1 de janeiro de UFRPE e UFPE. Curso de Teoria Assintótica. Gauss Cordeiro. Roteiro. Expansões de Laplace

Transcrição

1 s UFRPE e UFPE 1 de janeiro de 2008

2 1 s 2 s 3 4 5

3 s A transformada é definida z grande por L(z) = 0 e zy f (y)dy. A função geratriz de momentos M(t) da distribuição com função densidade f (y) sobre os reais não-negativos é dada por M(t) = L( t). Para funções f (y) bem comportadas, a forma de L(z) z grande é determinada pelos valores de f (y) próximos a y = 0. Expandindo f (y) em série de Taylor vem e, então, L(z) = f (y) = r 0 e zy ( r f (r) (0) yr r! ) f (r) (0) yr dy r!

4 s ou L(z) = r f (r) (0) r! 0 e zy y r dy. Como a integral acima iguala r!/z r+1, obtém-se L(z) = r f (r) (0) z r+1 = f (0) + f (0) z z 2 + (1) Como um simples exemplo considere a determinação da expansão da integral da normal z grande Φ(z) = 1 z φ(y)dy. Por simples mudança de variáveis vem Φ(z) = 1 φ(z) 0 e zt e t2 /2 dt.

5 s Fazendo f (t) = e t2 /2 e calculando a expansão da integral acima usando (1), tem-se Φ(z) = 1 φ(z) { 1 1 z z z 4 7 } 2z (2) Considere agora que a integral a ser avaliada z tem a forma w(z) = b a e z r(y) f (y) dy. (3) Suponha,inicialmente, que r(y) é minimizada em ỹ (a, b) e que r (ỹ) = 0, r (ỹ) > 0 e f (ỹ) 0.

6 s Tem-se, w(z) = b a exp{ z r z(y ỹ) 2 r /2 }f (y)dy com a convenção r = r(ỹ), r = r (ỹ), f = f (ỹ), etc. Ainda, w(z) = e z r 2π z r + { f + (y ỹ) f +... }φ(ỹ, 1 z r )dy, em que φ(µ, σ 2 ) representa a função densidade da distribuição normal N(µ, σ 2 ).

7 s Com alguma álgebra, demonstra-se (Barndorff-Nielsen e Cox, 1990, Seção 3.3) que w(z) pode ser escrito até ordem O(z 1 ) como w(z) = e z r 2π z r { ( f + 1 f z 2 r r(3) f r(4) f 2 r 2 8 r 2 + 5( r(3) ) 2 f 24 r 3 (4) No caso de r(y) ser minimizada em ỹ = a (ou b) e r (ỹ) sendo não nulo, obtém-se { } f w(z) = e z r z r + O(z 2 ). )}

8 s Para dar um exemplo, seja o cálculo da função gama Γ(z + 1) = 0 x z e x dx z grande. Com a mudança de variável y = x/z vem Γ(z + 1) = z z+1 exp(z log y zy)dy que é exatamente da forma (3) com f (y) = 1 e r(y) = log y + y. Logo, tem-se 0 ỹ = 1, r = 1, r = 0, r = 1, r (3) = 2 e r (4) = 6. Substituindo esses valores em (4) vem Γ(z + 1) = { 2πz z+1/2 e z } 12z + O(z 2 ), (5) que é a expansão de Stirling. A aproximação (5) é boa z 1, 5.

9 s Algumas vezes é mais fácil aproximar as variáveis aleatórias de interesse diretamente do que obter aproximações através de suas funções de distribuição. Sejam X 0, X 1 e X 2 variáveis aleatórias contínuas com funções densidade marginais não dependentes de n e tendo suporte nos reais. Considere a seqûencia de variáveis aleatórias Y n definida quando n por Y n = X 0 + n 1/2 X 1 + n 1 X 2 + O p (n 3/2 ). (6) Calcula-se F n (y) = P(Y n y) até ordem n 1 em termos das funções de distribuição F 0 (y) = P(X 0 y) e densidade f 0 (y) = df 0(y) dy de X 0 e de certos valores esperados de X 1 e X 2 condicionados a X 0 = y (Teorema de Cox e Reid, 1987).

10 s A função de distribuição F n (y), supondo certas condições gerais, é dada até ordem O(n 1 ) por F n (y) = F 0 (y){1 + n 1/2 a 1 (y) + n 1 a 2 (y)}, (7) em que as funções a 1 (y) e a 2 (y) são determinadas a partir das equações e F 0 (y)a 1 (y) = E(X 1 X 0 = y) f 0 (y), (8) F 0 (y)a 2 (y) = E(X 2 X 0 = y) f 0 (y)+ 1 2 y {E(X 1 2 X 0 = y)f 0 (y)}. (9)

11 s Como ilustração da aplicabilidade do teorema de Cox e Reid mostra-se como obter a expansão de Edgeworth a função de distribuição de Y n a partir da sua expansão de Cornish-Fisher. Assim, a expansão estocástica assintótica de Y n até ordem O(n 1 ) é dada por Y n = Z + ρ 3 6 n (Z2 1) ρ2 3 36n (2Z3 5Z) + ρ 4 24n (Z3 3Z) com Z N(0, 1). Identificando X 0 = Z, f 0 (y) = φ(y), X 1 = ρ 3 (Z 2 1)/6 e X 2 = ρ 2 3(2Z 3 5Z)/36+ρ 4 (Z 3 3Z)/24, vem E(X 1 Z = y) = ρ 3 (y 2 1)/6, E(X 2 Z = y) = ρ 2 3 (2y3 5y)/36 + ρ 4 (y 3 3y)/24, E(X 2 1 UZ = y) = ρ2 3 (y2 1) 2 /36

12 s e y {ρ2 3(y 2 1) 2 φ(y)/36} = ρ 2 3(y 5 6y 3 + 5y)φ(y)/36. Logo, de (8) e (9) obtém-se e ou F 0 (y)a 1 (y) = ρ 3 (y 2 1)φ(y)/6 F 0 (y)a 2 (y) = { ρ 4 (y 3 3y)/24 + ρ 2 3(2y 3 5y)/36}φ(y) ρ 2 3(y 5 6y 3 + 5y)φ(y)/72 F 0 (y)a 2 (y) = ρ 4 H 3 (y)φ(y)/24 ρ 2 3H 5 (y)φ(y)/72. Finalmente, substituindo-se em (7) chega-se à expansão de Edgeworth a distribuição de Y n.

13 s Como um outro exemplo, suponha uma variável aleatória qui-quadrado padronizada Y n = (χ 2 n n)/ 2n cujos terceiro e quarto cumulantes são ρ 3 = 2 2 e ρ 4 = 12. Mostra-se aqui como se obtém a inversão de Cornish-Fisher Y n a partir da expansão de Edgeworth a sua função de distribuição até O(n 1 ) dada por { } 2 F n (y) = Φ(y) φ(y) 3 n H 2(y) + 1 2n H 3(y) + 1 9n H 5(y). Define-se X 0 = Z N(0, 1) e, então, f 0 (y) = φ(y). Consideram-se X 1 e X 2 como funções dependentes apenas de Z, X 1 = ρ 1 (Z) e X 2 = ρ 2 (Z), a serem determinadas.

14 s Comndo os termos de ordem O(n 1/2 ) da expansão acima e àqueles de (7)e (8), obtém-se 2 φ(y) 3 H 2(y) = E{ρ 1 (Z) Z = y}φ(y) = ρ 1 (y)φ(y). Logo, X 1 = 2 3 (Z2 1). Analogamente, comndo os termos de ordem O(n 1 ), obtém-se Assim, φ(y){ 1 2 H 3(y) H 5(y)} = E{X 2 Z = y}φ(y) y {2 9 (y2 1) 2 φ(y)} = ρ 2 (y)φ(y) { (y2 1) 2 y + 4y(y 2 1)}φ(y) ρ 2 (y) = 1 2 {H 3(y) H 5(y)} { (y2 1) 2 y + 4y(y 2 1)}

15 s que pela substituição dos polinômios de Hermite reduz-se a ρ 2 (y) = 1 18 (y3 7y). Finalmente, X 2 = 1 18 (Z3 7Z) e a fórmula (7) implica 2 Y = Z + 3 n (Z2 1) n (Z3 7Z). Este resultado é idêntico àquele obtido usando diretamente a fórmula da inversão de Cornish-Fisher.

16 s Seja Y uma variável aleatória cuja função geratriz de cumulantes K(t) é conhecida. A aproximação ponto de sela a função densidade f Y (y) de Y é obtida como 1 f Y (y) = exp{k(ˆθ) ˆθy}, (10) 2πK (ˆθ) em que ˆθ é determinado por K (ˆθ) = y. A função geratriz de cumulantes aparece naturalmente nos modelos exponenciais unimétricos dados por f Y (y; θ) = exp{θy b(θ) + h(y)}, (11) sendo trivialmente obtida como K(t) = b(θ + t) b(θ).

17 s A log-verossimilhança θ dado y é l(θ; y) = θy b(θ) mais uma constante arbitrária que não depende de θ. Assim, a aproximação ponto de sela (10) o modelo exponencial (11) pode ser escrita como 1 f Y (y; θ) = exp{l(θ; y) l(ˆθ; y)}, (12) 2πJ(ˆθ) em que ˆθ = ˆθ(y) é a EMV de θ decorrente da equação K (ˆθ) = b (ˆθ) = y e J(ˆθ) = d2 l(θ; y) dθ 2 θ=ˆθ é a informação observada avaliada em ˆθ.

18 s A aproximação (12) pode agora ser transformada obter a aproximação correspondente da função densidade de ˆθ, implicando 1 fˆθ (θ; y) = J(ˆθ) 1/2 exp{l(θ; y) l(ˆθ; y)}. (13) 2π A equação (13) pode ser generalizada o modelo exponencial de ordem p, substituindo 2π por (2π) p/2 e J(ˆθ) pelo determinante da matriz de informação observada em ˆθ, isto é, J(ˆθ), resultando em fˆθ (y; θ) =(2π) p/2 J(ˆθ) 1/2 exp{l(θ; y) l(ˆθ; y)}. (14) A equação (14) é conhecida como aproximação de Barndorff-Nielsen a função densidade de ˆθ.

19 s Suponha que n observações iid sejam obtidas da distribuição exponencial com média µ. A log-verossimilhança µ é dada por l(µ; y) = n log µ nˆµ/µ, em que ˆµ = y e J(µ) = n/µ 2 é a informação observada µ. A aproximação a função densidade de ˆµ segue de (13) como ( ) ˆµ n 1 fˆµ (µ; y) =Γ(n) 1 1 e nˆµ/µ, (15) µ µ em que Γ(n) = (2π) 1/2 n n 0,5 e n é a aproximação de Stirling Γ(n). Em especial, pode-se demonstrar que normalizando (15) obtém-se a função densidade exata de ˆµ. Se o parâmetro ρ = µ 1 é usado especificar a distribuição exponencial, tem-se ˆρ = y 1 e, com uma simples mudança de notação, vem l(ρ; y) = n log ρ nρ/ˆρ e J(ρ) = n/ρ 2. Assim, a aproximação (13) a função densidade de ˆρ fica de acordo com (15), ilustrando a propriedade de invariância.

20 s Considere a distribuição iana inversa com parâmetros θ > 0 e α > 0, supondo α conhecido, cuja função densidade é dada por { θ f Y (y; α, θ) = 2π e αθ y 3/2 exp 1 ( )} θ 2 y + αy. Considere uma amostra de n observações iid desta distribuicão. Demonstra-se, usando (13), que a função densidade de ˆθ é dada por fˆθ (θ; y, α) = ˆθ n 2 1 (1 + αˆθ/2) 1/2 exp[ n αˆθ n ( θˆθ) (1 + αˆθ)], 2 2 em que ˆθ = 4{(α + 4n 1 Σy 1 i ) 1/2 α} 2.

21 s Considere a função densidade da gama com parâmetros µ (média) e ν (índice) desconhecidos. Tem-se ( ) ν ν f Y (y; µ, ν) = y ν 1 e νy/µ /Γ(ν). µ Considere n observações iid desta distribuição. A EMV de θ = (µ, ν) T é deduzida de ˆµ = y e log ˆν ψ(ˆν) = log(y/ỹ), em que y e ỹ são as médias aritmética e geométrica dos dados. Com alguma álgebra, demonstra-se através de (14) que a função densidade fˆθ (µ, ν; y) de ˆθ = (ˆµ, ˆν) T admite a decomposição fˆθ(µ, ν; y) = f 1ˆµ (µ; ν, y)f 2ˆν (ν; y), em que

22 s e f 1ˆµ (µ; ν, y) = ( ) ν nν ˆµ nν 1 exp( nνˆµ/µ) µ f 2ˆν (ν; y) = {Γ(ˆν)Γ(ν)} n {ˆνψ (ˆν) 1} 1/2 exp[n{(ˆν ν)ψ(ˆν) + ˆν ν log ˆν}]. Esta decomposição revela que as EMV ˆµ e ˆν são independentes até a ordem considerada pela aproximação (14). Adicionalmente, a aproximação f 1ˆµ (µ; ν, y) a função densidade de ˆµ é exata após renormalização.

23 s Barndorff-Nielsen e Cox, D.R. (1994). Inference and Asymptotics. Chapman and Hall, London. Barndorff-Nielsen e Cox, D.R. (1989). Asymptotic Techniques for Use in Statistics. Chapman and Hall, London., G.M. (1999). Introdução à teoria assintótica. 22o Colóquio Brasileiro de Matemática, IMPA, , G.M. (1992). Introdução à teoria da verossimilhança. Livro Texto do 9o SINAPE, ABE. Goutis, C. e Casella, G. (1999) Explaining the Saddlepoint Approximation. The American Satistician, 53, n. 3,

24 s Hinkley, D. V., Reid, N. e Snell, E. J. (1990). Statistical Theory and Modelling. In honour of Sir David Cox, FRS. Chapman and Hall. Lugannani, R. e Rice, S. (1980). Saddle Point Approximation for The Distribution of The Sum of Independent Random Variables. Adv. Appl. Prob., 12,