Backtesting. Análise de Risco (7) R.Vicente

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Betty Barateiro Palhares
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1 Backtesting Análise de Risco (7) R.Vicente 1

2 Resumo Basle Traffic Light Teste de Proporção de Falhas (Kupiec POF) Tempo até Primeira Falha (Kupiec TUFF) Ponderação por tamanho de perda (Lopez) Tempo entre Falhas Bibliografia 2

3 Basle Traffic Light N n PnN ( = 250; q= 1%) = q(1 q) n N n P(n N,q) 3 25% 2 15% 1 5% n 3

4 Basle Traffic Light Para intervalo de confiança = 99% # Exceções Prob. Cumulativa 0 8,11% 1 28,58% 2 54,32% 3 75,81% 4 89,22% 5 95,88% 6 98,63% 7 99,6 8 99,89% 9 99,97% 10 99,99% , , ,0 SUM(P(k N,q);k<n) n 4

5 Basle Traffic Light EWMA Lambda=0,99 12% 8% 4% -4% -8% -12% 5 ago-01 set-01 out-01 nov-01 dez-01 jan-02 fev-02 mar-02 abr-02 mai-02 jun-02 jul-02 ago-02 9% EWMA Backtest 8% 7% 6% 5% P&L 4% 3% 2% 1% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% Previsão com 99% (unicaudal) PETR4 n=4

6 Basle Traffic Light EWMA Lambda=0,96 12% 8% 4% -4% -8% -12% 6 ago-01 set-01 out-01 nov-01 dez-01 jan-02 fev-02 mar-02 abr-02 mai-02 jun-02 jul-02 ago-02 9% EWMA Backtest 8% 7% 6% 5% P&L 4% 3% 2% 1% 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% Previsão com 99% (unicaudal) n=6 PETR4

7 Basle Traffic Light EWMA Lambda=0,5 12% 8% 4% -4% -8% -12% 7 ago-01 set-01 out-01 nov-01 dez-01 jan-02 fev-02 mar-02 abr-02 mai-02 jun-02 jul-02 ago-02 9% EWMA Backtest 8% 7% 6% 5% P&L 4% 3% 2% 1% 1% 3% 5% 7% 9% 11% 13% 15% 17% Previsão com 99% (unicaudal) PETR4 n=10

8 Basle Traffic Light Medida paliativa para corrigir modelos rejeitados: aumentar coeficiente de confiança. # Exceções Prob. Cumulativa Confiança EWMA Lambda=0,5 0 8,11% 2, ,58% 2, ,32% 2, ,81% 2, ,22% 2, ,88% 2, ,63% 2, ,6 2, ,89% 3, ,97% 3, ,99% 3, ,0 3, ,0 3, ,0 3,33 12% 8% 4% -4% -8% -12% ago-01 set-01 out-01 P&L nov-01 19% 17% 15% 13% 11% 9% dez-01 jan-02 fev-02 mar-02 abr-02 EWMA Backtest mai-02 jun-02 jul-02 ago-02 7% 5% 3% 1% 1% 6% 11% 16% Previsão com 99% (unicaudal) 8

9 Proporção de Falhas Hipótese nula: Probabilidade estimada na amostra = 1%. H ˆ 0 : p= p= n = 0,01 N N= # de pontos e n=# de falhas observadas. Teste de razão de verossimilhança: LR = 2ln ( ) n 1% (1 1%) n n n 1 N N 2 χ N n N n LR tem distribuição com 1 grau de liberdade quando N LR n

10 Proporção de Falhas Com 95 % de confiança não rejeitamos a hipótese nula de p=1% se LR < LR MAX PLR ( < LR ) = 95% max Chi 2 Acumulado LR LRMAX LR = 3,84 n < 7 n 10

11 Proporção de Falhas EWMA Lambda=0,96 12% 8% 4% -4% -8% -12% 11 ago-01 set-01 out-01 nov-01 dez-01 jan-02 fev-02 mar-02 abr-02 mai-02 jun-02 jul-02 ago-02 n=6 Não Rejeita Hipótese Nula.

12 Tempo até a Primeira Falha Hipótese nula: Para q=1%, 1 falha a cada 100 dias. Alternativamente, o tempo médio para a primeira falha na amostra é de 100 dias. 1 ν LR TUFF 1 : = ˆ = = 0,01 H0 p p ν probabilidade de falha em um dia. = 2ln 0,01(1 0,01) ν ν ν 1 ν 1 LR tem distribuição com 1 grau de liberdade quando 2 χ N 12

13 Tempo até a Primeira Falha ν> ν MIN Com 95% de confiança e PLR ( < LR MAX ) = 95% ν< ν MAX 8 6 LR LRMAX ν = 3,84 7 < ν <

14 Tempo até a Primeira Falha EWMA Lambda=0,96 Lambda=0,96 12% 8% 4% -4% -8% -12% ν =18 Não rejeita Hipótese Nula. 14 ago-01 set-01 out-01 nov-01 dez-01 jan-02 fev-02 mar-02 abr-02 mai-02 jun-02 jul-02 ago-02

15 Função de Magnitude de Perda Hipótese Nula: Os log-retornos de 1 dia têm distribuição condicional normal com média nula. C j Rj VaRj, Rj > = VaR j 0, cc.. VaR j C = C j= 1 j 15

16 Função de Magnitude de Perda Dada a hipótese nula C pode ser obtido via simulação 250 utilizando am=ostras i.i.d. de uma distribuição Normal N(0,1): Com 95% de confiança C 250 < 1, 2 16

17 EWMA Lambda=0,96 12% 8% 4% -4% -8% -12% ago-01 set-01 out-01 nov-01 dez-01 jan-02 fev-02 mar-02 abr-02 mai-02 jun-02 jul-02 ago-02 Função de Magnitude de Perda 35% 28% 250 2,31 C = 1% 52% e 79% Rejeita Hipótese Nula com 95 % de confiança 35% 17

18 Tempo Entre Falhas Hipótese nula: As falhas são independentes e para q=1%, o tempo médio entre falhas na amostra é de 100 dias. LR n ν 1 ν 1 0,01(1 0,01) 0,01(1 0,01) = 2ln k= νk ν k ν1 ν 1 k 1 2ln νk 1 ν1 1 νk é o tempo entre as falhas k-1 e k. 2 LR tem distribuição χ com n+1 graus de liberdade quando N 18

19 Tempo Entre Falhas 10 Chi 2 Acumulado LR Com 95% de confiança LR<12,6. 19

20 Tempo Entre Falhas EWMA Lambda=0,96 12% 8% 4% -4% -8% -12% LR >18 Rejeita a Hipótese nula com 95% de confiança 20 ago-01 set-01 out-01 nov-01 dez-01 jan-02 fev-02 mar-02 abr-02 mai-02 jun-02 jul-02 ago dias 43 dias 143 dias 1 dia 4 dias 17 dias

21 Sumário Proporção de Falhas? S Tempo entre falhas? S Magnitude? S OK N N N VaR subestimado Correlação entre Falhas Caudas pesadas 21

22 Bibliografia Jorion P., Value at Risk, Irwin, RiskMetrics Technical Document ( Basle Committee on Banking Supervision, Supervisory Framework for the use of Backtesting in Conjunction with the Internal Models Approach to Market Risk Capital Requirements, Jan/96, Leituras Complementares Haas, Marcus, New Methods in Backtesting, 2001, Blanco, C. e Ihle, G., How Good is Your VaR? Using Backtesting to Assess System Performance, Financial Engineering News nr. 11, 22

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