VaR via Simulação. Análise de Risco (5) R.Vicente

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1 VaR via Simulação Análise de Risco (5) R.Vicente 1

2 Resumo Monte Carlo para Avaliação Risco Carteiras com Derivativos Múltiplos Fatores de Risco Números Pseudo-aleatórios Cenários de Stress: Estudo de Caso Cenários Ad-hoc Cenários por Fator de Risco e Netting Bibliografia 2

3 Monte Carlo para Avaliação de Risco: Idéia Geral V( S) Seja uma carteira com função preço que dependa de um vetor de fatores de risco. S = S1 S2 S m (,,..., ) Assumamos uma dinâmica estocástica para os fatores de risco: [ ] St ( +Δ t) = D St ( ) Geremos N realizações da dinâmica e reprecifiquemos a carteira em cada um destas realizações: Δt ( n) ( n V ) t+δt = V S ( t t) +Δ n= 1,..., N 3

4 Monte Carlo para Avaliação de Risco: Idéia Geral Os N cenários de P&L serão: Δ V = V V n= 1,..., N ( n) ( n) t+δt t ( α) 1 % O VaR da carteira com confiança de será: N { ( )} N n VaR = sup ΔV ΔV : ( n) Nα n= 1 { Δ V <ΔV} 1 n= 1 4

5 Exemplo: DEaR de PETR4 A função preço de uma carteira contendo PETR4 é simplesmente: V( S) = qs q é a quantidade de ações e S é a cotação de PETR4. Δ t = 1 Escolhemos uma janela de tempo dia e um Movimento Browninano Geométrico sem drift como dinâmica estocástica: St+ 1 = St(1 + σε) VOLATILIDADE DE 1 DIA (EWMA ou GARCH) ε ~ N(0,1) 5

6 Passo 1: Estimação de Vol 65,00 60,00 55,00 50,00 45,00 40,00 35,00 Cotações PETR4 6 26/01/01 26/03/01 26/05/01 26/07/01 26/09/01 26/11/01 26/01/02 26/03/02 26/05/02 26/07/02 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02-0,02 0-0,04-0,06-0,08-0,1 Retornos e Volatilidade EWMA 29/01/01 29/03/01 29/05/01 29/07/01 29/09/01 29/11/01 29/01/02 29/03/02 29/05/02 29/07/02

7 Passo 2: Gera N=5000 Cenários St+ 1 = St(1 + σε ) ,63 36,14 36,66 37,18 37,69 38,21 38,72 39,24 39,76 40,27 40,79 41,31 41,82 42,34 42,86 43,37 43,89 S(t+1) LOG-NORMAL

8 Passo 3: Avalia P&L para cada um dos Cenários ( n) ( n) Δ V = q S ( t+ 1) S( t) 8 (42.742) (37.577) (32.412) (27.247) (22.082) (16.916) (11.751) (6.586) (1.421) P&L

9 Passo 4:Avalia VaR (localiza quantil) VaR = (42.742) (37.577) (32.412) (27.247) (22.082) (16.916) (11.751) (6.586) (1.421) P&L VaR parametrico = ασ V =

10 Carteiras com Derivativos Para exemplificar o uso da simulação de Monte Carlo para carteiras altamente não-lineares utilizamos um Short Straddle semelhante àquele que provocou a quebra do Barings em 1995 ( Delta*Ativo-Call-Put): Gerando cenários como antes: rt VS ( ) = Xe Nd ( ) Xe N( d) St+ 1 = St(1 + σε) rt 2 2 Apreçando a carteira e avaliando o P&L em cada cenário: ( n) ( n) Δ V = V( S ) V( S( t)) 10

11 Carteiras com Derivativos S(t+1) call put V(t+1) P&L 37, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,8541-3, , , ,51E-05 40, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0495-0,

12 ,24-1,06-0,88-0,70-0,52-0,34-0,16 0,02 0,20 0,38 0,56 0,74 0,92 1,10 1,28 Carteiras com Derivativos VaR MC 0,63 VaR Delta - VaR Delta-Gama 0,30 P&L

13 Carteiras com Múltiplos Fatores de Risco Quando a função preço depende de mais de um fator de risco é necessário adequar a geração de cenários às correlações entre os fatores. Exemplificamos a seguir o caso de uma carteira que contenha Dólar e PETR4: VS (, S ) = q S + q S PETR USD PETR PETR USD USD Os cenários devem ser gerados levando-se em conta correlações entre os ativos: S ( t+ 1) = S ( t)(1 +σε) ε~ N(0, ρ) k k k k A carteira é então avaliada nos cenários e os P&L s obtidos : ( n) ( n) Δ V = V( S ) V( S( t)) 13

14 Gerando números aleatórios com Covariância Dada: Decomposição de Cholesky É possível gerar ε ~ N(0, ρ) a partir de variáveis aleatórias independentes ξ empregando a decomposição de Cholesky. Para isso basta observarmos que: ρ= AA ε= A ξ T εε = A ξa ξ j k jl l km m = AA ξξ = AA jl km l m jl km lm = A A = A A = ρ T jm km jl lk δ 14

15 Gerando números aleatórios com Covariância Dada: Correlação EWMA Correlação PETR4-DÓLAR EWMA 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% -10% -20% 15 26/08/01 26/09/01 26/10/01 26/11/01 26/12/01 26/01/02 26/02/02 26/03/02 26/04/02 26/05/02 26/06/02 26/07/02

16 Carteiras com Múltiplos Fatores Decomposição de Cholesky 1,00 0,00 1,00-0,13 1,00-0,13-0,13 0,99 0,00 0,99-0,13 1,00 Matriz de Correlação ,00-0,13 2-0,13 1,00 16

17 Carteiras com Múltiplos Fatores q S1 39,90 σ1 3,1% q2 50 S ,90 σ2 1,8% V ,00 Correlação 3,8% -9,0% ξ1 ξ2 ε1 ε2 S1 S2 V P&L -1, , , , , , ,55 (2.630,45) 0, , , , , , ,26 (4.451,74) 0, , , , , , ,93 592,93-1, , , , , , ,34 (207,66) 1, , , , , , ,77 (2.105,23) 1, , , , , , , ,27-0, , , , , , , ,39 0, , , , , , ,11 181,11 0, , , , , , , ,78 17

18 Carteiras com Múltiplos Fatores (10.368) (9.140) (7.911) (6.682) (5.454) (4.225) (2.997) (1.768) (539) VaR 6.915,78 VaR Delta 6.682,31

19 Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico 19

20 Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico Medida de Lebesgue =1 para μ = 4 20

21 Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico: Limitações 1 ponto fixo Ponto fixo instável x=3/4 21

22 Geração de Números Pseudo-aleatórios através do mapa logístico: Limitações 2 Medida invariante A medida invariante representa a probabilidade de que a trajetória passe pelo intervalo [x,x+dx]. No caso do mapa logístico essa medida é nãouniforme: A partir das trajetórias do mapa logístico é possível, no entanto, através de uma transformação de variáveis gerar um novo mapa com medida invariante uniforme: 22

23 Geração de Números Pseudo-aleatórios: Gerador Congruencial Linear I = ai + b(mod m) i+ 1 i abm,, 23

24 Geração de Números Pseudo-aleatórios: Gerador Congruencial Linear m e b são primos entre si (MDC(m,b)=1); a=1(mod p) para todo fator primo p de m; a=1(mod 4) se m=0(mod 4). Ex: a=7, b=13 e m=18 Fatores primos de m=2,3, assim a=1 (mod 2) e a=1(mod 3). Boa escolha: a=7 5, b=0 e m=

25 Cenários de Streess: Estudo de Caso Total Return Swap da SK Securities Co. Início : Janeiro 1997 Vencimento: Janeiro de 1998 Pricipal: N=US$ 53 milhões Payoff: N B 3R R R Y + + B R Y max 0, max 0,1 0, B k : cotação baht/usd no semestre k R k : cotação rupia/usd no semestre k Y k : cotação yen/usd no semestre k 25

26 Estudo de Caso: Total Return Swap da SK Securities Co. N B 3R R R Y + + B R Y max 0, max 0,1 0, CENÁRIO FAVORÁVEL: Valorização ( B 0 >B 2 ) do Baht, valorização, desvalorização leve ou manutenção da Rúpia e desvalorização do Yen. Ex: Baht -10%, Rúpia -10% (1 sem) -20% (2 sem), Yen +10% Payoff= US$ 69 MM (Lucro) CENÁRIO DESFAVORÁVEL: Desvalorização do Baht e da Rúpia, manutenção ou valorização do Yen. Ex: Baht +100%, Rúpia +48% (1 sem) +100% (2 sem), Yen 0% Payoff= - US$ 184 MM (perda) 26

27 Estudo de Caso: Total Return Swap da SK Securities Co. CENÁRIO FAVORÁVEL: Valorização ( B 0 >B 2 ) do Baht, valorização, desvalorização leve ou manutenção da Rúpia e desvalorização do Yen. Razões para entrar no contrato: 1. Baht vinculado a uma cesta de moedas (80% USD, 12% JPY e 8% DEM); 2. Rúpia limitada artificialmente à desvalorizações de 5%/ano. 3. Iene com livre oscilação. 27

28 Estudo de Caso: Simulação Histórica VaR(1%)=5,8 MM (7.131) (6.083) (5.034) (3.986) (2.937) (1.889) (840) Frequency Profit & Loss

29 Rúpia Baht Iene 29

30 Estudo de Caso: Perda Realizada após Crise Asiática Cotação em Jan/ ,00 25,90 121,78 IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) ,15% 3,97% -0,24% -4,78% 2426, ,11 25,84 116,10 (3.016) % 166% 73% 3% 2572, ,86 53,74 125,49 ( ) Perda de US$ 187 MM (32 vezes maior!) 30

31 Cenários Ad-hoc Cotação em Jan/ ,00 25,90 121,78 IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) IDR(6m) IDR(1y) THB (1y) JPY(1y) Cenário1 5% 10% 10% 0% 2496, ,78 28,62 121,78 (36.174) Cenário 2 10% 20% 20% 0% 2624, ,83 31,63 121,78 (70.225) Cenário 3 20% 40% 40% 0% 2900, ,08 38,64 121,78 ( ) Cenário 4 40% 80% 80% 0% 3543, ,66 57,64 121,78 ( ) Cenário 5 50% 100% 100% 0% 3915, ,92 70,40 121,78 ( ) PRÓ Facilidade de cálculo CONTRA Dificuldade na determinação da plausibilidade dos cenários 31

32 Estudo de Caso II: Margens de Garantia BM&F Fatores de Risco Estrutura a Termo Mercados a vista Volatilidade Pré Cupom de USD IGPM Dólar Spot BOVESPA Bolsa Externa Brady Bonds Futuro de Dólar Opções de Dólar Títulos Cambiais Futuro de DI Títulos Pré Swaps Pré Swaps Dólar Ações Internas Futuro de Ação Opções sobre Ações Brady Bonds Opção IDI Títulos IGPM Swaps IGPM FRA de Cupom Ações Exterior 32

33 Exemplo de decomposição de Carteira em Fatores de Risco Carteira Ativo em R$ 10 MM em papel cambial para 34 dias Ativo em R$ 6 MM em PU de Futuro de DI para 216 dias Ativo em R$ 4 MM em Futuro de IBOVESPA para 49 dias 33

34 Decomposição: Título Cambial Título Cambial P VF = 1 +C S P VF 1 C 1 ln + = ln S P 1 + C VF S S PU USD = ln ln + S PU USD DÓLAR SPOT CUPOM DE DÓLAR 34

35 Decomposição: PU de Futuro de DI Futuro de DI P = 1 +i P 1+ i PU ln = ln = ln P 1 + i PU PRÉ 35

36 Decomposição: PU de Futuro de IBOVESPA Futuro de IBOVESPA F = IBV (1 + i) F IBV ( 1 i ) ln ln + = F IBV( 1+ i) IBV PU = ln ln IBV PU BOVESPA PRÉ (PASSIVO) 36

37 Decomposição em Fatores de Risco Posição Prazo Título Cambial Futuro de DI Futuro de IBOVESPA Mercado Vértice Posição Dólar SPOT IBOVESPA SPOT Pré 30 ( ) Pré 60 ( ) Pré 90 - Pré Pré Pré Cupom de USD Cupom de USD Cupom de USD 90 - Cupom de USD Cupom de USD Cupom de USD

38 Decomposição em Fatores de Risco VaR STRESS V = V V Δ STRESS ( % % % ) = V Δ 1+Δ Δ F F Fn 38

39 Pool de Cenários Cenário -5 Cenário -4 Cenário -3 Cenário -2 Cenário -1 Cenário 0 Cenário 1 Cenário 2 Cenário 3 Cenário 4 Cenário 5-10% -8% -6% -4% -2% 0% 3% 6% 9% 12% 15% -30% -24% -18% -12% 6% 0% 4% 8% 12% 16% 20% 0,13% 0,11% 0,08% 0,05% 0,03% 0,00% -0,10% -0,21% -0,31% -0,41% -0,51% 0,27% 0,21% 0,16% 0,11% 0,05% 0,00% -0,21% -0,42% -0,62% -0,82% 1,02% 0,40% 0,32% 0,24% 0,16% 0,08% 0,00% -0,32% -0,63% -0,94% -1,24% -1,54% 0,54% 0,43% 0,32% 0,22% 0,11% 0,00% -0,43% -0,84% -1,26% -1,68% -2,06% 0,83% 0,66% 0,49% 0,33% 0,16% 0,00% -0,65% -1,28% -1,91% -2,52% -3,12% 1,26% 1,01% 0,75% 0,50% 0,25% 0,00% -0,98% -1,95% -2,88% -3,80% -4,70% 0,13% 0,11% 0,08% 0,05% 0,03% 0,00% -0,10% -0,21% -0,31% -0,41% -0,51% 0,27% 0,21% 0,16% 0,11% 0,05% 0,00% -0,21% -0,42% -0,62% -0,82% 1,02% 0,40% 0,32% 0,24% 0,16% 0,08% 0,00% -0,32% -0,63% -0,94% -1,24% -1,54% 0,54% 0,43% 0,32% 0,22% 0,11% 0,00% -0,43% -0,84% -1,26% -1,68% -2,06% 0,83% 0,66% 0,49% 0,33% 0,16% 0,00% -0,65% -1,28% -1,91% -2,52% -3,12% 1,26% 1,01% 0,75% 0,50% 0,25% 0,00% -0,98% -1,95% -2,88% -3,80% -4,70% ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (40.133) (79.160) ( ) ( ) ( ) (11.467) (23.800) (35.133) (46.467) (30.600) 39

40 Pior Caso e Cenários Macroeconomicamente Plausíveis PIOR CASO BULLISH BEARISH Dólar IBOVESPA Pré Cupom de USD ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (46.467) (30.600) ( ) ( )

41 Jorion P., Value at Risk, Irwin, Bibliografia RiskMetrics Technical Document ( Jäckel, P., Monte Carlo Methots in Finance, Wiley Finance, 2002 Vieira Neto, C.A., Urban, F., Um Modelo de Stress Menos Subjetivo e Mais Abrangente, Resenha BM&F 139 Guidelines on Market Risk Vol 5: Stress Testing, ONB (2001). Leituras Complementares Glasserman, Heidelberger e Shahabuddin, Efficient Monte Carlo Methods for Value-at-Risk Jamshidian, F., Zhu, Y., Scenario Simulation: Theory and Methodology, Finance and Stochastics, 1,43-67 (1997) 41