da metodologia de mínimos e máximos da volatilidade considerando uma janela móvel de 4 dias para efetuar o backtesting de nossa estratégia de arbitragem estatística. A seguir, detalharemos cada uma das etapas envolvidas e apresentaremos os resultados obtidos.

53 53 4. Resultado de casos práticos da aplicação do Modelo de Arbitragem Estatistica Chegou o momento de aplicarmos os conceitos discutidos ao longo do trabalho. Utilizaremos o modelo de volatilidade incerta, cujo intervalo foi definido conforme metodologia descrita no item capitulo 3.6, juntamente com o conceito de Hedging Estático para otimização dos cálculos e identificação de oportunidades de arbitragem estatística no mercado de opções. Utilizaremos na definição de nossa estratégia de arbitragem as opções de PETR4 negociadas no período entre 19/05/08 e 0/01/14. Para todos os cálculos que efetuaremos a partir desse momento, consideraremos as opções listadas na tabela na elaboração de nossa estratégia de arbitragem. Cada linha contém 11 opções (PETR4) de diferentes strikes e de mesmo vencimento. A estratégia de arbitragem irá considerar, em cada data de cálculo, o conjunto das 11 opções cujo vencimento está mais próximo. Assim, por exemplo, para a data de cálculo de 0/07/08 serão consideradas na estruturação da estratégia de arbitragem as opções cujo vencimento é 15/09/08. As mesmas opções serão consideradas até um dia antes do seu vencimento, ou seja, até a data de cálculo de 14/09/08. Do dia 15/09/08 até a data de cálculo de 18/11/09 serão consideradas na estratégia de arbitragem apenas as opções cujo vencimento é 16/11/09,. Assim será sucessivamente até a data de 19/01/14, totalizando ao todo 35 diferentes carteiras de opções para a estruturação da estratégia de arbitragem estatística, cada uma contendo 11 opções de mesmo vencimento.

54 54 tabela : Vencimento e strike das opções consideradas 4.1. Arbitragem Estatistica utilizando o Modelo de Volatilidade Incerta e o conceito de Hedging Estatico Para a aplicação do modelo de arbitragem estatística utilizaremos um algoritmo de minimização do MATLAB para verificar a existência de arbitragem nos preços de mercado das opções de PETR4, considerando o intervalo de volatilidade para o UVM representado na figura 5. Apresentaremos a seguir os passos envolvidos na definição da estratégia de arbitragem para cada um dos períodos em questão. O mesmo racional será utilizado em todos os períodos.

55 55 1º. Passo: consideração do intervalo de volatilidade estabelecido no UVM para o período referente a estratégia em questão. Na figura 6 temos o intervalo considerado para o primeiro período entre 19/05/08 e 0/07/08. Em cada data de cálculo temos um valor do limite superior e do limite inferior para a definição do intervalo do UVM. Assim, em cada data consideraremos nos cálculos o seu respectivo intervalo para efetuarmos a identificação de oportunidades de arbitragem. No período em questão, consideraremos também para os cálculos as 11 opções cujo vencimento é 1/07/08. figura 6: Intervalo UVM para o período entre 19/05/08 e 1/07/08 º. Passo: identificação de oportunidades de arbitragem estatística. Primeiramente estabelecemos o limite de quantidade para compra e venda das 11 opções consideradas no período. No presente trabalho, definimos o limite para compra e para a venda de quantidades em módulo para uma das 11 opções consideradas em cada data de cálculo. Esse é um limite simbólico suficiente para atingirmos nosso objetivo, que é a identificação de tais oportunidades de arbitragem. No entanto, na prática, um operador utilizaria limites muito maiores de forma a obter o maior lucro possível. Os limites seriam assim restringidos pela liquidez de cada uma das opções envolvidas, sendo maior para as opções liquidas e menor para as opções ilíquidas.

56 56 Para um portfólio qualquer, composto pela combinação das opções consideradas em cada data de cálculo (limitadas a em módulo), a oportunidade de arbitragem se concretizará quando o valor do portfólio apreçado sob o UVM for maior que a soma dos prêmios recebidos por cada opção, no caso da venda, e pagos por cada opção, no caso da compra. Expressando em termos matemáticos, teremos uma oportunidade de arbitragem estatística em uma determinada data de cálculo t, quando: 11, i, V t V t i1 i V i t, EQUAÇÃO 54 Vi t, se i 0 Vi t, se i 0 e i, i, V t V t onde, i V t é o valor de mercado da opção i ; i é a quantidade da opção i que compõe o portfólio; V t, é o valor do portfólio composto por i Vi t, 11 i1. Para identificar uma oportunidade de arbitragem, iremos minimizar a seguinte função 11 f ( i) V t, i V t, i i1 equação 55

57 57 Caso não haja oportunidade de arbitragem alguma, o valor da função da será zero, caso haja oportunidade de arbitragem, o valor da função será algum valor negativo. Assim, para cada um dos 35 períodos considerados, procuraremos oportunidades de arbitragem em todas as datas de cálculo. Dentro de cada período, serão consideradas as respectivas opções de vencimento mais próximo, até a data anterior ao vencimento dessas opções. 3º. Passo: efetuar o delta hedge da exposição remanescente Identificar a oportunidade de arbitragem estatística e efetuar a compra e venda das opções necessárias é apenas parte do trabalho. Para compor a estratégia replicante ótima, é necessário efetuar o delta hedge da exposição remanescente. Como o ajuste considerado não é continuo, certamente teremos a influência dos efeitos do hedge discreto, analisados no capitulo 3.3, no resultado de nossa arbitragem. Aplicamos todos os passos descritos acima para cada um dos respectivos períodos considerados. Apresentaremos a seguir os resultados da estratégia replicante ótima para cada um dos períodos em questão. Apresentaremos a seguir os resultados obtidos da aplicação do nosso modelo de arbitragem estatística. Faremos a apresentação desses resultados em diferentes casos. 4.. Arbitragem Estatística desconsiderando o bid and ask spread e os custos de transação Nesse primeiro exemplo, iremos desconsiderar tanto o bid and ask spread dos preços das opções listadas na tabela quanto os custos de transação referentes ao delta hedge quanto. Assim, ao minimizarmos a função: 11 f ( i) V t, i V t, i i1 Consideraremos os preços médios de mercado dados por:, i, V t V t i i equação 56, i, V t V t

58 58 Também serão desconsiderados aqui os custos de transação relacionados aos ajustes do delta hedge. Assim, para os 35 períodos considerados entre 19/05/08 e 0/01/14, identificamos oportunidades de arbitragem em 3 deles. Nos períodos compreendidos entre 16/11/10 e 17/01/11, 18/09/13 e 18/11/13, 19/11/13 e 0/01/14, não identificamos em nenhum momento uma oportunidade de arbitragem. O intervalo de volatilidade mínimo e máximo do UVM considerado no momento em que foi identificada a arbitragem estatística em cada um dos 3 períodos em questão, e as respectivas volatilidades realizadas nesses períodos estão representados na figura 7. Os pontos em que os valores de volatilidade são iguais a zero representam os períodos em que não foram identificadas oportunidades de arbitragem. A volatilidade realizada no período é a raiz da soma dos retornos logarítmicos quadráticos, na forma anualizada, entre a data da identificação da arbitragem e a data final do período em questão. Ou seja: realizada tn t0 n1 i1 5 ln t t i0 i n 0 equação 57 onde é o prazo em dias uteis entre a data de identificação da arbitragem estatística e a data final do período em questão.

59 59 150% Comparativo Volatilidades Vol Realizada Vol Máximo UVM Vol Minima UVM 100% Volatilidade 50% 0 1/jul/08 16/mar/09 18/jan/10 16/nov/10 19/set/11 16/jul/1 0/mai/130/jan/14 Data de Vencimento das Opções Consideradas figura 7: Comparativo entre a volatilidade do UVM e a volatilidade realizada Para a apuração do resultado da estratégia replicante ótima, também foram aqui desconsiderando o bid and ask spread e os custos de transação. Dessa forma, a apuração do resultado da estratégia está aderente ao modelo utilizado, uma vez que em nossas equações também fizemos essa desconsideração. Na figura 8, os pontos verdes representam uma variável que assume o valor 1 caso a condição necessária para que a arbitragem seja concretizada tenha sido satisfeita, ou seja, períodos em que foram identificadas oportunidades de arbitragem e cuja volatilidade realizada tenha ficado contida no intervalo definido pelo UVM, e -1 caso contrário, ou seja, períodos em que foram identificadas oportunidades de arbitragem e cuja volatilidade realizada tenha sido superior ou inferior aos limites definidos pelo UVM. Nesse último caso, a oportunidade de arbitragem não se concretizou, e a estratégia replicante ficou sujeita a apresentar perdas financeiras. Os períodos em que a variável apresentou valor zero são os períodos em que não foram identificadas oportunidades de arbitragem. As barras azuis representam o resultado financeiro da estratégia replicante ótima em cada um dos 35 períodos.

60 60 5 Resultado Estratégia Replicante Ótima 0 Resultado /jul/08 16/mar/09 18/jan/10 16/nov/10 19/set/11 16/jul/1 0/mai/13 0/jan/14 Data de Vencimento das Opções Consideradas Resultado da Estratégia Replicante Ótima 1 caso Vol Minima UVM < Vol Realizada < Vol Máxima UVM -1 caso Vol Minima UVM > Vol Realizada ou Vol Máxima UVM > Vol Realizada 0 caso não foi identificada oportunidade de Arbitragem Estatistica figura 8: Resultado estratégia replicante ótima desconsiderando o bid and ask spread e os custos de transação Podemos notar que exceto em períodos em que a condição para que a arbitragem foi satisfeita, a estratégia apresentou resultados positivos (elipses vermelhas). Possivelmente, para os dois casos de exceção, os efeitos advindos do delta discreto contribuíram para que os resultados obtidos tenham sido negativos. No entanto, nesse momento, não aprofundamos a análise para verificar se, de fato, esse foi o motivo ou se outros fatores contribuíram para que a arbitragem falhasse. Para as demais situações, onde não foi satisfeita a condição para arbitragem se concretizar, o resultado da estratégia apresentou tanto valores positivos quanto valores negativos. Nesses casos, a estratégia ficou exposta ao risco de volatilidade sendo assim seu resultado imprevisível. O grande problema dos resultados apresentados figura 8 é que eles não são condizentes com a realidade. Ou seja, ao efetuarmos as compras e vendas das opções para elaborarmos o portfólio, incorreremos no bid and ask spread aumentando assim o custo inicial da operação. Da mesma forma, ao efetuarmos os ajustes de delta hedge incorreremos nos custos relacionados a compra e venda da ação. Dessa maneira, o resultado real da estratégia deve obrigatoriamente considerar esses efeitos.

61 61 A figura 9 apresenta um comparativo dos resultados da estratégia replicante ótima apurados com e sem a inclusão do bid and ask spread e custos de transação. Obviamente, a inclusão desses efeitos sempre reduzirá o resultado aferido. Os custos de transação considerados para a data de cálculo são dados por: Custos t i, i, i1 dv t dv t i i i 0.01% ds ds equação 58 Ou seja, é o valor financeiro da diferença do delta calculado para o portfólio i V t, i 1 entre as datas t i e ti 1 multiplicado pelo valor do ativo objeto e por uma constante cujo valor é 0.01%. A figura 9 mostra como a inclusão dos custos no cálculo do resultado podem simplesmente inviabilizar a arbitragem estatística. 5 Resultado Estratégia Replicante Ótima 0-5 Resultado /jul/08 16/mar/09 18/jan/10 16/nov/10 19/set/11 16/jul/1 0/mai/13 0/jan/14 Data de Vencimento das Opções Consideradas Resultado da Estratégia Replicante Ótima com Bid and Ask Spread e Custos Resultado da Estratégia Replicante Ótima figura 9: Comparativo resultado estratégia replicante ótima com e sem a consideração bid and as spread e dos custos de transação A conclusão que chegamos é que é fundamental incluirmos os efeitos do bid and ask spread e dos custos de transação em nosso modelo de arbitragem, de maneira levar em

62 6 consideração tais efeitos nos cálculos e reduzir a probabilidade de cometermos equívocos na identificação das oportunidades de arbitragem Arbitragem Estatística incluindo o bid and ask spread e os custos de transação Novamente utilizaremos a minimização da função f ( i ) para identificarmos oportunidades de arbitragem estatística: 11 f ( i) V t, i V t, i i1 No entanto, ao invés de considerarmos os preços médios de mercado das opções de PETR4, consideraremos os preços das ofertas de compra e de venda. Consideraremos então: V i t, Vi t, se i 0 Vi t, se i 0 onde i, i, V t V t Assim, os custos iniciais da estratégia replicante, representados por V t, 11 i i, i1 serão sempre mais elevados do que os custos iniciais calculados sem a inclusão do bid and ask spread. Incluiremos também no modelo os custos de transação relacionados ao delta hedge da exposição remanescente do portfólio V t,. Como apresentado capítulo 3.4, os custos de transação serão incorporados em nosso modelo através de um ajuste nos limites superiores e inferiores para o valor da volatilidade utilizado no UVM. O ajuste no intervalo de volatilidade do UVM originalmente considerado é dado por:

63 63 k t MIN * MIN t MIN t 1 t caso, d V t d 0, e t * MAX t MAX t 1 k MAX t caso, d V t d 0. onde MAX t é o limite superior original do UVM para cada data de cálculo t, e MIN t é o limite inferior original do UVM para cada data de cálculo t. Os intervalos de volatilidade utilizados no UVM com a consideração dos custos de transação serão sempre maiores que os intervalos originais. Ou seja, t t t t * * MIN MIN MAX MAX Dessa forma, a inclusão do bid and ask spread e dos custos de transação tornarão mais difíceis a identificação de oportunidades de arbitragem estatística. Com o modelo adaptado para incluir ambos os efeitos citados, entre os 35 períodos considerados entre 19/05/08 e 0/01/14, identificamos oportunidades de arbitragem em somente 15 dos 35 períodos considerados. A figura 10 representa o intervalo de máximo e mínimo do UVM considerado no momento em que foi identificada a arbitragem e as respectivas volatilidades realizadas nesses períodos.

64 64 150% Comparativo Volatilidades Vol Realizada Vol Máxima UVM Vol Mínima UVM 100% Volatilidade 50% 0 1/jul/08 16/mar/09 18/jan/10 16/nov/10 19/set/11 16/jul/1 0/mai/13 0/jan/14 Data de Vencimento das Opções Consideradas figura 10: Comparativo entre a volatilidade do UVM e a volatilidade realizada para estratégia com a inclusão de custos Na figura 11 temos o resultado apurado da estratégia replicante ótima considerando no cálculo o bid and ask spread e os custos de transação do delta hedge. Nesse momento, consideramos o ajuste diário de delta hedge. 4 Resultado Estratégia Replicante Ótima 0 - Resultado /jul/08 16/mar/09 18/jan/10 16/nov/10 19/set/11 16/jul/1 0/mai/13 0/jan/14 Data de Vencimento das Opções Consideradas 1 caso Vol Minima UVM < Vol Realizada < Vol Máxima UVM -1 caso Vol Minima UVM > Vol Realizada ou Vol Máxima UVM > Vol Realizada 0 caso não foi identificada oportunidade de Arbitragem Estatistica Resultado da Estratégia Replicante Ótima figura 11: Resultado estratégia replicante ótima considerando o bid and ask spread e os custos de transação

65 65 Notamos que mesmo nos casos em que as condições para concretização da arbitragem se verificaram, a estratégia replicante ótima apresentou resultados negativos, apesar de haver uma redução significativa dessas perdas quando comparadas a situação em que os custos não foram incorporados no modelo. Uma possível explicação para as perdas apresentadas é que a consideração dos custos de transação utilizando a esperança dos custos futuros, baseado no modelo de Leland, pode ser insuficiente. Incorporaremos agora outra consideração importante em nosso modelo. Ao invés de adotarmos simplesmente ajustes diários para o delta hedge, vamos adotar um critério de relevância das oscilações diárias do valor do delta para estabelecer quando devemos reajustar o delta hedge. Utilizaremos assim, o seguinte critério em nossa próxima simulação: caso o valor do delta na data de cálculo seja até 0% superior ou inferior, em módulo, ao valor do delta na data anterior, então não reajustaremos o delta hedge, evitando incorrer em custos de transação. Caso contrário, o delta hedge será reajustado e consequentemente incorreremos em custos de transação. Em termos matemáticos, o delta hedge será ajustado se, e somente se: i i1 dv ti 1, 1 dv ti 1, i 1 80% ti ou 10% d d i1 t i Na figura 1 temos o comparativo entre os resultados da estratégia replicante ótima (com os custos inclusos) utilizando o ajuste do delta hedge diário e o ajuste do delta hedge condicionado a regra acima.

66 66 4 Resultado Estratégia Replicante Ótima 0 - Resultado /jul/08 16/mar/09 18/jan/10 16/nov/10 19/set/11 16/jul/1 0/mai/13 0/jan/14 Data de Vencimento das Opções Consideradas Resultado da Estratégia Replicante Ótima com Ajuste Condicional Resultado da Estratégia Replicante Ótima com Ajuste Diário 1 caso Vol Minima UVM < Vol Realizada < Vol Máxima UVM -1 caso Vol Minima UVM > Vol Realizada ou Vol Máxima UVM > Vol Realizada 0 caso não foi identificada oportunidade de Arbitragem figura 1: Comparativo resultado estratégia replicante ótima com ajuste diário e com ajuste condicional De fato, ao adotarmos o ajuste condicional do delta hedge, houve uma redução significativa dos custos de transação e consequentemente uma melhora do resultado apurado para estratégia replicante. No entanto, mesmo adotando o ajuste condicional, na maior parte dos casos a estratégia apresentou resultados negativos, mesmo nas situações em que a condição para arbitragem se concretizou. No próximo item do capitulo analisaremos melhor os resultados obtidos da aplicação do nosso modelo de arbitragem estatística Análise geral dos resultados obtidos O modelo se propõe a identificar oportunidades de arbitragem estatística para assim obtermos ganhos financeiros com sua aplicação. No entanto, estamos falando aqui de oportunidades de arbitragem estatísticas, e não puras, ou seja, o modelo pode simplesmente falhar na identificação de situações arbitragens. Para que a arbitragem estatística seja bem sucedida, explicamos que é necessário que a volatilidade realizada no

67 67 período em questão esteja contida dentro do intervalo considerado no UVM. Caso as condições necessárias para concretização da arbitragem sejam satisfeitas, esperamos obter um resultado positivo em nossa estratégia, caso contrário, o resultado pode ser tanto positivo quanto negativo. Nesse último caso falhamos. Quando as condições necessárias para concretização não são satisfeitas a falha se deve a definição do intervalo de volatilidade utilizado no UVM que se provou incorreta. Essa é uma falha ocasionada pelo modelo adotado para estimar o intervalo a ser utilizado no UVM. Realmente, utilizamos um método muito simples para definir os intervalos de volatilidade do UVM, utilizando o valor máximo e mínimo da volatilidade implícita em uma janela de 4 dias uteis da volatilidade implícita at the money. Esse método é integralmente baseado no comportamento passado recente da volatilidade implícita, e é incapaz, por exemplo, de capturar quebras estruturais. A definição do intervalo do UVM é peça central na identificação e sucesso de nossa estratégia de arbitragem, e certamente a utilização de modelos mais sofisticados poderia reduzir o número de falhas do modelo. Certamente, em pesquisas futuras a definição dos intervalos do UVM deve ser abordada de forma mais cuidadosa. No entanto, para explicarmos os resultados obtidos, devemos também analisar os casos em que a condição necessária para concretização da arbitragem foi satisfeita. Nessa situação, o intervalo definido para o UVM se mostrou correto. Primeiramente, vamos analisar os valores obtidos pela estratégia replicante ótima quando foram desconsiderados todos os custos na apuração do resultado (figura 8). Apenas para relembrar, nesse caso, o modelo também não incorporou estes custos na apuração dos resultados da estratégia de arbitragem. Neste caso, com a exceção de duas situações, nos períodos em que a condição para arbitragem foi satisfeita, estratégia apresentou resultados positivos. Comentamos que, possivelmente, nos dois casos de exceção os efeitos do hedge discreto influenciaram o resultado. No entanto, de maneira geral, nas situações em que a estimativa do intervalo do UVM se provou correta, e desconsiderando os custos nas equações e na apuração do resultado, nosso modelo foi bem sucedido. Ou seja, obtivemos lucro na aplicação da estratégia replicante ótima. Porém, ao incorporarmos os custos de transação, tanto no modelo quanto na apuração do resultado, o modelo foi mal sucedido (figura 11 e figura 1). Como explicado, esses custos devem ser incorporados no modelo pois de fato existem. O bid and ask spread é

68 68 incorporado de forma direta no modelo, bastando considerar o diferencial dos preços de compra e venda ao utilizarmos o algoritmo para identificação da estratégia de arbitragem. O problema está na incorporação dos custos relacionados ao delta hedge, incorporados no modelo através de um ajuste da volatilidade baseado no modelo proposto por Leland. O modelo incorpora os custos através da consideração das expectativas futuras do incremento do delta hedge. Dessa forma, a diferença entre os custos considerados e os custos realizados pode ser significativa, principalmente em mercados muito voláteis. Ou seja, em alguns casos estamos superestimando e em outros subestimando os custos em nosso modelo. Isso pode ser o suficiente para que mesmo nos casos em que as condições para arbitragem tenham sido satisfeitas, a estratégia tenha apresentado resultados negativos. Adotando o ajuste do delta hedge diário (figura 11), das 10 situações em que a condição para arbitragem foi satisfeita apenas em o resultado da estratégia foi positivo, e adotando o ajuste de delta hedge condicional (figura 1) apenas em 4 situações o resultado foi positivo. Para termos conclusões mais precisas sobre o motivo do nosso modelo ter sido mal sucedido, seria necessário ter um número muito maior de dados para análise.

69 69 5. Conclusões Neste trabalho foi utilizado o modelo de volatilidade incerta juntamente com o conceito de Hedging Estático com o objetivo de identificarmos oportunidades de arbitragem estatística no mercado brasileiro de opções. Uma vez que tais oportunidades foram identificadas, foi composta uma estratégia replicante auto financiável com o objetivo de obtermos lucros. Ao contrário do que o modelo de Black & Scholes admite, sabemos que a volatilidade do ativo subjacente não pode ser observada no mercado, uma vez que não é diretamente negociada, e, portanto, é desconhecida. Além disso, o seu comportamento futuro é completamente imprevisível. Ou seja, há uma incerteza relacionada a volatilidade do ativo, incerteza essa que não pode ser neutralizada através do delta hedge. Assim, a estratégia replicante estará sempre exposta ao risco de volatilidade e, consequentemente, seu resultado final será incerto. No presente trabalho, procuramos identificar no mercado de opções oportunidades de arbitragens estatística, e não pura, uma vez que o resultado da estratégia replicante está condicionado ao comportamento futuro da volatilidade do ativo subjacente. Na identificação de oportunidades de arbitragem estatística, consideramos sempre o valor do portfólio sob o worst case scenario. O conceito Hedging Estático Ótimo foi utilizado com o propósito de maximizarmos os ganhos provenientes da arbitragem através da escolha ótima das quantidades individuais das opções que compõem o portfólio de derivativos. Uma vez identificada uma oportunidade de arbitragem estatística e definidas as quantidades ótimas dos derivativos que compõem o portfólio, efetuamos o delta hedge da exposição remanescente de forma a neutralizarmos o risco relacionado ao ativo objeto, restando assim apenas o risco relacionado a volatilidade. Obtivemos assim a denominada estratégia replicante ótima. No entanto, o delta hedge trouxe duas questões fundamentais para abordarmos na elaboração do nosso modelo: os efeitos do hedge discreto e dos custos de transação. Dividimos os custos de transação em dois tipos diferentes, um relacionado ao diferencial entre o preço de compra e o preço de venda das opções que compõem o portfólio de derivativos, o chamado bid and ask spread, e outro relacionado aos custos incorridos ao efetuarmos a compra e venda de determinada quantidade do ativo subjacente para efetuarmos o ajuste do delta hedge.

70 70 O bid and ask spread foi incorporado em nosso modelo através da consideração do diferencial entre os preços de compra e venda no cálculo do valor de mercado do portfólio. Ao incluirmos o bid and ask spread, o custo inicial necessário para composição da estratégia replicante ótima é maior do que o calculado sem a sua consideração. No caso dos custos de transação relativos ao delta hedge, verificamos que estes estão correlacionados com os efeitos advindos do hedge discreto, uma vez que ambos dependem da frequência de ajustes com que o delta hedge é efetuado. Quanto menor for a frequência do ajuste do delta hedge, menor será o valor dos custos de transação e maior será a incerteza relacionada ao hedge discreto. Em contrapartida, quanto maior for a frequência do ajuste do delta hedge, maior será o valor dos custos de transação e menor será a incerteza relacionada ao hedge discreto se. Assim, de forma a contemplarmos ambos os efeitos, primeiramente incorporamos os custos de transação na equação diferencial não linear do nosso modelo através de um ajuste do intervalo de volatilidade considerado no UVM, baseado no modelo proposto por Leland em Em seguida, estabelecemos um critério para definir a frequência do ajuste do delta hedge, de forma a não incorrermos em custos de transação quando, pelo critério adotado, os ajustes são desnecessários. Efetuamos a implementação de nosso modelo em duas etapas. Primeiramente, utilizamos o método numérico de diferenças finitas para obtermos a solução da equação diferencial não linear e assim calcularmos o worst case scenario para o valor do portfólio composto por derivativos. Em seguida, utilizamos um algoritmo de minimização do MATLAB para identificarmos eventuais oportunidades de arbitragem e calcularmos as quantidades ótimas das opções envolvidas, de forma a maximizarmos os ganhos de nossa estratégia. Acreditamos que a principal contribuição de nosso trabalho foi no desenvolvimento de um modelo de arbitragem estatística que incorpora os principais riscos e custos envolvidos na elaboração de uma estratégia auto financiável, utilizando em sua elaboração o UVM e incorporando os custos de transação através de um ajuste simples no valor do intervalo de volatilidade considerado. Inicialmente, acreditávamos que a utilização do UVM permitiria obtermos um modelo robusto para identificarmos oportunidades de arbitragem estatística, uma vez que não impomos premissas rígidas sobre o comportamento da volatilidade futura do ativo subjacente e também incorporamos os custos de transação relativos a estratégia replicante.

71 71 No entanto, o que notamos na aplicação do nosso modelo é que o comportamento da volatilidade da ação PETR4 é extremamente volátil. Assim, mesmo adotando o UVM, em diversas situações, o valor da volatilidade realizada excedeu os limites impostos no modelo. Como explicado, nessas situações a arbitragem identificada pelo modelo se mostrou incorreta. Outro problema identificado em nosso modelo é relativo a incorporação dos custos de transação do delta hedge baseado no modelo proposto por Leland. Foi possível notar que ao considerarmos os custos de transação tanto na equação do modelo desenvolvido quanto na apuração do resultado real da estratégia replicante ótima, mesmo nas situações em que foram satisfeitas as condições necessárias para concretização da arbitragem, obtivemos perdas financeiras. Esse é um indicio claro de que a incorporação dos custos de transação baseado no modelo de Leland é pouco eficaz. Para futuras pesquisas, sugerimos o desenvolvimento de modelos mais robustos para estimação do intervalo de volatilidade a ser utilizado no UVM, assim como para incorporação dos custos de transação. Outro tópico a ser estudado de forma mais profunda e completa é referente a definição de estratégias de hedge que considerem simultaneamente os efeitos advindos do delta discreto e dos custos de transação. Tais estratégias podem ser elaboradas para diferentes perfis de risco, estabelecendo-se assim relações claras entre risco e resultado esperado para cada uma das estratégias.

72 7 Referências Avellaneda, M., Levy, A. e Parás, A., Pricing and hedging derivative securities in markets with uncertain volatilities, Applied Mathematical Finance, 1995 Avellaneda, M. e Parás, A., Managing the volatility risk of portfolios of derivative securities: the Lagrangian uncertais volatility model, Applied Mathematical Finance, 1996 Black, F., and Scholes, M., The pricing of options and corporate liabilities, J. Political Economy, 81, 1973 Leland, H., Option Pricing and Replication with Transactions Costs, The Journal of Finance, 1995 Wimott, P., Discrete Charms, Risk Magazine, 1994 Wilmott, P., Hoggard, T., and Whalley, A. Elizabeth, Hedging Option Portfolios in the Presence of Transaction Costs, Advances in Futures and Options Research, Wimott, P., Quantitative Finance, 007

73 73 Anexo I Valor de um call spread sob o UVM Para nossa primeira analise utilizando o UVM vamos considerar um portfólio composto pela compra de uma opção de compra (call) strike 90 e a venda de uma opção de compra strike 110. O gamma dessa posição varia de acordo com o valor do ativo subjacente, sendo positivo quando o preço do ativo está mais próximo de 90 e negativo quando o preço do ativo está mais próximo de 110. Iremos apreçar o portfólio utilizando o modelo clássico de Black & Scholes, ou seja, assumindo o valor da volatilidade como sendo constante ( ) considerando os valores de 10%, 5% e 40%, e utilizaremos o UVM para calcular o valor do portfólio utilizando a equação parcial não linear (considerando o intervalo t 10% 40% ) de forma a obter os limites superiores e inferiores do valor do portfólio. Na figura 13 temos os valores do portfólio para os cinco casos, considerando o valor inicial de de 0 a 00. t St variando de Preço das Opções Comparativo Preço das Opções V(+) Limite Superior V(-) Limite Inferior Preço Opção Vol 5% Preço Opção Vol 10% Preço Opção Vol 40% Valor do ativo subjacente figura 13:Comparativo do preço das opções sob o UVM Podemos verificar que a utilização do valor da volatilidade do ativo subjacente como sendo constante pode superestimar, quando procuramos calcular o menor valor do portfólio

74 74 (worst case scenario), ou subestimar, quando procuramos calcular o maior valor do portfólio (best case scenario).

75 75 Anexo II Resultado de uma estratégia replicante ótima Como exemplo, vamos considerar um portfólio replicante t, composto pela venda de uma call plain vanilla com strike 90 com vencimento t 0.5 e a compra de t quantidades de ações. O valor da taxa livre de risco considerada é constante e igual a r 10%. Para os valores da volatilidade do ativo subjacente consideraremos o seguinte intervalo 10% ( t) 40% Como a call plain vanilla é uma função estritamente crescente em relação a volatilidade, o limite superior de seu valor para qualquer instante de tempo t será obtido quando ( t) 40% e o limite inferior quando ( t) 10%. Dessa forma, a estratégia replicante ótima terá valores positivos uma vez que a opção seja vendida no instante inicial pelo valor do seu limite superior. Assim, caso a volatilidade realizada seja menor que 40%, ou seja, t 40% para t t t e seja efetuado o delta hedge continuamente através da compra do ativo subjacente, a estratégia apresentará apenas resultados positivos. Na figura 14 temos o resultado da estratégia ótima considerando simulações para venda de uma call strike 90 com vencimento t 0.5 e a compra de t quantidades de ações, com t variando de 10% a 40% (mantendo-se constante para todo t 0.5 ). Como consideramos intervalos discretos de tempo para a calibragem do delta hedge da posição (.000 passos para t 05. ), teremos um erro na estratégia advindo do efeito do hedge n 0, n discreto. Exploraremos posteriormente de forma mais detalhada tal efeito.

76 76 Distribuição Resultado Distribuição Resultado da Estratégia Replicante Ótima Autofinanciavel Volatilidade Realizada entre t0 e tn (%) figura 14: Distribuição do resultado da estratégia replicante ótima autofinanciável

77 77

78 78 Anexo III - Implementação numérica UVM Como estamos tratando de equações diferenciais não lineares, toda a implementação de código feita para o presente trabalho utilizou o método de diferenças finitas explicito. O objetivo aqui não será explicar detalhadamente o método de diferenças finitas explicito, mas sim destacar como incorporaremos no método a incerteza relacionada ao valor da volatilidade. Novamente reforçando, trataremos aqui apenas dos cálculos envolvendo o worst case scenario. Vamos considerar o seguinte esquema: Para calcular o valor do portfólio composto por derivativos no instante t j 1 a partir do instante t j, devemos considerar as suas derivadas parciais, dadas por: e dv t, V t, V t, d j1 i j1 j i1 j j i1 j i j1 i1 j i1 j equação 59 Si 1 t j Si t j Si t j Si 1t j d V t j1, Si t j1 V t j, Si 1 t j V t j, Si t j V t j, Si 1 t j ds i t j1 equação 60

79 79 O valor de V t j 1, Si t j 1 será, portanto: * d V t j1, Si t j1 V t j1, Si t j1 V t j, Si t j t j t j1 t j1 Si t j1 ds dv t j1, Si t j1 1, r t r t V t ds i j j i j equação 61 Onde, sob o worst case scenario * 1 t j MIN caso d V t j1, Si t j1 ds 0 e * 1 t j MAX caso d V t j1, Si t j1 ds 0 Assim, o valor adotado para a volatilidade está condicionado ao valor do gamma da função em cada ponto do grid. Esse procedimento é repetido de forma a encontrar o valor do portfólio até o instante inicial t 0.

80 80 Anexo IV - Considerações sobre o bid and ask spread Definiremos os seguintes valores para o bid price e ask price V9 t0, e V t, 1.01 equação 6 onde V9 t0, 0 representa o valor de venda e V9 t0, 0 opção com strike 9. e V35 t0, e V35 t0, equação o valor de compra da onde V35 t0, 0 representa o valor de venda e V35 t0, 0 opção com strike 35. o valor de compra da Onde o exercício de otimização consiste em maximizarmos o valor de f, max V t, V t, V t, equação 64 e minimizarmos o valor de g, min V t, V t, V t, equação 65 Após resolvermos o problema, obtemos os seguintes resultados:

81 f,.9 para e e 9 35 g,.70 para e Obtemos um intervalo de volatilidade implícita para o preço de t 9.% 34.8% V, t entre: Obviamente maior que o intervalo de volatilidade obtido quando desconsideramos os efeitos do bid and ask spread ( 31.5% t 33.0% ).

82 8 Anexo V Incremento do portfólio replicante no tempo discreto Como estamos trabalhando no tempo discreto, utilizaremos a expansão de Taylor para calcular o valor do incremento do portfólio replicante. Expandindo o termo obtemos d d d d d 3 t x t x x x... 3 dt dx dtdx dx 6 dx equação 66 St Uma vez que e e t x t t t t x t t t t O t Efetuando-se as devidas substituições 3 3 x t t O t 3 t 3 1 t t t t t t t t O t 6 equação 67 De forma que para St temos

83 83 t t t t t O t 3/ 1 equação 68 t e para St 3 temos 3 3/ t t O t equação 69 Diferentemente de quando trabalhamos no tempo continuo, consideraremos os termos de 3/ ordem t uma vez que eles serão diferentes de zero e não desprezíveis. Se considerássemos apenas os termos de ordem t não obteríamos resultados distintos dos verificados no modelo continuo. Para o termo V t,, aplicando a expansão de Taylor, temos dv t, V t, t t d, 1, 3/ t t d V t, dtd 1 dv t, t t d dv t dt d V t t d t S 1 6, 3 3 d V t d 3 3 t t dv t, 6 d t O t t, 1 d V t t t t d equação 70

84 84 Podemos calcular & Scholes. d V t, dtd utilizando a equação diferencial parcial do modelo de Black dv t, dv t, 1 d V t, r t r V t, 0 dt d d dv t, dv t, 1 d V t, r t r V t, dt d d Assim 3 d V t, d V t, d V t, 1 d V t, r S tt S t t 3 dtd d d d equação 71 Fazendo a substituição da equação 71 na equação 70 obtemos

85 85 dv t, V t, t t d 1 t, dv t d V t S t d, 1, dt 3/ t t 3 dv t S d 3 3 t t dv t, 6 d 3 3 r t t t, 3 6 d d V t equação 7, d V t S 1 3 d Uma vez que o portfólio replicante é dado por,, t V t equação 73 Obtemos então o incremento do portfólio replicante no tempo discreto dado por

86 86 dv t, t, t t d, 1, 3/ t t t 1 dv t, t t d dv t dt d V t t d t 3 3 dv t, t 6 ds r t t t 3, d V t t 6 d equação 74, d V t d

87 87 Anexo VI Minimização da variância do incremento do portfólio replicante A variância do incremento do portfólio replicante pode ser calculada por: Calculando Var t, t, t, t,, temos: equação 75

88 88, 1, dv t, 3/ dv t, t, t t t t d d t 1 dv t, t d dv t dt t 1 4 d V t d d V t, St 6 d V t, dv t, r t d d ds d V t, dv t, 4 t S d d 1 3 d V t, dv t, t t d d 1 t t 1,, dv t, dt d dv t, 4 t t t t d d V t, dv t, d dt dv t 1 4 dv t, dv t, 4 t 3 d dt dv t 1 t t 3 dt 3 4 equação 76 Calculando a esperança de t,, temos:

89 89 t d V t, S dv t, t, t t d dv t, 4 t t t d dv t, dv t, St dt dt 4 3 dv t, d V t, t r 3 t d d 3 4 d t dv t, r 3 t dt 4 d V t, dv t, dv t, 4 d d dt Uma vez que: equação 77 E[ ] 0 E E E [ ] 1 3 [ ] 3 4 [ ] 0 equação 78 A esperança de t, é dada por E, t dv t, 1 d V t, dv t, t t t d ds dt equação 79

90 90 Efetuando-se as devidas substituições, encontramos t 3, d V t dv t, Var t, t t d 1 dv t, t t t 4 d dv t, d V t, r t d d d equação 80 Conforme abordagem adotada, devemos encontrar o que minimiza a variância do portfólio replicante. Para isso, calculamos a derivada da variância em relação a e igualamos a zero o resultado. dvar t, d equação 81 0 Ao calcularmos a derivada da variância em relação a, encontramos: dvar[ t, ] dv t, t d d dv t, t t 4 t d dv t, d V t, r t d d

91 91 equação 8 Dessa forma, o que minimiza a variância do portfólio replicante é dado por: d V t, d t r t dv t, Min d t t 4 t t t equação 83

92 9 Anexo VII Distribuição dos erros de replicação no tempo discreto A distribuição do erro do portfólio replicante pode ser encontrada quando substituímos equação 83 na equação 74. Dessa forma, obtemos a equação: d V t, ( ) d t r t dv t, t, t t d t t 4 t t t d V t, dv t, t ( r t ) t t ds d t t 4 t t t t t 1 dv t, t d 1 dv t, t d 1 d V t, dv t, t d dt equação 84 Efetuando-se os devidos cancelamentos, temos: Rearranjando os termos 1 d V t, dv t, t, t t d d

93 93, 1 d V t, dv t, t, t t d d 1 d V t t t 1 d equação 85 O primeiro termo da equação do lado esquerdo é igual ao obtido no modelo de Black Scholes, e possui incremento igual a taxa livre de risco. O segundo termo do lado esquerdo da equação representa o erro do incremento do portfólio replicante advindo do fato do delta hedge ocorrer em intervalos de tempo discreto. O erro é proporcional ao gamma da opção e possui distribuição Qui-quadrada com média zero:, 1 d V t d t 1 equação 86 onde 1 (0)

94 94 Anexo VIII - Equação diferencial parcial no tempo discreto O segundo passo de nossa estratégia é definir o valor esperado do incremento do portfólio replicante como sendo igual ao incremento proveniente da aplicação a taxa livre de risco. Poderíamos aqui definir diversas estratégias diferentes que buscassem retornos diferentes. No entanto, assim como Wilmott, optamos por definir uma estratégia neutra ao risco de forma que o valor esperado do portfólio replicante no tempo discreto seja igual ao definido no modelo de Black & Scholes. O incremento do portfólio replicante rentabilizado a taxa livre de risco para cada intervalo de tempo t é dado por: ( r t) V t, e equação 87 Utilizando a expansão de Taylor, temos que:, r t, V t e V t r t O t ( ) equação 88 Ignorando os termos de ordem superior: ( ), r t, V t e V t r t equação 89 Igualando a esperança do portfólio replicante a taxa livre de risco, obtemos:,, E t V t r t equação 90

95 95 Onde, conforme definido na equação 79 dv t, 1 d V t, dv t, E t, t t d d dt equação 91 Igualando o lado direito da equação 89 com o da equação 91, temos dv t, d V t, r t t 1 t t S equação 9 d V t St, dv t, d dt Substituindo na equação 9 o valor de calculado na equação 83 encontramos: dv t, 1 d V t, dv t, t d d dt d V t, d t r t dv t, d t t 4 t t t d V t, t r t d 4 t t t dv t, r V 0 d t t equação 93

96 96 Efetuando-se as devidas eliminações dv t, dv t, 1 d V t, r t dt d d ( r) r t t 1 r V t, 0 t t t 4 t t t equação 94 Definindo * t ( r) r t t t 1 t t t 4 t t t equação 95 Encontramos a equação diferencial parcial dv t, 1 * d V t, dv t, r t r V t, 0 d d dt equação 96

97 97 Anexo IX Análise comparativa dos valores do delta hedge no tempo discreto Analisaremos a distribuição dos erros quadráticos utilizando os seguintes valores para 1. Utilizando o delta usual para hedge dv t, ; d. Utilizando o delta que minimiza a variância dos erros de hedge dado por Min Para verificar se a utilização de do portfólio replicante em relação a Min traz benefícios significantes para redução da variância dv t, d dos erros quadráticos ( Soma Erro Q ). Utilizando o delta usual temos:, vamos iniciar nossa análise pela soma n1 ì0 i1, i1 i, i i1 i Soma Erro Q V t V t t Onde o termo i i i i rti1 ti V t, t e 1 equação 97 i1, i1 i, i i1 i V t V t t representa o incremento do portfólio replicante para o intervalo de tempo i1 i e i i i i r ti1ti V t, t e 1 representa o incremento obtido, para o mesmo intervalo de tempo, quando valorizamos o portfólio replicante pela taxa livre de risco. Utilizando o delta que minimiza a variância temos: t t n1 MIN MIN i1, i1 i, i i1 i Soma Erro Q V t V t t ì0 MIN i i i i rti1 ti V t, t e 1

98 98 equação 98 O gráfico da figura 15 representa simulações, com o valor inicial do preço do ativo objeto ( St 0 ) variando de 50.1 até 150, da relação entre os erros de hedge dada por: Soma Erro Q Soma Erro Q MIN 1 Podemos notar que em termos relativos obtemos, como esperado, uma redução da variância do erro de replicação na maior parte dos casos. figura 15: Comparativo dos erros quadráticos No entanto, apesar de haver uma redução da variância do erro de replicação ao escolhermos Min, quando analisamos o resultado na forma absoluta, ou seja, Soma Erro Q MIN Soma Erro Q equação 99 Verificamos que esse efeito é marginal, e não traz benefícios significativos. A figura 16 representa os resultados das diferenças absolutas para diferentes frequências de delta hedge.

99 figura 16: Box Plot 5% / 75% - Comparativo soma dos erros quadráticos 99

100 100 Anexo X Exemplo dos efeitos advindos do hedge dicreto Vamos considerar uma opção de compra (call) com as seguintes características: Preço inicial do ativo subjacente: St Valor da taxa livre de risco: rt 5.0% para t t t Valor da taxa de dividendos: qt 0.0% para t t t 0, n 0, n Valor da taxa referente ao incremento determinístico: t 30.0% Strike K 100 Vencimento T t n 1 Intervalo de tempo considerado entre os ajustes do delta hedge: t t 0.0% Valor da volatilidade: tabela 3: Exemplo hedge discreto com compra de call Para o delta hedge da exposição da opção de compra vamos considerar os casos em que dv t, Min e. d

101 101 dv t, Considerando d, analisaremos o gráfico da evolução do preço da ação versus o somatório dos erros de replicação do portfólio replicante. O erro para cada instante de tempo discreto, i1 i, é dado por: t t,, rti 1ti i, i i i 1 Erro ti 1 ti V ti 1 i 1 V ti i t i 1 i V t t e equação 100 O primeiro e segundo termos do lado esquerdo da equação representam o resultado real t t do portfólio replicante obtido entre i1 i, e o terceiro termo representa o resultado esperado no mundo continuo, que seria igual ao carrego a taxa livre de risco. Como visto anteriormente, o erro de hedge é diretamente proporcional ao gamma da opção. Dessa forma, para um gamma elevado esperamos obter um erro acentuado e para um gamma próximo de zero esperamos obter um erro marginal. O somatório dos erros de replicação será, portanto n1 ì0,, i i i i Soma Erro V ti 1 i 1 V ti i t i 1 i rti1 ti V t, t e 1 equação 101 No exemplo contido na figura 17 notamos, que faltando um ano para o vencimento da opção, temos um erro de hedge elevado uma vez que o gamma da opção também é elevado. Conforme a opção aproxima-se do vencimento e o preço do ativo se afasta do valor do strike, o gamma da opção se reduz significativamente e os erros de hedge praticamente se tornam nulos.

102 10 figura 17: Comparativo do comportamento do preço do ativo subjacente e do erro de replicação I Na figura 18 temos um caso distinto. Próximo ao vencimento da opção o valor do ativo objeto está muito próxima ao strike, ou seja, o gamma da opção é elevado nessa situação. Nesse caso notamos que os erros de hedge mantêm-se elevados. figura 18: Comparativo do comportamento do preço do ativo subjacente e do erro de replicação II Na figura 19 temos o histograma da distribuição dos erros de replicação advindos do hedge discreto. Notamos que a distribuição dos erros de hedge é centrada em zero, assimétrica

103 103 e aproximadamente igual a distribuição Qui-quadrática. Isso significa que esperamos encontrar muitos valores negativos pouco significativos e poucos valores positivos, porém, mais significativos. figura 19: Histograma dos erros de replicação Na figura 0 apresentamos um gráfico contendo a distribuição da soma dos erros do portfólio replicante para 100 simulações. Esse exercício foi feito para 100 diferentes situações de frequência de ajuste do delta hedge. Em um extremo temos a situação em que é feito um único hedge durante toda a vida do derivativo (um ano), no instante t 0 (inicio). No outro extremo, temos o número total de 100 hedges feitos em intervalo de tempos iguais T. 100

104 figura 0: Box Plot 5% / 75% - Soma dos erros de replicação 104