UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CENTRO DE CIÊNCIAS JURÍDICAS E ECONÔMICAS INSTITUTO DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM ADMINISTRAÇÃO COPPEAD

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO CENTRO DE CIÊNCIAS JURÍDICAS E ECONÔMICAS INSTITUTO DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA EM ADMINISTRAÇÃO COPPEAD ACORDO DA BASILÉIA E VALOR EM RISCO : Análise da Utilização da Metodologia RiskMetrics como Instrumento de Regulação Bancária para Investimentos em Renda Variável no Brasil. André de Oliveira Amante Dissertação de Mestrado Orientador : Eduardo Facó Lemgruber Rio de Janeiro 1998

2 ii ACORDO DA BASILÉIA E VALOR EM RISCO : Análise da Utilização da Metodologia RiskMetrics como Instrumento de Regulação Bancária para Investimentos em Renda Variável no Brasil. André de Oliveira Amante Dissertação submetida ao corpo docente do Instituto de Pós-Graduação e Pesquisa em Administração da Universidade Federal do Rio de Janeiro como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de Mestre. Aprovada por: Prof. Eduardo Facó Lemgruber - Presidente da Banca Prof. Cláudio Roberto Contador Prof. Alvaro Vieira Lima Rio de Janeiro Março de 1998

3 iii Ficha Catalográfica Amante, André de Oliveira. Acordo da Basiléia e valor em risco : análise da utilização da metodologia RiskMetrics como instrumento de regulação bancária para investimentos em renda variável no Brasil / André de Oliveira Amante, Rio de Janeiro: COPPEAD, xv, p.115 il. Dissertação Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPEAD. 1. Risco. 2. Supervisão Bancária. 3. Acordo da Basiléia. 4. Tese (Mestr. - COPPEAD/UFRJ).I. Título

4 iv Agradecimentos à minha família e amigos; ao orientador, Prof. Eduardo Facó Lemgruber, por todo o apoio na elaboração deste trabalho; aos membros da banca, em particular ao Prof. Cláudio Roberto Contador, pela importante contribuição dada ao Curso de Mestrado; ao orientador técnico do Banco Central do Brasil, Dr. Jorge Katsumi Niyama pelo apoio à participação no treinamento; aos Diretores, Chefes e ao Departamento de Gestão de Recursos Humanos DEPES do Banco Central do Brasil que possibilitaram e incentivaram a participação no Curso; aos Diretores e professores da COPPEAD pela oportunidade de participar do Curso; aos funcionários da COPPEAD, particularmente, Cida e Ricardo; aos colegas da Turma 1996 da COPPEAD.

5 v Resumo RESUMO DA DISSERTAÇÃO APRESENTADA À COPPEAD/UFRJ COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS (M.Sc.) ACORDO DA BASILÉIA E VALOR EM RISCO : ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DA METODOLOGIA RISKMETRICS COMO INSTRUMENTO DE REGULAÇÃO BANCÁRIA PARA INVESTIMENTOS EM RENDA VARIÁVEL NO BRASIL ANDRÉ DE OLIVEIRA AMANTE MARÇO / 1998 ORIENTADOR: PROF. EDUARDO FACÓ LEMGRUBER PROGRAMA: ADMINISTRAÇÃO As recomendações do Comitê da Basiléia para Supervisão Bancária, publicadas em 1996, que definem os padrões mínimos de capital a serem respeitados pelos bancos para cobertura de risco de mercado, são analisadas frente às características do mercado de renda variável no Brasil. A utilização da metodologia RiskMetrics revela a capacidade da abordagem indicada pelo agente supervisor (modelo interno) de estipular níveis de provisionamento adequados à exposição ao risco de mercado dos instrumentos financeiros em estudo, considerando o período de julho de 1995 a dezembro de Os resultados se mostram satisfatórios mesmo para o período de instabilidade financeira verificado no último semestre do ano de 1997, ocasionada pelos reflexos da crise de divisas ocorrida nos países do sudeste asiático.

6 vi Abstract ABSTRACT OF DISSERTATION PRESENTED TO COPPEAD/UFRJ AS PARTIAL FULFILLMENT FOR THE DEGREE OF MASTER OF SCIENCE (M.Sc.) ACORDO DA BASILÉIA E VALOR EM RISCO : ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO DA METODOLOGIA RISKMETRICS COMO INSTRUMENTO DE REGULAÇÃO BANCÁRIA PARA INVESTIMENTOS EM RENDA VARIÁVEL NO BRASIL ANDRÉ DE OLIVEIRA AMANTE MARCH / 1998 CHAIRMAN: PROF. EDUARDO FACÓ LEMGRUBER DEPARTMENT: ADMINISTRATION The recommendations of the Basle Committee on Banking Supervision, published in 1996, defining minimal capital standards to be complied with by the banks to cover market risks are analyzed in comparison to the features of the market of variable income in Brazil. The utilization of the RiskMetrics methodology reveals the coping capacity indicated by the supervising agent (internal model) to stipulate provision levels adequate for exposure to market risks of the financial instruments studied, covering the period from July 1995 through December The results are satisfactory, even in respect of the financial instability period during the final half of the year 1997 as caused by the repercussions of the foreign exchange crisis in the countries of the Southeast Asia.

7 vii Lista de Ilustrações GRÁFICO 1 : Lucro / Prejuízo observado para as operações de negociação diária do banco J.P. Morgan durante o ano de GRÁFICO 2 : Estrutura a Termo de Taxas de Juros. Projetada para o dia 04/12/ GRÁFICO 3 : IBOVESPA - Valor em risco e resultado diário, considerando nível de confiança de 99%. Previsão de risco para o período de 07/95 a 12/97 de posição diária equivalente a R$ , GRÁFICO 4 : IBOVESPA - Proporção do número de resultados observados fora do intervalo previsto pelo modelo de risco para o período de 07/95 a 06/97, considerando um nível de confiança de 99% GRÁFICO 5 : IBOVESPA - Proporção do número de resultados observados fora do intervalo previsto pelo modelo de risco para o período de 07/97 a 12/97, considerando um nível de confiança de 99% GRÁFICO 6 : IBOVESPA - Resultado adverso e exigência de capital segundo recomendações do Comitê da Basiléia, considerando fator de multiplicação igual a 3 para posição diária equivalente a R$ ,00. Resultados para o período de 07/95 a 12/ GRÁFICO 7 : FUTURO IBOVESPA - Valor em risco e resultado diário, considerando nível de confiança de 99%. Previsão de risco para posição diária equivalente a 10 contratos durante o período de 07/95 a 12/ GRÁFICO 8 : FUTURO IBOVESPA - Proporção do número de resultados observados fora do intervalo previsto pelo modelo de risco para o período de 07/95 a 06/97, considerando um nível de confiança de 99%

8 viii Lista de Ilustrações (continuação) GRÁFICO 9 : FUTURO IBOVESPA - Proporção do número de resultados observados fora do intervalo previsto pelo modelo de risco para o período de 07/97 a 12/97, considerando um nível de confiança de 99% GRÁFICO 10:FUTURO IBOVESPA - Resultado adverso e exigência de capital segundo recomendações do Comitê da Basiléia, considerando fator de multiplicação igual a 3 para posição diária equivalente a 10 contratos. Resultados para o período de 07/95 a 12/ GRÁFICO 11:CARTEIRA - TELEBRÁS E FUTURO DE IBOVESPA - Valor em risco e resultado diário, considerando nível de confiança de 99%. Estratégia de hedging para posição comprada em Telebrás equivalente a R$ ,00, utilizando mercado futuro de IBOVESPA GRÁFICO 12:CARTEIRA - TELEBRÁS E FUTURO DE IBOVESPA - Proporção do número de resultados observados fora do intervalo previsto pelo modelo de risco para o período de 07/95 a 06/97, considerando um nível de confiança de 99% GRÁFICO 13:CARTEIRA - TELEBRÁS E FUTURO DE IBOVESPA - Proporção do número de resultados observados fora do intervalo previsto pelo modelo de risco para o período de 07/97 a 12/97, considerando um nível de confiança de 99% GRÁFICO 14:CARTEIRA - TELEBRÁS E FUTURO DE IBOVESPA - Resultado adverso e provisionamento, considerando fator de multiplicação igual a 3. Estratégia de hedging de posição equivalente a R$ ,00 em Telebrás, utilizando mercado futuro de IBOVESPA. Resultados de 07/95 a 12/

9 ix Lista de Ilustrações (continuação) GRÁFICO 15:Proporção do número de retornos (razão logarítmica) observados fora do intervalo previsto pelo modelo de risco, considerando um nível de confiança de 99%. Previsão de volatilidade para o período de 07/95 a 06/ GRÁFICO 16:Proporção do número de retornos (razão logarítmica) observados fora do intervalo previsto pelo modelo de risco, considerando um nível de confiança de 99%. Previsão de volatilidade para o período de 07/97 a 12/ GRÁFICO 17:Avaliação da média dos retornos (razão logarítmica) observados fora do intervalo de previsão de risco. Previsão de volatilidade para o período de 07/95 a 06/ GRÁFICO 18:Avaliação da média dos retornos (razão logarítmica) observados fora do intervalo de previsão de risco. Previsão de volatilidade para o período de 07/97 a 12/ GRÁFICO 19:Estimativa do desvio padrão para as distribuições dos retornos padronizados (razão logarítmica). Previsão de volatilidade para o período de 07/95 a 06/ GRÁFICO 20:Estimativa do desvio padrão para as distribuições dos retornos padronizados (razão logarítmica). Previsão de volatilidade para o período de 07/97 a 12/ GRÁFICO 21:Diferença de Kolmogorov-Smirnof, para as distribuições dos retornos padronizados (razão logarítmica) segundo o modelo de risco. Previsão de volatilidade para o período de 07/95 a 06/ GRÁFICO 22:Diferença de Kolmogorov-Smirnof, para as distribuições dos retornos padronizados (razão logarítmica) segundo o modelo de risco. Previsão de volatilidade para o período de 07/97 a 12/

10 x Lista de Tabelas TABELA 1 : Número de observações históricas efetivamente utilizadas pelo método de alisamento exponencial, dado um nível de tolerância TABELA 2 : Verificação da Acurácia dos Modelos de Aferição de Risco TABELA 3 : Definição das zonas de classificação para os resultados do back-testing TABELA 4 : Cotações para variáveis relacionadas à taxa de juros para o dia 04/12/ TABELA 5 : Estrutura a Termo de Taxas de Juros, projetada para o dia 04/12/ TABELA 6 : IBOVESPA - Número de vezes que o resultado diário observado esteve fora da faixa de previsão de risco, levando em consideração os últimos 250 dias de negociação TABELA 7 : IBOVESPA Fator de multiplicação para determinação dos padrões mínimos de capital TABELA 8 : IBOVESPA Padrões mínimos de capital (R$) para cobertura de risco de mercado de posição equivalente a R$ ,00 em carteira de IBOVESPA TABELA 9 : IBOVESPA Multiplicador mínimo para garantia da cobertura dos resultados adversos observados no período, referente a diferentes horizontes de investimento TABELA 10:Futuro de IBOVESPA - Número de vezes que o resultado diário observado esteve fora da faixa de previsão de risco, levando em consideração os últimos 250 dias de negociação TABELA 11:Futuro de IBOVESPA Fator de multiplicação para determinação dos padrões mínimos de capital TABELA 12:Futuro de IBOVESPA Padrões mínimos de capital (R$) para cobertura de risco de mercado de posição equivalente a 10 contratos futuros de IBOVESPA

11 xi Lista de Tabelas (continuação) TABELA 13:Futuro de IBOVESPA Multiplicador mínimo para garantia da cobertura dos resultados adversos observados no período, referente a diferentes horizontes de investimento TABELA 14:Telebrás e Futuro de IBOVESPA - Número de vezes que o resultado diário observado esteve fora da faixa de previsão de risco, levando em consideração os últimos 250 dias de negociação TABELA 15:Telebrás e Futuro de IBOVESPA Padrões mínimos de capital (R$) para cobertura de risco de mercado para estratégia de hedging TABELA 16:Telebrás e Futuro de IBOVESPA Multiplicador mínimo para garantia da cobertura dos resultados adversos observados no período, referente a diferentes horizontes de investimento TABELA 17:Avaliação do erro quadrático da estimativa da volatilidade segundo abordagem RMSE TABELA 18:Estatísticas descritivas para as distribuições dos retornos padronizados dos fatores de risco. Resultados para o período de 07/95 a 06/ TABELA 19:Estatísticas descritivas para as distribuições dos retornos padronizados dos fatores de risco. Resultados para o período de 07/97 a 12/

12 xii Lista de Anexos ANEXO 1 : TELEBRÁS - Resultados numéricos dos testes aplicados à distribuição dos retornos padronizados. Período de 07/95 a 06/ ANEXO 2 : TELEBRÁS - Resultados numéricos dos testes aplicados à distribuição dos retornos padronizados. Período de 07/97 a 12/ ANEXO 3 : IBOVESPA - Resultados numéricos dos testes aplicados à distribuição dos retornos padronizados. Período de 07/95 a 06/ ANEXO 4 : IBOVESPA - Resultados numéricos dos testes aplicados à distribuição dos retornos padronizados. Período de 07/97 a 12/ ANEXO 5 : Taxa de Juros, 1 dia útil - Resultados numéricos dos testes aplicados à distribuição dos retornos padronizados. Período de 07/95 a 06/ ANEXO 6 : Taxa de Juros, 1 dia útil - Resultados numéricos dos testes aplicados à distribuição dos retornos padronizados. Período de 07/97 a 12/ ANEXO 7 : Taxa de Juros, 21 dias úteis - Resultados numéricos dos testes aplicados à distribuição dos retornos padronizados. Período de 07/95 a 06/ ANEXO 8 : Taxa de Juros, 21 dias úteis - Resultados numéricos dos testes aplicados à distribuição dos retornos padronizados. Período de 07/97 a 12/ ANEXO 9 : Taxa de Juros, 42 dias úteis - Resultados numéricos dos testes aplicados à distribuição dos retornos padronizados. Período de 07/95 a 06/ ANEXO 10:Taxa de Juros, 42 dias úteis - Resultados numéricos dos testes aplicados à distribuição dos retornos padronizados. Período de 07/97 a 12/

13 xiii Sumário 1. INTRODUÇÃO IMPORTÂNCIA DO TRABALHO OBJETIVOS ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA VALOR EM RISCO (VALUE-AT-RISK) Introdução Modelos Comportamento dos Fatores de Risco Instrumentos Lineares Instrumentos Não Lineares Previsão de Volatilidade e Correlação Avaliação da Previsão da Volatilidade Avaliação da Acurácia dos Modelos de Aferição de Risco SUPERVISÃO BANCÁRIA E O RISCO DE MERCADO Introdução Modelo Padrão Modelo Interno Outras Propostas de Padronização TRABALHOS EMPÍRICOS DE AVALIAÇÃO DO RISCO DE MERCADO Beder (1995) Hendricks (1996) Finger (1996) Lemgruber e Ohanian (1997) Alexander e Leigh (1997) Jackson, Maude e Perraudin (1997)... 48

14 xiv Sumário (continuação) 3. METODOLOGIA INTRODUÇÃO VALOR EM RISCO Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (IBOVESPA) Contrato Futuro de Índice de Ações Carteira Composta por Telebrás e Futuro de Índice de Ações PADRÕES MÍNIMOS DE CAPITAL Modelo Interno Modelo Padrão DESCRIÇÃO DOS TESTES Taxa de Insucesso (back-testing) Adequação do Modelo aos Instrumentos Financeiros CRIAÇÃO DA ESTRUTURA A TERMO DE TAXAS DE JUROS APLICAÇÃO DOS MODELOS GERAÇÃO DA AMOSTRA BASE DE DADOS ANÁLISE DOS RESULTADOS DESCRIÇÃO DOS RESULTADOS IBOVESPA Contrato Futuro de IBOVESPA Carteira composta por Telebrás e Contrato Futuro de IBOVESPA Verificação da Adequação dos Modelos aos Fatores de Risco OBSERVAÇÕES REALIZADAS... 95

15 xv Sumário (continuação) 6. CONCLUSÕES BIBLIOGRAFIA ANEXOS

16 1. INTRODUÇÃO 1.1 Importância do Trabalho A garantia da estabilidade do sistema financeiro internacional é um dos temas em destaque no atual cenário de globalização da economia mundial. Indiferente ao nível de desenvolvimento dos países, crises recentes do sistema financeiro têm afetado economias no mundo todo. Nas últimas duas décadas, países como Japão, Chile, Suécia passaram por experiências de turbulências financeiras. Recentemente, em 1997, os países do sudeste asiático sofreram períodos de crises sucessivas, gerando reflexos negativos para a ordem econômica internacional. As alternativas de atuação para se evitar as crises, ou mesmo, atenuar seus impactos, estão em contínua discussão e análise. O contexto atual de interdependência econômica reafirma a necessidade de uma discussão a nível internacional para a tomada de soluções conjuntas. Vários são os fatores atribuídos como responsáveis pelo aumento da instabilidade do sistema financeiro global. Dentre eles destaca-se o próprio processo de inovação e transformação por que passaram os mercados internacionais. Novos instrumentos financeiros foram criados com um nível maior de complexidade, exigindo dos bancos e dos órgãos reguladores uma adaptação à nova realidade de exposição ao risco. O aperfeiçoamento dos trabalhos de supervisão bancária representa um passo importante em favor da garantia da solidez do sistema financeiro. A questão a ser abordada no trabalho se refere às recentes recomendações do Comitê da Basiléia 1, que estabelecem medidas prudenciais a serem adotadas pelos bancos para a garantia da cobertura do risco de mercado de suas carteiras 1 O Comitê da Basiléia para Supervisão Bancária é formado por representantes dos Bancos Centrais e autoridades de supervisão bancária do grupo dos 10 países, G-10 (Bélgica, Canadá, França, Alemanha, Itália, Japão, Holanda, Suiça, Suécia, Reino Unido, Estados Unidos) e Luxemburgo.

17 2 de investimento 1. Risco de mercado pode ser entendido como a incerteza associada à resultados futuros devido a variações nas condições de mercado (preço de ativos, taxa de juros, taxa de câmbio, etc.). Buscando um maior controle sobre o risco sistêmico, as recomendações sugerem a definição de padrões mínimos de capital compatíveis com a exposição das carteiras ao risco de flutuações de mercado. Para a avaliação das restrições de capital são definidos dois modelos alternativos de cálculo : o Modelo Padrão e o Modelo Interno. O Modelo Padrão é baseado em uma abordagem de "construção em blocos" na qual as posições das carteiras são classificadas segundo um grau de risco definido. Para cada categoria de risco é estabelecida uma imposição de capital. A exigência de capital total é determinada pela soma aritmética da restrição de capital de cada componente. Através de uma inovadora proposta, os bancos são incentivados ao uso de modelos próprios de risco para efeito de determinação do capital para a cobertura do risco de mercado. Segundo o Modelo Interno, o capital mínimo exigido é definido pela multiplicação de um coeficiente de capital pela estimativa do potencial de perda esperada (metodologia VaR) a ocorrer para um horizonte de investimento fixo. A nova metodologia vem incentivar os bancos a aperfeiçoar a gerência de risco de suas operações, representando um avanço importante em favor da auto-regulação bancária. O trabalho faz uma análise investigativa das novas regras frente a realidade do sistema financeiro nacional, buscando dar uma contribuição de valor ao esforço de adaptação e implementação das regras no Brasil. 1 Vide BASLE COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION (1996a).

18 3 1.2 Objetivos O presente trabalho tem a proposta de analisar a aplicação da metodologia do Valor em Risco e sua utilização como instrumento de regulação bancária no Brasil, de acordo com os critérios estabelecidos pelo Acordo da Basiléia para tratamento do risco de mercado. A abordagem RiskMetrics é avaliada quanto à sua adequação na determinação do risco de mercado para instrumentos de renda variável. Apesar de não ser especificado qual metodologia deva ser utilizada pelas instituições financeiras, a questão da escolha de um método adequado de aferição de risco é de suma importância. Isso se faz devido às penalidades previstas a serem impostas a instituições que façam uso de sistemas de risco imprecisos. A metodologia RiskMetrics é empregada para determinação do risco de carteira de ações equivalente ao Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (IBOVESPA), de contrato futuro de IBOVESPA e de uma estratégia de hedge de posição em TELEBRÁS utilizando contrato futuro de IBOVESPA. A performance empírica da metodologia é avaliada utilizando dados do período de julho de 1994 a dezembro de 1997 e são considerados testes estatísticos para verificação da acurácia do modelo. Os limites de capital a serem respeitados, caso as regras já estivessem em operação no Brasil, são analisados quanto a sua eficiência na cobertura de resultados adversos. A amostragem empregada permite fazer uma avaliação comparativa dos resultados para o período que antecede a crise asiática e o período em que são observados seus efeitos nos mercados. Possibilita, dessa forma, a análise do modelo proposto de adequação de capital, não só para períodos de relativa estabilidade financeira, como também para períodos de elevada incerteza.

19 4 1.3 Organização do Trabalho Este trabalho é composto por 8 capítulos. O capítulo introdutório relaciona a importância do trabalho no contexto da atividade de supervisão bancária e os objetivos que se pretende atingir. O segundo capítulo trata da revisão da bibliografia utilizada para a execução do trabalho. Descreve o teor dos artigos e publicações referentes aos modelos de avaliação do risco de mercado, bem como as medidas estabelecidas através de acordos internacionais em favor da estabilidade financeira internacional. O capítulo 3 apresenta a metodologia empregada para avaliação do risco e determinação dos padrões de capital, considerando os instrumentos financeiros em estudo. Descreve também a forma pela qual se avalia a estrutura a termo das taxas de juros, além de detalhar os testes realizados para a caracterização dos resultados. Complementando o trabalho é relacionada, no capítulo 4, a amostra de dados empregada. Os resultados obtidos são apresentados e comentados no capítulo 5. As conclusões são descritas no capítulo 6. Finalizando, a bibliografia utilizada e os anexos com os resultados numéricos tabelados são apresentados nos capítulos 7 e 8 respectivamente.

20 5 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1 Valor em Risco (Value-at-Risk) Introdução A evolução dos instrumentos financeiros e a experiência de perdas extraordinárias tem levado ao reconhecimento da importância da gerência e controle do risco. A preocupação em aperfeiçoar os sistemas de avaliação de risco de mercado tem conduzido ao surgimento de diversas metodologias e ferramentas, que vêm auxiliando as instituições a monitorarem a exposição ao risco de suas carteiras de investimento. Uma das mais populares metodologias de avaliação do risco de mercado é conhecida como Value-at-Risk (VaR). Representa o potencial máximo de perda esperado de uma carteira de investimentos, sob condições normais de mercado, para um determinado período de tempo e um nível de confiança estipulado. Por exemplo, um banco avalia que o potencial de prejuízo esperado máximo de sua carteira para o horizonte de 1 dia de investimento e um nível de confiança de 99% é de $ Isso quer dizer que, em 99% das vezes, as perdas de sua carteira relativa a um holding period de 1 dia em relação ao resultado esperado, não serão superiores a $ Uma das mais importantes vantagens da metodologia do VaR é a habilidade de quantificar e resumir a exposição ao risco de mercado em um único valor monetário. O seu uso tem se expandido de forma significativa nos últimos anos. Além das instituições financeiras, que já tem alguma experiência na utilização das técnicas do VaR, empresas não financeiras também demonstram interesse em aplicar essa tecnologia. Até mesmo agentes reguladores já admitem a sua utilização para a avaliação das exigências mínimas de capital para a atividade bancária.

21 6 O grande impulso observado na utilização das técnicas do VaR se deu a partir da publicação de RiskMetrics - Technical Document, que apresenta, para livre distribuição, uma descrição detalhada de um conjunto de técnicas e dados para o cálculo do risco de mercado associado a uma carteira de investimentos. Devido à sua relativa simplicidade e ampla divulgação, com o fornecimento de dados diários de volatilidade e correlação para uma grande quantidade de instrumentos financeiros do mundo todo, o método RiskMetrics garantiu uma posição de destaque no mercado financeiro. A metodologia leva em consideração as diversas variáveis que podem influenciar o valor de uma carteira de investimentos, incluindo os fatores de risco (taxas de câmbio, preços de ações, etc.), suas respectivas volatilidades e correlações. A estimativa considera também o potencial de diversificação existente entre os diversos instrumentos financeiros incluídos na carteira de investimentos Modelos JORION (1996) apresenta o modelo VaR na sua forma generalizada, derivado a partir da distribuição de probabilidades, ƒ (V), do valor futuro da carteira de investimentos. Para um determinado nível de confiança estipulado α, está interessado em determinar o valor crítico V* da carteira no qual a probabilidade de ocorrer um resultado pior que V* seja de (1-α). Dessa forma : α = V* f (V ) dv (1) Define o VaR como sendo a perda, em valores monetários, em relação ao que era esperado para o valor da carteira. Portanto: VaR = [ ] V * E V (2)

22 7 Essa especificação é válida para qualquer tipo de distribuição de frequência do valor da carteira. Algumas instituições financeiras já se utilizam da apresentação da distribuição de frequências do lucro / prejuízo observados durante o ano, como informação adicional em seus relatórios periódicos. Pretendem, desta forma, tornar público o nível de exposição ao risco de mercado de suas posições financeiras, fornecendo aos acionistas mais um parâmetro de avaliação da instituição. É reproduzido no gráfico 1, a distribuição de frequências apresentada pelo banco J.P. Morgan em seu último relatório anual, com base em suas operações de tesouraria observadas durante o ano de Para um lucro esperado de U$ 12,6 milhões, o VaR para as operações do banco J.P. Morgan durante o ano de 1996, com um nível de confiança estipulado de 95%, é avaliado em U$ 19 milhões, considerando um horizonte de investimento de um dia. Gráfico 1 Lucro / Prejuízo observado para as operações de negociação diária do banco J.P. Morgan durante o ano de A partir da formulação generalizada do VaR, JORION (1996) também apresenta a modelagem paramétrica, assumindo a hipótese de aproximação da distribuição do valor futuro da carteira por uma curva normal. O valor em risco da carteira é então definido pela relação :

23 8 VaR = V0. z( α ). σ p. t (3) Onde, V o σ p z(α) t representa o valor presente do investimento. é a estimativa do desvio padrão da distribuição dos retornos da carteira, avaliado em termos da variação logarítmica diária. é o percentil da distribuição normal padronizada para o nível de confiança α estipulado. é o horizonte de investimento ( holding period ) avaliado em número de dias. O autor considera o uso da aproximação pela curva normal, devido à elevada simplificação dos cálculos para aferição do risco de mercado. Comenta que a curva normal pode representar adequadamente o comportamento do valor de carteiras bem diversificadas, com parcela reduzida de investimentos em contratos de opções. Outras abordagens foram desenvolvidas para o cálculo do VaR. Apesar da diversidade conceitual dos métodos empregados, a grande maioria deles se baseia na distribuição probabilística do valor futuro da carteira. Será influenciado pelo comportamento das cotações dos instrumentos financeiros componentes e do valor da posição tomada em cada mercado. Os diferentes modelos utilizados para aferição de risco de mercado são, em geral, estruturados em duas etapas básicas 1, descritas a seguir: Modelagem do comportamento dos preços de mercado ( fatores de risco ). Avaliação da variação do valor da carteira como resultado das alterações nos preços de mercado. A diferenciação das metodologias normalmente se dá pelo emprego de diferentes técnicas em cada uma dessas etapas em comum. 1 Segundo J.P. MORGAN (1996).

24 9 Podem ser citadas as seguintes alternativas para tratamento do comportamento dos fatores de risco: simulação histórica, simulação por Monte Carlo, utilização de séries históricas para caracterização das distribuições através da estimativa das volatilidades e correlações, dentre outras. Para a segunda etapa, destaca-se a utilização do método de aproximação analítica. Considera a expansão em série de TAYLOR para a avaliação da variação do valor futuro da carteira em função da variação dos fatores de risco componentes. O método de simulação de diferentes cenários também é utilizado Comportamento dos Fatores de Risco Para a caracterização do valor futuro de uma carteira de investimentos, podem ser empregados modelos de previsão do comportamento dos fatores de risco baseados em observações históricas das variações dos preços dos ativos. DUFFIE e PAN (1997) apresentam um modelo básico utilizado para previsão dos retornos diários com composição contínua. Pode ser representado pela relação (4). r t = µ t t-1 + σ t t-1. ε t (4) Onde, r t é a previsão do retorno do ativo objeto para a data t, composto continuamente. µ t t-1 é o valor esperado do retorno r t, condicionado às informações disponíveis até a data t-1. σ t t-1 é o desvio padrão do retorno r t, condicionado às informações disponíveis até a data t-1, medido em termos da variação logarítmica. 1 Uma descrição dos métodos citados pode ser vista em J.P. MORGAN (1996).

25 10 ε t representa a variável estocástica com média zero e desvio padrão unitário. A partir do modelo mais simples de previsão do retorno, no qual µ e σ são consideradas constantes e ε t variável aleatória independente com distribuição normal, os autores consideram possíveis alternativas de modelagem. A evidência empírica da existência do efeito de abas largas ( fat tail ) nas distribuições dos retornos históricos, indicando que movimentos extremos de preços ocorrem com maior frequência do que movimentos extremos observados em distribuições normais, leva os autores a comentarem os modelos Jump Difusions e Volatilidade Estocástica, como formas de tratar os retornos de forma mais coerente com o comportamento real dos preços. O primeiro modelo considera a possibilidade de ocorrência de variações significativas dos preços não esperadas, e a segunda trata a volatilidade variando no tempo com componente estocástico. Um dos principais motivos da elevada popularidade do método RiskMetrics deve-se à simplificação dos cálculos para a determinação do valor em risco, a partir da consideração de uma série de hipóteses e aproximações numéricas. Como base para todos os cálculos, o método é desenvolvido para variações diárias nos preços. Quando existe a necessidade de se trabalhar com distribuições de retornos para períodos superiores, é utilizada uma aproximação. Multiplica-se o desvio padrão da distribuição diária pela raiz quadrada do horizonte de investimento da distribuição que se quer caracterizar. É Importante ressaltar as hipóteses assumidas para a validade da aproximação. Considera-se que, para datas sucessivas, os retornos diários não são correlacionados e as distribuições possuem desvios muito próximos 1. O modelo RiskMetrics considera ainda a distribuição de retornos como condicionada (dependente do tempo). Trata a volatilidade (e a correlação) variando no tempo com certo grau de persistência, ou seja, períodos recentes de 1 Vide JORION (1997).

26 11 baixa (alta) volatilidade indicam uma previsão futura de níveis igualmente baixos (altos) de volatilidade. A evidência da existência do efeito de correlação entre séries de retornos distintas motivou o desenvolvimento de modelos multivariados de forma a levar em consideração não só as variâncias observadas para cada ativo individualmente, mas também o efeito de diversificação de risco para uma composição de diferentes ativos. Considerando as distribuições de retornos como normais condicionadas ao tempo, o método descreve o comportamento futuro das distribuições dos retornos em termos apenas das médias e variâncias estimadas. Além disso, para carteiras compostas por ativos pouco complexos (de relação linear), o valor em risco é computado estendendo a hipótese de normalidade condicionada para a própria distribuição de retornos da carteira de investimentos, simplificando ainda mais os procedimentos para aferição do risco. Devido ao fato do retorno esperado ser estimado com alto grau de imprecisão, é utilizada a aproximação para zero da média µ t dos retornos. A hipótese da média condicionada nula é consistente com os resultados empíricos encontrados por HSIEH (1989) e, segundo JORION (1985), tal consideração não causa tendenciosidade significativa na estimativa da volatilidade Instrumentos Lineares Para a determinação analítica do VaR, a carteira de investimentos é definida como um conjunto de posições financeiras, cada qual composta por um fator de risco objeto. A aferição do risco de mercado é feita através do cálculo do risco de cada posição que compõe a carteira. Para isso, duas classes de instrumentos financeiros devem ser consideradas: lineares e não lineares. Representa a relação existente entre a variação do valor da posição na carteira e o retorno do respectivo ativo financeiro objeto. Considerando a variação relativa da i-ésima posição da carteira, no tempo t, como p i, t e o retorno do seu ativo objeto correspondente como r j, t, a medida δ

27 12 descreve a relação linear existente: p i, t = δ. r j, t (5) Para carteiras compostas por instrumentos que influenciam o retorno da posição segundo a relação (5), o cálculo do VAR é derivado diretamente do desvio padrão da carteira, calculado em função da volatilidade e das correlações dos retornos dos instrumentos financeiros objetos, dos valores presentes dos fluxos de caixa e do nível de confiança estipulado. Para isso, RiskMetrics considera a aproximação do cálculo do retorno diário da carteira pela soma dos retornos das posições, ponderada pela proporção de capital investido. Considere uma carteira composta por N posições financeiras, cada qual composta por um único instrumento financeiro objeto. Seguindo a aproximação descrita acima, a variação do valor da carteira é avaliada segundo a relação abaixo: V t = N i = 1 (w i. p i, t ) = N i = 1 (w i. δ i. r i, t ) (6) Onde, V t variação do valor da carteira na data t. w i valor presente do investimento da i-ésima posição financeira. p i, t retorno da i-ésima posição financeira da carteira na data t. δ i constante que define a relação linear entre variações da i-ésima posição financeira e seu componente de risco. r i, t retorno do ativo objeto componente da i-ésima posição na data t. O valor em risco diário pode ser obtido pela multiplicação da estimativa do

28 13 desvio padrão da carteira σ p, t t-1 pelo fator crítico z(α) da distribuição normal padronizada. O calculo do VaR para um holding period de t dias é então definido pela relação seguinte: VaR = z( ). t. σ α (7) t p,t t 1 O desvio padrão da carteira σ p, t t-1 na data t, condicionado às informações disponíveis até a data t-1, pode ser determinado pela expressão vetorial : σ T p,t t 1 = σ p,t t 1. Ω t t 1. σ p,t t 1 (8) Onde, Ω t t 1 representa a matriz de correlação dos retornos dos instrumentos financeiros componentes de cada posição financeira da carteira, estimada a partir das informações disponíveis até a data t -1 ; σ t t 1 é o vetor linha definido através das componentes de risco de cada posição financeira da carteira de investimento, definido pela relação : σ [ w. δ. σ w. δ. σ... w. δ σ ] t t 1 = 1 1 1, t , t t 1 N N. t N, t t 1 (9) Onde, σ i,t t-1 representa a estimativa do desvio padrão do retorno do fator de risco i para a data t, condicionado às informações disponíveis até a data t -1, medido em termos da variação logarítmica das cotações de mercado.

29 Instrumentos Não Lineares O enfoque da aproximação da distribuição de retornos da carteira pela distribuição normal condicionada não é apropriada no caso da existência de relações não lineares entre o retorno da carteira e o retorno dos fatores de risco. Isso pode ser verificado em carteiras compostas por posições tomadas no mercado de opções. Devido à estrutura de pagamentos dos contratos de opções, as carteiras por elas compostas apresentarão, em geral, distribuições assimétricas, sugerindo o desenvolvimento de metodologias alternativas para a aferição do risco de mercado. Dentre as abordagens empregadas para avaliação do risco de carteiras compostas por instrumentos não lineares, duas metodologias são citadas na literatura: a abordagem por simulação e a aproximação analítica delta-gama. A utilização de técnicas de simulação para determinação do risco de mercado é feita geralmente em duas etapas. Inicialmente são gerados diversos valores para os fatores de risco, com o objetivo de caracterizar a distribuição probabilísticas dos retornos dos instrumentos que compõem a carteira. A partir dessas distribuições e das relações existentes entre o valor da carteira e o comportamento dos preços, pode-se chegar a uma distribuição representativa do valor futuro da carteira. O VaR é então determinado a partir da avaliação da perda máxima esperada através da identificação do percentil da distribuição resultante, segundo um nível de confiança estipulado. RiskMetrics - Technical Document apresenta uma metodologia baseada na técnica de Simulação de Monte Carlo para a aferição do risco de carteira contendo opções. A abordagem é empregada em trabalhos de avaliação comparativa entre diferentes metodologias para aferição de risco. Dentre as desvantagens consideradas, destaca-se a necessidade de utilização intensiva de recursos computacionais e de tempo de processamento. 1 1 Vide DUFFIE E PAN (1997).

30 15 A abordagem conhecida como aproximação analítica delta-gama é utilizada por RiskMetrics como uma alternativa mais simples do que a descrita anteriormente. Incorpora os efeitos conhecidos como delta, gama e teta no cálculo do VaR para carteiras compostas por opções. Para isso, é empregada a expansão em série de Taylor para caracterização da variação do valor da opção em relação à variação dos fatores de risco considerados, da seguinte forma: V t + n ( S t + n,k, τ t + n, ρ, σ ) V ( S,K, τ, ρ, σ ) +. t t t ( S S ) t + n 1 2 (10) Γ.( St + n St ) + Θ.( τ t + n τ t ) 2 t +... Onde, V t é o valor da opção na data t ; S t é o preço do ativo objeto na data t ; K representa o preço de exercício do contrato de opção ; τ t tempo para o vencimento da opção na data t ; ρ taxa de juros referencial ; σ desvio padrão do ativo objeto medido em termos de variação logarítmica do preço ; é o delta da opção, representando a variação do valor da opção em relação à variação no preço do ativo objeto ( V / S ) ; Γ é o gama da opção, representando a variação do valor do delta da opção em relação à variação no preço do ativo objeto ( / S ) ; Θ é o teta da opção, mede o quanto variará o valor da opção à medida que se aproxima a data de vencimento da opção ( V / τ ). A estimação dos parâmetros, Γ e Θ pode ser realizada a partir do modelo de precificação de opções de BLACK e SCHOLES (1973). Uma das condições para a validade da aproximação (10) está relacionada à estabilidade dos parâmetros, Γ e Θ em relação à variação no preço do ativo objeto. Quando variações nos preços são acompanhadas por variações significativas dos

31 16 parâmetros, a acurácia da abordagem delta-gama fica comprometida 1. A partir desses resultados, pode-se caracterizar a distribuição do valor da carteira através da estimativa dos seus momentos (média, desvio padrão, coeficiente de assimetria e curtose). Apesar de ainda considerar a distribuição dos retornos dos ativos objeto como normal condicionada, o mesmo não pode ser afirmado sobre a distribuição do valor da carteira. Isso se deve à relação não linear introduzida pelo efeito gama. A forma alternativa de calcular o VaR para carteira compostas por opções parte do princípio de se determinar o percentil da distribuição do valor da carteira, a partir da estimativa dos quatro momentos da distribuição. ZANGARI (1996a) destaca três enfoques que podem ser usados para essa avaliação. Pode ser feito através identificação, a partir de uma família de distribuições, da curva com momentos próximos daqueles encontrados para a distribuição da carteira, ou mesmo através da utilização de variáveis normais padronizadas modificadas. A terceira abordagem considera a utilização de uma aproximação analítica para estimar o percentil de uma distribuição a partir do valor de seus momentos Previsão de Volatilidade e Correlação Uma importante avaliação a ser feita para o cálculo do valor em risco corresponde à previsão de volatilidade e correlação dos fatores de risco. HENDRICKS (1996) utiliza, em seu trabalho de avaliação de metodologias VaR, a abordagem da média histórica simples e da média ponderada exponencialmente para a previsão da volatilidade. 1 Vide J.P. MORGAN (1996).

32 17 Segundo a abordagem da média histórica simples, a estimativa do desvio padrão dos retornos diários do ativo i, considerando um período de observação de k dias, é dada por : σ 1 t 1 2 i,t t 1 =. ( ri,s µ i,t t 1 ) ( k 1) s= t k (11) Onde, µ i,t t-1 corresponde à média histórica, sendo estimada pela relação: µ i, t t 1 = 1 1. t k s= t k r i,s (12) A estimativa da covariância é construída de forma semelhante à volatilidade, utilizando, porém, o produto de séries de retornos dos ativos distintos i e j. σ 1 t 1 ij,t t 1 =. ( ri,s µ i,t t 1 ).( r j,s µ j, t t 1 ) ( k 1) s= t k (13) O coeficiente de correlação é, por sua vez, determinado pela relação : ρ ij,t t 1 = σ σ i, t t 1 ij,t t 1.σ j, t t 1 (14) O emprego da média do quadrado dos desvios ponderada exponencialmente, também conhecida como alisamento exponencial EWMA (Exponentially Weighted Moving Averages), busca dar diferentes pesos para as observações passadas. Devido ao decaimento exponencial dos pesos, as observações mais recentes recebem ponderações maiores. A fórmula para a abordagem EWMA no cálculo do desvio padrão dos retornos diários do ativo i pode ser escrita como:

33 18 σ t 1 t s 1 2 i,t t 1 = ( 1 λ ) λ ( ri,s µ i,t t 1 ) s= t k (15) Onde, µ i,t t-1 corresponde à média ponderada exponencialmente, representada pela relação: µ i, t t 1 1 t 1 s= t k = ( λ ) λ t s 1 r i,s (16) O parâmetro λ é conhecido como fator de decaimento e determina como os pesos das observações passadas decaem à medida que elas se distanciam da data de previsão do desvio padrão. A estimativa para a covariância entre séries de retornos dos ativos i e j pelo alisamento exponencial pode ser descrita pela expressão: σ ij,t t t 1 s= t k t s 1 1 = ( 1 λ ). λ ( r µ 1 ).( r µ i,s i,t t j,s j,t t 1 ) (17) A previsão da variância dos instrumentos financeiros em RiskMetrics é feita através do alisamento exponencial EWMA. Utiliza o fator de decaimento igual a 0.94, determinado a partir de critério de minimização de uma estimativa do erro quadrático da previsão de volatilidade. JACKSON, MAUDE e PERRAUDIN (1997) em um trabalho comparativo entre a modelagem por simulação histórica e a análise paramétrica na aferição do valor em risco de uma carteira de investimentos, também fazem uso do alisamento exponencial como estimativa da variância empregada no modelo paramétrico. DUFFIE e PAN (1997) em seu trabalho teórico a respeito da metodologia VaR apresentam, além dos métodos já citados, o modelo GARCH (Generalized Autorregressive Conditional Heteroscedasticity) 1, o modelo EGARCH (Exponential 1 Proposto inicialmente por BOLLERSLEV (1986).

34 19 Generalized Autorregressive Conditional Heteroscedasticity) 1, e o método da volatilidade implícita pela fórmula de BLACK e SCHOLES (1973) para precificação de opções. Um dos problemas do cálculo da variância pela média histórica simples é que, no caso da existência de um único retorno anormal, este irá influenciar de forma significativa a estimativa da volatilidade durante o tempo que ainda permanecer na amostra, independentemente se foi observado há muito tempo ou recentemente. Um pequeno número de movimentos extremos no mercado pode fazer com que a estimativa da volatilidade seja mantida em níveis elevados, mesmo em períodos de relativa tranquilidade. O contrário também pode ocorrer, ocasionando uma sub-avaliação na estimativa da volatilidade. Os problemas observados pela utilização da média simples tem motivado o desenvolvimento de métodos alternativos para o cálculo da volatilidade e das correlações entre ativos. Segundo o modelo do alisamento exponencial, são conferidos pesos cada vez menores aos resultados observados, à medida que eles vão se distanciando do período de interesse para o cálculo da volatilidade. Através da definição do fator de decaimento é feita a escolha entre dar maior ou menor importância às observações passadas. O modelo GARCH e suas derivações também conseguem capturar o efeito de persistência da volatilidade de uma forma mais flexível, através da estimação de parâmetros de regressão do modelo. ZANGARI (1996b) apresenta um trabalho onde utiliza, além do alisamento exponencial com fator de decaimento ótimo considerado por RiskMetrics (0,94), os modelos de mistura de normais e EGARCH-GED. O primeiro assume que o retorno do ativo objeto é gerado por duas distribuições diferentes de curvas normais. O segundo emprega a abordagem EGARCH, assumindo uma 1 Proposto inicialmente por NELSON (1991).

35 20 distribuição generalizada de erro condicional (Generalized Error Distribution) para o retorno dos ativos Amostra Utilizada pelo Método do Alisamento Exponencial Uma consequência importante do uso de esquemas de ponderação dos retornos corresponde ao número de dados históricos utilizados para estimativa da volatilidade. Como visto anteriormente, quanto menor o fator de decaimento menor é o número de dados históricos que efetivamente influenciam a estimativa da volatilidade. Com base neste conceito, pode ser avaliado o número de observações históricas diárias efetivamente utilizadas para a estimativa da volatilidade, dado um nível de tolerância considerado 1. A tabela 1 descreve esse resultado para diferentes fatores de decaimento e níveis de tolerância. Tabela 1 Número de observações históricas efetivamente utilizadas pelo método de alisamento exponencial, dado um nível de tolerância. Fator de Decaimento Número de dados históricos efetivamente utilizados, considerando nível de tolerância de : 0,01% 0,1% 1% 0, , , , Vide J.P. MORGAN (1996).

36 Avaliação da Previsão da Volatilidade Estimativa de Erro da Previsão O critério empregado por RiskMetrics para avaliação da estimativa da volatilidade e da correlação é conhecido como RMSE (Root Mean Squared Error ). Busca estimar uma medida de erro médio quadrático para a previsão da variância, comparando as volatilidades previstas (calculadas) em relação às volatilidades observadas. Fundamenta o cálculo do fator de decaimento ótimo para o modelo de alisamento exponencial a partir da minimização dessa estimativa do erro. ALEXANDER e LEIGH (1997) utilizam ambos os critérios do RMSE e normal verossimilhança na avaliação estatística das previsões de volatilidade para o cálculo do VaR. JACKSON, MAUDE e PERRAUDIN (1997), por sua vez, optam pelo cálculo do erro médio absoluto do desvio padrão como medida de acurácia da estimativa Adequação do Modelo aos Fatores de Risco Segundo a hipótese central do método RiskMetrics (retorno com distribuição normal condicionada), as estimativas dos momentos da distribuição dos retornos padronizados devem ser próximas dos momentos de uma distribuição normal padronizada reduzida. Ou seja, média nula, desvio padrão unitário, coeficiente de assimetria nulo e curtose igual a 3. A padronização dos retornos deve ser feita levando em consideração as médias e volatilidades previstas, segundo a relação:

37 22 r pad,t = r t µ σ t t 1 t t 1 (18) A investigação da hipótese acima nos dá uma indicação de como o modelo está prevendo a volatilidade, considerando o quão próximo da unidade está o desvio padrão da distribuição dos retornos padronizados. Além disso, nos revela a adequação do retorno do ativo em estudo às condições de assimetria e curtose assumidas pelo modelo. O teste de Kolmogorov-Smirnof é indicado para a verificação da aderência da distribuição dos retornos padronizados em relação à distribuição normal reduzida teórica. Corresponde a um teste não-paramétrico que identifica se os valores observados para a amostra podem ser considerados como provenientes da distribuição teórica considerada. A prova busca especificar a maior divergência possível entre a distribuição de frequência acumulada da curva teórica e a distribuição de frequência acumulada da amostra observada que pode ser atribuída ao acaso. Para as distribuições consideradas no presente trabalho, o valor crítico da maior diferença observada, considerando um nível de significância de 1%, corresponde ao resultado da expressão : 1,63 N, onde N representa o número de observações da amostra 1. 1 Para informações adicionais sobre o teste de Kolmogorov-Smirnov consulte LAW e KELTON (1991).

38 Avaliação da Acurácia dos Modelos de Aferição de Risco Taxa de Insucesso Os modelos de avaliação de risco de mercado têm o objetivo de quantificar o valor potencial da perda que pode ocorrer para uma carteira de investimentos, considerando um horizonte de tempo definido e segundo um nível de confiança previamente determinado. Representa um referencial de perda no qual a probabilidade de ocorrência de um resultado pior seja definida por um valor estabelecido (por exemplo 1% ou 5%). Uma alternativa simples de verificar a validade dos modelos representa estimar a taxa de insucesso, ou seja, a proporção do número de vezes em que uma perda realizada no fechamento do dia é superior à perda estimada pelo modelo, considerando um período de tempo para a seleção da amostra. O processo descrito é também conhecido como backtesting. KUPIEC (1995) apresenta um procedimento estatístico para verificação da acurácia dos modelos baseado na proporção de casos extremos observados ao longo da amostra. Considera a hipótese nula de a probabilidade de insucesso p observada para a amostra considerada ser igual à probabilidade p* definida pelo modelo de risco. Assume n como sendo o número de dias e x o número de vezes em que o resultado observado extrapolou a estimativa do VaR. Considera a seguinte razão de verossimilhança para a construção do teste de hipótese : RV= 2. ln * ( ) ( n-x ) * 1 p.( p ) x + x 2.ln 1 n ( n-x) x. n x (19) Para a hipótese nula, p = p*, o resultado RV tem distribuição Qui-quadrada com 1 grau de liberdade. Através da verificação do teste para amostras com número de observações fixo, pode ser levantado o número limite de insucessos