UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO CONTINUADA - PECE ESCOLA POLITÉCNICA MODELO DE VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA: APREÇANDO OPÇÕES DE

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO PROGRAMA DE EDUCAÇÃO CONTINUADA - PECE ESCOLA POLITÉCNICA MODELO DE VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA: APREÇANDO OPÇÕES DE MOEDA UTILIZANDO O MODELO DE HESTON Pedro Henrique Sebestyen Paiola SÃO PAULO 2012

2 PEDRO HENRIQUE SEBESTYEN PAIOLA MODELO DE VOLATILIDADE ESTOCÁSTICA: APREÇANDO OPÇÕES DE MOEDA UTILIZANDO O MODELO DE HESTON Trabalho de Pós-Graduação apresentado ao Programa de educação Continuada da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo como requisito parcial para a obtenção do MBA em Engenharia Financeira. Orientadora: Profª Drª Fabiana Fontes Rocha SÃO PAULO 2012

3 Agradecimentos Primeiro, quero agradecer aos meus pais e a toda minha família, pelo apoio recebido durante toda minha vida até agora. Agradeço ainda aos meus amigos e colegas do MBA PECE-POLI, que me acompanharam nestes dois anos de curso, bem como aos professores desta instituição, que são responsáveis pela sólida formação oferecida, em especial ao meu orientador Márcio. Também cabe agradecimento aos meus colegas do Banco Votorantim, principalmente ao meu gestor, por sempre me apoiar na minha busca por mais conhecimento. Por fim, agradeço à Fernanda, que sempre está ao meu lado.

4 Resumo O objetivo do presente trabalho é confrontar uma das premissas dos modelos tradicionais de apreçamento de opções, que assumem, entre outras simplificações, a não variabilidade da volatilidade do preço do ativo objeto até o vencimento da opção. Para tanto, será utilizado o modelo de Heston de volatilidades estocásticas. Através da estimação dos parâmetros por minimização de uma função de erro quadrático entre os preços do modelo e os preços de mercado, são encontradas evidências significativas de que o modelo tradicional possui viés em situações de alta volatilidade da própria volatilidade. Palavras-Chave: opções, apreçamento, modelo de Heston, volatilidade estocástica.

5 Abstract This work was carried out with the main purpose of testing one of the most important assumptions of the traditional models of option pricing, which assume, among others simplifying hypothesis, that the volatility of the option underlying asset is constant throughout the time, until option expiration. To fulfill this objective, the Heston stochastic volatility model will be applied. The estimation of Heston s model parameters will be done through the minimization of an error function, that compares the prices available in the Brazilian market with those calculated using the model. Afterwards, we can observe that in some circumstances of high volatility of the volatility, the Heston model can predict market prices with more accuracy than the traditional Black and Scholes model. Key words: option, pricing, Heston s model, stochastic volatility.

6 Sumário 1. Introdução Resumo Teórico Apreçamento de opções Modelo de volatilidade não constante Revisão da Literatura Descrição dos dados e período analisado Modelo Estimado e Resultados Formulação do Modelo Estimação dos Parâmetros Resultados Apreçamento de uma opção fora do conjunto inicial Conclusão Bibliografia Apêndices... 46

7 Relação de Tabelas 1. Tabela 1- Relação dos parâmetros de volatilidade estocástica com vieses do preço de Black e Scholes Tabela 2 - Opções selecionadas para estimação dos parâmetros Tabela 3 - Opções selecionadas para teste dos modelos... 33

8 Relação de Gráficos 1. Gráfico 1 - Gráfico de volatilidade da cotação Dólar Spot BM&F Gráfico 2 - Evolução dos parâmetros estimados para o Período I Gráfico 3 - Evolução dos parâmetros estimados para o Período II Gráfico 4 - Erros quadráticos entre os preços de mercados e aqueles calculados pelo Modelo de Heston Período I Gráfico 5 - Erros quadráticos entre os preços de mercados e aqueles calculados pelo Modelo de Heston Período II Gráfico 6 - Preços calculados da opção de strike R$ 1,90 Período I Gráfico 7 - Preços calculados da opção de strike R$ 2,30 Período I Gráfico 8 - Preços calculados da opção de strike R$ 2,075 Período I Gráfico 9 - Preços calculados da opção de strike R$ 1,85 Período I Gráfico 10 - Preços calculados da opção de strike R$ 2,05 Período II Gráfico 11 - Preços calculados da opção de strike R$ 2,20 Período II Gráfico 12 - Desvio dos preços calculados pelos dois modelos em relação ao preço de mercado Período I Gráfico 13 - Desvio dos preços calculados pelos dois modelos em relação ao preço de mercado Período II... 45

9 9 1. Introdução O tema apreçamento de opções é recorrente na literatura financeira. Desde que Black & Scholes (1973) lançaram seu trabalho pioneiro sobre apreçamento de opções, o assunto é discutido de forma intensa nos meios acadêmicos e também entre os profissionais do mercado. Uma das razões para esta discussão está no fato do modelo clássico de apreçamento de opções lançar mão de várias premissas simplificadoras na sua conclusão e aplicação, premissas estas que são continuamente refutadas pela prática e observação empírica. Mas na verdade, mesmo após quase 40 de seu lançamento, e com todas as desvantagens trazidas pelas simplificações adotadas o modelo de Black & Scholes (e suas variantes para apreçamentos de opções sobre moedas, futuros, ações, entre outros) continua sendo o mais popular modelo de apreçamento de opções. Neste presente trabalho o enfoque será em um modelo que permite o afrouxamento de uma das hipóteses simplificadoras adotadas pelo modelo tradicional: a premissa de que a volatilidade do preço do ativo objeto permanece constante entre a data de cálculo e a data de vencimento da opção. Para este objetivo, será aplicado o modelo de Heston (1993), que trata a volatilidade como um parâmetro estocástico, ou seja, que varia no tempo. Este modelo é escolhido para este fim por oferecer uma fórmula fechada para apreçar opções (tal qual o modelo de Black & Scholes), independendo de simulações. Na utilização dos modelos, seus parâmetros serão calibrados com base na minimização da função quadrática do erro entre os preços de mercado e aqueles obtidos usando a fórmula de Heston.

10 10 As próximas seções são organizadas de forma a explorar a literatura sobre o tema, introduzir o modelo de Heston e também ilustrar sua aplicação. Na seção 2 é feito um resumo sobre o tema Apreçamento de Opções, incluindo o próprio modelo de Heston. A seção 3 é dedicada a uma breve revisão de alguns trabalhos publicados com o intuito de testar modelos alternativos que relaxem uma ou mais hipóteses simplificadoras do modelo tradicional. Na sequência, a seção 4 descreve os dados de mercado e o período no qual será focado o estudo. A seção 5, por sua vez, formula o modelo de Heston adaptado ao apreçamento de opções de moeda e descreve os resultados obtidos. Na seção 6 é apresentada a conclusão do trabalho.

11 11 2. Resumo teórico 2.1. Apreçamento de opções Produtos financeiros que contêm opcionalidades embutidas ou mesmo as opções propriamente ditas são amplamente negociados no mercado financeiro mundial. Da mesma forma, têm sido amplos os estudos e literatura produzidos acerca de modelos matemáticos que possibilitem o apreçamento de tais produtos. Atualmente, no que se refere às opções mais simples (também chamadas de opções plain vanilla), os modelos de apreçamento mais utilizados no mercado são aqueles que derivam do modelo seminal de Black e Scholes (1973). Por exemplo, no mercado de opções de câmbio a adaptação utilizada foi derivada por Garman e Kohlhagen (1983) e no mercado de opções sobre futuros usa-se a versão de Black (1976). A grande vantagem desta categoria de modelos é a sua simplicidade de aplicação: todos têm uma fórmula fechada facilmente calculada. No entanto, para que fosse possível atingir esta simplicidade, os modelos foram construídos embasados em premissas simplificadoras que nem sempre (ou, mais realisticamente, nunca) se aplicam. Podemos citar algumas das simplificações, apontadas por diversos autores, como Iveson (2010) ou Marins (2009): I. As opções são sempre exercidas em uma única data préestabelecida (ou seja, no jargão de mercado, são do tipo europeu).

12 12 II. O mercado de negociação é eficiente e os agentes não participam de forma isolada na formação de preço dos ativos, sendo tomadores de preços. III. IV. As opções são negociadas de forma contínua. Não existem custos de transação. V. A taxa de juros é constante até o vencimento da operação. VI. VII. Investe-se e tomam-se recursos à mesma taxa livre de risco. A volatilidade do ativo base é constante para todo o período. Além disso, o modelo propõe um processo difusor para a dinâmica do preço do ativo objeto, supondo que seus retornos seguem um modelo lognormal. A dinâmica estocástica deste ativo, conhecida como Modelo Browniano Geométrico, é dada por: ds = μs. dt + σs. dw Na equação acima, µ representa o retorno esperado para o ativo (taxa de crescimento esperada), σ é a volatilidade e dw representa um processo de Wiener. Este processo caracteriza o componente estocástico do movimento de S e tem incrementos independentes, relacionando-se com um incremento de tempo (discreto) t por W = ε t, ε ~ N(0,1). Desta forma, é possível afirmar que os incrementos de um processo de Wiener possuem média zero e variância igual a t. A partir do movimento estocástico descrito acima e utilizando o Lema de Itô, é possível derivar a equação diferencial parcial de Black e Scholes (para um maior detalhamento desta derivação, ver Hull (1998)). A equação abaixo

13 representa a variação do valor de um derivativo (dado por V) que depende do valor de um ativo S e do tempo t: V t σ S V V + rs S S rv = 0 13 A solução desta equação é bem conhecida e derivada na literatura sobre o assunto e resulta nas fórmulas para apreçamento das opções de compra (call) e de venda (put), que são dadas abaixo: call = S. e. N(d1) X. e. N(d2) put = X. e. N( d2) S. e. N( d1) d1 = ln S K + r r + σ. T 2 σ. T d2 = ln S K + r r σ. T 2 σ. T As fórmulas acima referem especificamente ao modelo de apreçamento de opções de moeda estrangeira. As taxas de juros r e r f referem-se, respectivamente, à taxa livre de riscos da moeda local e à taxa livre de risco da moeda estrangeira. O tempo T é obtido da data de apreçamento até a data de exercício. As variáveis S e X correspondem ao preço do ativo objeto, sendo que S é o preço corrente e X o preço de exercício negociado. Nas seções a seguir, será feita a apresentação teórica de um modelo que afrouxa a premissa de que a volatilidade é constante ao longo da vida da opção. No entanto, as demais hipóteses se mantêm.

14 Modelo de volatilidade não constante Um dos grandes problemas resultantes da utilização do modelo tradicional de apreçamento de opções, formulado no item anterior, refere-se à violação da hipótese de que a volatilidade do ativo base é constante desde a data base até o vencimento da operação. Há evidência empírica de que existe correlação entre o retorno observado para o ativo base e a volatilidade implícita das opções, conforme exemplificado em Xu (2003). Para que fosse possível criar um método de apreçamento consistente com esta realidade, foram formulados modelos que consideram que a volatilidade tem sua própria dinâmica estocástica. Ou seja, consideram que é possível a variação deste componente de apreçamento em função da variação do tempo. Estes modelos são conhecidos como modelos de volatilidade estocástica e sua principal característica é permitir que a volatilidade instantânea do retorno do ativo objeto varie estocasticamente no tempo, assumindo assim um processo de difusão característico. Um dos modelos mais conhecidos para esta finalidade é o modelo proposto por Heston (1993), que, dentre suas vantagens, possui uma fórmula fechada e permite a existência de correlação entre o processo que rege o preço do ativo e o da sua volatilidade. Como o processo assumido para a variação do preço do ativo objeto é idêntico aquele utilizado pelo modelo de Black e Scholes, já exposto anteriormente, é possível afirmar que o modelo de Heston é uma extensão do modelo tradicional de apreçamento de opções, com a vantagem adicional de permitir que a volatilidade varie ao longo do tempo. Desta forma, o processo de difusão para S é dado por:

15 15 ds = μs. dt + σ S. dz, Observa-se que, diferentemente do item anterior, agora temos que a volatilidade é dada por σ, ou seja, a volatilidade observada no momento t. A variável Z, segue um processo de Wiener. Com relação à volatilidade, podemos escrever seu processo estocástico como um modelo do tipo CIR (Cox, Ingerssol e Ross (1985)): dσ = k. (θ σ )dt + Vσ. dz, Sendo as variáveis acima descritas como: k: Parâmetro de reversão à média θ: Volatilidade média de longo prazo V: Volatilidade da volatilidade dz, : Processo de Wiener correlacionado com dz, por dz, dz, = ρdt a. Apreçamento de opções utilizando o modelo de volatilidade estocástica A dinâmica do modelo de Heston permite o apreçamento da opção não apenas através de sua fórmula fechada, mas também através de métodos numéricos envolvendo simulações. Considerando o arcabouço teórico possibilitado pelo modelo, é possível a utilização da Simulação de Monte Carlo (SMC) para se obter preços das opções européias de compra e venda. Por esta abordagem, o preço da opção é equivalente à média dos payoffs obtidos em cada uma das simulações, descontada a valor presente pela taxa de juros livre de risco. Para obter o payoff é feita uma simulação de uma possível trajetória do preço do ativo objeto utilizando o processo estocástico descrito para esta variável. Para esta trajetória, é obtido o preço

16 16 final e o valor da opção no vencimento é calculado com este preço simulado. Este processo de simulação é repetido um número grande de vezes (e.g ) para se obter um valor esperado que se aproxime do valor justo da opção. Considerando que a volatilidade também é uma variável que segue um processo estocástico, podemos incluir um procedimento de simulação do seu valor dentro da SMC que gera o preço justo da opção. Assim, o método de apreçamento apresentado utiliza as equações de difusão estocástica apresentadas no item anterior. Estas equações são reescritas abaixo, considerando que x = ln (S ). Por simplicidade já adotamos a medida de probabilidade neutra ao risco, ou seja, já é desconsiderado o prêmio de risco da volatilidade, assumido como zero, sendo que os ativos têm taxa de crescimento igual à taxa livre de risco r. dx = r 1 2 σ. dt + σ. dz, dσ = k. (θ σ )dt + Vσ. dz, No entanto, nota-se que os valores de volatilidade simulados acima não são garantidamente positivos. Para solucionar este problema são dadas duas possíveis soluções. A primeira seria considerar o valor da volatilidade sempre igual a zero caso o valor simulado seja negativo. A segunda, menos invasiva, seria transformar a simulação para gerar valores de ln (σ ), tal como feito para o ativo objeto. Desta forma, escrevemos a seguinte equação para descrever a trajetória da volatilidade: dln (σ ) = 1 σ k. (θ σ ) 1 2 V dt + V 1 σ. dz,

17 17 Para efeitos da simulação, na qual teremos valores pontuais da volatilidade e do ativo objeto, devemos escrever uma versão discretizada dos processos dados em forma contínua. Assim, de maneira discreta, os processos estocásticos que descrevem as trajetórias do preço do ativo objeto e da volatilidade são dados, respectivamente, por: ln(s ) = ln(s ) + r 1 2 σ. t + σ. t. ε, ln(σ ) = ln(σ ) + 1 σ k. (θ σ ) 1 2 V t + V 1. ε σ, Os choques aleatórios do processo da volatilidade ε, são correlacionados com os respectivos choques do processo do ativo objeto ε,. Essa correlação é denotada por ρ e a relação entre as duas variáveis aleatórias é dada por: ε, = ρε, + 1 ρ ε As variáveis aleatórias dadas por ε são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) e seguem uma normal padrão, além de terem correlação zero com ε,. Entretanto, apesar de suas vantagens, o arcabouço metodológico oferecido pelo modelo de Heston nos deixa com uma tarefa adicional em relação ao modelo tradicional de apreçamento de opções: existem parâmetros necessários ao modelo que não estão dados no mercado, devendo, portanto, ser estimados. No decorrer da implantação do modelo devem ser fornecidas estimativas para o parâmetro de reversão à média k, a volatilidade de longo prazo θ, a

18 18 volatilidade inicial σ para t=0, a volatilidade da volatilidade V e a correlação entre os choques aleatórios ρ. A estimação destes parâmetros pode, por exemplo, ser feita pela minimização dos erros quadráticos entre dados de mercado da volatilidade e valores simulados pelo modelo. Além da abordagem de Monte Carlo, o modelo de Heston proporciona a avaliação do preço da opção através de uma solução fechada. Na seqüência, será apresentado um resumo da formulação exibida em Heston (1993) para a solução deste problema. Não será escopo deste trabalho um detalhamento maior da derivação deste modelo, a qual pode ser encontrada em Rouah (2005). De forma análoga ao modelo de Black e Scholes, podemos escrever o preço de uma opção européia de compra da seguinte forma: Call = S P Ke P Nota-se que na formulação acima já é assumida a taxa de desconto (taxa de juros livre de risco r) constante até o vencimento T (mesma premissa do modelo tradicional, que não será relaxada nesta aplicação). Da mesma forma que já apresentado anteriormente, S t e K correspondem ao preço à vista do ativo objeto e ao preço de exercício da opção, respectivamente. As variáveis P 1 e P 2 também podem ser entendidas, por analogia ao modelo de Black e Scholes, como as probabilidades que a opção seja exercida (ou seja, expire inthe-money), condicionadas aos valores correntes de volatilidade e de log do preço do ativo objeto. Lembrando que x = ln (S ), podemos escrever: P = Pr[x ln (K) x = x, σ = σ ]

19 19 para j=1,2, denotando as duas probabilidades P 1 e P 2. Heston(1993) mostra que as probabilidades P j possuem uma função característica f j (x,σ 2,t,φ) que podem ser invertidas para gerar o valor destas probabilidades: P = π Re f e ( ) iφ dφ As funções características e as variáveis que entram em sua formulação são dadas no quadro abaixo: f = e C = rφit + kθ V b ρvφi + d T 2ln 1 g e 1 g D = b ρvφi + d V 1 e 1 g e g = b ρvφi + d b ρvφi d d = ρvφi b V 2u φi φ i = 1 Quadro, u = 1: funções, u características das probabilidades do modelo de = b = k ρv b Heston = k Desta forma, pode se observar que a resolução do modelo depende do cálculo das probabilidades P j, as quais dependem da avaliação de uma integral através de métodos numéricos, como o método trapezoidal, como utilizado em Rouah e Vainberg (2007).

20 20 3. Revisão da bibliografia O artigo publicado por Black e Scholes (1973) lança as bases da teoria de apreçamento de opções mais utilizada até hoje no mercado financeiro mundial. Em virtude das muitas hipóteses simplificadoras das quais este modelo faz uso, principalmente com relação às premissas de volatilidade e taxa de juros constantes, ele tem sido tema recorrente de diversos trabalhos que expõem as implicações de suas fragilidades sobre o resultado do modelo. Por exemplo, no artigo publicado por Doran e Ronn (2006) os autores analisam o mercado de derivativos de energia para estudar o viés da volatilidade implícita nos preços resultantes do modelo de Black e Scholes. Na literatura sobre opções, a evidência mais patente da não observância das premissas de volatilidade tais quais colocadas pelo modelo tradicional é a existência do chamado smile ou sorriso de volatilidade; ou seja, se construído um gráfico das volatilidades implícitas nos preços de mercado percebe-se que estas variam em função do preço de exercício da opção e do tempo restante para o vencimento, enquanto que o preconizado pelo modelo seria um valor constante. Um resumo sobre o tema pode ser consultado em Xu (2003). As comprovadas limitações do modelo tradicional de apreçamento de opções têm levado pesquisadores do tema a desenvolver alternativas de modelagem capazes de contornar as simplificações adotadas até então. Um exemplo destes desenvolvimentos pode ser encontrado em consagrado artigo publicado por Hull e White (1987), no qual os autores formulam um modelo que permite a variação da volatilidade, ou seja, um modelo que considera a

21 21 volatilidade estocástica. Outro exemplo desta tentativa de sobrepujar as premissas da modelagem tradicional é o modelo de volatilidade local, no qual Derman e Kani (1994) definem a volatilidade como uma função do tempo e do preço do ativo objeto. No entanto, nenhum destes modelos apresentou uma formulação fechada, tal qual apresentada pelo modelo de Black e Scholes, sendo que todos recorrem a métodos numéricos para o apreçamento destas opções. Com o objetivo de contornar esta dificuldade, Heston (1993) apresenta uma modelagem para o apreçamento de opções que incorpora o processo estocástico da volatilidade e que possui uma fórmula fechada de avaliação, embora apresente, em relação ao modelo tradicional, a desvantagem de necessitar da estimação de parâmetros e de calibragem periódica do modelo. Entretanto, o autor mostra, através de algumas simulações, que o modelo proposto consegue incorporar mais efeitos na variação do preço da opção do que o de Black e Scholes, exatamente devido à dinâmica da volatilidade e presença de parâmetros responsáveis por capturar características inerentes a este processo, além de permitir a correlação da volatilidade com o ativo objeto. Este ganho, que é refletido principalmente em opções fora do dinheiro (ou outof-the money ver Apêndice 8.1 para detalhamento do conceito), justificaria o custo representado pela necessidade de estimação dos parâmetros. Muitos autores seguiram o modelo de Heston em artigos que se destinam à aplicação prática deste método de avaliação de opções, inclusive no mercado brasileiro de derivativos. Por exemplo, em Bakshi et al.(1997), os autores implementaram diversos modelos alternativos de apreçamento de

22 22 opções com o objetivo de relaxar as hipóteses tradicionais do modelo, incluindo processo estocástico da volatilidade e da taxa de juros, saltos no processo, etc. Os autores concluem que a utilização de um modelo que incorpore a volatilidade de forma estocástica mostra resultados empíricos superiores ao modelo tradicional. No mercado brasileiro, Silva e Guimarães (2000) utilizam um dos modelos mostrados em Bakshi, mais precisamente aquele que incorpora efeitos de volatilidade e taxa de juros estocásticas e saltos no preço do ativo, como alternativa para apreçamento de opções de ação negociada na Bovespa. Novamente há a constatação de que a ausência de modelagem de certos efeitos no modelo tradicional causa viés no preço das opções. A tabela abaixo, elaborada pelos autores do artigo, resume que efeitos estatísticos são introduzidos pelos parâmetros (especificamente os parâmetros do modelo que incorpora a volatilidade estocástica) e qual sua comparação com o modelo de Black & Scholes.

23 23 Parâmetro ρ>0 ρ<0 V>0 Efeito sobre os retornos Assimetria positiva (Cauda esquerda fina e direita grossa) Assimetria negativa (Cauda esquerda grossa e direita fina) Ambas as caudas mais grossas Comparação com Black & Scholes Call in-themoney Call out-of-themoney Call at-themoney Desvaloriza Valoriza Pouco efeito Valoriza Desvaloriza Pouco efeito Valoriza Valoriza Desvaloriza Tabela 1: relação dos parâmetros de volatilidade estocástica com vieses do preço de Black e Scholes (Obtida de Silva e Guimarães (2000)). Ainda no mercado de câmbio, Ivesson (2010) utiliza o modelo de volatilidade estocástica para modelar o preço de opções menos líquidas (tais como EUR/BRL) a partir de pares líquidos (como USD/BRL e EUR/USD), concluindo que os preços obtidos adéquam-se melhor à distribuição de retornos da taxa de câmbio EUR/BRL. Por fim, Yoshino e Costa (2004) executam uma implementação e calibração do modelo de Heston para o mercado de opções de dólar no Brasil. Os autores constataram que mesmo o modelo de Heston não funcionou bem para opções muito fora do dinheiro, devido ao alto custo envolvido na calibração periódica, pois nestes casos os parâmetros do modelo mostraram-se instáveis. No entanto, citam positivamente o fato da inclusão de efeitos de assimetria e curtose na distribuição dos retornos proporcionada pela dinâmica estocástica da volatilidade.

24 24 4. Descrição dos dados e períodos analisados Para que fosse possível estimar os valores de preços de opções com o modelo de Heston, faz-se essencial que existam preços de mercado disponíveis desses ativos. Desta forma, foram escolhidas as opções de dólar negociadas na BM&F Bovespa. Além dos dados cadastrais do papel como Preço de Exercício e Vencimento, foram coletados os preços referenciais destas opções, divulgados pela própria bolsa. Ainda, cabe evidenciar a escolha do ativo objeto (dólar) através da observação de sua volatilidade. Mesmo que seja de conhecimento público que o preço da moeda varie diariamente, a observação de sua série de volatilidade oferece um embasamento maior para o argumento de que este parâmetro (a volatilidade) não é constante. Como forma de ilustrar esta conclusão, abaixo é exibido o gráfico da volatilidade da cotação Reais por Dólar fornecida pela BM&F (Dólar Spot) para o ano de 2012, entre janeiro e setembro. Gráfico 01 Gráfico de volatilidade da cotação Dólar Spot BM&F

25 25 Os valores da volatilidade que formam o gráfico acima foram calculados através do método EWMA (do inglês exponentially weighted moving average ), exposto em detalhes no apêndice técnico 8.2, com fator de decaimento 0,94 e janela temporal de 252 dias. O gráfico também ilustra a evolução da cotação no período analisado. É possível destacar no gráfico que existe um período de possível quebra estrutural na série de volatilidade, no final do mês de junho: ocorre uma forte queda da cotação da moeda, de aproximadamente R$ 2,10 em 27/06/2012 para menos de R$ 2,00 em três dias. Essa variabilidade reflete de imediato na estrutura de volatilidade, que tem um salto repentino de quase 40%. A ilustração desta série, em especial deste período mostra que a volatilidade é um parâmetro suscetível à variação do mercado. Este período citado acima coincide com o acirramento de tensões com relação ao desdobramento da crise econômica na União Europeia (o que levou a cotação ao patamar de R$ 2,10) e posterior intervenção do Banco Central do Brasil, através de venda de moeda, o que leva à queda da cotação. Percebe-se que no decorrer do segundo semestre o padrão caminha para uma acomodação da cotação ao redor do valor de R$ 2,05. Isso acontece quando os agentes do mercado de câmbio, responsáveis pela formação do preço da moeda, percebem que qualquer valor da cotação maior ou menor que este patamar demandaria uma nova ação do regulador. Desta forma cria-se uma banda informal de oscilação da moeda e a volatilidade, por sua vez, torna-se decrescente. Desta forma, têm-se dois períodos distintos para avaliação do impacto da volatilidade, tomada como uma variável estocástica, no preço das opções. O

26 primeiro entre 28/06/2012 e 10/07/2012, que envolve grande variação da cotação e da volatilidade. O segundo período no mês de agosto, no qual a volatilidade retorna a um patamar relativamente estável, com pouca variação na cotação da moeda. Além do preço de fechamento das opções para a otimização, por outro lado são necessários como inputs do modelo: Taxa de juros Pré-fixadas: Como referência à curva livre de risco local, é prática comum definir a taxa de juros pré-fixada com base nas taxas de negociação dos futuros de depósitos interbancários (DI) da BM&F. Para que se possa obter estas taxas, foram capturados os preços de ajuste deste contrato futuro, realizando a seguinte transformação de preço unitário (PU) para taxa: PU tx = ú é 1 Para as eventuais datas de vencimento de opções nas quais não houvesse negociação do contrato futuro, realizou-se uma interpolação exponencial para obter as taxas (ver Apêndice 8.3 para detalhamento do conceito). 26 Taxa de Cupom Cambial: o custo de oportunidade da moeda estrangeira no mercado local é chamado de Cupom Cambial, a sua obtenção foi feita de forma análoga à taxa pré-fixada, mas utilizando a cotação dos futuros de Cupom Cambial (DDI). No entanto, há uma peculiaridade quando se considera a curva de cupom cambial que é extraída dos contratos futuros DDI: trata-se de uma curva de cupom cambial sujo, ou seja, contaminada pela variação da PTAX do dia anterior ao início da operação. Para o apreçamento

27 de opções, considera-se o ativo objeto Dólar Spot, que necessita de uma curva de cupom cambial limpo. Esta transformação é feita pela formulação abaixo: 27 Cupom Cambial = 1 + Cupom Cambial 360 dias até vencimento dias até vencimento 360 Dólar Spot 1 PTAX A cotação PTAX é divulgada pelo Banco Central do Brasil. Para as eventuais datas de vencimento de opções nas quais não houvesse negociação do contrato futuro, realizou-se uma interpolação linear para obter as taxas (ver Apêndice 8.3 para detalhamento do conceito). Taxa de câmbio Reais por Dólar: conforme já mencionado nos itens acima, a cotação utilizada para representar a paridade reais por dólar foi o preço de fechamento spot divulgado pela BM&F. Este será o ativo objeto das opções de dólar apreçadas. Volatilidade: Para o valor da volatilidade corrente do ativo objeto no modelo foi utilizada a volatilidade obtida pelo método EWMA, a mesma que consta no gráfico 01.

28 28 5. Modelo Estimado e Resultados 5.1. Formulação do Modelo Para aplicação do modelo de Heston serão apreçadas opções de dólar negociadas na BM&F. Conforme já mencionado na primeira parte deste trabalho, há algumas adaptações que foram feitas ao modelo tradicional de Black & Scholes para que este fosse aplicável ao apreçamento de opções de moedas, originando no modelo descrito no item 1. Da mesma forma, cabem algumas alterações também no modelo de Heston, feitas por analogia ao modelo de Garman- Kohlhagen (1983). A formulação original de Heston, dada anteriormente, é adaptada para a formulação abaixo: Call = S e P Ke P Na qual Call representa o preço de uma opção de compra. Assim, insere-se a taxa de cupom cambial (q) na formulação do modelo. As outras variáveis da fórmula acima são: S t : Taxa de câmbio reais por dólar; T: tempo, em fração de ano, para o vencimento da opção; K: preço de exercício da opção; r: taxa pré-fixada (taxa de juros livre de risco). A estimação dos parâmetros do modelo foi feita, para os períodos selecionados, com base em três opções de diferentes moneyness (ver Apêndice 8.1 para detalhamento do conceito). Desta forma, foram montados dois grupos: um para o primeiro período e outro para o segundo período. Nos grupos formados, foi mantido o mesmo prazo para o vencimento. Foram

29 29 escolhidas somente opções de compra, com vencimento próximo, de exercício europeu, pois são as opções que têm liquidez no mercado brasileiro. Dados os critérios de escolha, na tabela abaixo são exibidas as opções que constituem os dois grupos. Período Out of the Money In the Money At the Money Dólar Spot R$ 2,082 R$ 2,082 R$ 2,082 28/06 a Código BM&F DOL_OPD_QD8F_C DOL_OPD_QD8X_C DOL_OPD_QD8X_C 12/07 Strike R$ 2,30 R$ 1,90 R$ 2,075 Vencimento 01/08/ /08/ /08/2012 Dólar Spot R$ 2,027 R$ 2,027 R$ 2,027 03/08 a Código BM&F DOL_OPD_UD87_C DOL_OPD_UD80_C DOL_OPD_UD84_C 17/08 Strike R$ 2,20 R$ 1,85 R$ 2,05 Vencimento 03/09/ /09/ /09/2012 Tabela 02 - Opções selecionadas para estimação dos parâmetros É importante ressaltar que o critério de classificação das opções quanto ao seu moneyness baseou-se no primeiro dia do período Estimação dos Parâmetros No cálculo do preço das opções pelo modelo de Heston, conforme mencionado anteriormente, existe a necessidade da estimação de parâmetros que não são possíveis de captura no mercado. Retomando este ponto, os parâmetros que devem ser estimados são: parâmetro de reversão à média k, a volatilidade de longo prazo θ, a volatilidade inicial σ para t=0, a volatilidade da volatilidade V e a correlação entre os choques aleatórios ρ.

30 30 Com relação à volatilidade inicial, adotou-se a volatilidade calculada pelo modelo EWMA. Desta forma, somente quatro parâmetros foram obtidos por estimação: k, V, θ e ρ. A obtenção destes parâmetros baseou-se na minimização dos erros quadráticos entre os preços das opções calculados pelo modelo de Heston e os preços dados pelo mercado (preços divulgados pela BM&F). Para tanto, foi feita a minimização com base na função objetivo dada abaixo, sujeita às seguintes restrições: -1 ρ 1 e θ 0 e também que todos os preços resultantes fossem maiores ou iguais a zero. Detalhes sobre o procedimento da minimização são descritos no apêndice técnico 8.6. min Preço (V, ρ, k, θ) Preço,,, O cálculo dos preços dados pelo modelo de Heston, denotados por Preço (V, ρ, k, θ), foi realizado através do método de fórmula fechada (sem envolver simulações), com a utilização da biblioteca de fórmulas oferecidas em Rouah e Vainberg (2007), programadas em VBA ( Visual Basic for Applications ) e aplicadas no programa Microsoft Excel, tendo sido adaptadas para o apreçamento de opções de moedas. Para o primeiro período, compreendido entre os dias 28/06/2012 e 10/07/2012, o gráfico abaixo exibe os parâmetros estimados para cada dia. Nota-se que os valores não são estáveis, o que evidencia uma mudança constante no padrão estocástico da volatilidade. Também pode ser notada a evolução crescente do parâmetro V, que representa a volatilidade da volatilidade. Como o período acima compreendia incertezas sobre a taxa de

31 câmbio e grandes mudanças na cotação, além de existir a quebra no padrão da volatilidade, como exibido no gráfico 01, este comportamento não é 31 inesperado. Nos gráficos 02 e 03 o eixo secundário exibe os valores do parâmetro k. Gráfico 02 Evolução dos parâmetros estimados para o Período I Outro ponto que merece atenção é o fato do parâmetro θ ser aproximadamente igual a zero em todo o período. Esse padrão também é reportado em algumas estimações dos trabalhos de Catalão (2010) e Yoshino e Costa (2004). Para o segundo período, por sua vez, a estabilidade obtida para os parâmetros foi maior. O parâmetro V, conforme pode ser visto no gráfico abaixo, se mostrou praticamente estável, porém assumindo valores negativos. Conforme notam Yoshino e Costa (2004), o sinal negativo deste parâmetro não deve ser visto como uma volatilidade negativa, mas como a inversão de sinal do termo estocástico da equação de difusão da variância.

32 32 Gráfico 03 Evolução dos parâmetros estimados para o Período II Com relação à minimização da função objetivo, novamente pode-se observar que no segundo período houve maior estabilidade de seus valores. Ou seja, a calibração do modelo atingiu valores mais próximos aos observados no mercado no período de menores incertezas nas variáveis econômicas Resultados A minimização da função erro definida anteriormente resultou na estimação dos parâmetros, conforme descrito no item anterior, e nos preços das opções envolvidas. Para auferir a qualidade da minimização pode-se observar quanto a função erro está próxima de zero, valor que indicaria que os preços estimados pelo modelo são iguais aos preços de mercados. Os gráficos abaixo exibem os valores das funções erro para cada dia analisado.

33 33 Gráfico 04 Erros quadráticos entre os preços de mercados e aqueles calculados pelo Modelo de Heston Período I Gráfico 05 Erros quadráticos entre os preços de mercados e aqueles calculados pelo Modelo de Heston Período II Conforme os gráficos acima indicam, na maior parte dos dias observados os parâmetros calibrados forneceram preços próximos àqueles praticados no mercado, ainda que não convergissem totalmente.

34 34 Nos gráficos 06 a 11, que mostram os preços obtidos pelo modelo de Heston versus os preços de mercado, é possível ver que as opções fora do dinheiro ( Out of the Money ) são aquelas que mostram maiores discrepâncias entre o preço dado pelo modelo de Heston e aquele obtido no mercado. Esse padrão é observado para os dois períodos. No período II, a opção com preço de exercício R$ 2,20 tem preço de mercado diferente de zero para todos os dias do período. No entanto, o modelo de volatilidade estocástica não atribui valor para esta opção. É importante notar que a BM&F divulga os preços baseados no preço de exercício multiplicado por Gráfico 06 Preços calculados da opção de strike R$ 1,90 Período I

35 35 Gráfico 07 Preços calculados da opção de strike R$ 2,30 Período I Gráfico 08 Preços calculados da opção de strike R$ 2,075 Período I

36 36 Gráfico 09 Preços calculados da opção de strike R$ 1,850 Período II Gráfico 10 Preços calculados da opção de strike R$ 2,05 Período II

37 37 Gráfico 11 Preços calculados da opção de strike R$ 2,20 Período II 5.4. Apreçamento de uma opção fora do conjunto inicial Para verificar a aderência dos parâmetros estimados no item anterior, foi realizado o apreçamento de uma opção que não se encontra no conjunto dos títulos usados para calibração do modelo. Para cada um dos dois períodos foi escolhida uma opção com moneyness diferente do observado nas opções já apreçadas, mas com o mesmo prazo para o vencimento. A tabela abaixo mostra as características das opções escolhidas.

38 38 Período Opção escolhida 28/06 a 12/07 03/08 a 17/08 Dólar Spot Código BM&F Strike Vencimento Dólar Spot Código BM&F Strike Vencimento R$ 2,082 DOL_OPD_QD89_C R$ 2,05 01/08/2012 R$ 2,027 DOL_OPD_UD83_C R$ 2,00 03/09/2012 Tabela 03 - Opções selecionadas para teste dos modelos Ainda, com o intuito de realizar uma análise comparativa entre o modelo de Heston calibrado e o modelo tradicional de apreçamento de opções, foram calculados os preços destas mesmas opções utilizando a versão adaptada do modelo de Black & Scholes para apreçamento de opções de moedas (chamado de modelo de Garman Kohlhagen [1983]). Como input de volatilidade no modelo de Black & Scholes foi utilizada também a volatilidade calculada através do modelo EWMA. Nos gráficos abaixo temos o resultado desta comparação, através do erro relativo do modelo em questão sobre o preço de mercado. Percebe-se que na situação de alta volatilidade da volatilidade, que ocorre no Período I, os resultados proporcionados pelo modelo de Heston são inegavelmente mais precisos que aqueles obtidos com o modelo tradicional de apreçamento de opções. Neste caso o desvio entre o preço de mercado e o preço dado pelo modelo de Black & Scholes ajustado chega a mais de 30%, como mostra o gráfico 12.

39 39 Gráfico 12 Desvio dos preços calculados pelos dois modelos em relação ao preço de mercado Período I Já para o Período II, no qual a volatilidade já não varia muito e a cotação da moeda é estável, não são observadas vantagens do modelo de apreçamento com volatilidade estocástica sobre o modelo tradicional:

40 Gráfico 13 Desvio dos preços calculados pelos dois modelos em relação ao preço de mercado Período II 40

41 41 6. Conclusão Este trabalho destinou-se a aplicação de uma formulação modificada do modelo de Heston para apreçamento de opções de moeda, especificamente para opções de compra de dólar spot negociadas na BM&F. A utilização deste modelo teve como objetivo afrouxar uma das hipóteses simplificadoras adotada pelo modelo tradicional de apreçamento de opções (Black & Scholes [1973]), que é a premissa de que a volatilidade permanece constante até o vencimento da opção. Desta forma, aplicou-se um modelo que supõe a volatilidade como um parâmetro estocástico. Para testar o modelo em diferentes situações, foram selecionados dois períodos recentes nos quais a estrutura de volatilidade da cotação dólar spot mostrou estruturas distintas de comportamento. O primeiro período refere-se ao fim do mês de junho e início do mês de julho, no qual a intervenção do regulador (Banco Central), combinada com a tensão econômica da crise europeia, ocasionou forte oscilação na cotação. Por outro lado, após as intervenções, o mercado percebeu que o Banco Central sinaliza uma banda informal de oscilação do valor da moeda norte-americana, ao redor de R$ 2,05. Caso a cotação suba ou desça muito, haverá intervenção. Desta forma, o segundo período analisado mostra uma volatilidade bem mais baixa, quase constante. Os resultados da análise apontam que o modelo de Heston teve melhor desempenho que o modelo tradicional no primeiro período analisado, ou seja, quando a volatilidade do ativo objeto se mostrou também volátil. Já para o

42 segundo período, mesmo ambos os modelos apresentando erros em relação ao preço de mercado, o modelo tradicional mostrou erro relativo menor. 42 No entanto, podemos citar como desvantagens do modelo utilizado o alto custo computacional envolvido na constante calibração dos parâmetros, ao passo que o modelo de Black & Scholes não necessita desta calibração, sendo aplicado diretamente (talvez o motivo que o mantenha tão popular e em voga mesmo quase quarenta anos após sua publicação). Como contribuições de estudos futuros, podemos considerar a adoção de um processo estocástico com saltos para a volatilidade do ativo objeto ( jumps ), já que se observou realmente um salto neste parâmetro durante o primeiro período analisado (ver Gráfico 01), além da incorporação de processos estocásticos para as taxas de juros, que neste trabalho foram assumidas constantes, extraídas da estrutura a termo.

43 43 7. Bibliografia BAKSHI, Gurdip; CAO, Charles; CHEN, Zhiwu. Empirical performance of Alternative Option Pricing Models. The Journal Of Finance, p BLACK, Fischer. The pricing of commodity contracts, Journal of Financial Economics. p , 1976., Fischer; SCHOLES, Myron. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal Of Political Economy, p jun CATALÃO, André Borges. Modelagem Estocástica de Opções de Câmbio no Brasil: Aplicação de Transformada Rápida de Fourier e Expansão Assintótica ao Modelo de Heston f. Dissertação (Mestrado) - Departamento de Instituto de Física Teórica, Universidade Estadual Paulista, São Paulo, COX, John; INGERSOLL, Jonathan; ROSS, Stephen. A Theory of the Term Structure of Interest Rates. Econometrica, v. 53, pp , 1985b. DERMAN, Emanuel; KANI, Iraj. Riding in a Smile. Risk, p DORAN, James; RONN, Ehud. Computing the Market Price of Volatility Risk in the Energy Commodity Markets. Disponível em: < Acesso em: 16 maio 2012.

44 44 GARMAN, Mark B.; KOHLHAGEN, Steven W. Foreign currency option values, Journal of International Money and Finance, 2, HESTON, Steven. A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options. The Review Of Financial Studies, p HULL, Jonh. Opções, Futuros e Outros Derivativos. São Paulo: BM&F, 1998., John; WHITE, Alan. The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities. Journal Of Finance, p jun IVESON, Christian. Um modelo de volatilidade estocástica para opções de câmbio sobre o par eur/brl a partir de seus componentes mais líquidos usd/brl e eur/usd f. Dissertação (Mestrado) - FGV/EESP, São Paulo, MARINS, André. Mercados Derivativos e Análise de Risco. Rio de Janeiro: AMS Editora, v.

45 45 ROUAH, Fabrice. Derivation of the Heston Model. Disponível em: < Acesso em: 16 maio ROUAH, Fabrice; VAINBERG, Gregory. Option Pricing Models and Volatility Using Excel-VBA. New York: Wiley Finance, SILVA, Marcos Eugênio da; GUIMARÃES, Bernardo de Vasconcelos. Precificações de opções com volatilidade estocástica e saltos. Resenha BM&F, São Paulo, n. 142, p.39-48, XU, Jianqiang. Pricing and Hedging Options under Stochastic Volatility. Vancouver: The University Of British Columbia, YOSHINO, Joe Akira; COSTA, Marcelo Nóbrega da. Calibração do Modelo de Heston para o Mercado Brasileiro de Opções. Revista Brasileira de Finanças, São Paulo, v. 2, n. 1, p.23-46, 2004.

46 46 8. Apêndices 8.1. Conceitos e definições utilizados: 1. Opção de Compra (Call) At the Money : ou também chamada de opção no dinheiro ; neste caso o preço de exercício da opção é aproximadamente igual ao preço do ativo subjacente, de forma que exercê-la traria pouco ou nenhum ganho. 2. Opção de Compra (Call) In the Money : ou também chamada de opção dentro do dinheiro ; o preço de exercício da opção é menor que o preço do ativo subjacente, de forma que esta seria exercida, trazendo um ganho ao seu detentor. 3. Opção de Compra (Call) Out of the Money : ou também chamada de opção fora do dinheiro ; o preço de exercício da opção é maior que o preço do ativo subjacente, de forma que não seria exercida. Uma opção de compra que expira fora do dinheiro, no jargão do mercado, vira pó. 4. Moneyness: é uma medida que classifica a opção quanto a sua probabilidade de ter ou não valor monetário no vencimento. Para uma opção in the money, o moneyness seria maior, por exemplo.

47 Volatilidade EWMA Uma das formas de se estimar a volatilidade de um ativo financeiro é através do modelo denominado EWMA (do inglês exponentially weighted moving average ), ou modelo de médias móveis exponencialmente ponderadas. Este método foi utilizado neste trabalho para se determinar a volatilidade corrente da cotação real por dólar (dólar spot BM&F). A previsão de volatilidade segundo o método EWMA é a seguinte: 2 σ t 1 = (1 λ)r t 2 + λσ t 2 Na qual λ é um fator de decaimento e R é o retorno do ativo. Para este trabalho, foi utilizado λ = 0, 94, que é o valor recomendado no caderno do RiskMetrics 1, entidade pioneira na utilização do modelo EWMA como métrica de risco. O retorno do ativo foi medido de forma logarítmica, ou seja, R = ln cotação t cotação t 1. Observou-se uma janela de 252 retornos passados para se obter a primeira volatilidade, e a semente desta série foi σ 1 2 = R 0 2, de forma que: 2 σ 252 σ 1 2 = R 0 2 σ 2 2 = (1 0, 94)R , 94σ = (1 0, 94)R , 94σ JP Morgan RiskMetrics TM Technical Document, 1996

48 Desta forma, no gráfico 01 a primeira volatilidade, relativa à 03/01/2012, já envolvia o cálculo de 251 retornos Interpolação de taxa de juros: Para as datas de vencimento de opções nas quais, eventualmente, não havia cotações de mercado das taxas de juros envolvidas (pré-fixada e cupom cambial) foi feita uma interpolação das mesmas, ou seja, utilizar a taxa para o próximo prazo disponível e a taxa do último prazo disponível para encontrar a taxa intermediária. O método envolveu dois tipos de interpolação, as quais são descritas abaixo: 1. Interpolação Exponencial utilizada para a taxa pré-fixada r t = (1 + r t 1 ) du t (1 + r )dut 1 t (1 + r t 1 ) du t du t du t 1 du t 1 du t du t 1 Considerando r t+1 e r t-1 como pontos já conhecidos da curva de juros préfixada, du t+1 e du t-1 como o número de dias úteis da data base até estes pontos e du t o número de dias úteis até o ponto procurado. 2. Interpolação Linear utilizada para a taxa cupom cambial limpo. q t = q t 1 + q t 1 q t 1 dc t 1 dc t 1 (dc t dc t 1 )

49 49 Considerando q t+1 e q t-1 como pontos já conhecidos da curva de cupom cambial, dc t+1 e dc t-1 como o número de dias corridos da data base até estes pontos e dc t o número de dias corridos até o ponto procurado Função Característica Conforme exposto em Rouah e Vainberg (2007), os modelos de apreçamento de opções necessitam de fuma função densidade de probabilidade para o logaritmo do preço de seu ativo objeto, aqui chamada f (x). A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória é definida pela sua função característica, aqui denominada φ (t): φ (t) = e f (x)dx Sendo que X = log(preço). Desta forma, a função densidade de probabilidade pode ser obtida pela inversão da função característica: f (x) = 1 2π e φ (t)dt Também com base na inversão da função característica pode-se obter a função de distribuição acumulada F (x) = P[X < x] para o logaritmo do preço do ativo objeto. Desta forma, a probabilidade neutra ao risco de que uma opção de compra expire in the Money é F (k) = P[log (S) < k], sendo k = log(k) com K igual ao preço de exercício da opção. F (k) é então escrita por:

50 50 F (k) = P[log (S) < k] = π Re φ (t) e dt it 8.5. Integração pelo Método Trapezoidal A avaliação da integral envolvida no modelo de Heston foi feita de forma numérica segundo o Método Trapezoidal. Por este método, a integral é aproximada por uma soma sucessiva de trapézios, conforme figura abaixo: Figura 01 Método de Integração Trapezoidal - baseado em Rouah e Vainberg (2007) Com x sendo um incremento arbitrário e numericamente pequeno. Desta maneira, a área de cada trapézio é dada por: x 2 [f(x) + f(x + x)] E a integral aproximada será calculada por:

51 51 x 2 [f(x ) + 2f(x ) + + 2f(x ) + f(x )] Embora de simples entendimento e implementação, o método trapezoidal é uma aproximação e os valores resultantes não serão exatamente o valor da integral avaliada, sendo que a qualidade da aproximação aumenta conforme aumentam o número de trapézios e diminui-se o valor de x. Na aplicação do modelo de Heston neste trabalho, a integral foi avaliada utilizando-se de 1000 trapézios e com x=0, Fluxo da minimização da função erro Os parâmetros do modelo de Heston neste trabalho foram estimados através da minimização de uma função erro entre os preços dados pelo modelo e os preços de mercado das opções. A função erro é definida por: min V,ρ,k,θ n i 1 Preço Heston (V, ρ, k, θ) i Preço Mercado i 2 sujeito a: 1 ρ 1 θ 0 Preço Mercado i 0 O ferramental tecnológico utilizado para se obter a minimização foi o aplicativo SOLVER do Microsoft Excel. No entanto, há de se considerar que, por envolver a minimização de uma função não linear, não há garantia de que o mínimo encontrado seja realmente o mínimo global desta função. Na tentativa de minimizar este problema, adotou-se o seguinte fluxo na otimização: encontraram-se parâmetros iniciais que igualassem o preço da opção at-themoney ao preço de mercado. Estes parâmetros foram a base de partida para a