FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ECONOMIA MESTRADO EM FINANÇAS E ECONOMIA EMPRESARIAL LEONARDO ETHUR DIAS

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1 1 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ECONOMIA MESTRADO EM FINANÇAS E ECONOMIA EMPRESARIAL LEONARDO ETHUR DIAS ANÁLISE EMPÍRICA DO VALUE-AT-RISK POR SIMULAÇÃO HISTÓRICA COM ATUALIZAÇÃO DE VOLATILIDADE PARA FUNDOS DE AÇÕES NO BRASIL. RIO DE JANEIRO

2 2 MAIO DE 2010 LEONARDO ETHUR DIAS ANÁLISE EMPÍRICA DO VALUE-AT-RISK POR SIMULAÇÃO HISTÓRICA COM ATUALIZAÇÃO DE VOLATILIDADE PARA FUNDOS DE AÇÕES NO BRASIL. Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre em Finanças e Economia Empresarial. Orientador: José Valentim Machado Vicente Co-Orientador: Edson Daniel Lopes Gonçalves

3 3 RIO DE JANEIRO MAIO DE 2010 LEONARDO ETHUR DIAS ANÁLISE EMPÍRICA DO VALUE-AT-RISK POR SIMULAÇÃO HISTÓRICA COM ATUALIZAÇÃO DE VOLATILIDADE PARA FUNDOS DE AÇÕES NO BRASIL. Aprovada por:. José Valentim Machado Vicente, D.Sc. - Orientador (Banco Central do Brasil). Edson Daniel Lopes Gonçalves, D.Sc. - Coorientador (EPGE/FGV - RJ). Cláudio Henrique da Silveira Barbedo, D.Sc. (Banco Central do Brasil) Marco Antônio César Bonomo, D.Sc. (EPGE/FGV - RJ).

4 4 RIO DE JANEIRO MAIO DE 2010

5 ii DEDICATÓRIA Em memória de meu avô Manoel Dias pelo eterno amor e carinho.

6 iii AGRADECIMENTOS A Cláudio Henrique Barbedo e Marco Bonomo pelo interesse em meu trabalho e por terem cordialmente aceitado participar da minha banca de avaliação. A José Valentim e Edson Gonçalves pelo voto de confiança e orientações para a realização deste trabalho. Ao meu filho Eduardo, maior inspiração da minha vida e principal fonte de motivação para superar as dificuldades necessárias para meu crescimento. A minha amada esposa Priscilla Mieli pela paciência, amor e carinho que me foram dedicados durante os meses de preparação deste trabalho. Aos meus pais Luiz Antonio e Rejane, meus maiores exemplos. A RiskControl por ter contribuído enormemente para minha formação profissional e pelo financiamento deste mestrado. Ao Banco Modal pela confiança depositada no meu trabalho. Aos amigos do BNY Mellon Serviços Financeiros que tornaram possível a realização do trabalho. A todos meus familiares pelo apoio e incentivo para concluir mais esta etapa da minha vida.

7 iv Análise Empírica do Value-at-Risk por simulação histórica com atualização de volatilidade para fundos de ações no Brasil, Dissertação de Mestrado em Finanças e Economia Empresarial. Fundação Getúlio Vargas - Escola de Pós-Graduação em Economia, Rio de Janeiro, Leonardo Ethur Dias José Valentim Machado Vicente Edson Daniel Lopes Gonçalves RESUMO Há mais de uma década, o Value-at-Risk (VaR) é utilizado por instituições financeiras e corporações não financeiras para controlar o risco de mercado de carteiras de investimentos. O fato dos métodos paramétricos assumirem a hipótese de normalidade da distribuição de retornos dos fatores de risco de mercado, leva alguns gestores de risco a utilizar métodos por simulação histórica para calcular o VaR das carteiras. A principal crítica à simulação histórica tradicional é, no entanto, dar o mesmo peso na distribuição à todos os retornos encontrados no período. Este trabalho testa o modelo de simulação histórica com atualização de volatilidade proposto por Hull e White (1998) com dados do mercado brasileiro de ações e compara seu desempenho com o modelo tradicional. Os resultados mostraram um desempenho superior do modelo de Hull e White na previsão de perdas para as carteiras e na sua velocidade de adaptação à períodos de ruptura da volatilidade do mercado. ABSTRACT For more then a decade, Value-at-Risk (VaR) has been choosen by financial and non-financial institutions to measure and control market risk for their portfolios. Because parametric methods usually assume that daily returns of market variables are normally distributed, some risk managers choose to use historical simulation to calculate their portfolios VaR. The main criticism to the traditional historical simulation is that it gives the same weight in the distribution for all the returns of the period used. This work tests the model of historical simulation with volatility updating, proposed by Hull and White (1998), for the Brazilian stock market and compares its performance to the traditional model. The model showed superior performance in forecasting losses for the portfolios and in the speed it adapted itself in times of rupture in volatility levels. PALAVRAS-CHAVE Value-at-Risk, Risco, Volatilidade, Hull, White, Ações

8 v SUMÁRIO 1. Introdução Revisão da Literatura Descrição dos Testes Fonte dos Dados Metodologia dos Testes Análise dos Dados Conclusão Referências Bibliográficas... 27

9 vi LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Distribuição dos retornos do IBOVESPA entre Janeiro de 2004 e Abril de Figura 2 - Série Histórica de retornos diários do IBOVESPA Figura 3 - Evolução dos Retornos e do VaR da Carteira Real... 8 Figura 4 - Evolução dos preços do IMA Geral fornecido pela ANDIMA e com seus retornos normalizados... 9 Figura 5 - Evolução dos Retornos e do VaR do IBOVESPA Figura 6 - Evolução dos Retornos e do VaR da Carteira IMA Geral Figura 7 - Evolução dos Retornos e do VaR do IMA Geral Normalizado Figura 8 - Evolução dos Retornos e do VaR da Carteira IBOV Figura 9 - Evolução dos Retornos e do VaR da Carteira IBOV Figura 10 - Evolução dos Retornos e do VaR da Carteira IBOV

10 vii LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Estatísticas da série de Retorno do IBOVESPA (jan/ abr/2009)... 4 Tabela 2- Distribuição das alocações das carteiras hipotéticas utilizadas no trabalho entre o índice IBOVESPA e o índice IMA Geral com seus retornos normalizados Tabela 3 - Regiões de Não-Rejeição do Modelo testado sob o critério de Kupiec (1995) Tabela 4 - Resultados do VaR por Simulação Histórica Tradicional considerando o período completo de janeiro de 2007 a abril de 2009 calculado com nível de significância de 5% Tabela 5 - Resultados do VaR por Simulação Histórica Tradicional considerando o período completo de janeiro de 2007 a abril de 2009 calculado com nível de significância de 1% Tabela 6 - Resultados do VaR por Simulação Histórica Tradicional considerando o período de janeiro de 2007 a setembro de 2008 calculado com nível de significância de 5% Tabela 7 - Resultados do VaR por Simulação Histórica Tradicional considerando o período de janeiro de 2007 a setembro de 2008 calculado com nível de significância de 1% Tabela 8 - Resultados do VaR Histórico Híbrido considerando o período completo de janeiro de 2007 a abril de 2009 calculado com nível de significância de 5% Tabela 9 - Resultados do VaR Histórico Híbrido considerando o período completo de janeiro de 2007 a abril de 2009 calculado com nível de significância de 1% Tabela 10 - Resultados do VaR Histórico Híbrido considerando o período de janeiro de 2007 a setembro de 2008 calculado com nível de significância de 5% Tabela 11 - Resultados do VaR Histórico Híbrido considerando o período de janeiro de 2007 a setembro de 2008 calculado com nível de significância de 1%

11 1 1. INTRODUÇÃO Há mais de uma década, o Value-at-Risk (VaR) vem sendo utilizado por instituições financeiras, administradores de recursos, e corporações não financeiras para controlar o risco de mercado de carteiras compostas de ativos financeiros. Orgãos reguladores ao redor do mundo adotaram o Value-at-risk como um dos fatores determinantes do capital exigido para as instituições poderem cobrir eventuais perdas de suas carteiras provenientes da oscilação do preço de mercado dos ativos que as compõem. O VaR de uma carteira é definido como uma função do horizonte de tempo e do intervalo de confiança escolhido, sendo expresso como um valor financeiro que representa a perda máxima esperada para a carteira dentro do período de tempo utilizado e para o dado intervalo de confiança. O VaR é utilizado por agentes reguladores para a apuração do patrimônio exigido das instituições financeiras no Brasil, por exemplo, o VaR é a metodologia empregada para o cálculo da parcela de capital referente ao risco de taxas de juros pré-fixadas em reais. O modelo mais comum utilizado para calcular o VaR de uma carteira é o Delta- Normal. Nele assume-se que os retornos dos fatores de risco aos quais uma carteira possui exposição são independentes e identicamente distribuídos seguindo uma distribuição normal com média zero. Conseqüentemente, o retorno da carteira também segue uma normal por ser uma composição linear dos retornos dos fatores. A vantagem deste modelo é possibilitar o cálculo do VaR de uma forma simples utilizando uma matriz de variância-covariância entre os fatores de risco de mercado. Esta matriz pode ser construída e atualizada através de modelos GARCH. A principal desvantagem deste modelo é justamente assumir que os fatores de risco de mercado possuem distribuições de probabilidades normais, o que não se verifica empiricamente. Na prática, as variáveis de mercado aparentam ter retornos com distribuições de probabilidade com caudas mais pesadas que uma distribuição normal, o que leva alguns gestores a utilizar a simulação histórica como alternativa ao modelo Delta-Normal. Neste método, os retornos das variáveis observados no passado são aplicados sobre os ativos que compõem as carteiras para construir uma distribuição e estimar o VaR a

12 2 partir do percentil desejado. Entretanto, essa metodologia também supõe implicitamente que os retornos são independentes e identicamente distribuídos e a evidência de aglomerados de volatilidade nas séries financeiras leva a inconsistência da estimativa do valor em risco por este modelo. Hull e White (1998) propõem uma metodologia para utilizar simulações históricas com atualização da volatilidade dos fatores de risco para calcular o Value-at-Risk de carteiras de investimento. Neste modelo, a distribuição de probabilidade do retorno dos fatores de risco é construída a partir da volatilidade estimada por um modelo GARCH ou EWMA como um fator de ponderação da relação entre os retornos históricos dos fatores e suas volatilidades estimadas nas datas em questão. Buscamos testar o modelo proposto por Hull e White com dados do mercado brasileiro e verificar se existem ganhos significativos de performance em comparação com o modelo por simulação histórica tradicional utilizando para isso os testes de proporção de falhas de Kupiec e o condicional de Christoffersen. Os resultados mostraram que o VaR das carteiras estimados com níveis de significância de 1% e 5% pelo modelo de Hull e White se aproximou mais das taxas de exceções observadas que o VaR estimado pela simulação histórica tradicional. O trabalho mostra ainda que o modelo responde de maneira satisfatória à mudança no nível da volatilidade do mercado, atualizando rapidamente suas estimativas e mantendo a independência serial das exceções. O trabalho está organizado da seguinte forma: na seção 2 fazemos uma revisão da literatura relevante utilizada para o desenvolvimento do trabalho; a seção 3 descreve os dados escolhidos para testar os modelos propostos; na seção 4 analisamos os resultados encontrados nos testes dos modelos com os dados escolhidos. A seção 5 conclui sobre os resultados obtidos. Por fim, a seção 6 apresenta as referências bibliográficas do trabalho.

13 3 2. REVISÃO DA LITERATURA Podemos definir o Value-at-Risk de uma carteira como a maior perda esperada dentro de um determinado período de tempo e intervalo de confiança. Este valor pode ser estimado como um percentil da distribuição dos retornos da carteira em um horizonte de tempo. Com a vasta adoção do VaR como forma de calcular o risco de perdas em carteiras de investimentos na última década, vários estudos foram realizados propondo diferentes metodologias para calcular o VaR de uma carteira, e comparando essas metodologias entre si. Os métodos paramétricos são os métodos que buscam estimar a volatilidade dos fatores de risco de mercado através de equações onde as estimativas de volatilidade são funções de outros parâmetros, e por isso são chamados de modelos paramétricos. Dentre os modelos paramétricos destacam-se o modelo de Amortização Exponencial(EWMA), utilizado pelo RiskMetrics (J.P. Morgan), e modelos GARCH para atualização da matriz de variância-covariância dos fatores de risco ao longo do tempo. Nestes modelos, assume-se uma distribuição de probabilidade para os retornos dos fatores de risco, em geral uma distribuição normal. No entanto, na maioria das vezes, os ativos de mercado apresentam retornos com distribuições com caudas mais pesadas que uma distribuição normal (excesso de curtose), já evidenciado por Hull e White(1998) e Bonomo e Garcia (2001) para os mercados de moedas e para o mercado de ações no Brasil respectivamente. A Figura 1 abaixo mostra o histograma com a distribuição dos retornos observados para o IBOVESPA no período escolhido para os testes do trabalho. Na Tabela 1 é possível observar características de leptocurtose em relação à distribuição normal (curtose > 3), ou seja, que a distribuição da série possui caudas mais pesadas que a distribuição normal. A estatística de Jarque-Bera também mostra evidências para rejeitar a hipótese de normalidade da série.

14 4 Figura 1 - Distribuição dos retornos do IBOVESPA entre Janeiro de 2004 e Abril de 2009 IBOVESPA - jan/ abr/2009 Média Mediana Máximo Mínimo Desvio Padrão Assimetria Curtose Jarque-Bera Probabilidade 0 Observações 1297 Tabela 1 - Estatísticas da série de Retorno do IBOVESPA (jan/ abr/2009) No método por simulação histórica, alternativo à metodologia analítica descrita anteriomente, ao invés de assumir determinadas distribuições de probabilidade para os ativos de mercado, para assim estimar suas volatilidades, utiliza-se a distribuição observada em janelas móveis de retornos passados dos fatores de risco aos quais a carteira analisada possui exposição. Desta forma, se assume que o retorno dos ativos seguirá essa mesma distribuição observada.

15 5 Entretanto, esta é uma premissa muito forte, pois pode-se observar nas séries financeiras que a volatilidade não é constante ao longo do tempo e que existem aglomerações de volatilidade ao longo de diferentes períodos de tempo. O fato de dar o mesmo peso aos retornos observados ao longo de toda amostra, leva este método a não atualizar as suas estimativas rapidamente quando há uma mudançaa de patamar na volatilidade dos ativos. A Figura 2 mostra um gráfico da série de retorno do IBOVESPA entre 1993 e 2010 onde é possível observar as aglomerações de volatilidade em determinados períodos ao longo do série histórica. 40% 30% Retornoo diário do IBOVESPA Períodos de volatilidade acima do padrão observado. 20% 10% 0% -10% -20% Figura 2 - Série Histórica de retornos diários do IBOVESPA. No VaR Histórico tradicional, a distribuição de retornos da carteira é construída a partir dos retornos conjuntos dos fatores, ponderados pela exposiçãoo que a carteira possui a cada um dos fatores. O VaR da carteira é então obtido a partir do percentil pretendido da distribuição conjunta construída. Hull e White (1998) propõem um modelo híbrido que procura unir o benefício da atualização da volatilidade dos modelos paramétricos, com a utilização das séries históricas dos fatores paraa construção da distribuição de probabilidade das carteiras, conforme o modelo de simulação histórica tradicional. Neste modelo as séries de retorno dos fatores são reconstruídas ponderando-se cada amostra da janela pela relação entre as estimativas de volatilidade corrente e a calculada para a data do retorno conforme abaixo:

16 6 = Onde: é a estimativa de volatilidade diária do fator de risco j para a data N, calculada utilizando-se algum modelo EWMA ou GARCH. é a estimativa de volatilidade diária do fator de risco j para a data t dentro do período escolhido para a simulação histórica (t<n) calculada utilizando-se algum modelo EWMA ou GARCH. - é o retorno observado para o fator de risco j na data t dentro do período escolhido para a simulação histórica (t<n) Constrói-se então a nova distribuição de probabilidade dos fatores de risco substituindo-se cada pelo seu respectivo. Em seu trabalho original, Hull e White testam o modelo para índices de ações e cotações de moedas de diferentes países individualmente, retirando o quantil desejado da nova distribuição como a estimativa do VaR dos ativos. O modelo é então comparado com a simulação histórica sem incorporação de volatilidade e com o modelo de Boudoukh, Richardson e Whitelaw(1998) encontrando uma performance superior do seu modelo para as moedas, porém com resultados diversos para os índices de ações. Por conveniência, neste trabalho nos referimos ao modelo proposto por Hull e White como HW e ao modelo de Boudoukh, Richardson e Whitelaw como Modelo Híbrido. Rao e Yawalkar(2004) testam o modelo proposto para 11 portfolios hipotéticos construídos com diferentes proporções do índice de ações do mercado indiano Bombay Stock Exchange Sensex Index e um índice de ativos de renda fixa chamado i-bex (India Bond Index). Em seu trabalho a simulação histórica e o modelo HW são testados juntamente com um método analítico. O método analítico em geral apresenta melhores performances que os outros dois métodos, porém em termos gerais o método HW apresenta uma performance mais satisfatória que a simulação histórica sem incorporar a atualização de volatilidade.

17 7 No Brasil, Barbedo, Araújo e Lemgruber (2005) testaram a metodologia de Simulação Histórica Filtrada (SHF), similar ao modelo HW, para ativos não-lineares com o mesmo objetivo de incorporar a atualização de volatilidade à simulação histórica tradicional para capturar os aglomerados de volatilidade sem impor distribuições específicas aos fatores de risco. Seu trabalho mostra bom desempenho para estimação do VaR utilizando a SHF no nível de confiança de 99%, porém superestimando o VaR nos níveis de 95% e 98%.

18 8 3. DESCRIÇÃO DOS TESTES Neste trabalho testamos empriricamente o modelo HW utilizando as alocações de uma carteira real e outras hipotéticas no mercado brasileiro de ações e comparamos com os resultados obtidos para o modelo de simulação histórica tradicional, sem incorporar a atualização de volatilidade. 3.1 FONTE DOS DADOS A carteira real utilizada no trabalho se refere às posições de fechamento de um fundo de ações de uma gestora de recursos de terceiros no Brasil durante o período utilizado para o teste. Desta forma, atualizamos as exposições da carteira aos fatores de risco ao longo do período analisado de acordo com as posições de fechamento. A composição da carteira foi gentilmente cedida por um grande administrador do mercado brasileiro de fundos de investimento. A Figura 3 mostra a evolução dos retornos da carteira real no período utilizado para o teste. Figura 3 - Evolução dos Retornos e do VaR da Carteira Real Para montar as carteiras hipotéticas para o teste, seguimos a metodologia utilizada por Rao e Yawalkar (2004), usando diferentes alocações entre um índice de ações e um índice de renda fixa.

19 9 O índice de ações utilizado foi o principal índice da bolsa de valores de São Paulo, o IBOVESPA, enquanto o índice de renda fixa escolhido foi o Índice de Mercado ANDIMA (IMA Geral), calculado pela própria ANDIMA, que representa a evolução dos preços de mercados dos títulos públicos do Brasil. Para eliminar a tendência de alta do índice de renda fixa, conforme pode ser observado na Figura 4, foram utilizados os retornos normalizados do IMA Geral. A Tabela 2 mostra os nomes utilizados para as carteiras no trabalho e suas respectivas alocações entre os índices de renda fixa e renda variável. Para a carteira com 100% de alocação em renda fixa, a análise foi realizada tanto utilizando os retornos normalizados quanto os retornos originais do índice IMA Geral. As carteiras foram nomeadas como IMA Geral Normalizado e IMA Geral respectivamente. 2,500 2,000 1,500 1, Evolução do IMA Geral abril-05 junho-05 agosto-05 outubro-05 dezembro-05 fevereiro-06 abril-06 junho-06 agosto-06 outubro-06 dezembro-06 fevereiro-07 abril-07 junho-07 agosto-07 outubro-07 dezembro-07 fevereiro-08 abril-08 junho-08 agosto-08 outubro-08 dezembro-08 fevereiro-09 abril-09 junho-09 agosto-09 outubro-09 dezembro-09 fevereiro-10 abril-10 IMA Geral IMA Geral Normalizado Figura 4 - Evolução dos preços do IMA Geral fornecido pela ANDIMA e com seus retornos normalizados.

20 10 Nome da Carteira Alocação no IBOVESPA Alocação no IMA- Geral Normalizado IBOV10 10% 90% IBOV20 20% 80% IBOV30 30% 70% IBOV40 40% 60% IBOV50 50% 50% IBOV60 60% 40% IBOV70 70% 30% IBOV80 80% 20% IBOV90 90% 10% IBOVESPA 100% 0% IMA Geral Normalizado 0% 100% Tabela 2- Distribuição das alocações das carteiras hipotéticas utilizadas no trabalho entre o índice IBOVESPA e o índice IMA Geral com seus retornos normalizados As séries históricas de retornos dos ativos aos quais a carteira real esteve exposta durante o período analisado foram calculadas utilizando as séries históricas dos preços já ajustados de eventos como pagamentos de dividendos, cisões, entre outros. Os dados foram fornecidos pela agência de notícias Bloomberg. O período escolhido para o teste foi de 02 de janeiro de 2007 à 31 de março de 2009, neste período pudemos testar os modelos em um período de volatilidade relativamente estável e verificar seu comportamento também em uma situação de aumento de volatilidade observado durante a crise de crédito de Assim como realizado para o IBOVESPA e mostrado na Figura 1 e na Tabela 1, também testamos a hipótese de normalidade para o restante das séries utilizadas como fatores de risco das carteiras, tendo encontrado as mesmas características de leptocurtose em relação à distribuição normal, e rejeitando a hipótese nula pelo teste de Jarque-Bera.

21 METODOLOGIA DOS TESTES Para testar os modelos foi necessário montar uma base de dados capaz de abrigar a grande quantidade de dados oriunda da reconstrução das séries de retorno dos ativos aos quais o fundo de investimento escolhido apresentou exposição no período analisado e também dos fatores que formaram as carteiras hipotéticas (IBOVESPA e IMA Geral). Ao todo foram identificados 60 ativos dos quais 50 foram tratados como fatores de risco de mercado para as carteiras. Os direitos e recibos de subscrição foram alocados em seus respectivos ativos objeto e os ativos ilíquidos foram excluídos da análise pelo fato de não possuírem séries históricas que pudessem ser utilizadas para estimar suas volatilidades. A janela escolhida para realizar as simulações históricas foi de 500 observações. Para estimar a volatilidade dos fatores de risco utilizadas no modelo HW, escolhemos o modelo do RiskMetrics com coeficiente de amortecimento λ=0,94. Sob a hipótese nula de que o nível de significância escolhido para estimar o VaR das carteiras pelos métodos sugeridos é a probabilidade real de ocorrerem exceções no período selecionado, realizamos o teste de Kupiec(1995) para o modelo. Para testar a independência serial das exceções utilizamos o teste de Christoffersen(1998). Desta forma buscamos verificar a eficiência dos modelos para cada uma das carteiras no período completo, e também dividindo o período em duas partes, tomando como ponto de divisão a data de 15 de Setembro de 2008, quando o banco de investimentos Lehman Brothers anunciou concordata, momento considerado por muitos como marco do estouro da crise de crédito nos Estados Unidos que se propagou mundo afora. Com o teste de Kupiec buscamos verificar a cobertura incondicional dos modelos comparando o número de exceções observadas(n) no total de observações da amostra (T) com a hipótese nula de que o nível de significância escolhido (p ) é a probabilidade real da ocorrência de exceções (p) por meio de uma razão de log-verossimilhança: 1 = 2 ln 1 Equação 1 - Estatística de Teste de cobertura incondicional que possui distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade.

22 12 Desta forma rejeitamos os modelos testados com 95% e 99% de confiança caso as estatísticas de teste calculadas para as carteiras apresentem resultados acima de 3,8415 e 6,6349 respectivamente. A Tabela 3 mostra as regiões de não-rejeição do modelo com o número de observações dos períodos testados. VaR (99%) Regiões de Não Rejeição do VaR Teste de Kupiec (1995) Número de Observações Região de Não-Rejeição 95% Região de Rejeição 99% < N < 11 N < N < 09 N < 11 VaR (95%) Número de Observações Região de Não-Rejeição 95% Região de Rejeição 99% 552/ < N < < N < < N < < N < 34 Tabela 3 - Regiões de Não-Rejeição do Modelo testado sob o critério de Kupiec (1995) Para verificar a cobertura condicional dos modelos, utilizamos o teste proposto por Christoffersen (1998), que estende a estatística de teste com o termo: 1 = 2 ln 1 1 Equação 2 - Estatística de teste de independência serial das exceções observadas A hipótese nula testada neste caso é de que as ocorrências de exceções no modelo são serialmente independentes, ou seja, que a probabilidade de ocorrerem exceções(π) é a mesma se uma exceção foi observada no dia anterior (π 1 ) ou não (π 0 ). Na equação acima, T ij representa o número de observações em que o estado j ocorreu quando o estado da observação anterior era i, sendo i e j os estados de exceção ou não. A estatística de teste agregada então, possui distribuição chi-quadrada com dois graus de liberdade e é dada pela soma entre a estatística de teste de cobertura

23 13 incondicional (LR uc ) e a estatística de teste de independência entre as exceções(lr ind ). Neste caso, rejeitamos o modelo caso a estatística de teste agregada for maior que 5,9915 (95% de confiança) ou 9,2103 (99% de confiança).

24 14 4. ANÁLISE DOS DADOS Nos testes realizados, a simulação histórica tradicional, de uma maneira geral, subestimou o VaR das carteiras analizadas no período completo escolhido entre janeiro de 2007 e março de 2009 para os níveis de significância de 5% e 1%. Nas tabelas 4 e 5 é possível ver que o modelo foi rejeitado com 95% e 99% no teste de cobertura incondicional para todas as carteiras no período completo, e apesar de não rejeitado com 95% e 99% de confiança nos testes de independência das exceções para algumas das carteiras inclusive para a carteira real, os testes agregados rejeitaram o modelo para todas as carteiras neste período. VaR Histórico Tradicional - Período Completo - Nível de Significância: 5% Carteira Obs. Exc. % Kupiec Christoffersen Teste Agregado LR uc 95% 99% T(00) T(01) T(10) T(11) LR ind 95% 99% 95% 99% Carteira Real % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Rej. Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Rej. Rej. Rej. Rej. IBOVESPA % Rej. Rej Rej. Rej. Rej. Rej. IMA GERAL % Rej. Rej Rej. Rej. Rej. Rej. IMA GERAL Normalizado % Rej. Rej Rej. Rej. Rej. Rej. Tabela 4 - Resultados do VaR por Simulação Histórica Tradicional considerando o período completo de janeiro de 2007 a abril de 2009 calculado com nível de significância de 5%

25 15 VaR Histórico Tradicional - Período Completo - Nível de Significância: 1% Carteira Obs. Exc. % Kupiec Christoffersen Teste Agregado LR uc 95% 99% T(00) T(01) T(10) T(11) LR ind 95% 99% 95% 99% Carteira Real % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Rej. Rej. IBOVESPA % Rej. Rej Rej. Rej. IMA GERAL % Rej. Rej Rej. Rej. Rej. Rej. IMA GERAL Normalizado % Rej. Rej Rej. Rej. Rej. Rej. Tabela 5 - Resultados do VaR por Simulação Histórica Tradicional considerando o período completo de janeiro de 2007 a abril de 2009 calculado com nível de significância de 1%. Onde não foram encontradas exceções em sequência não é possível calcular a estatística de teste de independência de Christoffersen. Nas tabelas 6 e 7 no entanto, podemos perceber que limitando o período até o início da crise de crédito (janeiro 2007 à 15 de setembro de 2008), o método por simulação histórica tradicional com nível de significância de 1% não foi rejeitado com 99% de confiança para as carteiras teóricas com alocação a partir de 30% no índice IBOVESPA. Nestes casos não foram observadas exceções em sequência e portanto não foi realizado o teste de independência, sendo a cobertura incondicional não rejeitada.

26 16 VaR Histórico Tradicional - Período: 03/01/ /09/ Nível de Significância: 5% Carteira Obs. Exc. % Kupiec Christoffersen Teste Agregado LR uc 95% 99% T(00) T(01) T(10) T(11) LR ind 95% 99% 95% 99% Carteira Real % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOVESPA % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IMA GERAL % Rej. Rej Rej. Rej. Rej. Rej. IMA GERAL Normalizado % Rej. Rej Rej. Rej. Rej. Rej. Tabela 6 - Resultados do VaR por Simulação Histórica Tradicional considerando o período de janeiro de 2007 a setembro de 2008 calculado com nível de significância de 5%

27 17 VaR Histórico Tradicional - Período: 03/01/ /09/ Nível de Significância: 1% Carteira Obs. Exc. % Kupiec Christoffersen Teste Agregado LR uc 95% 99% T(00) T(01) T(10) T(11) LR ind 95% 99% 95% 99% Carteira Real % Rej. Rej Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % 9.86 Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % 5.92 Rej. Ñ Rej Rej. Ñ Rej. IBOV % 4.24 Rej. Ñ Rej Rej. Ñ Rej. IBOV % 5.92 Rej. Ñ Rej Rej. Ñ Rej. IBOV % 5.92 Rej. Ñ Rej Rej. Ñ Rej. IBOV % 5.92 Rej. Ñ Rej Rej. Ñ Rej. IBOV % 2.80 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 2.80 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOVESPA % 2.78 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IMA GERAL % 5.92 Rej. Ñ Rej Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IMA GERAL Normalizado % 5.92 Rej. Ñ Rej Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. Tabela 7 - Resultados do VaR por Simulação Histórica Tradicional considerando o período de janeiro de 2007 a setembro de 2008 calculado com nível de significância de 1% Onde não foram encontradas exceções em sequência não é possível calcular a estatística de teste de independência de Christoffersen. Para o período de análise completo, o modelo HW com níveis de significância 1% e 5% não é rejeitado com 95% e 99% de confiança no teste agregado para as carteiras teóricas com alocação a partir de 20% em IBOVESPA. Entretanto, o modelo é rejeitado para a carteira real escolhida e para a carteira teórica do IMA Geral, sendo o VaR subestimado nestes casos. As tabelas 8 e 9 mostram os resultados mencionados. Ao analizar a carteira teórica do IMA Geral com os retornos normalizados, no entanto, o modelo apresenta um número menor de exceções e o VaR(1%) não é rejeitado com 95% e 99% de confiança.

28 18 Importante notar também nas tabelas seguintes que o número de exceções em sequência (T 11 ) observadas para o modelo HW é muito menor que o número de exceções em sequência observadas para o modelo tradicional. VaR Histórico Hull-White (1998) - Período Completo - Nível de Significância: 5% Carteira Obs. Exc. % Kupiec Christoffersen Teste Agregado LR uc 95% 99% T(00) T(01) T(10) T(11) LR ind 95% 99% 95% 99% Carteira Real % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % 5.95 Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Ñ Rej. IBOV % 3.67 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 3.02 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 3.02 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 2.43 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 1.90 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 1.90 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 1.44 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 1.44 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOVESPA % 1.41 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IMA GERAL % Rej. Rej Rej. Rej. Rej. Rej. IMA GERAL Normalizado % 3.67 Ñ Rej. Ñ Rej Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. Tabela 8 - Resultados do VaR Histórico HW considerando o período completo de janeiro de 2007 a abril de 2009 calculado com nível de significância de 5%.

29 19 VaR Histórico Hull-White (1998) - Período Completo - Nível de Significância: 1% Carteira Obs. Exc. % Kupiec Christoffersen Teste Agregado LR uc 95% 99% T(00) T(01) T(10) T(11) LR ind 95% 99% 95% 99% Carteira Real % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % 1.85 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 2.94 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 2.94 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 1.85 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 0.36 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 0.36 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 0.36 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 0.36 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 0.36 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOVESPA % 0.36 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IMA GERAL % 7.39 Rej. Rej Rej. Rej. Rej. Rej. IMA GERAL Normalizado % 0.98 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Tabela 9 - Resultados do VaR Histórico HW considerando o período completo de janeiro de 2007 a abril de 2009 calculado com nível de significância de 1%. Onde não foram encontradas exceções em sequência não é possível calcular a estatística de teste de independência de Christoffersen. Limitando-se ao período pré-crise de 2008, os resultados encontrados foram semelhantes aos verificados para o período completo, não havendo diferença com maior destaque. Os resultados são mostrados nas tebelas 10 e 11 abaixo.

30 20 VaR Histórico Hull-White (1998) - Período: 03/01/ /09/ Nível de Significância: 5% Carteira Obs. Exc. % Kupiec Christoffersen Teste Agregado LR uc 95% 99% T(00) T(01) T(10) T(11) LR ind 95% 99% 95% 99% Carteira Real % Rej. Rej Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % 7.39 Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Ñ Rej. IBOV % 4.55 Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 3.74 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 3.74 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 3.01 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 2.34 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 2.34 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 2.34 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 2.34 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IBOVESPA % 2.31 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. Ñ Rej. IMA GERAL % Rej. Rej Rej. Rej. Rej. Rej. IMA GERAL Normalizado % 5.43 Rej. Ñ Rej Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. Tabela 10 - Resultados do VaR Histórico HW considerando o período de janeiro de 2007 a setembro de 2008 calculado com nível de significância de 5%

31 21 VaR Histórico Hull-White (1998) - Período: 03/01/ /09/ Nível de Significância: 1% Carteira Obs. Exc. % Kupiec Christoffersen Teste Agregado LR uc 95% 99% T(00) T(01) T(10) T(11) LR ind 95% 99% 95% 99% Carteira Real % Rej. Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IBOV % 1.61 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 2.80 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 2.80 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 2.80 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 0.71 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 0.71 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 0.71 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 0.71 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOV % 0.71 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IBOVESPA % 0.71 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. IMA GERAL % 5.92 Rej. Ñ Rej Rej. Ñ Rej. Rej. Rej. IMA GERAL Normalizado % 0.16 Ñ Rej. Ñ Rej Ñ Rej. Ñ Rej. Tabela 11 - Resultados do VaR Histórico HW considerando o período de janeiro de 2007 a setembro de 2008 calculado com nível de significância de 1%. Onde não foram encontradas exceções em sequência não é possível calcular a estatística de teste de independência de Christoffersen. Assim como encontrado por Hull e White em seu trabalho original, o modelo proposto apresentou uma performance melhor que a simulação histórica tradicional mostrando um número muito menor de exceções observadas em sequência, eliminando o acúmulo dos eventos de cauda. Diferente do trabalho original de Hull e White, no entanto, os resultados do modelo híbrido para o mercado brasileiro se mostraram melhores que os resultados da simulação tradicional em todas as diferentes alocações entre os ativos e não apenas para as moedas e com resultados mistos para ações. Nas figuras 4 a 10 é possível observar o melhor desempenho do modelo de simulação histórica híbrido em relação à simulação histórica tradicional nos critérios de

32 22 número de exceções observadas e independência entre elas. Os gráficos mostram que o VaR Histórico híbrido se ajusta rapidamente no momento em que há súbito aumento de volatilidade, reduzindo as chances das exceções ocorrerem em sequência. Figura 5 - Evolução dos Retornos e do VaR do IBOVESPA Figura 6 - Evolução dos Retornos e do VaR da Carteira IMA Geral

33 23 Figura 7 - Evolução dos Retornos e do VaR do IMA Geral Normalizado É possível observar nos gráficos que há um acúmulo das exceções do VaR histórico das carteiras entre setembro e outubro de 2008, período considerado como auge da crise de crédito mundial, quando a volatilidade do mercado se eleva rapidamente e o modelo tradicional não consegue acompanhar, enquanto o modelo HW se ajusta rapidamente reduzindo o número de exceções em sequência neste período. As figuras 8 a 10 mostram os gráficos de três das carteiras hipotéticas construídas mostrando a transição da forma do gráfico, do formato mais próximo do IMA para o formato mais próximo do IBOVESPA. Figura 8 - Evolução dos Retornos e do VaR da Carteira IBOV10

34 24 Figura 9 - Evolução dos Retornos e do VaR da Carteira IBOV50 Figura 10 - Evolução dos Retornos e do VaR da Carteira IBOV90

35 25 5. CONCLUSÃO O objetivo principal deste trabalho foi testar o VaR calculado pelo modelo de simulação histórica híbrido proposto por Hull e White com dados do mercado brasileiro de ações e compará-lo em relação ao modelo por simulação histórica tradicional. Para isso foram utilizados os testes de proporção de falhas de Kupiec e o teste de independência serial de Christoffersen. Apesar de ambos os modelos terem sido rejeitados pelos testes de Kupiec e Christoffersen para a carteira real utilizada, o modelo híbrido mostrou resultados melhores que a simulação histórica tradicional, apresentando um número menor de exceções observadas, ficando mais próximo do número de exceções estimado pelo modelo. O modelo híbrido também mostrou um número muito menor de exceções encontradas em série. Esta superioridade do modelo híbrido em relação ao modelo tradicional também foi verificado por Hull e White em seu trabalho original, e por Rao e Yawalkar(2004) para o mercado indiano. Os testes para as carteiras teóricas utilizadas também mostraram melhores resultados para o modelo de Hull e White em relação à simulação histórica tradicional. Com isso, criamos evidências que o modelo pode ser utilizado para outras carteiras reais com diferentes alocações entre ativos de renda fixa e de renda variável como um modelo alternativo com atualização de volatilidade e utilização da distribuição empírica dos retornos dos fatores de risco escolhidos. É importante ressaltar o bom desempenho do modelo de Hull e White ao mostrar resultados semelhantes em períodos distintos. Em um primeiro momento onde a volatilidade do mercado se mantém em um determinado nível por um tempo maior, quando os modelos de VaR em geral são bons previsores de perdas potenciais, o modelo tem resultados semelhantes aos encontrados em um segundo momento que incorpora um período em que há uma ruptura no nível da volatilidade do mercado. O modelo mostra que consegue rapidamente capturar a variação do nível de volatilidade e mantém as evidências de indepêndencia entre as exceções como mostrado nos resultados dos testes de Christoffersen. O trabalho mostra também que a simulação histórica tradicional não é indicado para carteiras que possam sofrer grandes variações em períodos de crise como em 2008, pois

36 26 o modelo não é atualizado com a velocidade necessária, e o VaR da carteira é subestimado levando a um número grande de perdas acima do esperado (excessões ao VaR). O fato de ter utilizado o modelo EWMA com coeficiente de amortização igual a 0,94 para estimar a volatilidade dos fatores de risco no modelo de Hull e White pode ser um motivo para a rejeição do modelo em primeira instância para a carteira real por subestimar o VaR nos dois níveis de significância. A utilização de modelos ARCH para estimar a volatilidade dos fatores de forma mais precisa pode aumentar a acurácia do modelo de Hull e White para cálculo do VaR das carteiras. Como sugestão para trabalhos futuros poderíamos colocar a comparação do modelo com métodos analíticos de estimação do VaR e a utilização de modelos ARCH para estimação das volatilidades dos fatores. Uma outra sugestão seria a utilização do modelo para construção de cenários de estresse a partir da verificação das condições de mercado nas observações que se situam nas caudas das novas distribuições construídas pelo modelo, onde as relações entre os retornos dos fatores e suas volatilidades estimadas são rompidas.

37 27 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BARBEDO, C.H.S.; ARAÚJO, G.S.; LEMGRUBER, E.F.; 2005; Simulação Histórica Filtrada: Incorporação de Volatilidade ao Modelo Histórico de Cálculo de Risco para Ativos Não-Lineares ; Departamento de Estudos e Pesquisas (Depep), Banco Central do Brasil; Trabalhos para Discussão N. 94; BONOMO, M.; GARCIA R.; 2001; Tests of Conditional Asset Pricing Models in the Brazilian Stock Market ; Journal of International Money and Finance; vol. 20, pp.71-90; CHRISTOFFERSEN, P. F.; 2001; Evaluating Interval Forecasts ; International Economic Review; v. 39, pp ; COSTA, P.H.S.; BIDYA, T.K.N. 2003; Métodos de Medição de Risco de Mercado: um Estudo Comparativo ; Revista Produção; V. 13, N. 03; HULL, J.; WHITE, A.; 1998; Incorporating Volatility Updating into the Historical Simulation Method for Value at Risk ; The Journal of Risk; V. 01, N. 01; JORION, P.; 2001; Value At Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk ; 2o Edition ; The McGraw-Hill Companies, Inc.; KUPIEC, P.; 1995; Techniques for Verifying the Accuracy of Risk Measurement Models ; Journal of Derivatives; 3, 73-84; LOPEZ, J. A.; 1997; Regulatory evaluation of value-at-risk models ; The Journal of Risk; V. 01, N. 02 pp.37-63; MATEUS, A.S.A.M.; 2008; Afectação de carteiras no âmbito da metodologia Valueat-Risk ; Tese de Mestrado em Finanças Instituto Superior de Ciências do Trabalho e da Empresa Instituto Universitário de Lisboa, Portugal;

38 28 YAWALKAR, P.; RAO P.; 2004; Comparison of Value at Risk Methods for FIS and Equity Portfolios in the Indian Market. ; Credence Analytics (I) Pvt. Ltd.,