Métodos Matemáticos em Finanças I

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1 Métodos Matemáticos em Finanças I Jorge P. Zubelli IMPA 5 de Setembro de 2017 MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

2 Comportamento Estocástico dos Mercados Exemplo Figura: Dados do IBOVESPA MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

3 Comportamento Estocástico dos Mercados Dados de Alta Frequencia Figura: Dados de Alta Frequencia do IBOVESPA Ano 2006 MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

4 Um dos problemas centrais Como determinar o preço justo, hoje, de um contrato financeiro sobre um ativo cujo o comportamento futuro é imprevisível e sujeito a flutuações aleatórias? Intimamente ligada a questão de apreçamento está a questão de proteção e cobertura de riscos. Algumas perguntas naturais Por quê? Quando? Quem? MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

5 Observações Históricas Dois Mil BC - Índia Thales de Mileto - Grécia Pescadores holandeses de baleias do secúlo XVI faziam contratos de venda forward antes de partirem nas suas viagens. Século XVII - Holanda - opções sobre preços de tulipas Contratos a termo e opções foram negociados no século XVII em Amsterdã e Osaka (mercado de arroz). MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

6 Introdução Conceitos Iniciais Histórico - Grandes Contribuições Thales de Mileto L. Bachelier (Paris) P. Samuelson F. Black M. Scholes R. Merton Figura: Thales de Mileto MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

7 Introdução Conceitos Iniciais Histórico - Grandes Contribuições L. Bachelier (Paris) P. Samuelson F. Black M. Scholes R. Merton Figura: L. Bachelier MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

8 Introdução Conceitos Iniciais Histórico - Grandes Contribuições L. Bachelier (Paris) P. Samuelson F. Black M. Scholes R. Merton Figura: R. Merton MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

9 Introdução Conceitos Iniciais Histórico - Grandes Contribuições L. Bachelier (Paris) P. Samuelson F. Black M. Scholes R. Merton Figura: M. Scholes MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

10 Problemas centrais Pergunta: Como determinar o preço justo, hoje, de contratos financeiro sobre um ativo cujo o comportamento futuro é imprevisível e sujeito a flutuações aleatórias? Fato: Intimamente ligada a questão de apreçamento está a questão de proteção e cobertura de riscos. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

11 Estratégia Passos Modelar o Mercado (ou os ativos subjacentes) Modelar os Contratos Calibrar os Modelos (do mercado e do contrato) Desenvolver Métodos e Algoritmos de Cálculo Modelos : Contínuos Discretos MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

12 Modelos Contínuos Discretos Contínuos: PROS 1 Teoria Sólida Sofisticada 2 Boas Propriedades 3 Resultados Teóricos 4 Independe de Escalas (logo aplicável em muitos contextos) CONS 1 Teoria Sofisticada 2 Difícil Intuição 3 Dificuldades de Implementação Discretos: PROS 1 Teoria Simples 2 Exemplos de Pequeno Porte Fáceis 3 Fácil Implementação em Máquinas Rápidas 4 Em última análise temos sempre que discretizar CONS 1 Depende de Escalas e Discretizações 2 Alta Complexidade Computacional MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

13 Opção de compra européia (call) Um contrato que dá ao possuidor o direito, mas não a obrigação, de comprar uma unidade de um ativo subjacente no instante futuro T por um preço (strike) K. O chamado payoff F deste contrato é { ST K se S F(S T ) = T > K, 0 se S T K. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

14 Apreçamento da Call C(t,S t ) = E Q [e r(t t) payoff S t ] = E Q [e r(t t) (S T K ) + S t ] MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

15 Opção de venda européia (put) Dá o direito ao possuidor de vender uma unidade de um ativo subjacente no instante futuro T por um preço (strike) K Payoff { K XT se X F(X T ) = T < K, 0 se X T K. Fonte de Valor em uma Opção: Assimetria entre direito mas não obrigação. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

16 Apreçamento da Put P(t,S t ) = E Q [e r(t t) payoff S t ] = E Q [e r(t t) (K S T ) + S t ] MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

17 Contratos e Opções Exemplos 1 Opções Americanas:O contrato pode ser exercido a qualquer momento τ até a expiração T. 2 Opções Bermudianas: O contrato pode ser exercido em qualquer momento τ dentro de um conjunto de tempos [T 1,T 2 ], [T 3,T 4 ],..., [T 2N+1,T N ]. 3 Opções Asiáticas: O contrato depende de uma média (aritmética ou geométrica) dos valores do ativo durante um período antes do vencimento. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

18 Modelos (Contínuos) de Mercado Contexto Probabilístico: 1 Espaço de Probabilidade (Ω,F,P) 2 Processos Estocásticos em Tempo Contínuo S = {S t (ω)} t [0,T ] Para cada t temos uma v.a. X t : Ω R 3 Fluxo de Informação: Família de σ-algebras {F t } t.q. o processo X é adaptados a {F t }. 4 Dinâmica dos processos: Típicamente E.D.E. ds t = g(t,ω)dt + ν(t,ω)dw t. ou mais geralmente processos de Levy. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

19 Modelo Clássico Black-Scholes-Merton Movimento Browniano Geométrico: ds t S t = µdt + σdw t com µ e σ constantes. Obs: O que significa dw? Consideramos t+ t W t = dw s Aqui, o símbolo W tem as seguintes características: W é uma variável aleatória normal A média de W é zero A variância de W é t Além disso, incrementos W em intervalos que não se intersectam são independentes. O valor de σ, chamado de volatividade está relacionado com a incerteza do fenômeno e de uma certa forma controla a presença de risco. Quanto maior a t MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

20 Exemplo Movimento Browniano Figura: Exemplo de realizações do movimento Browniano no intervalo [0, 1.5] e a distribuição em t = 1.5 dos valores. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

21 Modelos de Reversão à Média Ornstein-Uhlembek Na modelagem de taxas de juros, de volatilidade e de commodities, surgem processos que revertem a valores históricos. dx t = θ(µ X t )dt + σdw t Figura: Exemplo de realizações de processos do tipo OU. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

22 Extensões Modelo de Volatilidade Local de Dupire: Modelo de Volatilidade Estocástica: ds t = µ t S t dt + σ(t,s t )S t dw t ds t = µ t dt + σ t S t dw t com σ t = f(y t ) e Y t processo estocástico. Modelos com Saltos: ds t = µ t dt + σ t S t dw t + dq t MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

23 Princípios Básicos no Apreçamento Princípios: Não arbitragem Replicação Hedging (cobertura de risco) Medida Neutra ao Risco Algumas Aplicações: Noção de Valor Justo (que evita arbitragem). Paridade Call-Put Valor Presente Líquido MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

24 Princípio de Não Arbitragem Arbitragem pode ser entendida intuitivamente como a possibilidade de fazer dinheiro do nada, sem risco. Um dos princípios básicos de apreçamento (justo!) é que em um mercado em equilíbrio não existem oportunidades de arbitragem. Definição Uma arbitragem é uma posição no mercado satisfazendo: 1 custo inicial zero; 2 impossibilidade de prejuízo no futuro; 3 probabilidade não-nula de lucro no futuro. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

25 Exemplo Considere uma roleta que paga 2:1 quando sai vermelho, e nada quando sai preto e cujas probabilidades são { Vermelho 70% Preto 30% Se jogarmos muitas vezes, esperamos receber, em média, = R$1,40 por real apostado. Um negociante local oferece um bilhete que vale R$100,00, se sair vermelho na roleta R$0,00, se sair preto. O bilhete é vendido a R$60,00. Você compra ou você vende? MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

26 Valor esperado: R$70,00 para o bilhete. Portanto, o bilhete barato e vale a pena comprá-lo. Entretanto... 1 Ele guarda os R$60,00. Se sair preto, ele fica com R$60,00 de lucro. Se sair vermelho, ele tem um prejuízo de R$40,00. 2 Ele aposta os R$60,00 na roleta. Se sair preto, ele perde tudo, mas também não tem que pagar nada. Se sair vermelho, ele recebe R$120,00, paga R$100,00 e lucra R$20,00. 3 Ele aposta R$ 50,00 na roleta. Se sair preto, ele perde os R$50,00, não precisa pagar nada e fica com um lucro de R$10,00. Se sair vermelho, ele recebe R$100,00, com os quais paga o prometido pelo bilhete e lucra R$10,00. A simples estratégia 2, já garante que ele não terá prejuízo e ainda poderá ter lucro. A estratégia 3, entretanto, ainda é mais eficiente. Independente do resultado da roleta, ele lucra R$10,00. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

27 Exemplo Considere uma moeda cujas probabilidades são { Cara 3 Coroa Suponha também que você receba R$0,50 quando sai coroa e R$2,00 quando sai cara para cada real apostado. Em média, esperamos acumular um valor de = 13 8 = 1,625. Quanto vale um bilhete que retorna R$12,00 se der cara e nada se der coroa, numa cidade com empréstimo sem juros? MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

28 Almoço de graça Se cobrarmos R$9,00 como seria o esperado podemos proceder da seguinte forma: Apostamos R$6,00 na moeda. Se der cara, recebemos R$12,00, pagamos o valor do bilhete e lucramos R$3,00. Se der coroa recebemos R$3,00 e lucramos R$6,00. Nesse caso o preço justo seria R$4,00!! Hedging: estratégia, ao vender um bilhete por R$4,00: Tomamos R$4,00 emprestado. Apostamos na moeda R$8,00. Considere a seguinte Se der cara: ganhamos R$16,00 pagamos R$12,00 ao comprador do bilhete e usamos os R$4,00 restantes para quitar o empréstimo. Se der coroa: ganhamos R$4,00 e quitamos o empréstimo. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

29 Mais Hedging Se o bilhete fosse vendido por R$3,00 em vez, poderíamos nos aproveitar da situação usando a seguinte estratégia: Tomamos R$7,00 de um terceiro, nos comprometendo a pagar o retorno de uma aposta desse valor na moeda. Compramos o bilhete do vendedor por R$3,00. Esperamos o resultado da moeda. Se der cara: ganhamos R$12,00, juntamos mais R$2,00 e pagamos o terceiro; lucramos R$2,00. Se der coroa: ficamos com R$4,00, pagamos R$3,50 ao terceiro e embolsamos R$0,50. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

30 Mas... Algumas objeções podem aparecer: Isso deve ser uma conseqüência de se ter a possibilidade de ganho nulo; Empréstimos sem juros nem nos contos de fada; Tomar dinheiro com um terceiro e aplicar no ativo com risco não parece algo factível. Entretanto: De fato não! Se o bilhete pagasse R$3,00 no caso de coroa e R$12,00 se for cara o preço justo é R$6,00 e não R$9,75 como poderia parecer a primeira vista! Note que o bilhete está na mesma proporção da moeda agora! Juros não mudam a conclusão, embora mudem os valores. Ficar vendido é uma operação comum no mercado. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

31 No exemplo acima, a probabilidade neutra ao risco é 1/3 para cara e 2/3 para coroa. Assim, nos dois casos mencionados no exemplo, temos: 1 3 R$12, R$0,00 = R$4, R$12, R$3,00 = R$6,00 3 Note que um bilhete que paga R reais, no caso da moeda dar cara, custa menos que um bilhete que para R reais no caso da moeda dar coroa. Nesse sentido, o bilhete pode ser interpretado com uma espécie de seguro que cobra mais no caso adverso. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

32 Replicação e cobertura de risco (Hedging) Princípio Básico: Para apreçar opções construimos uma carteira autofinanciada que replica o derivativo no vencimento. Definição Dizemos que um portfólio (θ 1,...,θ K ) t de ativos S 1,...,S K replica o ativo S, se o fluxo de caixa do portfólio e do ativo S são os mesmos, qualquer que seja o estado da economia. Proposição (Lei do Preço Único) Em um mercado sem oportunidade de arbitragem, se um ativo admite um portfólio replicador, então o preço justo do ativo é o mesmo do seu portfólio replicador. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

33 Cobertura de Risco - Hedging Obs Um investidos adquire um contrato do tipo call para se proteger contra subidas excessivas do ativo. E.G.: pagamento de uma dívida em dólar. Um especulador pode usar opções para multiplicar seus ganhos (alavancagem) - com risco! Um market maker ou um vendedor de uma opção se protege construindo um portfolio replicador dinâmico, de forma que no vencimento ele possa entregar (ou não) o payoff. De forma geral: O objetivo do investidor é redução do risco (em algum sentido) e a maximização do retorno (em algum sentido). Em mercados incompletos, a minimização de risco se torna fundamental para o apreçamento. Isto pode ser feito por diversas técnicas (indiferença, medida martingal mínima, etc). MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

34 Apreçamento em Mercados Completos Seja X T o valor do ativo subjacente no instante T. X T é uma variável aleatória: X T = X(ω), com ω Ω. Suponha que h é o valor do payoff associado ao derivativo. Então o preço do derivativo P t no instante t é dado por: [ P t = E Q e r(t t) h(x T ) ] F t aonde Q é a medida neutra ao risco. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

35 Modelo de Arrow-Debreu Economia com N ativos s 1,s 2,...,s N e M possíveis estados. Especificado a partir de p = (p 1,...,p N ) t R e D = (d ij ), p é o vetor de preços D é a matriz de fluxos de caixa. D é conhecida por todos Estado final da economia não é conhecido a priori. Um portfólio (ou carteira) de ativos é um vetor θ = (θ 1,...,θ N ) t, R N, Riqueza da carteira: V = θ t p MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

36 Arbitragem Intuitivamente: possibilidade de fazer dinheiro do nada, sem risco. Definição (Intuitiva) Uma arbitragem é uma posição no mercado satisfazendo: 1 custo inicial zero; 2 impossibilidade de prejuízo no futuro; 3 probabilidade não-nula de lucro no futuro. Definição Um portfólio de arbitragem é um portfólio θ satisfazendo uma das duas condições abaixo: 1 θ p = 0, θ t D 0 e para algum j, θ D,j > 0. 2 θ p < 0 e θ t D 0. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

37 Não-Arbitragem Teorema Existe um vetor de números positivos π, tal que se, e somente se, não existem portfólios de arbitragem. Consequência: Além disso vale: Corolário Lei do preço único. p = Dπ, (1) Se portfólios de arbitragem e empréstimo sem risco a taxa R. = uma medida de probabilidade no conjunto de estados t.q. o valor justo do ativo é o valor esperado dos seus fluxos de caixa descontado pela taxa R. Valor = E π [ (1 + R) 1 Fluxos ] MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

38 Replicação Definição Um portfólio (θ 1,...,θ K ) t de ativos S 1,...,S K replica o ativo S, se o fluxo de caixa do portfólio e do ativo S são os mesmos, qualquer que seja o estado da economia. Proposição (Lei do Preço Único) Em um mercado sem oportunidade de arbitragem, se um ativo admite um portfólio replicador, então o preço justo do ativo é o mesmo do seu portfólio replicador. Aplicação: Precificação de Derivativos - Preço de uma call é obtido construindo um portfolio que replica. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

39 Aplicação: Paridade Call-Put Proposição (Paridade Put-Call) Numa economia sem arbitragem, seja S o preço de um ativo e R a taxa livre de risco. P = preço da put C = preço da call Então, P = C S + K 1 + R. (2) MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

40 Medida Neutra ao Risco (Medida Martingal Equivalente) A existência da medida π na qual podemos calcular o preço dos nossos ativos é fundamental. Esta medida NÃO é a medida obtida observando a série histórica de preços. Veremos que mais geralmente (para múltiplos períodos) temos que [ ] Preço = E π Payoff (1 + R) n ou no caso contínuo [ ] Preço = E π e r(t t) Payoff MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

41 Descrição do Modelo de 1 Período Figura: Ilustração do Modelo de 1 Período MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

42 Hedging e replicação Considere um portfólio θ = (θ 1,θ 2 ) t, com θ 1 unidades do ativo de risco a um preço S e θ 2 unidades em depósito remunerado a um preço de 1/(1 + R). O valor do portfólio vai ser então θ 1 SU + θ 2 = D 1, no estado I; θ 1 SD + θ 2 = D 2, Resolvendo para θ 1 e θ 2, temos Logo, o valor do portfólio será no estado II. θ 1 = D 1 D 2 SU SD e θ 2 = UD 2 DD 1 U D i.e. V = θ 1 S + θ R V = R {ˆπ 1D 1 + ˆπ 2 D 2 }. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

43 Moral Em alguns mercados: probabilidade neutra ao risco ativo portfólio replicador. Nesse caso, podemos precificar ativos através da Lei do Preço Único. No que se segue, vamos estudar um pouco mais sobre esses mercados. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

44 Mercados Completos e Incompletos Definição Um mercado com N ativos e M estados é dito completo se, vetor de fluxo de caixa (D 1,...,D M ) t, portfólio θ = (θ 1,...,θ N ) t, cujo fluxo de caixa no estado j é D j. Em outras palavras, tem sempre solução para E R M. Da álgebra linear este é o caso s.s.s.: Teorema θ t D = E t, posto ( D t) = M. Suponha uma economia sem arbitragem. O mercado é completo! vetor de preços π de estado satisfazendo p = Dπ. (3) MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

45 Recapitulando Teorema Fundamental do Apreçamento Lembrando: Medida Martingal Equivalente (ou medida neutra ao risco) é aquela nas quais os preços dos ativos descontados pela taxa de juros são martingais: Teorema E Q [e r(t t) X T F t ] = X t, t < T Sob hipóteses razoáveis: Existência de uma medida martingal equivalente. Não existem oportunidades de arbitragem. Teorema A medida martingal equivalente é única O mercado é completo (i.e., todo contrato contingenciado pode ser replicado). MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

46 Modelo Binomial Vamos considerar uma economia com dois ativos e dois possíveis estados, i.e, N = M = 2 no modelo de Arrow-Debreu. Vamos supor que haja empréstimo a uma taxa R, i.e, um ativo sem risco. O ativo c/ risco tem preço S e fluxos de caixa SU no estado I e SD no estado II, com D < U. Figura: Ilustração do Modelo de 1 Período MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

47 Que pode ser rescrito como cuja solução é S = R {ˆπ 1SU + ˆπ 2 SD} ˆπ 1 + ˆπ 2 = 1. ˆπ 1 = 1 + R D U D ˆπ 1 + ˆπ 2 = 1 ˆπ 1 U + ˆπ 2 D = 1 + R U (1 + R) e ˆπ 2 =. U D Note que temos soluções positivas se, e somente se, D < 1 + R < U. Essa condição está diretamente relacionada com não-arbitragem. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

48 Pagamento contigenciado ao estado Considere um ativo que tem fluxo de caixa D 1 no estado I e D 2 no estado II. Temos então que o preço justo desse ativo seria V = R {ˆπ 1D 1 + ˆπ 2 D 2 } Exemplo Considere uma Call no ativo de risco com SD < K < SU. Nesse caso os possíveis fluxos de caixa são D 1 = SU K e D 2 = 0. Portanto, o valor justo desta call, V call, é dado por V call = R D 1 + R U D (SU K ) MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

49 Hedging e replicação Portfólio θ = (θ 1,θ 2 ) t, c/ 1 θ 1 unidades do ativo de risco a um preço P 2 θ 2 unidades em depósito remunerado a um preço de 1/(1 + R). MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

50 O valor do portfólio: θ 1 SU + θ 2 = D 1, no estado I; θ 1 SD + θ 2 = D 2, Resolvendo para θ 1 e θ 2, temos Logo, o valor do portfólio será no estado II. θ 1 = D 1 D 2 SU SD e θ 2 = UD 2 DD 1 U D V = θ 1 S + θ R MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

51 O Modelo Binomial p/ Descrever o Mercado Figura: Esquerda: Valores do índice IBOVESPA. Direita: Simulação numérica de um índice fictício seguindo o modelo binomial MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

52 Mercados Completos e Incompletos Definição Um mercado com N ativos e M estados é dito completo se, para todo vetor de fluxo de caixa (D 1,...,D M ) t, existe um portfólio θ = (θ 1,...,θ N ) t, cujo fluxo de caixa no estado j é D j. Em outras palavras, θ t D = E t, E R M tem sempre solução. Este será o caso quando posto ( D t) = M. Teorema Suponha uma economia sem arbitragem. O mercado é completo se, e somente se, existe um único vetor de preços de estado satisfazendo (1). MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

53 O Modelo Básico Dois ativos e dois estados Entretanto, temos agora N + 1 datas de negócio. Ω = {U,D}. satisfazendo P[{U}] = p e P[{D}] = q, com p + q = 1. Vamos denotar por S n o preço do ativo de risco em t = t n. A dinâmica de preços do ativo é dada por S n+1 = H n+1 S n, 0 n N 1, onde { U, com probabilidade p, H n = D, com probabilidade q, MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

54 S 3 3 S 2 2 S 1 1 S 2 3 S 0 0 S 1 2 S 0 1 S 1 3 S 0 2 S 0 3 MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

55 Hipótese Martingal Existe uma medida de probabilidade para H n tal que S n = R E[S n+1 S n ], A afirmativa acima pode ser escrita como 1 = R {UP U + DP D }, P U + P D = 1. A unica solução do sistema acima é dada por P U = 1 + R D U D, P D = U (1 + R), D < 1 + R < U. U D MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

56 Unicidade Proposição Dado parâmetros U, D e R, satisfazendo D < 1 + R < U, existe uma única medida de probabilidade neutra ao risco para H n e, conseqüentemente, para a os espaço de caminhos de preço do ativo de risco. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

57 Precificação via Recursão Suponha um payoff F(S), cujo vencimento ocorre em t = t N. Vamos denotar por S j n o preço do ativo no tempo t = t n, que teve j choques de preço dados por U. Vamos escrever também V j n = V(S j n), onde V n (S n ) denota o preço do contrato no tempo t = t n com o ativo custando S n. Sob a medida neutra ao risco, temos então: V j n = R E{V n+1 S n = S j n} V j n = R {P UV j+1 n+1 + P DV j n+1 } Temos que ter também a condição terminal, i.e, V j N = F(Sj N ). MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

58 Para resolver a recursão acima em forma fechada, escrevemos ) N n E{F(S N ) S n = S j 1 + R n}. ( 1 = 1 + R ( 1 V j n = Vamos precisar do seguinte resultado ) N n N P[S N = SN S k n = Sn]F(S j N). k k=0 Lema P[S N = S k N S n = S j n] = ( ) N n P k j U k j PN n k+j D. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

59 Demonstração Um caminho até SN k começando em Sj n pode ser pensando com uma palavra de N n letras com k j letras U e N n k + j letras S. Se a probabilidade de termos uma letra U for P U e de termos uma letra D for P D, então a probabilidade de termos uma certa palavra com N n letras, das quais k j são U é P k j U PN n k+j D. Logo P [ ] S N = SN S k n = S j n = k,j C N,n Pk j U PN n k+j D, onde C k,j N,n denota o número de caminhos começando em Sj n e terminando em SN k ou, equivalentemente, o número de palavras e N n letras com k j letras U e N n k + j letras S. Por outro lado, temos N n lugares vazios onde podemos colocar k j letras U e as restantes terão quer ser preenchidas com D. Mas, combinatória básica nos diz que ( ) C k,j N n N,n = k j Isto conclui a demonstração. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

60 Portanto, ( 1 V j n = 1 + R ) N n N n+j k=j ( ) N n k j P k j U PN n k+j D F(SN). k Se n = j = 0, temos ( ) N 1 V 0 N 0 = 1 + R k=0 ( ) N k P k U PN k D F(SN). k Proposição O preço de uma opção com payoff F(S), vencimento em T = N unidades de tempo a partir do instante atual é dado por ( ) N 1 V 0 = E [ F(S N ) ] S R MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

61 O valor esperado na proposição anterior é definido pela probabilidade de se estar na folha k no tempo N. No caso de uma árvore com P U = P D = 1/2 a distribuição de probabilidade pode ser vista abaixo. Figura: Gráfico de P [ S N = U j D N j S0 = S ]. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

62 Precificação via Hedging Considere um portfólio θ j n = ( j n,b j n) t. O valor do portfólio será Dependendo do estado, teremos V j n = j n Sj n + B j n. j n Sj+1 n + B j n(1 + R) = V j+1 n+1 j n Sj n + B j n(1 + R) = V j n+1 Resolvendo para j n e B j n, obtemos j n = V j+1 n+1 V j n+1 S j+1 n+1 Sj n+1 e B j n = 1 S j n+1 V j+1 n+1 Sj+1 n+1 V j n R S j+1 n+1 Sj n+1 MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

63 Portanto V j n = R [ Sn(1 j + R) S j n+1 S j+1 n+1 V j+1 Sj n+1 = R [P UV j+1 n+1 + P DV j n+1 ] n+1 + Sj+1 n+1 Sj n(1 + R) S j+1 n+1 Sj n+1 V j n+1 Levando em conta que V j N = F(Sj N ), temos a mesma recursão anterior. Temos então a seguinte estratégia: 1 No tempo t = t n montamos um portfólio θ j n = ( j n,b j n) t. 2 A partir daí 3 Claramente teremos j k = V j+1 k+1 V j k+1 S j+1 k+1, n k N. Sj k+1 B j k = V j k j k Sj k. ] MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

64 Calls Neste caso, temos F(S N ) = max(s N K,0) Escrevendo S0 0 = S, temos que 1 C(S,K ;N) = (1 + R) N 1 = (1 + R) N Como S k N = SUk D N k, temos que S ( U D N k=0 N S k N K ( ) N k ( ) N k P k U PN k D max(s k N K,0) P k U PN k D (S N K ). ) k D N > K k > ln( K SD N ) ln( U D ). MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

65 Assim, se escrevermos k 0 = ln(k /SD n )/ln(u/d), onde x denota o menor inteiro maior ou igual a x, observamos que (1 + R) N = (1 + R) k (1 + R) N k, obtemos C(S,K ;N) = S N k>k 0 K (1 + R) N ( )( N U k N k>k R P U ( ) N k ) k ( ) N k D 1 + R P D P k U PN k D. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

66 Sejam Q U = podemos então escrever C(S,K ;N) = S N k>k 0 U 1 + R P U e Q D = D 1 + R P D ( ) N Q k U k QN k D K (1 + R) N N k>k 0 ( ) N P k U k PN k D. (4) Observe que Q U + Q D =1, Aplicando a fórmula de precificação dada por (6), temos o seguinte gráficos normalizados MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

67 Figura: Preços de opções de compras com maturidades de 1 mês, 6 meses e um ano, comparados com o payoff. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

68 Construção do Portfólio Replicador Vamos agora construir explicitamente o portfólio equivalente, que um emissor de uma Call deve montar para se proteger de um eventual pagamento. Vamos denotar por En j o valor de um portfólio, por unidade do ativo, no tempo t = t n e S n = Sn. j Temos então que E j n = R satisfazendo as seguintes condições [ P U E j+1 n+1 + P DE j n+1 E j N = Sj N, Sj N K e E j N = 0, Sj N < K. Analogamente, se Bn j denota o valor no ativo sem risco que devemos ter no portfólio no tempo t = t n, com o ativo S n = Sn, j temos então que: B j n = 1 [ ] P U B j+1 n R + P DB j n+1, satisfazendo B j N = K, Sj N K e Bj N = 0, Sj N < K. ] MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

69 Assim observamos que o portfólio replicador é basicamente: Ficar comprado no ativo de risco Ficar vendido em dinheiro ou seja, contrair uma dívida. Note também que 1, quando S K ; 0, quando S K ; Isso reflete um fato natural, quando o ativo se valoriza muito, o único jeito de se proteger contra uma obrigação de fornecer uma certa quantidade é ficando comprado neste ativo. Por outro lado, quando um ativo se desvaloriza muito, investe-se num depósito remunerado sem risco. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

70 Puts No caso da Put, podemos usar a paridade Put-Call para N períodos, i.e, Como Obtemos que N k=0 P = C S + ( ) N P k U k PN k K P(S,K ;N) = (1 + R) N N D = k=0 k<k 0 k=0 K (1 + R) N, ( ) N Q k U k QN k D = 1 ( ) N P k U k PN k D S k<k 0 k=0 ( ) N Q k U k QN k D MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

71 Plano: Passagem ao Limite Assumiremos como antes que estamos na medida neutra ao risco. Fixaremos um período de tempo T Tomaremos dt 0 e N de modo que T = Ndt MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

72 Estatística dos Preços do Modelo Seja dt = T N, R = erdt 1 rdt. Seja Y o processo de crescimento dado por Y = 1 T ln ( SN S 0 ) OBS: Se S N fosse o ativo sem risco teriamos Y r.) De fato: Y = 1 ( ) (1 + R) N T ln S 0 S 0 = 1 T lnerndt = r. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

73 Por outro lado, no caso do ativo de risco temos Vamos escrever ln ( SN S 0 ν = E[Y ] = 1 T ) = N n=1 ( ) Sn ln S n 1 = N n=1 ln(h n ). N E[ln(H n )] = 1 n=1 dt {lnup U + lndp D }. Fato Um cálculo tedioso, mas direto, nos dá que: ν = r 1 2 σ2 +O(dt 1/2 ) MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

74 Quanto à variância, temos por conta da independência dos H n s que: ( N ) Var[Y ] = 1 T 2 Var[ln(H n )] = N n=1 T 2 Var[ln(H 1)]. Portanto, Var[Y ] = 1 { T dt = 1 T dt ln 2 UP U + ln 2 DP D [lnup U + lndp D ] 2} = ( )] 2 U P U P D. [ ln D MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

75 Fazendo T = 1 na expressão acima, nos dá uma quantidade que é conhecida como a volatilidade do ativo de risco: σ 2 = 1 [ ( )] 2 U ln P U P D. dt D A volatilidade mede, como o próprio nome sugere, o grau de incerteza associada ao valor do ativo de risco. Note que, se σ 2 = 0, então U = D = 1 + R e o ativo de risco é equivalente, financeiramente, ao ativo sem risco. Nesse contexto, um investidor que aplique no ativo de risco espera ter um ganho médio ν, que pode variar dentro de um intervalo de incerteza proporcional a σ. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

76 Teorema do Limite Central Teorema Sejam X 1,,X n, uma sequência de v. a. independentes identicamente distribuidas (v.a.i.i.d) com média µ e variância σ 2 > 0, ambas finitas. Então a variável aletória Z N := N n=1 (X n µ)/( Nσ) converge em distribuição para a normal padrão N(0, 1), ou seja b lim P[a Z e x 2 /2 N b] = dx. (5) N a 2π MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

77 Teorema do Limite Central Podemos reescrever Z N na forma: Z N = ou se definirmos a média amostral 1 N X N := 1 N ( N n=1 X n ) µ σ/ N ( N n=1xn ), então Z N = ( X N µ ) σ/ N. O Teorema do Limite Central nos diz que a média X N se aproxima de µ no sentido que: P [ X N µ > ε ] 0 qdo N MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

78 Teorema do Limite Central Ilustração Figura: Gráfico de P [ S N = U j D N j S0 = S ]. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

79 Teorema do Limite Central Ilustração Figura: histfit(mean(rand(10000, 10000))) Veja também o site: limit_theorem MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

80 O Limite do Modelo Binomial quando N. Assumindo que estamos na medida neutra ao risco Conclusão Pelo TLC a v.a. 1 T ln(s N/S 0 ) converge para uma variável normal com média r 1 2 σ2 e variância σ 2. Lembrando: Φ(x) = 1 2π x e s2 /2 ds. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

81 O Limite do Modelo Binomial quando N Assumindo que estamos na medida neutra ao risco Opção europeia de compra (call): No caso binomial: C(S,K ;N) = S N k>k 0 ( ) N Q k U k QN k D K (1 + R) N N k>k 0 ( ) N P k U k PN k D. (6) ficará C(S,K ;T ) = SΦ(d 1 ) Ke rt Φ(d 2 ) com d 1 = ln(s/k ) + (r σ2 )T σ T d 2 = ln(s/k ) + (r 1 2 σ2 )T σ T, MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

82 O Limite do Modelo Binomial quando N Assumindo que estamos na medida neutra ao risco Opção europeia de venda (put) temos ficará K P(S,K ;N) = (1 + R) N k<k 0 k=0 ( ) N P k U k PN k D S k<k 0 k=0 P(S,K ;T ) = Ke rt Φ( d 2 ) SΦ( d 1 ) ( ) N Q k U k QN k D com d 1 = ln(s/k ) + (r σ2 )T σ T d 2 = ln(s/k ) + (r 1 2 σ2 )T σ T, MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

83 Calibragem com Dados de Mercado no Modelo Binomial Obs: Mais de uma maneira de calibrar modelos binomiais! NO QUADRO MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

84 Calibragem Modelo Binomial D = 1/U : Proposição Para calibrarmos o modelo binomial podemos escolher, partindo de r e σ dados: A := 1 ( ) e r t + e (r+σ2 ) t 2 Tome, D := 1/U e U := A + A 2 1 P = er t D U D MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

85 Calibragem Modelo Binomial p = 1/2 : U + D = 2e r t U 2 + D 2 = 2e (2r+σ2 ) t Proposição d = e r t (1 e σ2 t 1) u = e r t (1 + e σ2 t 1) p = 1/2 MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

86 Cálculo via Árvores Binomiais Passos 1 Definir o contrato e seus parâmetros 2 Obter dados históricos do ativo subjacente. E.G.: 3 Salvar usando a função Download to Spreadsheet 4 Importar os dados para o matlab 5 Calibrar o valor de σ a partir da série histórica 6 Aplicar o algoritmo de cálculo. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

87 Exemplo 1 Problema: calcular o preço de uma call européia no modelo de Black-Scholes. Parâmetros: Maturidade (T): 1 ano. Preço de Exercício (K): Preço Inicial do Ativo (S 0 ): Taxa de Juros (r): 0.05, contínua e anual. Volatilidade (σ): 0.30 anual. Técnica: Árvore Binomial. Código(s): preco call arvore binomial 1.m e preco call arvore binomial 2.m. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

88 Exemplo 1 Problema: calcular o preço de uma call européia no modelo de Black-Scholes. Parâmetros: Maturidade (T): 1 ano. Preço de Exercício (K): Preço Inicial do Ativo (S 0 ): Taxa de Juros (r): 0.05, contínua e anual. Volatilidade (σ): 0.30 anual. Técnica: Árvore Binomial. Código(s): preco call arvore binomial 1.m e preco call arvore binomial 2.m. MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

89 Pequena Intro às Opções Americanas No Quadro 1 Motivação 2 Tempo de Parada (fazer exemplo binomial) 3 Hedging e Replicação: X θ (t) payoff(t) 4 Condições de Exercício 5 Propriedades e Geometria 6 Problemas de Fronteira Livre 7 Recursão e Método SOR projetado MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

90 Cálculo via Árvores Binomiais (Opções Americanas) Algoritmo: 1 Calcular disc = exp( r t) 2 Construir Árvore 3 V M n = h(s M n ) para n = 0,,M 4 Para n = (M 1) : 1 : 0 calcular V m n = max ( payoff(s m n ),exp( r t)(pv m+1 m+1 n+1 + (1 p)vn ) ) para n = 0, MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

91 Cálculo via Árvores Binomiais (Opções Bermudianas) Algoritmo: 1 Calcular disc = exp( r t) 2 Construir Árvore 3 V M n = h(s M n ) para n = 0,,M 4 Para n = (M 1) : 1 : 0 se estivermos em período permitido de exercício: calcular V m n = max ( payoff(s m n ),exp( r t)(pv m+1 m+1 n+1 + (1 p)vn ) ) para n = 0, caso contrário: V m n = exp( r t)(pv m+1 m+1 n+1 + (1 p)vn ) para n = 0,,M MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

92 Exemplo 2 Problema: calcular o preço de uma call bermudiana no modelo de Black-Scholes. Parâmetros: Maturidade (T): 1 ano. Preço de Exercício (K): Preço Inicial do Ativo (S 0 ): Taxa de Juros (r): 0.05, contínua e anual. Volatilidade (σ): 0.30 anual. Datas de Exercícios: dia primeiro de cada mês. Técnica: Árvore Binomial. Código(s): preco berm call arvore binomial 2.m MMF I c Zubelli (IMPA) / 93

93 Exemplo 3 Problema: calcular o preço de uma put americana no modelo de Black-Scholes. Parâmetros: Maturidade (T): 1 ano. Preço de Exercício (K): Preço Inicial do Ativo (S 0 ): Taxa de Juros (r): 0.05, contínua e anual. Volatilidade (σ): 0.30 anual. Técnica: Árvore Binomial. Código(s): preco amer put arvore binomial 2.m MMF I c Zubelli (IMPA) / 93