27 de dezembro de 2007

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1 Curso Coriro Laplace Curso Coriro UFRPE e UFPE 27 zembro 2007 Daniels

2 Curso Coriro Laplace Daniels 1 2 Laplace 3 4 Daniels 5 6 Aplicações estatística 7 Referências

3 Curso Coriro Laplace Daniels As expansões ponto sela são muito importantes na teoria assintótica, pois aproximam forma precisa as funções nsida e distribuição. Em muitas aplicações estatísticas, as expansões têm sua importância no que se refere, por exemplo, ao cálculo dos p-valores, à construção testes e intervalos confiança para os parâmetros sconhecidos. Em muitos casos, a expansão ponto sela é utilizada para terminar limites uniformes com erros relativos sobre todo o intervalo variação da distribuição.

4 Curso Coriro Laplace Daniels Aplicações A expansão Laplace é dada por [ f (y)dy exp{h(ŷ)} 2π ] 1/2. (1) h (ŷ) Seja K Y (λ) a função geradora cumulantes. Aproximando a integral exp{k Y (λ)} com relação à variável λ, e por (1), tem-se { } (λ ˆλ) 2 2 K Y (λ) f (y) exp K Y (ˆλ) + 2 λ ˆλ 2 dλ [ 2π = exp{k Y (ˆλ)} 2 K Y (λ) λ 2 ˆλ ] 1/2. (2)

5 Curso Coriro Laplace Daniels Aplicações Obtém-se a função nsida após mudança variável a partir da função característica f Y (y) = 1 2πi T+i T i exp{k Y (λ) λy}dλ. (3) Expandindo K Y (λ) λy referente ao expoente da equação (3), obtém-se a aproximação (4). E associando esta aproximação com a equação (2), obtém-se a equação (5). K Y (λ) λy K Y (ˆλ) ˆλy + (λ ˆλ) 2 f Y (y) [ 1 2πK Y (ˆλ) 2 K Y (ˆλ). (4) ] 1/2 exp{k Y (ˆλ) ˆλy}. (5)

6 Curso Coriro Laplace Daniels A f.g.m. da média amostral (Ȳ ) é dada por φȳ (λ) = φ Y (λ/n) n e a f.g.c. é, então, KȲ (λ) = n K Y (λ/n). Assim, uma direta aplicação (5) produz a equação (6) em que o lado direito sta equação é a aproximação ponto sela da função nsida (ou probabilida) Ȳ. fȳ (ȳ) [ n 2πK Y (ˆλ) ] 1/2 exp{n[k Y (ˆλ) ˆλȳ]}. (6) A qualida da expansão ponto sela po ser freqüentemente obtida pela multiplicação da aproximação da nsida por uma constante forma que sua integração resulte em 1.

7 Curso Coriro Laplace Daniels A expansão uma distribuição é obtida expandindo a f.g.c. através da série Taylor em torno zero e invertendo-a em seguida. Sejam f Sn (s; λ) e K Sn (t; λ) as funções nsida e geratriz cumulantes S n. Definindo a família exponencial (7), obtém-se a equação (8) para S n. sendo f Sn (s) = f Sn (s; 0). f (y; λ) = exp[λy K(λ)]f (y). (7) f Sn (s; λ) = exp[sλ nk(λ)]f Sn (s), (8)

8 Curso Coriro Laplace Daniels As funções nsida S n e S n estão relacionadas por 1 f Sn (s; λ) = f S n (y; λ) nk (λ), (9) em que y = [s nk (λ)]/ nk (λ). A função f S n (y; λ) é aproximada pela expansão [ f S n (y) = φ(y) 1 + ρ 3 6 n H 3(y) + ρ ] 4 24n H 4(y) + ρ2 3 72n H 6(y) +O(n 3 2 (10)

9 Curso Coriro Laplace Daniels Aplicações Aproximando f S n (y) na origem (y = 0), obtém-se uma expansão em potências n 1. Interpretando ˆλ como a EMV λ relativa a uma única observação, tem-se sendo f Sn (s; ˆλ) = f S n (0; ˆλ){nK (ˆλ)} 1/2, f S n (0; ˆλ) = 1 2π [1 + M(ˆλ) + O(n 2 )], (11) em que M(λ) é um termo orm n 1 dado por M(λ) = 3ρ 4(λ) 5ρ 3 (λ) 2, (12) 24n sendo ρ 3 (λ) e ρ 4 (λ) os cumulantes padronizados que mem a assimetria e a curtose da distribuição Y.

10 Curso Coriro Laplace Daniels Fazendo λ = ˆλ em (8), explicitando f Sn (s) e usando (9) e (11) vem f Sn (s) = exp[nk(ˆλ) sˆλ] 2nπK (ˆλ) [1 + M(ˆλ) + O(n 2 )]. (13) O termo principal da equação (13) é chamado expansão ponto sela para a função nsida da soma estocástica S n proveniente Y.

11 Curso Coriro Laplace Daniels O interesse maior da expansão ponto sela consiste em obter aproximações precisas para probabilidas uma amostra iid n observações. Lugannani e Rice (1980) finiram uma equação bastante precisa para aproximar probabilidas ( 1 P(S n s) = Φ(ˆr) + ˆr 1ˆν ) φ(ˆr), (14) em que ˆr = sinal(ˆλ){2nˆλk (ˆλ) ˆλs} 1/2 e ˆν = ˆλ{nK (ˆλ)} 1/2.

12 Curso Coriro Laplace A aproximação (14) é boa em quase todo intervalo variação s, exceto próximo ao ponto s = E(S n ) ou r = 0, on ve ser substituída pelo seu limite, quando r 0, dado por P(S n s) = 1 2 ˆρ 3 6 2πn, em que ˆρ 3 é o terceito cumulante padronizado avaliado em ˆλ. Daniels

13 Curso Coriro Laplace Daniels A expansão para P(S n s) até O(n 1/2 ) quando s > ne(y ), ou seja, quando ˆλ > 0, válida para distribuições discretas, tem a forma (Daniels, 1987) P(S n s) = exp{(ˆr 2 + ˆν 2 )/2}{ˆλ/(1 e ˆλ )} [ { } (1 Φ(ˆν)) 1 ˆρ 3ˆν 3 6 n n ˆν (ˆλ 1 (eˆλ 1) 1 ) ˆK { }] ˆρ +φ(ˆν) 3 (ˆν 2 1) n n (ˆλ 1 (eˆλ 1) 1 ), ˆK com todas as quantidas já finidas anteriormente.

14 Curso Coriro Laplace No caso s < ne(y ), ou seja, ˆλ < 0, po-se obter P(S n s) até O(n 1/2 ) como P(S n s) = H( ˆν) + exp(n ˆK ˆλs + ˆν 2 /2) [ ( {H(ˆν) Φ(ˆν)} 1 ˆρ 3ˆν 3 6 n ) ] + φ(ˆν) ˆρ 3(ˆν 2 1) 6 n em que H(w) = 0, 1/2 e 1 quando w < 0, w = 0 e w > 0, respectivamente. Daniels

15 Curso Coriro Laplace Daniels Aplicações Em muitas aplicações a equação ponto sela (K Y (ˆλ) = y) não po ser resolvida analiticamente, mesmo quando a solução ˆλ existe. Usa-se o método Newton-Raphson para calcular o ponto sela numericamente, tendo este, em geral, bom sempenho s que a função K Y (λ) λy que é minimizada seja convexa. Há ainda o método da secante. Esse método geralmente só produz a resposta correta em uma iteração se K Y (λ) é linear, como é o caso do método Newton-Raphson. A diferença com relação ao método Newton-Raphson consiste em não existir no método secante a possibilida divergência.

16 Curso Coriro Laplace Daniels Ilustra-se com exemplos a obtenção da expansão ponto sela para a distribuição Poisson com média γ, para a distribuição exponencial com média unitária, para a distribuição normal inversa e mais um caso relacionado ao processo autorregressivo orm 1. A expansão ponto sela po, também, ser usada em distribuições discretas. Sejam Y 1,...,Y n variáveis aleatórias iid seguindo uma distribuição Poisson com média γ. A f.g.c. Y i é dada por K Y (λ) = γ {exp(λ) 1} tendo como ponto sela ˆλ = log(ȳ/γ).

17 Curso Coriro Laplace Daniels A equação (6) po ser usada diretamente, mas agora a média só po assumir valores tais que ȳ = r/n para r inteiro. Substituindo na equação, obtém-se [ 1 fȳ (ȳ) 2πnȳ [ ] 1 1/2 fȳ (ȳ) = e γn γ nȳ 2πn ] 1/2 [ (ȳ exp{ n γ ȳ nȳ+1/2. ) γ 1 ( log ȳ ) ]} ȳ. γ Essa quantida exata da distribuição Ȳ é obtida pela aproximação Stirling.

18 Curso Coriro Laplace Daniels Tabela: Calculando P(S n s) com as aproximações ponto sela para a distribuição Poisson (γ = 1, n = 1, 5 e 10). n s Exato L-R (1980) Daniels (1987) 1 1,0 0,6321 0,6330 0,6330 3,0 0,0803 0,0804 0,0790 7,0 0, , , ,0 0, , , ,0 0, , , ,0 0,8753 0,8752 0,8765 5,0 0,5595 0,5595 0, ,0 0, , , ,0 0, , , ,0 0,9707 0,9710 0, ,0 0,5421 0,5421 0, ,0 0, , ,00344

19 Curso Coriro Laplace Daniels (Coriro, 1999) Sejam Y 1,...,Y n variáveis aleatórias iid com distribuição exponencial média um. Assim, a função nsida exata S n é dada por π Sn (s) = s n 1 e s /(n 1)!. Tem-se, φ(λ) = (1 λ) 1 e K(λ) = log(1 λ). A EMV ˆλ é ˆλ = 1 n/s, K(ˆλ) = log(s/n) e K (2) (ˆλ) = s 2 /n 2. Ainda, M(ˆλ) = 1/12n. Portanto, a expansão ponto sela (13) implica f Sn (s) = s n 1 e s [ 1 1 ] 2πe n n n 1/2 12n + O(n 2 ).

20 Curso Coriro Consirando a distribuição exponencial, compara-se na tabela seguinte o valor exato P(S n s) e os valores aproximados obtidos pelas equações Daniels (1987) e Lugannani e Rice (1980) para n = 1, 5 e 10 e diversos valores s. Laplace Daniels Tabela: Comparando P(S n s) com as aproximações Daniels e as Lugannani e Rice para a distribuição exponencial. Aprox. Daniels(1987) Aprox. n s Exato até O(n 1/2 ) até O(n 1 ) LR (1980) 1 0,5 0,6065 0,6176 0,6077 0,6043 1,0 0,3679 0,3670 0,3670 0,3670 3,0 0,0498 0,0482 0,0510 0,0500 7,0 0, , , , ,0 0, , , , ,0 0,8153 0,8172 0,8156 0,8152 7,0 0,4405 0,4405 0,4405 0, ,0 0,0293 0,0291 0,0293 0, ,0 0, , , , ,0 0,9682 0,9683 0,9682 0, ,0 0,4579 0,4579 0,4579 0, ,0 0,0699 0,0695 0,0699 0, ,0 0, , , ,00500

21 Curso Coriro Laplace Daniels Na tabela a seguir compara-se a probabilida exata P(S n s) com as aproximações Daniels (1987) até orns O(n 1/2 ) e O(n 1 ) e, também, com a expansão Lugannani e Rice (1980) para a distribuição normal inversa. e f (y; µ) = µ (2π) 1 2y 3/2 exp{ (y µ)2 /(2y)}, K Y (t) = µ{1 (1 t) 1 2 }.

22 Curso Coriro Laplace Daniels Tabela: Comparando P(S n s) com as aproximações Daniels e as Lugannani e Rice para a distribuição normal inversa com µ = 1 (n = 3, 5 e 10). Aprox. Daniels(1987) Aprox. n s Exato até O(n 1/2 ) até O(n 1 ) Lugannani e Rice (1980) 3 1,0 0,9645 0,9651 0,9644 0,9638 2,0 0,6782 0,6824 0,6753 0,6724 3,0 0,3927 0,3848 0,3848 0,3848 5,0 0,1156 0,1006 0,1176 0, ,0 0,0055 0, , , ,0 0, , , , ,0 0, , , , ,0 0,8334 0,8358 0,8330 0,8315 5,0 0,4147 0,4108 0,4108 0, ,0 0,0378 0,0312 0,0344 0, ,0 0, , , , ,0 0, , , , ,0 0,9825 0,9827 0,9826 0, ,0 0,4384 0,4369 0,4369 0, ,0 0,0721 0,0697 0,0723 0, ,0 0, , , , ,0 0, , , , ,0 0, , , ,

23 Curso Coriro Laplace Daniels Consiremos o processo autoregressivo Y 0, Y 1,... dado por Y k = λy k 1 + ǫ k, em que λ < 1, ǫ k são iid com ǫ k N(0, σ 2 ) e Y 0 tem distribuição estacionária, isto é, Y 0 N(0, σ 2 /(1 σ 2 )). O interesse está voltado para a distribuição Y finida por Y = n ˆλ λ 1 λ 2 = n U V, em que ˆλ é o estimador mínimos quadrados λ baseado em Y 0,...,Y n, U = n i=1 Y i 1(Y i λy i 1 )/ 1 λ 2 e V = n i=1 Y i 1 2.

24 Curso Coriro Laplace Daniels Na tabela abaixo comparamos a probabilida exata P( n ˆλ λ / 1 λ 2 > w) com duas aproximações e as aproximações ponto sela primeira e segunda orns para n = 10. Tabela: Comparação entre as aproximações e as ponto sela no processo autorregressivo orm 1. Aprox. Aprox. Sela λ w Exato ,0 0,3009 0,3173 0,3003 0,2984 0,3052 2,0 0,0498 0,0556 0,0557 0,0480 0,0500 3,0 0,0059 0,0067 0,0122 0,0056 0, ,0 0,3444 0,3173 0,3433 0,3130 0,3474 2,0 0,1302 0,1053 0,1957 0,1102 0,1310 3,0 0,0507 0,0149 0,0994 0,0440 0,0505

25 Curso Coriro Laplace Daniels Daniels, H. E. (1954). Saddlepoint Approximations in Statistics. The Ann. Math. Statistics, 25, Daniels, H. E. (1987). Tail Probability Approximations. International Statistical Review, 55, 1, Coriro, G.M. (1999). Introdução à teoria assintótica. 22o Colóquio Brasileiro Matemática, IMPA, Coriro, G.M. (1992). Introdução à teoria da verossimilhança. Capítulo 3, Seção 3.8, Goutis, C. e Casella, G. (1999) Explaining the Saddlepoint Approximation. The American Satistician, 53, n. 3,

26 Referências Curso Coriro Laplace Daniels Hinkley, D. V., Reid, N. e Snell, E. J. (1990). Statistical Theory and Molling. In honour of Sir David Cox, FRS. Chapman and Hall. Jensen, J. L. (1988). Uniform Saddlepoint Approximations. Adv. Appl. Prob., 20, Kolassa, J. E. (1997). Series Approximation Methods in Statistics. Lecture Notes in Statistics, 88, second edition, Springer, Lugannani, R. e Rice, S. (1980). Saddle Point Approximation for The Distribution of The Sum of Inpennt Random Variables. Adv. Appl. Prob., 12,