26 de dezembro de 2007

Transcrição

1 Curso de UFRPE e UFPE 26 de dezembro de 2007

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3 Seja l(θ) a log-verossimilhança. A esperança e a covariância da função escore são dadas por: e Cov(U) = E respectivamente. ( UT θ E(U) = 0 (1.1) ) ( ) = E 2 l θ θ T = K, (1.2) Matriz de informação observada: 2 l J = UT θ = θ θ T.

4 Expandindo o suporte l em θ em série multivariada de Taylor ao redor de ˆθ e notando que Û = 0 obtém-se, aproximadamente, ˆl l = 1 2 (θ ˆθ) T Ĵ(θ ˆθ). (1.3) Tem-se, { L = L exp 1 } 2 (θ ˆθ) T Ĵ(θ ˆθ). (1.4) Expansão da Função Escore: Û = U + UT θ (θ ˆθ).

5 Como Û = 0 obtém-se a relação aproximada ˆθ θ = J 1 U. (1.5) O método de Newton-Raphson para o cálculo da EMV consiste em usar esta equação iterativamente. Tem-se, θ (m+1) = θ (m) + J (m) 1 U (m). (1.6) Substituindo a informação observada em (1.5) pela esperada, obtém-se a aproximação ˆθ θ = K 1 U. (1.7) O procedimento iterativo baseado em (1.7) é denominado método escore de Fisher para parâmetros, i.e., θ (m+1) = θ (m) + K (m) 1 U (m).

6 Considere um modelo estatístico f (y; θ) com θ de dimensão p. Seja ˆθ a EMV de θ obtida como solução do sistema de equações de máxima verossimilhança para r=1,...,p Û r = 0. Expandindo Û r = 0 até primeira ordem vem U r + s U rs (ˆθ s θ s ) + O p (1) = 0. Em notação matricial, U = J (ˆθ θ) + O p (1).

7 Como J = K + O p (n 1/2 ) tem-se U = K(ˆθ θ) + O p (1) e, então, ˆθ θ = K 1 U + O p (n 1 ). (1.8) Expandindo Ûr até segunda ordem resulta U r + s U rs (ˆθ s θ s )+ 1 U rst (ˆθ s θ s )(ˆθ t θ t )+o p (1) = 0. 2 s,t (1.9)

8 Calculando o seu valor esperado encontra-se que κ rs E(ˆθ s θ s )+ Cov(U rs, ˆθ s θ s )+ 1 κ rst ( κ st )+o(1) = 0 2 s s s,t (1.10) em que κ rs = κ r,s representa o elemento (r, s) da inversa K 1 da matriz de informação e κ rst = E(U rst ). Segue-se o cálculo de Cov(U rs, ˆθ s θ s ) até o(1): Cov(U rs, ˆθ s θ s ) = Cov ( U rs, t κ st U t ) = t κ rs,t κ st.

9 Definindo o viés de ordem n 1 de ˆθ r por B(ˆθ r ) e substituindo na última expressão tém-se κ rs B(ˆθ s ) = κ (κ st rs,t + 1 ) 2 κ rst + o(1), s s,t cuja inversão produz para r = 1,...,p até O(n 1 ) B(ˆθ r ) = κ ru κ (κ st rs,t + 1 ) 2 κ rst. (1.11) s,t,u

10 Considere n observações iid de uma distribuição normal N(µ, σ 2 ). O interesse reside em calcular os vieses de ordem n 1 das EMV dos parâmetros µ (média) e σ (desvio padrão). Note-se que os cumulantes aqui são calculados em relação a (µ, σ) e não em relação a (µ, σ 2 ). Os elementos da matriz de informação para µ e σ seguem de imediato como κ µ,µ = n/σ 2, κ µ,σ = 0 e κ σ,σ = 2n/σ 2. Os cumulantes de terceira ordem são calculados sem maiores dificuldades: κ µµµ = κ µ,µµ = κ σ,µµ = κ σ,µσ = κ µ,σσ = κ µσσ = 0, κ µµσ = κ µ,µσ = 2n/σ 3, κ σ,σσ = 6n/σ 3 e κ σσσ = 10n/σ 3. Logo, tem-se B(ˆµ) = 0, como esperado, pois ˆµ = Σy i /n não é viesado; com alguma álgebra, obtém-se B(ˆσ) = 3σ/4n.

11 Este resultado está de acordo com o viés exato de ˆσ = {Σ(y i y) 2 /n} 1/2 dado por E(ˆσ) = 2 Γ( n 1 2 ) n Γ( n 2 ) σ, que é deduzido da distribuição χ 2 n 1 de (n 1)ˆσ2 /σ 2. Com efeito, usando a expansão de Stirling em E(ˆσ) implica E(ˆσ) = σ{1 3 4n + O(n 2 )}. A EMV corrigida de σ é, então, σ = ( n )ˆσ.

12 No caso de um modelo uniparamétrico f (y; θ), o viés de ordem n 1 segue-se fazendo todos os índices iguais a θ. Tem-se, B(ˆθ) = κ θθ2 (κ θθ,θ κ θθθ ) ( = κ θθ2 κ (θ) θθ 1 ) 2 κ θθθ.