Distribuições Truncadas e Aplicações
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- Sabina Alícia Bayer Pinhal
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1 Distribuições Truncadas e Aplicações Raydonal Ospina Departamento de Estatística - CCEN/UFPE Gustavo H. Esteves Departamento de Estatística - CCT/UEPB 58ª RBRAS - 15º SEAGRO Campina Grande - Paraíba - Brasil - Julho 2013 (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 1 / 46
2 Sumário Introdução Censura e Truncamento Teoria básica sobre o truncamento (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 2 / 46
3 Sumário Introdução Censura e Truncamento Teoria básica sobre o truncamento Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Cauchy Truncada (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 2 / 46
4 Introdução Censura e Truncamento Conteúdo Introdução Censura e Truncamento Teoria básica sobre o truncamento Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Cauchy Truncada (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 3 / 46
5 Introdução Censura e Truncamento Introdução Censura e Truncamento Censura e truncamento são problemas muito comuns em trabalhos aplicados de diversas áreas, tais como Medicina, Epidemiologia ou indústria. Entretanto, eles são coisas diferentes! Censura: ocorre quando o tempo de vida de um item é sabido de ocorrer em algum intervalo. Ela pode ser à direita, esquerda ou dupla (intervalar). Truncamento: ocorre quando o plano amostral do estudo inclui apenas os itens que sobreviveram a algum ponto do tempo (truncamento à esquerda) ou que o evento aconteceu antes de algum tempo especíco (truncamento à direita), ou ambas as situações (truncamento intervalar). (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 4 / 46
6 Introdução Censura e Truncamento Alguns Exemplos A seguir apresentamos alguns exemplos de estudos onde aparecem dados com censura e/ou truncamento. Estudo clínico para avaliação do tempo de remissão de leucemia aguda. Tempo de sobrevida em pacientes que passaram por transplante de rim. Taxa de sobrevivência em pacientes com linfoma tipo Hodgkim e não-hodgkim que passaram por transplante de medula (autóloga ou alogênica). Tempo de reinfecção para pessoas com doenças sexualmente transmissíveis. Tempo até o primeiro consumo de maconha para crianças em idade escolar. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 5 / 46
7 Introdução Teoria básica sobre o truncamento Conteúdo Introdução Censura e Truncamento Teoria básica sobre o truncamento Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Cauchy Truncada (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 6 / 46
8 Introdução Teoria básica sobre o truncamento Teoria básica sobre Truncamento de variáveis aleatórias Para se construir a versão truncada de uma distribuição de probabilidades consideremos inicialmente o seguinte: seja Y uma v.a. contínua assumindo valores na reta real; g(y), y R, é sua função de densidade de probabilidade, fdp; G(y), y R, é sua função de distribuição acumulada, fda. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 7 / 46
9 Introdução Teoria básica sobre o truncamento Teoria básica sobre Truncamento de variáveis aleatórias Para se construir a versão truncada de uma distribuição de probabilidades consideremos inicialmente o seguinte: seja Y uma v.a. contínua assumindo valores na reta real; g(y), y R, é sua função de densidade de probabilidade, fdp; G(y), y R, é sua função de distribuição acumulada, fda. Vamos considerar aqui apenas o caso contínuo, mas a extensão para o caso discreto é natural. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 7 / 46
10 Introdução Teoria básica sobre o truncamento Considerando agora uma nova v.a. X como a versão truncada de Y no intervalo [a, b], com < a < b <. Temos que as principais propriedades de X são dadas por: g(x) f(x) = G(b) G(a), a x b; b E(X) = xf(x)dx; a b VAR(X) = [x E(X)] 2 f(x)dx; a G{max[min(x, b), a]} G(a) F (x) = ; G(b) G(a) (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 8 / 46
11 Introdução Teoria básica sobre o truncamento Considerando agora uma nova v.a. X como a versão truncada de Y no intervalo [a, b], com < a < b <. Temos que as principais propriedades de X são dadas por: g(x) f(x) = G(b) G(a), a x b; b E(X) = xf(x)dx; a b VAR(X) = [x E(X)] 2 f(x)dx; a G{max[min(x, b), a]} G(a) F (x) = ; G(b) G(a) onde f(x), E(X), VAR(X) e F (x) representam a f.d.p., esperança, variância e a f.d.a da variável X. Naturalmente, para todos os valores de x / [a, b], tem-se que f(x) = 0. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 8 / 46
12 Introdução Teoria básica sobre o truncamento Alguns comentários importantes Uma distribuição truncada pode ser pensada como uma distribuição condicionada a uma restrição intervalar feita no suporte da distribuição. O termo distribuição truncada pode causar uma certa ambiguidade, no sentido de se pensar na f.d.p da distribuição, g(x), com a remoção das caudas da distribuição fora do intervalo [a, b]. Mas isso não dene uma distribuição de probabilidades, sendo necessário reescalar a função g(x) neste intervalo. Esta apresentação está baseada no truncamento intervalar de distribuições de probabilidades, ou truncamento duplo (doubly truncation). Mas pode-se obter as versões simples à direita, para (, b], ou à esquerda, para [a, ). (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 9 / 46
13 Distribuição Uniforme Truncada Conteúdo Introdução Censura e Truncamento Teoria básica sobre o truncamento Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Cauchy Truncada (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 10 / 46
14 Distribuição Uniforme Truncada Alguns Modelos Contínuos Truncados A partir daqui vamos apresentar as principais propriedades para alguns dos principais modelos probabilísticos contínuos, especicamente: Modelo Uniforme contínuo; Modelo Normal; Modelo Exponencial; Modelo Exponencial Duplo; Modelo de Cauchy. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 11 / 46
15 Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Uniforme Seja X uma v.a. com distribuição uniforme em [α, β], isto é, X U[α, β]. Sua f.d.p. é dada por: g(x) = 1 β α, α x β, Consequentemente, sua f.d.a. é dada por: 0, para x < α x α G(x) =, para x [α, β) β α. 1, para x β (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 12 / 46
16 Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Uniforme Truncada Agora consideremos Y a versão truncada da Uniforme, restrita ao intervalo [s, t] [α, β]. Desta forma, para s, t [α, β] com s < t, a f.d.p de Y é dada por (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 13 / 46
17 Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Uniforme Truncada Agora consideremos Y a versão truncada da Uniforme, restrita ao intervalo [s, t] [α, β]. Desta forma, para s, t [α, β] com s < t, a f.d.p de Y é dada por f Y (y) = g(y) G(t) G(s) = 1 (t α) (s α) = 1 t s. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 13 / 46
18 Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Uniforme Truncada Agora consideremos Y a versão truncada da Uniforme, restrita ao intervalo [s, t] [α, β]. Desta forma, para s, t [α, β] com s < t, a f.d.p de Y é dada por f Y (y) = g(y) G(t) G(s) = 1 (t α) (s α) = 1 t s. Logo, Y U[s, t], isto é, a forma truncada de uma uniforme é uma nova uniforme restrita ao intervalo de truncamento. Desta maneira as demais propriedades, tais como esperança, variância e etc decorrem naturalmente dos resultados já conhecidos da uniforme, e não serão discutidos aqui. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 13 / 46
19 Conteúdo Introdução Censura e Truncamento Teoria básica sobre o truncamento Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Cauchy Truncada (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 14 / 46
20 Distribuição Normal Consideremos a distribuição normal com média µ e variância σ 2. Assim, seja X N(µ, σ 2 ). A normal é a distribuição mais usada e conhecida e sua f.d.p é g(x) = 1 [ exp 1 ( )] x µ. 2πσ 2 σ Por m, sua função de distribuição acumulada é dada por G(x) = 1 x [ exp 1 ( )] t µ dt. 2πσ 2 σ (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 15 / 46
21 Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada por NT (µ, σ 2, a, b), então [ 1 exp 1 ( ) ] y µ 2 2πσ 2 σ f Y (y) =, para a y b, G(b) G(a) 0 caso contrário. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 16 / 46
22 Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada por NT (µ, σ 2, a, b), então [ 1 exp 1 ( ) ] y µ 2 2πσ 2 σ f Y (y) =, para a y b, G(b) G(a) 0 caso contrário. Este truncamento é conhecido como truncamento duplo (doubly truncation), e os pontos a e b são os pontos de truncamento inferior e superior. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 16 / 46
23 Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada por NT (µ, σ 2, a, b), então [ 1 exp 1 ( ) ] y µ 2 2πσ 2 σ f Y (y) =, para a y b, G(b) G(a) 0 caso contrário. Este truncamento é conhecido como truncamento duplo (doubly truncation), e os pontos a e b são os pontos de truncamento inferior e superior. Fazendo a = ou b = + temos o truncamento simples (simply truncation) acima (cauda inferior) ou abaixo (cauda superior). (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 16 / 46
24 Continuação Truncamentos Simples Para o caso do truncamento simples acima, a f.d.p é dada por: f Y (y) = f X (x x < b) = g(x) G(b). Já para o caso do truncamento simples abaixo, temos a seguinte f.d.p: f Y (y) = f X (x x > a) = g(x) 1 G(a). (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 17 / 46
25 Continuação Truncamentos Simples Para o caso do truncamento simples acima, a f.d.p é dada por: f Y (y) = f X (x x < b) = g(x) G(b). Já para o caso do truncamento simples abaixo, temos a seguinte f.d.p: f Y (y) = f X (x x > a) = g(x) 1 G(a). Outro casos de interesse ocorrem quando temos a = µ e b = ou a = e b = µ, que são conhecidos como distribuições meia-normais (half-normal distribution). (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 17 / 46
26 Continuação Voltando agora para o caso do truncamento duplo da Normal, vamos apresentar a f.d.a, esperança e variância para Y NT (µ, σ 2, a, b) A função de distribuição acumulada da variável aleatória Y é da forma [ y 1 exp 1 ( ) ] t µ 2 dt a 2πσ 2 σ F Y (y) = G(b) G(a) = G(y) G(a) G(b) G(a). (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 18 / 46
27 Continuação Esperança Matemática de Y A partir da denição, calcula-se a esperança matemática da variável aleatória Y : [ ( ) ] 2 y b exp 1 y µ 2πσ 2 σ E(Y ) = yf Y (y)dy = dy, a G(b) G(a) com a transformação z = (y µ)/σ, podemos simplicar o resultado b µ σ E(Y ) = a µ µ+zσ 2π [ ] exp z2 2 dz G(b) G(a) σ ( ) ( ) a µ b µ ϕ ϕ σ σ = µ + σ, G(b) G(a) onde ϕ(z) é a f.d.p. de uma distribuição normal padrão [N(0, 1)]. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 19 / 46
28 Continuação Variância de Y Após alguns cálculos, chegamos a variância de Y, dada por: ( ) ( ) ( ) a µ ϕ a µ b µ ϕ σ σ σ VAR(Y ) = 1 + ( ϕ a µ σ ) ϕ G(b) G(a) ( b µ σ G(b) G(a) ) 2 σ 2. ( b µ σ ) σ 2 (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 20 / 46
29 Caso particular para o truncamento simple acima Truncamento simples acima Note que, para o caso de truncamento acima temos o seguinte E(Y ) = E(X X < b) = µ σ ϕ(β) G(b), [ VAR(Y ) = VAR(X X < b) = σ 2 1 β ϕ(β) ( ) ] ϕ(β) 2 G(b), G(b) em que β = (b µ)/σ. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 21 / 46
30 Caso particular para o truncamento simples abaixo Truncamento simples abaixo Agora, para o caso de truncamento abaixo, temos as seguinte propriedades: E(Y ) = E(X X > a) = µ + σ(α), VAR(Y ) = VAR(X X > a) = σ 2 [1 δ(α)], em que α = (a µ)/σ, δ(α) = (α)[(α) α] e (α) = ϕ(α)/[1 G(a)] é a inversa da razão de Mills ou também chamada de taxa de risco. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 22 / 46
31 Comentários Observações importantes Do que foi exposto nos resultados anteriores é possível vericar facilmente as propriedades enumeradas a seguir. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 23 / 46
32 Comentários Observações importantes Do que foi exposto nos resultados anteriores é possível vericar facilmente as propriedades enumeradas a seguir. 1. Se os dados são truncados abaixo de um determinado valor, a média da variável truncada é maior que a média da variável original. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 23 / 46
33 Comentários Observações importantes Do que foi exposto nos resultados anteriores é possível vericar facilmente as propriedades enumeradas a seguir. 1. Se os dados são truncados abaixo de um determinado valor, a média da variável truncada é maior que a média da variável original. 2. Se os dados são truncados acima de um determinado valor, a média da variável truncada é menor que a média da variável original. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 23 / 46
34 Comentários Observações importantes Do que foi exposto nos resultados anteriores é possível vericar facilmente as propriedades enumeradas a seguir. 1. Se os dados são truncados abaixo de um determinado valor, a média da variável truncada é maior que a média da variável original. 2. Se os dados são truncados acima de um determinado valor, a média da variável truncada é menor que a média da variável original. 3. A variância da variável truncada é menor que a variância da variável original. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 23 / 46
35 Exemplos de Normais Truncadas (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 24 / 46
36 Distribuições Truncadas no R Artigo de Nadarajah e Kotz (2006) Nadarajah e Kotz (2006) apresenta funções em R para o cálculo de f.d.p., f.d.a., função de quantis, geração de amostras aleatórias, além do cálculo da esperança e variância, para qualquer distribuição nativamente implementada no R. Exemplo: Função para o Cálculo da f.d.p. dtrunc <- function(x, spec, a = -Inf, b = Inf,...) { tt <- rep(0, length(x)) g <- get(paste("d", spec, sep = ""), mode = "function") G <- get(paste("p", spec, sep = ""), mode = "function") tt[x>=a & x<=b] <- g(x[x>=a&x<=b],...)/(g(b,...) - G(a,...)) return(tt) } (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 25 / 46
37 Distribuição Exponencial Truncada Conteúdo Introdução Censura e Truncamento Teoria básica sobre o truncamento Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Cauchy Truncada (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 26 / 46
38 Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Outra distribuição de bastante utilidade prática dentro da estatística, sobretudo em problemas relacionados com tempos de vida, é a distribuição exponencial. Consideremos a v.a. X com distribuição X Exp(). Sua f.d.p. é dada por g(x) = 1 ( exp x ), x 0, e sua f.d.a. está apresentada a seguir G(x) = 1 exp ( x ), com E(X) = e VAR(X) = 2. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 27 / 46
39 Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Truncada Função de densidade de probabilidade Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada por ExpT (, a, b), então 1 f(y) = exp ( y ) [ ( )] 1 exp b [ 1 exp ( a )] exp ( y ) = [ exp ( a ) ( )]. exp b (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 28 / 46
40 Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Truncada Função de densidade de probabilidade Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada por ExpT (, a, b), então 1 f(y) = exp ( y ) [ ( )] 1 exp b [ 1 exp ( a )] exp ( y ) = [ exp ( a ) ( )]. exp b Logo, a função de densidade de probabilidade de Y ExpT (, a, b) é dada por ( f(y) = c exp y ), a y b, com c = 1 [ exp ( a ) ( )]. exp b (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 28 / 46
41 Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Truncada Primeiros Momentos Podemos calcular os dois primeiros momentos de Y de maneira simples, através da denição O primeiro momento de Y é dado por b b ( E(Y ) = yf(y)dy = c y exp y ) dy a a a exp ( a ) ( ) b exp b = + exp ( a ) ( ), exp b e o segundo momento ca b b ( E(Y 2 ) = y 2 f(y)dy = c y 2 exp y ) dy a a exp ( a ) ( ) [a 2 + 2a ] exp b [b 2 + 2b ] = exp ( a ) ( ), exp b (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 29 / 46
42 Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Truncada Variância enm, usando a propriedade de que VAR(Y ) = E(Y 2 ) [E(Y )] 2, podemos chegar facilmente na expressão para a variância da variável aleatória. VAR(Y ) VAR(Y ) = 2 ( exp [ exp ( a a+b ) [a 2 + b 2 ] )] 2. ) exp ( b (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 30 / 46
43 Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Exponencial Truncada F.d.a Função de Distribuição Acumulada Por m, a função de distribuição acumulada de Y é obtida por y y ( F (y) = f(t)dt = c exp t ) dt a a = exp ( a ) ( exp y ) exp ( a ) ( ), exp b E então 0, para y < a exp( F (y) = a ) exp( y ) exp( a ) exp( b ), para a y < b. 1, para y b (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 31 / 46
44 Distribuição Exponencial Truncada Exemplos da Exponencial Truncada (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 32 / 46
45 Distribuição Exponencial Truncada Distribuições Truncadas no R Script para gerar a gura anterior Abaixo temos o script escrito em R que gerou a gura anterior. F.d.p. da exponencial truncada com = 1 x <- seq(0, 7, by=0.01) plot(x, dexp(x), type="l", ylim=c(0,2), ylab="exponencial") points(x, dtrunc(x,"exp", 0, 1), type="l", lty=2) points(x, dtrunc(x,"exp", 2, Inf), type="l", lty=3) legend(4, 1.9, expression("exp(1)", "ExpT(1, 0, 1)", paste("expt(1, 2, ", infinity, ")", sep="")), lty=1:3) (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 33 / 46
46 Conteúdo Introdução Censura e Truncamento Teoria básica sobre o truncamento Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Cauchy Truncada (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 34 / 46
47 Distribuição Exponencial Dupla A distribuição exponencial dupla, denotada ED, também é conhecida como distribuição de Laplace. Seja X ED(µ, ). Sua f.d.p. é dada por g(x) = 1 2 exp ( ) x µ, < x <, e sua f.d.a. está apresentada a seguir ( ) 1 2 G(x) = exp x µ, para x < µ ( ) exp x µ, para x µ. com E(X) = µ e VAR(X) = 2 2. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 35 / 46
48 Comentários Para se construir a versão truncada, em um intervalo [a, b] qualquer, de uma distribuição exponencial dupla, temos que tomar alguns cuidados especiais no que diz respeito ao intervalo de truncamento e o parâmetro µ do modelo: (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 36 / 46
49 Comentários Para se construir a versão truncada, em um intervalo [a, b] qualquer, de uma distribuição exponencial dupla, temos que tomar alguns cuidados especiais no que diz respeito ao intervalo de truncamento e o parâmetro µ do modelo: 1. Temos o caso onde temos a, b < µ. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 36 / 46
50 Comentários Para se construir a versão truncada, em um intervalo [a, b] qualquer, de uma distribuição exponencial dupla, temos que tomar alguns cuidados especiais no que diz respeito ao intervalo de truncamento e o parâmetro µ do modelo: 1. Temos o caso onde temos a, b < µ. 2. Temos o caso de a<µ com b µ. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 36 / 46
51 Comentários Para se construir a versão truncada, em um intervalo [a, b] qualquer, de uma distribuição exponencial dupla, temos que tomar alguns cuidados especiais no que diz respeito ao intervalo de truncamento e o parâmetro µ do modelo: 1. Temos o caso onde temos a, b < µ. 2. Temos o caso de a<µ com b µ. 3. Enm temos a, b µ. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 36 / 46
52 Comentários Para se construir a versão truncada, em um intervalo [a, b] qualquer, de uma distribuição exponencial dupla, temos que tomar alguns cuidados especiais no que diz respeito ao intervalo de truncamento e o parâmetro µ do modelo: 1. Temos o caso onde temos a, b < µ. 2. Temos o caso de a<µ com b µ. 3. Enm temos a, b µ. 4. Aqui vamos nos concentrar apenas no item 2, sendo que a extensão para os outros dois casos é natural. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 36 / 46
53 Função de densidade de probabilidade Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada por EDT (µ,, a, b), então ( ) 1 2 exp y µ f(y) = ( ) ( ) exp b µ 1 2 exp a µ ( ) exp y µ = [ ( ) ( )], 2 exp b µ exp a µ (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 37 / 46
54 Função de densidade de probabilidade Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada por EDT (µ,, a, b), então ( ) 1 2 exp y µ f(y) = ( ) ( ) exp b µ 1 2 exp a µ ( ) exp y µ = [ ( ) ( )], 2 exp b µ exp a µ Logo, a função de densidade de probabilidade de Y EDT (µ,, a, b) é dada por ( ) y µ f(y) = c exp, a y b, com c = [ ( 2 exp 1 b µ ) exp ( )]. a µ (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 37 / 46
55 Primeiros Momentos Podemos calcular os dois primeiros momentos de Y de maneira simples, através da denição O primeiro momento de Y é dado por ( ) 2µ + exp a µ E(Y ) = 2 exp ( [ a] exp ( ( a µ ) exp ) b µ [ + b] ) b µ (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 38 / 46
56 Primeiros Momentos Podemos calcular os dois primeiros momentos de Y de maneira simples, através da denição O primeiro momento de Y é dado por ( ) 2µ + exp a µ E(Y ) = 2 exp ( [ a] exp ( ( a µ ) exp ) b µ [ + b] ) b µ e o segundo momento ca E(Y 2 ) = 2µ exp ( ) a µ 2 [a 2a+2 ] exp( 2 b µ ) 2 [b +2b+2 2 ] ( ) ( 2 exp a µ exp b µ ). (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 38 / 46
57 Primeiros Momentos Podemos calcular os dois primeiros momentos de Y de maneira simples, através da denição O primeiro momento de Y é dado por ( ) 2µ + exp a µ E(Y ) = 2 exp ( [ a] exp ( ( a µ ) exp ) b µ [ + b] ) b µ e o segundo momento ca E(Y 2 ) = 2µ exp ( ) a µ 2 [a 2a+2 ] exp( 2 b µ ) 2 [b +2b+2 2 ] ( ) ( 2 exp a µ exp b µ ). A variância de Y pode ser obtida a partir desses dois valores, mas por ser algebricamente trabalhosa, esse resultado não será apresentado aqui. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 38 / 46
58 F.d.a Função de Distribuição Acumulada Para o cálculo da função de distribuição acumulada é necessário se trabalhar separadamente nos intervalos [a, µ) e [µ, b]. Desta forma, considerando o caso em que y < µ. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 39 / 46
59 F.d.a Função de Distribuição Acumulada Para o cálculo da função de distribuição acumulada é necessário se trabalhar separadamente nos intervalos [a, µ) e [µ, b]. Desta forma, considerando o caso em que y < µ. Assim, a função de distribuição acumulada de Y é dada por 0, para y < a ( ) ( ) exp y µ exp a µ ( 2 exp b µ ) ( ) exp a µ, para a y < µ F (y) = ( 2 exp y µ ) ( ) exp a µ. ( 2 exp b µ ) ( ) exp a µ, para µ y < b 1, para y b (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 39 / 46
60 Distribuição Cauchy Truncada Conteúdo Introdução Censura e Truncamento Teoria básica sobre o truncamento Alguns Modelos Contínuos Truncados Distribuição Uniforme Truncada Distribuição Exponencial Truncada Distribuição Cauchy Truncada (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 40 / 46
61 Distribuição Cauchy Truncada Distribuição Cauchy A distribuição de Cauchy também é conhecida pelos nomes de Lorentz, Cauchy-Lorentz ou Brelt-Wigner, e é bastante conhecida pela sua propriedade de não possuir momentos nitos, o que faz com que popularmente se diga que ela não tem esperança e nem variância. Seja X Cauchy(µ, γ). Sua f.d.p. é dada por 1 g(x) = [ ( ) ] = 1 [ 2 πγ 1 + x µ π γ γ (x µ) 2 + γ 2 ], < y <, e sua f.d.a. está apresentada a seguir G(x) = 1 π arctan ( x µ γ ) (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 41 / 46
62 Distribuição Cauchy Truncada Distribuição Cauchy Truncada Função de densidade de probabilidade Agora, seja Y a versão truncada de X em [a, b], denotada por CauchyT (µ, γ, a, b), então f(y) = arctan = ( b µ γ γ (y µ) 2 +γ2 ) arctan [ [(y µ) 2 + γ 2 ] arctan ( ) a µ γ γ ( b µ γ ) arctan ( )], a y b. a µ γ (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 42 / 46
63 Distribuição Cauchy Truncada Distribuição Cauchy Truncada Trabalho Difícil Encontrar as principais propriedades desta distribuição analiticamente pela f.d.p dada por f(y) não é uma tarefa trivial. Entretanto, um artigo de Nadarajah e Kotz (2006b), dentre outras propriedades, apresenta a forma analítica da f.d.a., dada por ( ) ( ) y µ a µ arctan F (y) = arctan γ ( b µ γ arctan ) arctan γ ( a µ γ ), (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 43 / 46
64 Distribuição Cauchy Truncada Distribuição Cauchy Truncada Trabalho Difícil Encontrar as principais propriedades desta distribuição analiticamente pela f.d.p dada por f(y) não é uma tarefa trivial. Entretanto, um artigo de Nadarajah e Kotz (2006b), dentre outras propriedades, apresenta a forma analítica da f.d.a., dada por ( ) ( ) y µ a µ arctan F (y) = arctan γ ( b µ γ arctan ) arctan γ ( a µ γ ), Como a forma truncada da distribuição de Cauchy é denida sobre um intervalo nito, ela apresenta todos os seus momentos nitos, o que faz com ela se apresente como melhor opção de modelagem do que a distribuição de Cauchy original. (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 43 / 46
65 Distribuição Cauchy Truncada Distribuição Cauchy Truncada Função de Distribuição Acumulada Nadarajah e Kotz (2006b) apresentam uma forma geral para a obtenção da n-ésimo momento de Y, dada por E(Y n ) = µn D n ( ) 1 γ k [β k + 1 ( ) k+12f ( 1 µ k=0 ( α k+1 2F 1 1, k , k ; 1 + k + 1 )] ; α 2, 2 ; 1 + k + 1 ) ; β 2 2 para n 1, onde α = a µ γ, β = b µ γ, D = arctan(β) arctan(α) e 2F 1 (t, u; v; x) é a função gaussiana hipergeométrica, dada por 2F 1 (t, u; v; x) = k=0 (t) k (u) k (v) k onde (z) k = z(z + 1) (z + k 1) denota o fatorial ascendente. Essa regra geral para a obtenção de qualquer momento de Y, pode ser usada para se encontrar E(Y ) e VAR(Y ), entre outras propriedades. x k k!, (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 44 / 46
66 Distribuição Cauchy Truncada Exemplos da Cauchy Truncada (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 45 / 46
67 Distribuição Cauchy Truncada Distribuições Truncadas no R Script para gerar a gura anterior Abaixo temos o script escrito em R que gerou a gura anterior. F.d.p. da Cauchy truncada com = 1 x <- seq(0, 7, by=0.01) plot(x, dexp(x), type="l", ylim=c(0,2), ylab="exponencial") points(x, dtrunc(x,"exp", 0, 1), type="l", lty=2) points(x, dtrunc(x,"exp", 2, Inf), type="l", lty=3) legend(4, 1.9, expression("exp(1)", "ExpT(1, 0, 1)", paste("expt(1, 2, ", infinity, ")", sep="")), lty=1:3) (58ª RBRAS e 15º SEAGRO - CG/PB - Julho 2013) 46 / 46
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