FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO PEDRO ZANGRANDI BUSTAMANTE

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1 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE ECONOMIA DE SÃO PAULO PEDRO ZANGRANDI BUSTAMANTE CONSTRUÇÃO DE SUPERFÍCIE DE VOLATILIDADE PARA O MERCADO BRASILEIRO DE OPÇÕES DE DÓLAR BASEADO NO MODELO DE VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA DE HESTON SÃO PAULO 2010

2 PEDRO ZANGRANDI BUSTAMANTE CONSTRUÇÃO DE SUPERFÍCIE DE VOLATILIDADE PARA O MERCADO BRASILEIRO DE OPÇÕES DE DÓLAR BASEADO NO MODELO DE VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA DE HESTON Dissertação apresentada à Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas como requisito para obtenção do título de Mestre em Finanças e Economia de Empresas Campo de conhecimento: Derivativos Orientador Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto SÃO PAULO 2010

3 Bustamante, Pedro Z. Construção de superfície de volatilidade para o mercado brasileiro de opções de dólar baseado no modelo de volatilidade estocástica de Heston / Pedro Zangrandi Bustamante f. Orientador: Afonso de Campos Pinto Dissertação (mestrado profissional) - Escola de Economia de São Paulo. 1. Mercado de opções -- Brasil. 2. Mercado de opções Modelos matemáticos. 3. Dólar. I. Pinto, Afonso de Campos. II. Dissertação (mestrado profissional) - Escola de Economia de São Paulo. III. Título. CDU (81)

4 PEDRO ZANGRANDI BUSTAMANTE CONSTRUÇÃO DE SUPERFÍCIE DE VOLATILIDADE PARA O MERCADO BRASILEIRO DE OPÇÕES DE DÓLAR BASEADO NO MODELO DE VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA DE HESTON Dissertação apresentada à Escola de Economia de São Paulo da Fundação Getúlio Vargas como requisito para obtenção do título de Mestre em Finanças e Economia de Empresas Campo de conhecimento: Derivativos Orientador Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto Data de aprovação: / / Banca examinadora: Prof. Dr. Afonso de Campos Pinto (Orientador) FGV-EESP Prof. José Evaristo dos Santos FGV-EAESP Prof. Marcos Eugênio da Silva FEA USP

5 DEDICATÓRIA Aos meus pais

6 AGRADECIMENTOS Ao meu orientador, Afonso, pelo apoio, ensinamentos e disponibilidade. Ao amigo e gestor, Alan, pela ajuda sobre o tema e pelas aulas de Matlab. Ao meu amigo Álvaro, pelos constantes incentivos acadêmicos.

7 RESUMO Nos últimos anos, o mercado brasileiro de opções apresentou um forte crescimento, principalmente com o aparecimento da figura dos High Frequency Traders (HFT) em busca de oportunidades de arbitragem, de modo que a escolha adequada do modelo de estimação de volatilidade pode tornar-se um diferencial competitivo entre esses participantes. Este trabalho apresenta as vantagens da adoção do modelo de volatilidade estocástica de Heston (1993) na construção de superfície de volatilidade para o mercado brasileiro de opções de dólar, bem como a facilidade e o ganho computacional da utilização da técnica da Transformada Rápida de Fourier na resolução das equações diferenciais do modelo. Além disso, a partir da calibração dos parâmetros do modelo com os dados de mercado, consegue-se trazer a propriedade de não-arbitragem para a superfície de volatilidade. Os resultados, portanto, são positivos e motivam estudos futuros sobre o tema. Palavras-chave: Volatilidade Estocástica, Superfície de Volatilidade, Opções de Dólar, Modelo de Heston, Transformada Rápida de Fourier

8 ABSTRACT In recent years, the Brazilian option market has grown considerable, especially with the emergence of the High Frequency Traders (HFT) in search of arbitrage opportunities, so that the appropriate choice of a volatility estimation model should become a competitive differentiator among these participants. This paper presents the advantages of adopting the Heston stochastic volatility model on the construction of the volatility surface for the Brazilian US Dollar option market, as well as the easiness and the computational gain by applying the Fast Fourier Transform technique on the models differential equations resolution. Furthermore, from calibration of the model parameters to market data, it is possible to bring the no-arbitrage property to the volatility surface. The results, therefore, are positive and motivate further studies on the subject. Keywords: Stochastic Volatility, Volatility Surface, FX option, Heston Model, Fast Fourier Transform

9 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ABORDAGEM DE EQUAÇOES DIFERENCIAIS PARCIAIS MODELOS DE VOLATILIDE ESTOCASTICA MODELO DE HESTON FÓRMULA ANALÍTICA DE HESTON TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT) MÉTODO PROPOSTO OS DADOS MÉTRICA PROPOSTA CALIBRANDO O MODELO CONSTRUINDO A SUPERFICIE DE VOLATILIDADE CONCLUSÃO BIBLIOGRAFIA... 41

10 1 INTRODUÇÃO Opções são derivativos que dão o direito ao seu detentor de comprar ou vender determinado ativo, em uma data futura, a um preço pré-determinado. Por construção, o preço de uma opção, indiferente do modelo utilizado para precificá-la, é muito sensível a pequenas mudanças nas variáveis que o influenciam, como, por exemplo, mudança no nível da volatilidade do ativo. Segundo o modelo Black-Scholes (1973), o preço de uma opção européia é uma função do preço à vista do ativo ( S t ), do preço de exercício ( K ), da taxa de juros ( r ), do tempo para o vencimento (T ), do dividendo ( q ) e da volatilidade ( ). Dentre os participantes desse mercado não há desacordo quanto aos valores dos primeiros cinco parâmetros, enquanto que o valor do parâmetro volatilidade ( ) tornou-se uma ciência à parte. Por se tratar de uma tentativa em quantificar as incertezas quanto ao preço futuro de um ativo, não existe uma maneira consagrada para se estimar a volatilidade. No entanto, qualquer estimação discrepante em relação aos dados de mercado pode incorrer em decisões erradas de compra e venda. O modelo de Black-Scholes (1973) assume que a volatilidade é uma constante. No entanto, quando se extrai a volatilidade implícita 1 das opções depara-se com valores distintos para cada uma delas. Essa característica é facilmente corroborada ao se analisar a volatilidade implícita em um gráfico 3D como função do tempo até o vencimento e do preço de exercício. A superfície resultante é conhecida como superfície de volatilidade, e mostra toda a informação disponível com relação à estrutura a termo e a inclinação da volatilidade em um determinado momento. A falta de liquidez em alguns mercados, no entanto, impede a construção de uma superfície de volatilidade implícita a partir de dados de mercado. Uma maneira de contornar esse problema é utilizando métodos de interpolação como, por exemplo, o 1 A volatilidade implícita é o valor resultante do modelo de precificação quando esta é extraída inversamente a partir dos preços de mercado das opções, ou seja, dado um modelo de precificação, qual seria a volatilidade que faz com que o prêmio das opções seja igual ao que está sendo negociado no mercado. 10

11 método linear ou o spline cubic 2. Conforme apontado por Genaro (2006), métodos puramente numéricos são notoriamente caracterizados por não preservar as relações de não-arbitragem, ou seja, os preços das opções calculadas com a volatilidade obtida a partir desses modelos podem gerar oportunidades de arbitragem com o próprio ativo subjacente. Assim sendo, a objetivo deste trabalho é apresentar uma solução para a construção de uma superfície de volatilidade implícita contornando o problema de liquidez das opções, e que mantenha a relação de não arbitragem entre o modelo e os prêmios de mercado. O modelo de precificação adotado para tanto é o modelo de volatilidade estocástica (VE) proposto por Heston (1993), aplicando-o no mercado brasileiro de opções de Dólar. Esse modelo foi escolhido por apresentar uma solução analítica para o preço da opção, e por ser computacionalmente mais simples do que métodos numéricos mais sofisticados utilizados por outros modelos de VE. Ademais, será aplicada a técnica da transformada rápida de Fourier (FFT) na resolução da função densidade probabilidade (FDP) do modelo, o que reduz significativamente a carga computacional em comparação com a transformada discreta de Fourier (TDF) e com os algoritmos padrão de integração numérica, conforme demonstrado por Moodley (2005). Assim, a estrutura do trabalho está dividida da seguinte forma: o segundo capítulo faz uma revisão bibliográfica de modelos de VE. No capitulo seguinte, é apresentado o modelo de Heston, bem como a técnica FFT. O quarto capítulo limita-se aos dados de mercado utilizados para calibração dos parâmetros. Em seguida, é apresentado no capitulo 5 as funções de otimização testadas com dados de mercado, a calibração do modelo e a construção da superfície de volatilidade implícita. Por fim, no capitulo 6 são destacadas as conclusões do trabalho. 2 Para mais detalhes sobre métodos de interpolação consultar Wilmott (2006). 11

12 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Apesar de sua simplicidade e grande aceitação pelo mercado, o modelo de Black- Scholes (1973) produz preços viesados ao assumir retornos normalmente distribuídos e volatilidade constante. Distribuição dos retornos com assimetria negativa e alta curtose podem ser observados em Doran-Ronn (2006). A premissa de volatilidade constante também é facilmente refutada pelo formato de smile da volatilidade implícita nos preços das opções, ou seja, diferentes volatilidades são observadas ao se observar os preços das opções sobre um mesmo ativo subjacente. Essas limitações incentivaram autores a desenvolver modelos de apreçamento que relaxam as premissas de Black-Scholes (1973). Foram propostos, portanto, modelos mais sofisticados assumindo diferentes processos para modelar os preços de ativos, e.g., Scott (1987), Hull and White (1987) e Wiggins (1987) generalizaram o modelo de Black-Scholes para aceitar volatilidade estocástica, ou seja, a volatilidade do ativo subjacente varia no tempo como um processo aleatório, Tais modelos são chamados modelos de volatilidade estocástica (VE). Os mesmos recorrem a técnicas numéricas, e.g., simulações de Monte Carlo, para calcular os preços das opções. Na prática, utilizar Monte Carlo torna o processo de cálculo muito lento, pois inúmeras simulações são necessárias para convergir para um valor consistente, exigindo assim grande esforço computacional. Outro método também usado é o método de diferenças finitas 3, muito parecidas com o método de árvores binomial, baseando-se na aproximação de derivadas por diferenças finitas. Contudo, o modelo é mais lento que o de Monte Carlo em dimensões elevadas, ou seja, na medida em que aumenta o número de pontos utilizados na discretização dos preços dos ativos (time step). O modelo de Heston (1993) com volatilidade estocástica foi escolhido por não assumir a distribuição lognormal dos retornos dos ativos, por incorporar o efeito 3 O método de diferenças finitas é um método de resolução de equações diferenciais que se baseia na aproximação de derivadas por diferenças finitas. A fórmula de aproximação obtém-se da serie de Taylor da função derivada. Consultar Wilmott (2006). 12

13 alavancagem 4, reversão a média, além de apresentar fórmula fechada para os preços de opções européias de compra e venda. O modelo assume também que a dinâmica da variância do ativo sofre alterações aleatórias proporcionais à raiz da variância. Além disso, o modelo assegura reverão da variância a média de longo prazo com velocidade de ajuste definida pelo parâmetro estritamente positivo, respeitando as características da dinâmica anteriormente proposta por Cox-Ingersoll-Ross (1985). Segundo Heston (1993), o preço da opção pode ser obtido usando a técnica da inversão da transformada de Fourier. A técnica adotada neste trabalho para obter a inversão é a Transformada Rápida de Fourier (FFT), conforme sugerido por Carr & Madan (1999), Moodley (2005) e Fusai (2008). Trata-se de um método engenhoso e altamente eficiente de reagrupar os cálculos dos coeficientes de uma Transformada de Fourier Discreta (TDF). Essa técnica, inicialmente proposta por Cooley-Tukey (1965) reduz significativamente a carga computacional em comparação com os algoritmos padrão para integração numérica, pois usa um número reduzido de operações aritméticas para calcular a TDF em relação ao seu cálculo direto. Costa (2003) apresentou a calibração dos parâmetros do modelo de Heston para o mercado futuro de dólar brasileiro e obteve um resultado satisfatório. No entanto, o autor enfatizou o tempo de processamento de cálculo e o alto custo computacional para calibração dos parâmetros do modelo. 2.1 ABORDAGEM DE EQUAÇOES DIFERENCIAIS PARCIAIS. Nos modelos de volatilidade estocástica, a volatilidade do ativo subjacente segue um processo aleatório de acordo com uma equação diferencial estocástica ou algum processo de aleatoriedade discreta. Esses modelos introduzem mais variáveis aleatórias do que ativos negociáveis. Segundo Wilmott (2006), o modelo não é completo se o número de processos aleatórios do modelo for maior do que o número 4 O modelo de Heston consegue captar o efeito da correlação negativa entre volatilidade e preço, ou seja, a volatilidade tende a aumentar quando o preço cai, gerando o que o mercado denomina efeito alavancagem. 13

14 de ativos subjacentes negociáveis. Nesse caso, precificar opções com modelos de VE é, portanto, um problema de mercado incompleto, o que significa que não existe uma única medida martingale 5, e o derivativo não pode ser perfeitamente protegido apenas com o ativo subjacente. Nos modelos básicos de VE, a dinâmica do ativo equação diferencial estocástica: St no tempo t satisfaz a seguinte () 1 ds t S t dt t S t dx t (2.1) Sendo X () 1 t um processo de Wiener. Por sua vez, a dinâmica da volatilidade segue o seguinte processo:,,,, 2 d t p S t dt q S t dx (2.2) Os dois incrementos dos processos estocásticos do ativo e da sua variância, dx 1 e dx 2, têm correlação entre si. Cada modelo de VE define as funções regem a dinâmica do processo estocástico seguido pela volatilidade p e q que t. Alguns deles, como o modelo de Heston (1993), definem essas funções para a dinâmica do processo da variância t, ao invés da volatilidade t. Utilizando a generalização dos argumentos da carteira livre de risco dados em Black- Scholes (1973), é fácil encontrar uma solução, sob abordagem de equações diferenciais parciais (PDE), para qualquer ativo negociável. O primeiro passo é construir uma carteira instantaneamente livre de risco contendo o derivativo em questão. A volatilidade estocástica introduzida gera mais uma fonte de aleatoriedade, 5 Medida equivalente de martingale, ou medida risco-neutra, usada na precificação é a medida de probabilidade resultante quando se assume que o valor corrente esperado de todos os ativos financeiros é igual ao valor futuro do payoff dos ativos descontados pela taxa de juros livre de risco. Consultar Wilmott (2006) 14

15 o que torna o mundo de Black-Scholes incompleto. Para isso, acrescenta-se outro derivativo do mesmo ativo subjacente com prazo diferente do primeiro. Sendo V S,, t o valor de uma opção, uma carteira só poderá ser livre de risco (riskless) se eliminar as duas fontes de aleatoriedade, St e t, presente nas dinâmicas das equações. Para tanto, a carteira deverá conter quantidades vendidas para o ativo subjacente e 1 valor da carteira é dado por: para a segunda opção, cujo valor é V S t 1,,. Assim o V S 1V 1 (2.3) Usando o Lema de Itô (1951), temos que uma variação instantânea no valor da carteira d em um determinado tempo dt, é dada por: V V V 1 2 V d S qs q dt 2 2 t 2 S S V V1 V1 1 2 V 1 1 S qs q dt 2 2 t 2 S S 2 (2.4) V V1 V V1 1 ds 1 d. S S Para eliminar toda a aleatoriedade da carteira devem-se escolher as seguintes relações das derivadas parciais da equação acima, como segue: V V1 V V1 1 0 e 1 0 S S (2.5) A solução deve ser encontrada resolvendo-se o sistema de duas equações e duas variáveis. A solução única segue a relação abaixo: V V V1 1 e 1 V1 S S (2.6) 15

16 Utilizando os argumentos de não-arbitragem, a carteira deve render uma taxa livre de risco da seguinte forma: 1 1 d rdt r V S V dt (2.7) Substituindo (2.4) e (2.6) em (2.7) resulta na seguinte relação: V V V 1 2 V d S qs q 2 2 dt t 2 S S V V1 V1 1 2 V 1 1 S qs q dt 2 2 t 2 S S 2 (2.8) Rearranjando as variáveis para que cada termo desconhecido fique de um lado da equação: V V V 1 2 V V S qs q rs rv 2 2 t 2 S S 2 S V V V1 V1 1 2 V1 V1 S qs q rs rv 2 2 t 2 S S 2 S V1 (2.9) Como as opções V e V 1 têm diferentes payoffs, preços de exercícios e datas de vencimento, para que essa igualdade seja verdadeira, ambos os lados devem ser funções das variáveis independentes S, e t. Conforme demonstrado em Wilmott (2006), a seguinte identidade é valida: V V V 1 2 V V V S qs q rs rv 2 2 p q (2.10) t 2 S S 2 S Onde a função S,, t representa a preço de mercado do risco da volatilidade (market price of volatility risk) e a quantidade p q representa a taxa de variação estocástica neutra ao risco (risk-neutral drift rate). Rearranjando a equação, chega-se à seguinte EDP: 16

17 2 2 2 V V V 1 2 V V V S qs q rs 2 2 p q rv 0 t 2 S S 2 S (2.11) A solução da EDP acima leva ao valor da opção para modelos de VE. De regra, a solução da EDP é achada numericamente através de métodos numéricos, e.g., método de Euler, Runge-Kutta e Diferenças Finitas. Para uma explicação detalhada desses métodos sugere-se a leitura de Fusai & Sanfelici (2002). 2.2 MODELOS DE VOLATILIDE ESTOCASTICA Os modelos de VE de diferentes autores diferem quanto aos processos estocásticos seguidos pela volatilidade ou variância do ativo. Os modelos foram desenvolvidos seguindo a seguinte cronologia: Hull and White (1987) e Wiggins (1987): O primeiro modelo foi introduzido por Hull and White considerando a correlação, entre o processo dx 1 e dx 2, igual a zero. Em seguida Wiggins assumiu 0. O preço do ativo nesses modelos assume um processo estocástico do tipo mais geral: ds Sdt SdX d dt dx 1 2 Onde, 2 E dx dx dt 1 2 No modelo de Hull-White os autores apresentaram uma técnica de aproximação baseado na distribuição condicional do valor médio da variância estocástica. Já Wiggins, para resolver a EDP, propôs o método numérico das diferenças finitas com a variável de estado transformada logaritmicamente. 17

18 Scott (1987): Scott considera que o logaritmo da volatilidade segue o processo aritmético de Ornstein-Uhlenbeck (O-U), também conhecido como processo de reversão a média: ds Sdt SdX d ln ln dt dx 1 2 Stein and Stein (1991): no modelo de Stein a volatilidade segue o processo aritmético de Ornstein-Uhlenbeck (O-U), com tendência a reversão a média de longo-prazo e 0 : ds Sdt SdX d dt dx 1 2 Heston (1993): No modelo de Heston a difusão do preço do ativo segue um movimento browniano geométrico que depende da difusão de variância, que por sua vez segue o processo da raiz quadrada estudado por Cox-Ingersoll-Ross (1985): ds Sdt SdX d dt dx 1 2 A popularidade do modelo é determinada pelo fato do mesmo permitir que a correlação entre os retornos do ativo e a volatilidade seja diferente de zero, 0, e por apresentar uma fórmula analítica para o preço da opção. Apesar da abordagem do modelo de Hull-White (1987) ser a mais flexível, a solução analítica de Heston (1993) é a mais geral. Segundo Ball e Roma (1994), Heston mostra que o modelo de Stein-Stein (1991) é passível de transformação de Fourier mesmo quando a correlação é diferente de zero, ao contrário da técnica de Hull- White, onde somente pode ser utilizada quando a correlação entre os retornos do ativo e a volatilidade for zero. 18

19 No próximo capítulo serão analisados com mais detalhes o modelo de Heston e a técnica de FFT utilizada na precificação da opção. 19

20 3 MODELO DE HESTON No modelo de Heston (1993), a dinâmica do processo estocástico do ativo subjacente St e da variância t instantânea para as opções européias sobre dólar seguem as seguintes equações: d f 1 ds r r Sdt SdX (3.1) 2 d dt dx (3.2) Onde r d e r f são taxas livre de risco no mercado doméstico e no mercado internacional, respectivamente. A dinâmica da variância segue um processo de reversão a média, inicialmente proposto por Cox-Ingersoll-Ross (1985), com reversão a variância média de longo prazo, e com taxa de reversão definida pela variável. Um valor alto de implica uma rápida reversão, e vice versa. O parâmetro representa a volatilidade da volatilidade e os dois processos de Wiener dx 1 e dx 2 são correlacionados, EdX dx dt, com 1, A equação (3.1) assemelha-se à EDP do modelo de Black-Scholes, exceto pela volatilidade estocástica dependente do tempo (time-dependent) t. Por sua vez, a equação (3.2), onde a variância é descrita por um processo de difusão da sua raiz quadrada com reversão à média, representa exatamente a EDP do modelo inicialmente proposto por Cox-Ingersoll-Ross (1976). Esse processo garante que t se mantém estritamente positiva se a relação 2 2 for observada. Substituindo as equações (3.1) e (3.2) na EDP da carteira replicante (2.11), sob a abordagem de equações diferenciais parciais, encontra-se a EDP do modelo de Heston (1993) do valor de uma opção sobre um ativo que possa ser negociável: 20

21 2 2 2 V 1 2 V V 1 2 V S S 2 2 t 2 S S 2 V V rd rf S rdv 0 S (3.3) No entanto, a estimação do parâmetro de risco da volatilidade não é uma tarefa trivial, uma vez que é praticamente impossível de estimar. Conforme detalhada na sessão seguinte, esse problema é superado devido à natureza paramétrica do modelo e da existência de uma fórmula fechada. Ao se sair do mundo real e entrar no âmbito da medida neutra ao risco, o parâmetro é eliminado. A equação da difusão da variância (3.2) passa, então, a ter a seguinte forma: * * d dt dx 2 (3.4) Onde: * * Substituindo as novas variáveis na EDP em 3.3 chega-se à seguinte EDP: V 1 2 V V 1 2 V S S 2 2 t 2 S S 2 V V rd rf S rdv 0 S * * (3.5) 3.1 FÓRMULA ANALÍTICA DE HESTON Segundo o modelo de Heston (1993) sob medida -martingale, a fórmula de uma opção de compra européia sobre um ativo St () que não paga dividendo, e que tenha o vencimento em T possui a seguinte forma: C( S, V, t, T) S P Ke P (3.6) r T t t t t

22 Por analogia com a fórmula Black-Scholes, o parâmetro P 1 representa a probabilidade neutra ao risco da opção vencer dentro do dinheiro (in-the-money), PS K T, e P 2 é a delta da opção. Segundo o autor, as probabilidades não são obtidas imediatamente em fórmula fechada. No entanto, Heston demonstra que as funções características f 1 e f 2 de P 1 e P 2 satisfazem a mesma EDP do modelo (3.5), sujeitas a condição terminal: i x f x, V, T, e i t A solução da função característica é:,,, exp,, fi x Vt T C T t D T t Vt i x Onde: x ln t a 1 ge C T t, rir 2 bj i d 2ln 1 g dr bj i d j 1 e DT t, 2 dr 1 ge bj i d g b i d j S j 2 j d i b u i dr Para j 1, 2 as seguintes relações são dada: u 1 1 2, u 2 1 2, a * *, b 1 *, b 2 * É possível invertê-la para obter a probabilidade desejada: i lnk 1 1 e fi x, Vt, T, Pj x, Vt, T,ln K Re d 2 0 i (3.7) 22

23 A integral da fórmula (3.6), no entanto, não pode ser obtida, uma vez que o integrante é singular no ponto 0, mas pode ser aproximada com boa exatidão usando técnicas de integração numérica. Carr & Madan (1999), ao invés de calcularem P 1 e P 2, separadamente, calcularam a transformada de Fourier de um preço ajustado de uma opção de compra em relação ao logaritmo do preço de exercício, como uma abordagem alternativa passível de ser calculada por FFT. A técnica será detalhada na próxima sessão. 3.2 TRANSFORMADA RÁPIDA DE FOURIER (FFT) A Transformada rápida de Fourier (FFT) é um tipo de aproximação discreta de uma transformada de Fourier. Carr & Madan (1999) têm o seguinte a dizer sobre o seu método:...find that the use of the FFT is considerably faster than most available methods and furthermore, the traditional method described in Heston, Bates, Bakshi and Madan, and Scott can be both slow and inaccurate... Sendo x ln X e k ln K t t, onde k é o preço de exercício da opção, temos que o preço da opção européia, vencendo em T, como função de k, é: rt x T k C k e e e f x dx (3.8) T T T T k Onde f x é a função densidade neutra ao risco. Note que o preço da opção tende T T à x T quando k tende à e, portanto, a função não é integrável ao quadrado. Os autores introduziram um parâmetro de amortecimento 0 e modificaram a função do preço da opção da seguinte forma: k ct k e CT k (3.9) 23

24 Assim, a transformada de Fourier e a inversa da transformada de Fourier de são: ct k ik Fc e c T T k dk (3.10) 1 ik ct k e Fc d T 2 (3.11) Substituindo a inversa da transformada de Fourier (3.10) na equação (3.8), temos: 1 k ik CT k e e Fc d T 2 k 1 ik e e F 0 c d T Note que a transformada de Fourier na função (3.9): c T (3.12) F pode ser obtida substituindo (3.7) e (3.8) i k k xt rt k (3.13) F e e e e e f x dx d ct T T T k T rt xt k 1k i k e f x e e e dx dk rt e 1 i xt e f 2 2 T xt dxt i i 2 1 i e F 1 i rt CT x T T T e rt ii ixt e f x dx T T T Os preços das opções de compra são determinados substituindo (3.13) em (3.12), e realizando a integração necessária. Segundo demonstrado por Carr & Madan (1999) e Fusai (2008), a técnica FFT pode ser eficientemente aplicada nesse caso. Em geral, para calcular um vetor de preços de exercícios com N 1 valores usando a TDF, são necessárias 2 N multiplicações envolvendo números complexos, além de NN 1 24

25 somas complexas. No entanto, Cooley-Tukey (1965) programaram o algoritmo FFT reduzindo o número de multiplicações para uma ordem de N ln 2 N. Esse algoritmo é eficiente em somas com a forma de uma aproximação discreta da transformada de Fourier, como segue: N j1 2 i j k N 1 1 k e x j para k 1,, N (3.14) Aplicando a regra trapezoidal 6 na integral em (3.11) e considerando a relação 1, pode-se transformar a equação para ter a seguinte forma: j j j k e C k e (3.15) N i jk T T j j1 A FFT retorno N valores de k, onde k 0 representa opções no dinheiro (at-themoney). Aplicando um espaçamento de tamanho, a variável torna-se: k b u 1 para u1,, N u Aplicando as devidas substituições, Carr & Madan (1999) e Fusai (2007) demonstram que, utilizando a regra de ponderação de Simpson 7 e aplicando a restrição preço de uma opção de compra pode ser aproximado como: e C k e e F (3.16) ku N 2 i j1 u1 N ib j j T u C 3 1 T j j1 j1 3 2 N, o Onde: 6 Essa regra aproxima uma função em cada subintervalo usando interpolação linear. Consultar Fusai (2007) 7 Para mais detalhes consultar Carr & Madan (1999) e Fusai (2007) 25

26 j c N c 600 N 4096 j 1 b 2b ku b u 1, u 1,2,..., N 1 N A equação (3.15) passa a ser passível de uma aplicação direta de FFT do tipo (3.13). Se comparado a outros métodos numéricos, como, por exemplo, a regra de quadratura 8, a técnica FFT é mais rápida ao se calcular uma matriz de preços para diferentes preços de exercícios. Já com o método numérico, só é possível calcular uma opção de cada vez. Para efeito comparativo, Moodley (2005) demonstra que, ao se calcular 4096 opções com diferentes preços de exercícios, a técnica FFT toma 0,14 segundos, enquanto o método numérico leva quase 282 segundos para calcular a mesma quantidade. Portanto a aplicação da FFT reduz consideravelmente o tempo na calibração do modelo de Heston com os dados de mercado, e principalmente, na construção de uma superfície de volatilidade implícita. Como analisado no próximo capítulo, a escolha das métricas do modelo são de extrema importância para se ter um modelo consistente. 8 A regra de quadratura gaussiana é uma aproximação da integral de uma função estabelecido como um somatório com pesos dos valores assumidos pela função em pontos específicos dentro do domínio da integral. 26

27 4 MÉTODO PROPOSTO A escolha do algoritmo de estimação, dos dados a serem utilizados e da função de perda (loss function) apropriada são tão importantes quanto à própria escolha do modelo. Na prática, a calibração para encontrar os seus parâmetros consiste em escolher um algoritmo de otimização que minimize uma função de perda medindo a distância entre os valores de mercado e os valores do modelo. No caso do modelo de Heston (1993), sob medida neutra ao risco, o algoritmo escolhido deverá minimizar o erro estimando o conjunto de parâmetros, sendo =, θ,,, ρ, respectivamente: variância instantânea, variância de longo prazo, taxa de reversão a média, volatilidade da volatilidade e correlação entre preço e variância. O processo de calibração consiste em determinar os parâmetros do modelo que gerem os prêmios teóricos mais próximos dos valores negociados nas opções de dólar, minimizando a diferença entre os preços do modelo e de mercado: ao invés de estimar esses parâmetros empiricamente, estimam-se seus valores com base nas informações de mercado. Para seguir com a dinâmica do processo de construção de uma superfície de volatilidade, são escolhidos inicialmente os dados apropriados a serem utilizados como entrada para que o modelo replique os mesmos valores (data-fitting). Neste trabalho, os dados escolhidos foram dados de mercado. No segundo momento, o modelo de Heston calcula os preços das mesmas opções com base em parâmetros inicialmente escolhidos =, θ,,,ρ. A partir daí, para encontrar os parâmetros ótimos do modelo, deve-se minimizar o erro dos preços do modelo em relação aos preços de mercado. Como será apresentado na sessão (4.2), essa minimização é dada pela otimização de uma função capaz de medir o erro, conhecida como função perda (loss function LF). Recalculam-se, então, os preços de Heston em um processo iterativo até que o erro seja minimizado. Os parâmetros que minimizaram o erro da LF são os parâmetros ótimos do modelo. É possível, portanto, calcular endogenamente os preços para 27

28 opções de qualquer vencimento e preço de exercício. Dessa forma, é fácil obter as volatilidades implícitas e construir uma superfície de volatilidade. Nas próximas sessões são detalhadas as escolhas dos dados, da função perda e dos resultados obtidos para o mercado de opções de Dólar. 4.1 OS DADOS Atualmente, a BM&FBOVESPA oferece um produto de volatilidade de dólar chamado operação estruturada de Volatilidade de Taxa de Câmbio (VTC). As operações estruturadas consistem em negociar a volatilidade de um ativo subjacente através da combinação de opções e contratos futuros em uma proporção delta-neutro, ou seja, que a quantidade de contratos futuros de Dólar seja igual ao resultado da multiplicação do delta pela quantidade de opções sobre dólar negociadas. Em um primeiro momento essa proporção garante ao participante um portfólio delta hedged, expondo-o apenas à volatilidade do ativo subjacente 9. Os dados históricos das negociações do VTC foram escolhidos como dados de entrada na calibração do modelo de Heston (1993), pois a apregoação do produto é feita em termos de prêmio da opção, uma vez que a Bolsa informa o valor do contrato futuro de Dólar no momento da negociação. Além de ter mais liquidez do que a negociação das próprias opções de Dólar, esse produto tem negociação concentrada nos calls realizados na parte da manhã, garantindo menores spreads e maior transparência. No entanto, a liquidez pode concentrar-se em algumas opções in-the-money e de curto prazo, fazendo com que o tamanho da amostra não seja suficiente para se calibrar o modelo. Para contornar o problema, os spreads de ofertas de todas as opções em que não houve negócios também foram acatados como parte da amostra. Isso garantiu uma amostra média de 25 dados diários, distribuídos em opções de curto e médio prazo, com até um ano de maturidade. 9 Para mais informação sobre produtos de volatilidade consultar DARIO (2006). 28

29 Durante as negociações ocorridas no call, também foi coletada a curva de juros em reais, representadas pelos preços praticados no mercado futuro de DI1, e a curva a termo de Dólar, representada pelos preços praticados no mercado futuro de Dólar. Esses dados servem como complemento ao modelo de Black (1976) para se poder extrair a volatilidade implícita dos preços praticados. A Tabela 1 abaixo contém os dados coletados do call de VTC para o dia 17 de Abril de No seu eixo horizontal, os valores representam os dias úteis para o vencimento da opção, e no eixo vertical os preços de exercícios para cada vencimento. Dentro da matriz, os valores em negrito representam os prêmios das opções procedentes de negócios, e.g., o valor em negrito de R$52,00 representa um negócio realizado para uma opção de preço de exercício R$2.200 e vencimento em 29 dias úteis. Os demais dados são médias de ofertas (spreads) para opções que não tiveram negócios. Já, os demais campos em branco são opções que não foram negociadas no call. Tabela 1 Preços das opções sobre Dólar no call em 17 de Abril de 2009 Strike Moneyness Maturidade , , , ,17 113,62 133,50 157,00 170,00 186,00 201,50 212,00 226, , , , ,40 52, , , , ,50-75,00 90,50 104, ,0520 4, ,00 114,00 127, , , ,1206-8, , , , ,25 52, , ,00 Os mesmos dados foram coletados diariamente para um período de 89 dias úteis, compreendido entre Março e Julho de A escolha do período da amostra foi pertinente, pois abrangeu além de dias de pouca volatilidade, também dias de muito stress de mercado, contribuindo para a análise no comportamento dos parâmetros do modelo. Ademais, boa parte do volume de negócios que se pode observar na figura 1 abaixo foi praticada no call de VTC, aumentando a qualidade da amostra. 29

30 jan/2009 fev/2009 mar/2009 abr/2009 mai/2009 jun/2009 jul/2009 Contratos Volatilidade a.a. Figura 1 - Contratos negociados de VTC e volatilidade de dólar. Contratos Negociados Vol a.a ,00% 40,00% 35,00% 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% 4.2 MÉTRICA PROPOSTA A maioria dos trabalhos acadêmicos utiliza a seguinte família de funções perda: 2 0 n 1 LF, X wi X i X i, (4.1) n in Onde é o vetor de parâmetros do modelo, X i é o vetor de dados de mercado é o (prêmios das opções e/ou volatilidades implícita) a serem calibrados, e i X vetor com os dados do modelo. Os pesos w i geralmente são escolhidos de modo a atribuir maior relevância às opções no dinheiro (at-the-money) cujos spreads são normalmente mais estreitos. Por sua vez, a função, 0 penaliza os maiores desvios em relação aos valores iniciais 0. Neste trabalho, optou-se por não utilizar pesos ou penalizações na amostra devido à quantidade limitada de dados. Como as opções negociadas no call são, em sua maioria, opções no dinheiro, também não se optou por retirar nenhum dado da amostra. 30

31 Conforme apresentado em Fusai (2008), várias métricas podem ser encontradas nos trabalhos acadêmicos expondo suas vantagens e desvantagens. No entanto, conforme a fórmula (4.1), a LF mais aplicada é o erro quadrático médio (mean squared error - MSE). Segundo o autor, utilizando prêmios de mercado, essa métrica tem a característica de atribuir grandes pesos às opções de maior valor dentro da amostra (opções in-the-money com maturidades longas) e, conseqüentemente, poucas opções efetivamente acabam contribuindo para a função perda. Outra métrica também utilizada é o percentual médio do erro quadrático (percentage mean squared error - PMSE), porém, alguma instabilidade numérica pode ocorrer caso o preço de uma opção se aproximar de zero (no caso de out-of-the-money e maturidades curtas), conforme apresentado por autor. A eficiência dessas métricas depende, também, de quais dados serão calibrados. A calibração minimizando as volatilidades implícitas tem a vantagem de representar um conjunto homogêneo de dados, independente dos preços de exercícios, além de manter o procedimento de calibração mais estável por ser menos sensível a pequenas perturbações. Deste modo, para calibrar o modelo optou-se por comparar as seguintes métricas: n 1 2 MSE ; X X i X i, n in (I) 2 n 1 Xi X i PMSE ; X, n in X (II) i n 1 MAE ; X X i X i, n in (III) Onde (I) é a função do erro quadrático médio, (II) é o erro quadrático percentual médio e (III) é o erro absoluto médio. Para efeito de análise, essas métricas foram comparadas calibrando o modelo com os prêmios das opções e, em seguida, com as volatilidades implícitas. 31

32 No processo de calibração optou-se por aceitar como parte da amostra os valores médios dos prêmios de compra e venda, e o valor médio das volatilidades implícitas, para as opções não negociadas. Assim, a aceitação dos parâmetros ótimos do modelo deve passar pelo filtro aplicado nos dados de modelo para que esses mantivessem a seguinte relação: n in w X X w compra venda 2 2 n i i i i i i i0 (4.2) Onde compra i e venda representam a compra e a venda (spread) do i-ésima dado de i mercado. Essa relação faz com que o valor gerado pelo modelo não precise coincidir exatamente com o valor médio, mas que o processo de modelagem produza as estimativas necessárias dentro de um nível de tolerância. Portanto, o conjunto de parâmetros do modelo só foi aceito se a soma dos quadrados das diferenças entre os valores do modelo e de mercado não seja maior que a soma dos quadrados dos intervalos das ofertas. Caso essa relação não seja respeitada, o dado da i-ésima opção que individualmente não manteve a relação 2 2 X X compra venda deverá ser retirada da amostra. i i i i Assim, para resolver o problema inverso deve-se minimizar o erro entre os dados do modelo e os dados de mercado, uma vez escolhida a métrica. No caso dos dados aqui analisados, a função minimizada foi o erro quadrático médio conforme segue: n min MSE ; X minw i X i X i (4.3) in 2 Vale mencionar alguns pontos importantes levantados no processo de minimização: Achar o mínimo de ; X e, principalmente assegurar que este seja o mínimo global da função é uma tarefa complicada e depende muito do método de otimização utilizado; Uma solução única de (4.3) pode não existir, e o algoritmo utilizado pode encontrar somente o mínimo local da função. Isso pode ter implicações sobre a 32

33 estacionariedade dos valores dos parâmetros, importantes nestes tipos de modelo, conforme discutido em Moodley (2005). Neste trabalho, a calibração foi realizada através do método de mínimos quadrados não lineares, facilmente encontrado no Matlab com o nome de LSQNONLIN 10. Esse algoritmo minimiza o valor da função com base nos valores iniciais dos parâmetros ( 0 ), utilizando o método de Newton. Por ser um otimizador local, não é possível saber se a solução encontrada atingiu um mínimo local ou global. No entanto, como o tempo gasto na construção de uma superfície de volatilidade foi priorizada, optou-se também por algoritmos que mantivessem a qualidade dos resultados com baixo custo computacional. Como pode ser visto em Moodley (2005), métodos heurísticos, e.g., o método de minimização global de Monte Carlo (Simulated Annealing - SA), apesar de estatisticamente garantir que o mínimo global seja encontrado, o tempo gasto com o processo de calibração pode levar horas. Além disso, o autor também demonstra que o erro minimizado por LSQNONLIN ou até mesmo pelas ferramentas solver do Excel são bem satisfatórios se comparados com SA. Vale ressaltar que a decisão pelo melhor algoritmo deve levar em conta a dependência dos algoritmos de minimização local aos parâmetros iniciais do modelo, o que não ocorre com o algoritmo SA. Dessa forma, os parâmetros inicialmente propostos por Fusai (2008) também foram aqui utilizados. Para a variância de longo prazo e para a volatilidade da volatilidade, utilizou-se a variância e a volatilidade implícita média da amostra do dia a ser calibrado, respectivamente. Para o coeficiente de reversão a média utilizou-se 2, e para o coeficiente de correlação igual a 0,4. No próximo capitulo é apresentado o processo de calibragem do modelo e analisado o comportamento dos parâmetros dado as escolhas iniciais dos parâmetros propostos. 10 Para mais informação sobre lsqnonlin, método de Newton (interior-reflective Newton method) e critério de otimização, consultar (Coleman & Li 1994 e 1996). 33

34 5 CALIBRANDO O MODELO Uma vez escolhidos os dados de mercado, a função perda e o algoritmo de otimização, calibrou-se o modelo de Heston para cada dia conforme segue: (1). Inicialmente utilizou-se o modelo de Black-Scholes para poder extrair as volatilidades implícitas dos prêmios coletados. Com isso, pode-se calibrar o modelo tanto em função dos prêmios quanto em função das volatilidades implícitas; (2). Uma vez escolhido o conjunto de parâmetros iniciais do modelo =, θ,,,ρ, calculou-se os prêmios das opções pela fórmula de Heston e, em seguida, mediu-se o erro entre os valores do modelo e os de mercado. O mesmo foi feito com as volatilidades implícitas de mercado e as volatilidades implícitas do modelo (3). Com a função perda e o algoritmo de otimização escolhidos, o processo descrito em (2) é iterado até que a função seja minimizada (tanto para os prêmios quanto para as volatilidades implícitas). (4). Uma vez obtidos os parâmetros ótimos do modelo no passo (3), calculou-se os prêmios das opções para todos os vencimentos e preços de exercícios, bem como as volatilidades implícitas dos prêmios usando o modelo de Black- Scholes (1973), garantindo que a superfície de volatilidade implícita contenha valores para todos os deltas e vencimentos. O processo de calibração aplicado no dia 17 de Abril de 2009, e os respectivos resultados para as diferentes métricas são apresentados na Tabela 2 abaixo: Tabela 2 - Funções perda para diferentes métricas e targets 11 com dados de17 de Abril de 2009 Preços Vol Implícita MAE MSE PMSE MAE MSE PMSE σ 0,0355 0,0355 0,0326 0,0353 0,0347 0,0345 θ 0,0506 0,0517 0,0471 0,0530 0,0552 0,0589 K 1,0761 1,0008 1,1232 1,3078 1,4556 1,1527 vol 0,6236 0,6309 0,6503 0,7422 0,8316 0,7731 ρ 0,4933 0,4750 0,4672 0,4413 0,4037 0, Targets: prêmios e volatilidades implícitas. 34

35 A variância instantânea, representada por, está abaixo da volatilidade de longo prazo,, em todas as métricas, condizente com a inclinação positiva da estrutura de volatilidade a termo e com as volatilidades implícitas das opções de maior maturidade. O coeficiente de reversão à variância de longo prazo,, variou entre valores positivos de 1 a 1,45, indicando uma lenta reversão da volatilidade ao seu valor de longo prazo. O coeficiente do termo estocástico da equação de difusão da variância, ou volatilidade da volatilidade,, se manteve em valores altos entre 0,62 e 0,83. Por fim, a difusão da variância se mostrou positivamente correlacionada com o preço da opção, variando entre 0,4 e 0,5. No gráfico da Figura 2 abaixo se pode observar o erro relativo entre os prêmios calculados pela calibração do modelo, representados pela cruz, e aqueles observados no mercado, representados por círculos, para os dados do dia 17 de Abril de 2009 Figura 2 - Diferença entre prêmios do modelo e de mercado de 17 de Abril de 2009 Por não termos utilizado nenhum peso que punisse as opções fora do dinheiro, os erros relativos do modelo não foram maiores para essas opções, mantendo-se consistentes ao longo da amostra. Apesar da calibração para as demais datas da amostra apresentar erros relativos maiores que os observados em 17 de Abril de 2009, os parâmetros do modelo se mantiveram estáveis e dentro das expectativas iniciais. Com isso, o modelo se mostra aceitável para o grau de liquidez do mercado brasileiro de opções de dólar e, conseqüentemente, para a proposta inicial da construção de uma superfície de volatilidade para esse mercado. O comportamento dos parâmetros do 35

36 modelo ao longo do período de teste, compreendido entre 5 de Março a 24 de Julho de 2009, pode ser analisado nos gráficos da Figura 3 abaixo: Figura 3 - Estatísticas diárias dos parâmetros do modelo de Heston no período testado Dentro desse período, a volatilidade de curto prazo para o dólar ficou no patamar de 20% ao ano, porém com algumas datas de grande volatilidade diária. Uma conseqüência desse fato pode ser observada no comportamento da variância instantânea alterando mais que a variância de longo prazo. O coeficiente de reversão também se mostrou volátil, variando entre 1 e 5. O coeficiente que representa a volatilidade da volatilidade se manteve alto em toda a amostra, com valor médio de 0,85. Por sua vez, o parâmetro de correlação entre os processos de difusão que descrevem o preço e a volatilidade se manteve estável, variando 0,40 e 0,60. 36

37 5.1 CONSTRUINDO A SUPERFICIE DE VOLATILIDADE Apesar de premissas já corroboradas por estudos empíricos, e.g., Ball & Roma (1994), o modelo de Black-Scholes é o mais utilizado pelos traders de opções devido a sua rapidez e simplicidade. No entanto, para contornar a premissa de volatilidade constante, é normal observar uma matriz de volatilidades implícitas como forma de lidar com as imperfeições do modelo. Em uma dimensão, temos os preços de exercício das opções, e na outra as respectivas maturidades. Essas dimensões normalmente são construídas com base nos vencimentos autorizados à negociação na BM&FBOVESPA e com preços de exercício compreendidos entre os deltas 10% e 90%. O resultado é uma matriz com valores de volatilidade para cada opção. Contudo, uma superfície de volatilidade só pode ser preenchida se houver prêmios de mercado observados para cada opção, o que não ocorre em mercados pouco líquidos. A grande vantagem de se utilizar o modelo de Heston para construir uma superfície de volatilidade é que, uma vez calibrado com os próprios dados de mercado, ele estima qual seria a volatilidade implícita das demais opções, mantendo a relação de não arbitragem. Dessa forma, alguns cuidados devem ser tomados ao se estimar os prêmios das opções endogenamente pelo modelo. Dependendo da quantidade de dados de mercado utilizada para calibrá-lo, o modelo passa a ser mais sensível ao precificar opções muito fora ou muito dentro do dinheiro. Também foram observados erros relativos maiores nos vencimentos mais curtos se comparados com os preços de mercado. Essa particularidade também foi notada para as demais datas do período analisado. O erro relativo médio da volatilidade implícita do modelo em relação aos dados originais ficou em 0,52%. Os valores das diferenças de cada opção podem ser observados na Tabela 3 para o dia 17 de Abril de Vale ressaltar que também foram consideradas as volatilidades implícitas das médias das ofertas. Dessa forma, o erro do modelo se encontra dentro dos valores de tolerância de acordo com a fórmula

38 Tabela 3 - Diferença entre volatilidades do modelo de Heston e implícitas para 17 de Abril de 2009 Strike Moneyness Maturidade , ,59% ,9605 0,21% -0,28% -1,12% -1,79% -0,49% 0,02% 0,00% 0,74% 0,81% ,9834 0,09% ,0062-1,12% -1,71% , ,32% ,0291 0,06% ,67% -0,36% 0,26% ,0520 0,58% ,04% 0,27% 0,44% , ,32% , ,29% , ,34% , ,11% 0,06% , ,26% Nesta data, construiu-se a superfície de volatilidade endogenamente pelo modelo, minimizando o erro quadrático médio (MSE) entre as volatilidades implícitas do modelo e de mercado, como pode ser observado no representa a gráfico abaixo. Figura 4 - Superfície de Volatilidade do modelo de Heston para 17 de Abril de 2009 A métrica de mínimos quadrados médio foi aqui utilizada por apresentar o menor erro em comparação com as demais métricas aqui abordadas, além de suas vantagens apontadas anteriormente. No entanto, não se pode generalizar para os demais mercados, uma vez que cada um tem a sua particularidade. Alem disso, as condiçoes de mercado também podem influenciar na eficiencia da métrica. 38

39 6 CONCLUSÃO O trabalho teve como objetivo calibrar o modelo de volatilidade estocástica proposto por Heston (1993) nas opções de Dólar negociadas na BM&FBOVESPA, utilizando a técnica de Transformada Rápida de Fourier (FFT) proposta por Carr & Madan (1999). Em seguida, construir uma superfície de volatilidade implícita com base nos parâmetros ótimos do modelo, como forma de contornar a falta de liquidez. Em primeiro lugar observou-se que a técnica de FFT na resolução da equação diferencial do modelo diminuiu o tempo de processamento de cálculo do preço da opção e do custo computacional para a calibração periódica (diária) do modelo, em comparação com a técnica de Transformada Discreta de Fourier (TDF). Dessa forma, a desvantagem do modelo de Heston apontada em Costa (2000) foi, em parte, suprimida. Em seguida, consegui-se estudar a eficiência das diferentes métricas de calibração dos parâmetros, tanto calibrando os prêmios, quanto as volatilidades implícitas. A métrica que minimiza o erro quadrático médio (MSE) baseado na calibração das volatilidades implícitas se mostrou mais estável a pequenas perturbações dos dados de mercado e com o menor erro. Conseqüentemente, os parâmetros do modelo se mostraram estáveis, mesmo em períodos de alta volatilidade. Esse resultado garantiu que a superfície de volatilidade construída com base nessa calibração se ajustasse satisfatoriamente aos dados de mercado. Apesar de suas vantagens em incorporar volatilidade estocástica, o modelo de Heston não se ajustou tão bem para as opções com vencimentos mais curtos. Os erros relativos comparado com os valores de mercado foram maiores nessas opções. Ademais, quando a amostra de dados de mercado é pequena, o erro relativo do modelo é maior, superestimando os valores dos vencimentos mais longos. O trabalho buscou apresentar uma ferramenta eficiente e de rápida aplicação na construção de uma superfície de volatilidade implícita. No entanto, como estudos posteriores, a aplicação de algoritmos de otimização global ao invés de otimizadores locais pode buscar melhores resultados na minimização, porém prejudicando o 39