28 de dezembro de 2007

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1 Curso de UFRPE e UFPE 28 de dezembro de 2007

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3 Seja f (y) uma função densidade conhecida, cujos cumulantes são dados por κ 1, κ 2,.... O interesse reside em usar f (y) para aproximar uma função densidade g(y) (em geral desconhecida) a partir da aplicação de um operador T(D) a f (y). O operador é formulado como T(D) = exp ǫ j ( D) j /j! j=1 e a aproximação para g(y) é definida por g(y) = T(D) f (y), em que D é o operador diferencial, ou seja, D j f (y) = d j f (y)/dy j.

4 Os cumulantes de g(y) são determinados como os coeficientes de t r /r! na expansão de { + } log e ty g(y)dy. Expandindo o operador T(D) em série de Taylor vem T(D) = i=0 1 i! ǫ j ( D) j de onde se conclui que os cumulantes de g(y) são dadas por κ 1 + ǫ 1, κ 2 + ǫ 2,.... A função g(y) pode não satisfazer a condição g(y) 0 para todo y, mas seus cumulantes κ r + ǫ r são definidos mesmo que esta condição não seja satisfeita. j=1 j!

5 De g(y) = T(D) f (y) obtém-se, pela expansão de T(D), g(y) = f (y) ǫ 1 Df (y) (ǫ2 1 + ǫ 2)D 2 f (y) 1 6 (ǫ ǫ 1ǫ 2 + ǫ 3 )D 3 f (y) (ǫ ǫ2 1 ǫ 2 + 4ǫ 1 ǫ 3 + ǫ 4 )D 4 f (y) +

6 Em muitos casos, D j f (y) = P j (y)f (y), em que onde P j (y) é um polinômio de grau j em y. Esses polinômios são geralmente ortogonais com relação à distribuição associada a f (y), ou seja, P j (y)p k (y)f (y) = 0, para j k.

7 No caso em que f (y) é a função densidade φ(y) da distribuição normal reduzida, ( 1) j P j (y) é o polinômio de Hermite H j (y) de grau j definido pela identidade ( D) r φ(y) = H r (y)φ(y). Os primeiros polinômios de Hermite são H 0 (y) = 1, H 1 (y) = y, H 2 (y) = y 2 1, H 3 (y) = y 3 3y, H 4 (y) = y 4 6y 2 + 3, H 5 (y) = y 5 10y y, H 6 (y) = y 6 15y y 2 15.

8 Esses polinômios têm propriedades interessantes decorrentes da identidade exp(ty t 2 t j /2) = j! H j(y), tais como: j=0 d dy H r(y) = r H r 1 (y), D j H r (y) = r (j) H r j (y) para r j, em que r (j) = r(r 1) (r j + 1). Satisfazem ainda a relação de recorrência H r (y) = y H r 1 (y) (r 1) H r 2 (y) (r 2).

9 Caso especial de maior aplicabilidade: f (y) é a função densidade φ(y) da distribuição N(0, 1). Neste caso, κ r = 0 para r > 2 e ǫ 3, ǫ 4,... são iguais aos cumulantes de g(y). Assim, g(y) = φ(y)[1 + ǫ 3 3! H 3 (y) + ǫ 4 4! H 4 (y) + ǫ 5 5! H 5 (y) + (ǫ 6+10ǫ 2 3 ) 6! H 6 (y) + ]. Esta expansão é denominada expansão para a densidade.

10 Integrando e usando a relação H r (y)φ(y)dy = H r 1 (y)φ(y)(r 1) vem G(y) = Φ(y) φ(y)[ ǫ 3 3! H 2 (y) + ǫ 4 4! H 3 (y) + ǫ 5 5! H 4 (y) + (ǫ 6+10ǫ 2 3 ) 6! H 5 (y) + ], em que Φ(y) é a função de distribuição da normal reduzida.

11 Seja Y uma variável aleatória com funções densidade f (y) e geratriz de cumulantes K(t). Os cumulantes padronizados de Y são ρ r = κ r /κ r/2 2 para r 2. Tem-se κ 1 = E(y) = µ e κ 2 = Var(Y ) = σ 2. Suponha que Y 1,...,Y n são realizações iid de Y e sejam as somas S n = n i=1 Y i, e S n = (S n nµ)/(σ n). Como as variáveis aleatórias são iid, as funções geratrizes de cumulantes de S n e S n são dadas por K Sn (t) = nk(t) e respectivamente. ( ) nµt t K S n (t) = + nk σ σ, (1) n

12 A expansão de K(t) em série de Taylor equivale a uma soma de funções dos cumulantes padronizados de Y K(t) = µt + σ 2 t 2 /2 + ρ 3 σ 3 t 3 /6 + ρ 4 σ 4 t 4 /24 + que substituída em (1) implica K S n (t) = t 2 /2 + ρ 3 t 3 /(6 n) + ρ 4 t 4 /(24n) + O(n 3/2 ). (2) A função geratriz de momentos M S n (t) de S n é obtida de (2) tomando exponenciais. Logo, M S n (t) = exp(t 2 /2){1 + ρ 3 t 3 /(6 n) + ρ 4 t 2 /(24n) +ρ 2 3t 6 /(72n) + O(n 3/2 )}.

13 Para obter a função densidade de S n, a equação anterior deve ser invertida termo a termo usando a identidade e ty φ(y)h r (y)dy = t r exp(t 2 /2). Então, a função densidade de S n é dada por f S n (y) = φ(y){1 + ρ 3 6 n H 3(y) + ρ 4 24n H 4(y) + ρ2 3 72n H 6(y)} + O(n 3/2 ). (3)

14 A integral de (3) produz a expansão da função de distribuição de S n como F S n (y) = Φ(y) φ(y)[ ρ 3 6 n H 2(y) + ρ 4 24n H 3(y) + ρ2 3 72n H 5(y)] + O(n 3/2 ). (4) As fórmulas (3) e (4) são as expansões de para as funções densidade e de distribuição de uma soma padronizada S n, respectivamente. É importante salientar que a expansões acima seguem diretamente das expansões, pois os cumulantes de S n são, simplesmente, ǫ r = O(n 1 r/2 ) para r 3 com ǫ 3 = ρ 3 / n e ǫ 4 = ρ 4 /n.

15 Sejam Y 1,...,Y n variáveis aleatórias iid com distribuição exponencial de média um. A função densidade exata de S n é dada por π S n (y) = n(n + y n) n 1 exp( n y n)/(n 1)!. Para obter a expansão de tem-se E(S n ) = n, Var(S n ) = n, ρ 3 = 2 e ρ 4 = 6. Logo, { f S n (y) = φ(y) 1 + H 3(y) 3 n + H 4(y) + H } 6(y) + O(n 3/2 ). 4n 18n

16 Na Tabela 1 compara-se para n = 5 o valor exato π S n (y) com a aproximação normal φ(y) (termo principal) e com aquelas expansões f S n (y) obtidas da equação anterior considerando apenas o termo O(n 1/2 ) e com aqueles dois termos de ordem O(n 1 ).

17 Tabela 1: Aproximações de para a função densidade da soma padronizada de 5 variáveis exponenciais iid de y Exato Normal até O(n 1/2 ) até O(n 1 ) -2 0,0043 0,0540 0,0379 0,0178-1,5 0,1319 0,1295 0,1512 0,1480-1,0 0,3428 0,2420 0,3141 0,3329-0,5 0,4361 0,3521 0,4242 0, ,3924 0,3989 0,3989 0, ,1840 0,2420 0,1698 0, ,0577 0,0540 0,0701 0, ,0144 0,0044 0,0163 0,0181

18 Este exemplo ilustra o desempenho da expansão de no contexto discreto. Seja S n a soma de n variáveis aleatórias iid com distribuição de Poisson de média 1. Assim, S n tem distribuição de Poisson de média n. Todos os cumulantes da distribuição de Poisson são iguais e, então, ρ 3 = ρ 4 = 1. A soma padronizada S n = (S n n)/ n tem função de distribuição aproximada, decorrente de (4), dada por { H2 (y) F S n (y) = Φ(y) φ(y) 6 n + H 3(y) 24n + H } 5(y) +O(n 3/2 ). 72n

19 No uso desta expansão para aproximar P(S n r), pode-se adotar uma correção de continuidade como y = (r n + 0, 5)/ n de modo que P(S n r) = F S n (y). A Tabela 2 compara a aproximação Φ(y) e as expansões de F S n (y) até ordens O(n 1/2 ) e O(n 1 ) com o valor exato de P(S n r) quando n = 8. Ambas as expansões de aproximam melhor P(S n r) do que a função de distribuição normal Φ(y).

20 Tabela 2: Aproximações para a função de distribuição de Poisson de média n = 8. de r Exato Normal até O(n 1/2 ) até O(n 1 ) 2 0,0138 0,0259 0,0160 0, ,0996 0,1079 0,1021 0, ,3134 0,2981 0,3128 0, ,5926 0,5702 0,5926 0, ,8159 0,8116 0,8151 0, ,9362 0,9442 0,9340 0, ,9827 0,9892 0,9820 0,9824

21 Suponha que uma variável aleatória contínua padronizada Y tem média zero, variância um e cumulantes ρ j de ordens O(n 1 j/2 ) para j 3. Neste caso, a expansão de para P(Y y) segue diretamente de (4). Suponha agora que y α e u α são definidos por. P(Y y α ) = Φ(u α ) = 1 α As expansões de são duas expansões assintóticas relacionando os quantis y α e u α : uma expansão normalizadora que expressa u α como função de y α e sua expansão inversa dando y α em termos de u α.

22 Expandindo Φ(u α ) em série de Taylor vem (u α y α ) r Φ(u α ) = Φ{y α +(u α y α )} = Φ(y α )+ D r Φ(y α ) r! (5) e, então, (u α y α ) r Φ(u α ) = Φ(y α ) + ( 1) r 1 H r 1 (y α )φ(y α ). (6) r! r=1 r=1

23 Igualando P(Y y α ) proveniente de (5) à equação (6), pode-se expressar u α em função de y α até ordem O(n 1 ) como um polinômio do terceiro grau u α = p(y α ) = y α ρ 3 6 n (y2 α 1) + ρ2 3 36n (4y2 α 7y α ) ρ 4 24n (y3 α 3y α ). (7) O polinômio p(y ) de representa a transformação normalizadora da variável Y até ordem O(n 1 ), isto é, p(y ) N(0, 1) + O p (n 3/2 ).

24 O objetivo da expansão inversa de é expressar os quantis y α de Y como função dos correspondentes quantis u α da distribuição normal reduzida. A inversão da expansão (7) para calcular y α em termos do quantil u α da normal reduzida é obtida expandido y α = u α + g(y α ) em termos de u α como y α u α = g(u α ) + Dg2 (u α ) + D2 g 3 (u α ) + (8) 2! 3! Identificando g(y α ) = y α p(y α ) em (7), substituindo em (8) e calculando as potências de g(u α ) e suas derivadas, obtém-se y α em função de u α até ordem O(n 1 ) como y α = u α + ρ 3 6 n (u2 α 1) ρ2 3 36n (2u3 α 5u α ) + ρ 4 24n (u3 α 3u α ). (9)

25 Suponha que Z χ 2 n e seja Y = (Z n)/ 2n a variável aleatória qui-quadrado padronizada, cujos terceiro e quarto cumulantes são ρ 3 = 2 2 e ρ 4 = 12. Logo, P(Z z α ) = P(Y (z α n)/ 2n) e, portanto, juntando os dois termos de ordem n 1 em (9) vem z α = n + { } 2 2n u α + 3 n (u2 α 1) n (u3 α 7u α ). A Tabela 3 mostra a adequação das aproximações para z α provenientes da equação acima usando apenas o termo de ordem O(1)(u α ) e aquelas incluindo os termos O(n 1/2 ) e O(n 1 ). Observa-se desta tabela que a correção O(n 1/2 ) já melhora substancialmente a aproximação normal, sendo que esta aproximação é ruim mesmo para n = 100, ao nível de significância de 1%.

26 Tabela 3: Comparação das expansões de para os quantis da χ 2 n até α n Exato O(1) O(n 1/2 ) O(n 1 ) 5 15,09 12,36 15,20 15, ,21 20,40 23,34 23,25 0, ,15 73,26 76,20 76, ,81 132,90 135,84 135,81 5 9,24 9,65 9,48 9, ,99 15,73 16,16 15,99 0, ,17 62,82 63,24 63, ,50 118,12 118,55 118,50

27 Daniels, H. E. (1954). Saddlepoint Approximations in Statistics. The Ann. Math. Statistics, 25, Daniels, H. E. (1987). Tail Probability Approximations. International Statistical Review, 55, 1, , G.M. (1999). à teoria assintótica. 22o Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, , G.M. (1992). à teoria da verossimilhança. Capítulo 3, Seção 3.8, Goutis, C. e Casella, G. (1999) Explaining the Saddlepoint Approximation. The American Satistician, 53, n. 3,

28 Curso de Hinkley, D. V., Reid, N. e Snell, E. J. (1990). Statistical Theory and Modelling. In honour of Sir David Cox, FRS. Chapman and Hall. Jensen, J. L. (1988). Uniform Saddlepoint Approximations. Adv. Appl. Prob., 20, Kolassa, J. E. (1997). Series Approximation Methods in Statistics. Lecture Notes in Statistics, 88, second edition, Springer, Lugannani, R. e Rice, S. (1980). Saddle Point Approximation for The Distribution of The Sum of Independent Random Variables. Adv. Appl. Prob., 12,