Value-at-Risk: Overview. Análise de Risco (1) R.Vicente mpmmf

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1 Value-at-Risk: Overview Análise de Risco () R.Vicente mpmmf

2 Resumo Objetivos Definição Esquema Geral Dinâmica de Preços Passeio Aleatório Discreto Somas de Variáveis Aleatórias Teorema Central do Limite Estatística dos Retornos Auto-Correlação Volatilidade Matrizes de Correlação Bibliografia 2

3 Objetivos. Medida de exposição por transação, unidade de negócios ou agregada; 2. Alocação de capital apropriada ao valor de mercado e risco; 3. Estabelecimento de limites de exposição; 4. Disclosure para acionistas, mercado e órgãos regulatórios; 5. Avaliação de traders e/ou unidades de negócio. 3

4 Definição Dado um horizonte de tempo T e um nível de confiança p, o VaR é a perda no valor de mercado no horizonte T que pode ser excedida com probabilidade -p. BIS: p=0,99 e T = 0 dias JPM: p=0,95 e T = dia O VaR é apenas um benchmark para decisões comparativas. Em situações adversas podem ocorrer problemas de liquidez que podem ampliar significativamente perdas potenciais. 4

5 Esquema Geral Simulação de mudanças nos preços e taxas. (modelos estatísticos paramétricos ou bootstrap) Base de dados com carteiras Cálculo do valor de mercado de cada instrumento para cada cenário de preços e taxas. (aproximações de a (delta) ou 2a (delta-gama) ordem, full valuation) 5

6 O que é necessário?. Modelo para as mudanças aleatórios nos preços; 2. Modelo para preços e sensibilidades de derivativos 6

7 Dinâmica de Preços R = μ + σ ε t t t t μ t = ERI t t σ var t = Rt It E ε I = 0 var ε I = t t t t μσ, Plain vanilla model : constantes. ε iid N(0,) 7

8 Passeio Aleatório Discreto S = S + σε n n n εn ~ p( ε) = δε ( s) + δε ( + s) iid n = 0 n = s n j = s nj ε ε ε ε δ

9 Passeio Aleatório Discreto S N = N j= ε j S 000 S N N = ε = j= j 0 S N N = ε j = Ns j= 9

10 Convolução Qual é a distribuição de SN = ε j? N j= X = X + X x ~ p ( x ) 2 p( x) = dx p ( x ) p ( x x ) 2 p= p p 2 j j j 0

11 Convolução N j= X = X x ~ p ( x ) j= px ( ) = dx j p( x ) pn ( x N ) pn( x x x ' N ) 2 Qual é a distribuição de Sn = ε? j N N j j j j p= p p p j= N ( ) = () ε () ε () ε = () ε p SN p p p p N termos N

12 Convolução no Espaço de Fourier N j= pˆ( z) = dx exp( izx ± izx ± izx ) ' ' N dx p ( x ) p ( x ) p ( x x x ) j N N N ' N N pz ˆ( ) = pˆ ( z) j= j Como conseqüência os cumulantes se somam: N N ln pˆ( z) = ln pˆ ( ) ln ˆ j z = pj( z) j= j= l N l ln pˆ (0) c = i = c ( ) ln, l l, j z j= 2

13 Se as variáveis são i.i.d. os cumulantes de uma soma de N variáveis são: Os cumulantes normalizados são: λ ln, Cumulantes c ln, l, c = = l ln, l, 2 N l c 2 2, 2, N ( c ) = Nc c Em uma soma de N variáveis i.i.d. a assimetria (skewness), a curtose e os cumulantes superiores decaem como: λ3 κ λl l 2 λ3, N = κn = λl, N =, β = β N N N 2 3

14 Teorema Central do Limite { } N X = Seja uma seqüência de variáveis aleatórias i.i.d. k k com distribuição comum. Suponha que estejam definidos os dois primeiros cumulantes. μ = X = k c σ = k k = X X c 2 S N Seja, então, para fixo: N = X β k= k SN Nμ P σ N < β N 2π β dxe x 2 2 4

15 Teorema Central do Limite 5

16 Distribuições Estáveis Se a distribuição de SN = Xk tiver a mesma forma funcional, da distribuição de, a distribuição de é dita estável. N k= X k X k Portanto, uma distribuição é estável se, no espaço de Fourier, sua função característica for [ ˆ ] pˆ ( z) = p( z) n n pˆ ( ) ˆ ( ) n z e p z tal que tenham a mesma forma funcional. 6

17 Distribuições Estáveis Exemplo: A distribuição Lorentziana (Cauchy) é estável: No espaço de Fourier: px ( ) = ixz γ e pz ˆ( ) = dx = e 2 2 πγ + x Retornando ao espaço original: γ πγ γ z + x 2 2 n pˆ ( z) = e γ n z ixz nγ z nγ pn( x) = dz e e = 2 π π ( nγ) + x 2 2 7

18 Distribuições Estáveis A classe completa de distribuições estáveis é descrita pela seguinte família de funções características (Lévy e Khintchine): μ z π iλz a z μ iβ tan μ, μ z 2 ln pz ˆ( ) = z 2 iλz aμ z iβ ln z, μ= z π 0< μ 2 a > 0 λ β [, + ] μ 8

19 Exponencial Distribuições Estáveis LÉVY Lorentziana Lévy-Smirnoff ( β = ) Uniforme NORMAL μ 2 μ = μ =/2 μ 0 9

20 Passeio Aleatório Contínuo S ε n n n n = S + σε ~ p( ε) iid n = 0 n = s n j = s nj ε ε ε ε δ n Δt 0 com nδt t s = = Δ t S () t ns t 20

21 Definindo Passeio Aleatório Contínuo: S 2 () t = Dt Constante de difusão 2 s = DΔt Difusão p( x, t) = exp 2πDt ( x x ) 2 0 2Dt Equação de Difusão t x 2 x 2 p p D p = x

22 Caudas Pesadas 22

23 Caudas Pesadas 23

24 Caudas Pesadas 24

25 Estatística dos Retornos: IBOV IBOVESPA jul-94 jan-95 jul-95 jan-96 jul-96 jan-97 jul-97 jan-98 jul-98 jan-99 jul-99 jan-00 jul-00 jan-0 jul-0 jan-02 jul-02 0,4 0,3 0,2 0, 0-0, -0,2 S S S S = ln S S S Δ t + t t + t t t jul-94 jan-95 jul-95 jan-96 jul-96 jan-97 jul-97 jan-98 jul-98 jan-99 jul-99 jan-00 jul-00 jan-0 jul-0 jan-02 jul-02 25

26 Estatística dos Retornos: Leptocurtose no IBOV Média -0,002 IBOVESPA x t S ln t+ = S t Assimetria -0,5 Curtose 3,87 Um teste de Kolmoroff-Smirnoff rejeita a normalidade da amostra com p- value de 0,038 para um nível de significância de 5%. 26

27 Auto-correlação CL ( ) = xt+ Lxt xt+ L xt IBOVESPA 99% de confiança 27

28 Leptocurtose e Heterocedasticidade Retornos independentes e gaussianos mas com a volatilidade mudando com o tempo geram distribuições de retornos agregados leptocúrticas. [ px ( )] = dσ p( σ) exp 2 2πσ σ [ σ ] [ ] [ σ ] [ σ ] [ κ] = x 2σ 2 28

29 Leptocurtose e Jump Diffusion Retornos independentes e gaussianos mas com picos eventuais de volatilidade também geram distribuições de retornos agregados leptocúrticas. 29

30 Leptocurtose e Mistura de Normais Qualquer curtose pode ser gerada via uma mistura de distribuições normais Normal : probabilidade p Normal 2: probabilidade -p X X 2 2 = αz = βz var( X) = pα + ( p) β = σ β = σ pα p EX κ = = 3 pα + ( p) β 4 σ ( 4 4 ) 30

31 Volatilidades As volatilidades são bem descritas por um modelo GARCH e são altamente heterocedasticas. 3

32 Auto-correlação das Volatilidades As volatilidades são bem descritas por um modelo GARCH e são altamente heterocedasticas e auto-correlacionadas. 32

33 Matriz de Correlações Espectro de Autovalores MARKET RANDOM 33

34 Bibliografia Duffie e Pan, An Overview of Value at Risk Bouchaud e Potters, Theory of Financial Risk; Mantegna R.N. e Stanley E., An Introduction to Econophysics; Feller W., An Introduction to Probability Theory and Applications; Leitura Complementar Sornette e Andersen, Increments of Uncorralated Time Series Can Be Predicted With a Universal 75% Probability of Success; 34