Aderência. Rinaldo Artes Insper Instituto de Ensino e Pesquisa 2015

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1 Aderência Rinaldo Artes Insper Instituto de Ensino e Pesquisa 2015 Sumário 1. Estatística qui-quadrado Gráfico de Probabilidades Teste de Jarque-Bera Serão apresentadas técnicas que permitem avaliar se um conjunto de dados pode ter sido gerado a partir de uma certa distribuição de probabilidades. A primeira técnica baseia-se na estatística qui-quadrado de Pearson, a segunda em gráficos de probabilidades, adequados principalmente quando a variável em questão segue uma distribuição contínua e, por fim, o teste de Jarque-Bera, que a partir dos coeficientes de assimetria e curtose, verifica se um conjunto de dados pode ter sido gerado por uma distribuição normal. 1

2 1. Estatística qui-quadrado Objetivo: Decidir se um conjunto de dados segue uma determinada distribuição de probabilidades. Exemplo 1.1: Uma emissora de TV desconfia da qualidade do método utilizado por um instituto para medir a audiência de programas de TV. Tal instituto aponta que em um determinado horário a emissora A tem 37% da audiência, enquanto que a emissora B tem 30%, a C tem 13% e as demais têm 20%. A emissora contratou uma empresa de pesquisa de mercado que selecionou uma amostra de 300 residências. Em cada uma, perguntou-se em qual canal a principal TV da casa estava sintonizada, na última semana, no horário determinado. Dos 300, 95 declararam estar assistindo a emissora A, 87 a emissora B, 51 a C e 67 uma das demais emissoras, ou não estava com a TV ligada. Há evidências de que os dados do instituto estejam errados? Admita: : probabilidade da emissora A ser sintonizada, : probabilidade da emissora B ser sintonizada, : probabilidade da emissora C ser sintonizada, : probabilidade de outras emissoras serem sintonizada, = 95: número de pessoas da amostra que declararam assistir a emissora A, = 87: número de pessoas da amostra que declararam assistir a emissora B, = 51: número de pessoas da amostra que declararam assistir a emissora C e = 67: número de pessoas da amostra que declararam assistir outras emissoras. Temos categorias de resposta e. Além disso, segundo o instituto, = 0,37, = 0,30, = 0,13 e = 0,20. A estatística qui-quadrado busca aferir o quanto os dados são compatíveis com os valores de probabilidades fornecidos. Sua lógica consiste em comparar os dados observados com os dados que deveriam ser observados numa amostra de hipotética (amostra de referência) que obedecesse fielmente às probabilidades fornecidas Amostra de referência Se a amostra seguisse fielmente a estrutura de probabilidade dada por, quantas pessoas deveríamos ter observado em cada uma das quatro possíveis categorias de resposta? Nesse caso, para a primeira categoria (audiência da emissora A), esperaríamos ter 37% de observações, ou seja, a frequência esperada dessa categoria seria = 0,37 * 300 =111; para a segunda = 0,30 * 300 =90, para a terceira = 0,13 * 300 = 39 e, por fim, para a última = 0,20 * 300 =60. 2

3 Resultado 1.1: Seja o valor que seria observado na classe,, se a amostra seguisse fielmente a estrutura de probabilidade dada por Estatística qui-quadrado A estatística qui-quadrado é uma medida da distância entre os valores efetivamente observados ( ) e os que esperaríamos observar se a amostra seguisse fielmente a estrutura de probabilidades fornecida ( ). A constrição dessa medida será feita passo a passo a partir dos dados do Exemplo 1.1. Na Tabela 1.1, estão dispostos, lado a lado, os valores observados e esperados. Note que a soma das respectivas colunas é igual ao tamanho da amostra. Isso decorre do Resultado 1.2. Resultado 1.2:. Prova: Na quinta coluna da tabela são apresentadas as diferenças entre os valores observados e os valores esperados. Caso a estrutura de probabilidades fornecida seja de fato seguida pelos dados, espera-se que esses valores sejam próximos de zero. A estatística qui-quadrado baseia-se na distância quadrática entre os valores observados e esperados dada por: ( ) Voltando à Tabela 1.1, nota-se uma distância de 256 para a primeira categoria de resposta e 144 para a terceira. Será que de fato, em termos qualitativos, a discrepância na categoria 1 é mais importante do que a observada na categoria 3? Tabela 1.1: Determinação da estatística qui-quadrado para os dados do Exemplo 1.1. Categoria ( - ) ( - ) ( - ) 1 0, ,0-16,0 256,00 2,31 2 0, ,0-3,0 9,00 0,10 3 0, ,0 12,0 144,00 3,69 4 0, ,0 7,0 49,00 0,82 Total 1, ,0 6,92 3

4 Na categoria 1, esperávamos encontrar 111 pessoas e na categoria 3, 39. Ao se fazer a razão entre a distância e os valores esperados para essas duas categorias, temos, respectivamente, 2,31 e 3,69. Isso indica que, em termos relativos, o afastamento observado na categoria 3 é mais importante do que na categoria 1. A estatística quiquadrado é construída com base nesse raciocínio. Definição 1.1: Seja a probabilidade hipotética de uma observação pertencer á categoria de resposta,, com. Seja o número de indivíduos classificados na categoria e seu respectivo valor esperado, conforme definido no Resultado 1.1,. Define-se a estatística qui-quadrado como ( ) Em suma a estatística qui-quadrado nada mais é do que a distância quadrática entre os valores da amostra e da amostra de referência, ponderada pelos valores esperados sob a hipótese de que a estrutura de probabilidades fornecida é correta. Quanto maior o valor dessa estatística, maior é a evidência de que os dados não seguem a estrutura de probabilidades fornecida. Para o Exemplo 1.1,. Exemplo 1.2: A Tabela 1.2 descreve o número de reclamações diárias observado em 100 dias de funcionamento de um biblioteca. Um analista desconfia que uma distribuição de Poisson poderia ser utilizada para descrever o comportamento dessa variável. Com base nos dados apresentados na Tabela 1.2, pode-se concluir que ele tem razão? O primeiro passo para a determinação da estatística qui-quadrado é o cálculo da probabilidade de ocorrência de cada categoria da variável em questão. Aventa-se a hipótese de que a distribuição de Poisson é adequada para modelar este fenômeno, no entanto, não foi fornecido o valor do parâmetro da distribuição. Desse modo, é necessário estimá-lo a partir dos dados. Como o parâmetro da Poisson é a média da distribuição, decidiu-se estimá-lo por 1,49, a média aritmética dos dados. Tabela 1.2: Número de reclamações diárias observadas em 100 dias de atividade Número de reclamações Dias

5 Total 100 A Tabela 1.3 traz as probabilidades de cada categoria, obtidas a partir de uma distribuição de Poisson com média 1,49. Note que essas probabilidades não somam 100%, condição estabelecida para o cálculo da estatística qui-quadrado. Para contornar esse problema, e para levar em conta que há poucas observações na última categoria de resposta, decidiu-se reorganizar os dados conforme a Tabela 1.4. Tabela 1.3: Probabilidades associadas aos dados da Tabela 1.2. Número de reclamações Dias Probabilidade , , , , , ,0138 Total 100 0,9957 Tabela 1.4: Número de reclamações diárias observadas em 100 dias de atividade e probabilidades associadas ás categorias de resposta Número de reclamações Dias Probabilidade , , , , ,0644 Total 100 1,0000 Para os dados do Exemplo 1.2, obteve-se. A Tabela 1.5 resume o cálculo dessa estatística. Note que os valores esperados não são números inteiros. Isso é uma ocorrência comum que não deve ser corrigida, uma vez que os valores esperado constituem apenas pontos de referência. 5

6 Tabela 1.5: Determinação da estatística qui-quadrado para os dados da Tabela 1.4. Categoria ( - ) ( - ) ( - ) 0 0, ,54 2,46 6,07 0,27 1 0, ,58 1,42 2,01 0,06 2 0, ,02-7,02 49,25 1,97 3 0, ,43 0,57 0,33 0,03 >3 0, ,44 2,56 6,56 1,02 Total 1, ,00 3,34 Exemplo 1.3: Uma empresa pode ser multada se emitir poluentes acima de níveis tolerados. Especula-se que o nível de emissão de certo poluente segue uma distribuição normal. Os dados da Tabela 5 reproduzem os níveis de emissão em 284 dias. Há evidências de que a emissão segue uma distribuição normal? Assim como no Exemplo 1.2, não foram fornecidos os parâmetros da distribuição de probabilidades. Sua determinação a partir da média e desvio-padrão amostral dos dados resultou numa média de 44,3 e desvio-padrão de 4,15. Teoricamente, a distribuição normal pode assumir qualquer valor real, desse modo é necessário fazer alterações nas categorias de resposta para fazer com que a soma de suas probabilidades de ocorrência atinja 100%. Conforme pode ser visto na Tabela 1.7, a primeira categoria foi considerada como Inferior a 34,5 e a última 49,5 ou mais. Tabela 1.6: Emissões diárias de poluentes de uma empresa Emissão Dias 30,0 a 34,5 4 34,5 a 37,5 8 37,5 a 40, ,5 a 43, ,5 a 46, ,5 a 49, ,5 a 52,5 40 Total 284 6

7 Tabela 1.7: Determinação da estatística qui-quadrado para os dados da Tabela 1.6. Emissão ( - ) ( - ) - a 34,5 0, ,585 1,415 0,775 34,5 a 37,5 0, ,801-3,801 1,224 37,5 a 40,5 0, ,712-4,712 0,605 40,5 a 43,5 0, ,196 14,804 3,167 43,5 a 46,5 0, ,070-5,070 0,325 46,5 a 49,5 0, ,787-12,787 2,985 49,5 a 0, ,849 10,151 3,452 Total ,000 0,000 12,533 A partir dos dados chega-se a. A lógica de análise da estatística qui-quadrado é bastante simples: valores muito distantes de zero indicam que a distribuição de probabilidades não segue a distribuição de probabilidades considerada no problema. A dificuldade é sabe se o valor observado está distante o suficiente de zero para se tirar essa conclusão. 1.3 Distribuição de Pode-se construir um teste de hipóteses para verificar se os dados seguem a distribuição em consideração que utiliza como estatística de teste. Nesse caso, temos H 0 : os dados seguem a distribuição em consideração. H 1 : os dados não seguem a distribuição em consideração. Prova-se, sob a hipótese de que os dados seguem a distribuição de probabilidades em consideração e para grandes amostras, que a distribuição de pode ser aproximada por uma distribuição qui-quadrado 1 com graus, sendo o número de parâmetros estimados a partir dos dados. Desse modo, a conclusão final pode ser feita a partir da probabilidade de se observar um valor tão grande ou maior do que o observado (valor p); quanto menor o valor, maior a evidência de que os dados não seguem a distribuição em consideração. 1 Uma regra empírica diz que a amostra é suficientemente grande para utilizar a distribuição qui-quadrado quando e ( ), para todo. Quando a regra não for satisfeita, recomenda-se redefinir as categorias de resposta, agrupando as que a violarem. 7

8 Na Tabela 1.8 são apresentados os valores p associados aos resultados dos exemplos 1, 2 e 3. A partir desses valores podemos concluir que há evidências fortes para rejeitar a hipótese de normalidade dos dados do Exemplo 1.3, alguma evidência contrária à distribuição apresentada no Exemplo 1.1 e evidências muito fracas com a hipótese de que os dados do Exemplo 1.2 seguem uma distribuição de Poisson. Tabela 1.8: Valor p associados à análise dos exemplos 1, 2 e 3. Exemplo Valor p Comando excel para cálculo do valor p 1 6, ,0745 DIST.QUIQUA.CD(6,92;3) 2 3, ,3421 DIST.QUIQUA.CD(3,34;3) 3 12, ,0138 DIST.QUIQUA.CD(12,53;3) 8

9 2. Gráfico de Probabilidades Objetivo: Verificar se um conjunto de dados pode ter sido gerado a partir de uma específica distribuição de probabilidades contínua. Exemplo 2.1: Os dados abaixo se referem aos retornos da Petr4 observados em 20 dias. Há evidências de que esses dados seguem uma distribuição normal? A lógica da construção desse tipo de gráfico é comparar os dados observados (x) com os dados que esperaríamos ter observado caso eles seguissem a distribuição de probabilidades. Caso fosse possível criar uma coluna (y) com esses valores esperados e se dispuséssemos os pontos (x,y) num eixo cartesiano esperaríamos, casos os dados de fato tivessem sido gerados pela distribuição de probabilidades proposta, que os pontos se distribuíssem aleatoriamente ao redor da reta da reta de 45º. O Resultado 2.1 fundamenta a obtenção dos valores esperados. Resultado 2.1: Seja X uma variável aleatória contínua com função distribuição acumulada dada por F(x). Então, se ( ), então ( ). Note que a observação 0,129 é menor ou igual a 70% dos dados amostrais. Desse modo, se a distribuição dos dados fosse de fato uma normal, esperaríamos que 0,129 estivesse próximo ao percentil 70 de uma normal com média -0,584 e desvio-padrão 1,643 (valores obtidos a partir da amostra). Esse raciocínio poderia ser aplicado para obtenção da coluna de valores esperados. No entanto, teríamos um problema com o valor 3,045. Esse valor é menor ou igual a 100% dos dados. Seria impossível obter o valor esperado de uma normal que deixasse 100% as observações abaixo dele. Assim foi sugerida uma pequena alteração na determinação do percentil amostral. Essa alteração denomina-se Função distribuição acumulada empírica. Definição 2.1. Função distribuição acumulada empírica (FDAE). Seja i a i- ésima observação ordenada de uma amostra de tamanho n. Então o valor FDAE para esse valor é dado por ( ) 9

10 Tabela 2.1: Retornos compostos da Petr4 observados entre 22/03 e 19/04 de Data X: Retorno (%) 22/03/2012-1,294 23/03/2012-0,421 26/03/2012 2,129 27/03/2012-1,708 28/03/2012-1,738 29/03/2012-0,300 30/03/2012 0,129 02/04/2012-0,515 03/04/2012-2,971 04/04/2012-3,566 05/04/2012 1,097 09/04/2012-1,881 10/04/2012-1,87 11/04/2012 0,752 12/04/2012 3,045 13/04/2012-1,557 16/04/2012-0,741 17/04/2012 0,325 18/04/2012 0,831 19/04/2012-1,435 Média -0,584 DP 1,643 A partir da definição acima, temos que o valor esperado, associado à i-ésima observação ordenada, é dado por ( ) Voltando ao exemplo, temos que é a distribuição acumulada de uma distribuição normal com média -0,584 e desvio-padrão 1,643. A Tabela 2.3 descreve o processo de obtenção dos valores esperados para os dados do Exemplo 2.1. O próximo passo é dispor os pares ordenados (x,y) num eixo cartesiano e comparar a disposição dos pontos com a reta de 45º. A Figura 2.1 traz esse gráfico. 10

11 Tabela 2.2: Amostra ordenada x: dados i:observação ordenados 1-3, , , ,87 5-1, , , , , , , , , , , , , , , ,045 Média -0,584 DP 1,643 Note que, na Figura 2.1, os pontos parecem estar aleatoriamente distribuídos ao redor da reta de 45º. Isso nos leva a concluir que a distribuição normal pode ser uma boa candidata a distribuição geradora desses dados. No entanto, esse método é puramente descritivo e deve ser utilizado com cuidado. Um cuidado a ser tomado é com o tamanho amostral. São necessárias muitas observações para que esse tipo de técnica seja realmente eficaz. A Figura 2.2, traz informações sobre os mesmos retornos, só que no período entre 20/04/2011 e 19/04/2012 (250 observações). Analisando-se esse gráfico, somos levados a concluir que a distribuição normal não é adequada para descrever esse conjunto de dados. Essa técnica pode ser utilizada para verificar a aderência de um conjunto de dados a qualquer distribuição de probabilidades. Basta para isso, utilizar a função distribuição acumulada correspondente. Além disso, sugere-se que os parâmetros da distribuição sejam estimados a partir dos dados. 11

12 Vários pacotes estatísticos e econométricos já trazem opções para a construção de gráficos semelhantes aos aqui apresentados. Variações desse método surgem com os nomes: Gráficos QQ, Gráficos de quantis, Gráficos PP, etc. A planilha GraficodeProbabilidade.xlsx traz a memória de cálculo associada a este texto. Tabela 2.3: Obtenção dos valores esperados para os dados do Exemplo. i x (amostra ordenada) ( ) 1-3,566 0,025-3, ,971 0,075-2, ,881 0,125-2, ,87 0,175-2, ,738 0,225-1, ,708 0,275-1, ,557 0,325-1, ,435 0,375-1, ,294 0,425-0, ,741 0,475-0, ,515 0,525-0, ,421 0,575-0, ,300 0,625-0, ,129 0,675 0, ,325 0,725 0, ,752 0,775 0, ,831 0,825 0, ,097 0,875 1, ,129 0,925 1, ,045 0,975 2,636 12

13 Valores esperados y: valor esperado Gráfico de probabilidade normal x: valor observado Figura 2.1: Gráfico de probabilidade normal Gráfico de probabilidade normal 0,080 0,060 0,040 0,020 0,000-0,100-0,080-0,060-0,040-0,020-0,0200,000 0,020 0,040 0,060-0,040-0,060-0,080-0,100 Valores observados Figura 2.2: Gráfico de probabilidade normal para 250 observações (dados de 1 ano) 13

14 3. Teste de Jarque-Bera O teste de aderência de Jarque-Bera pode ser utilizado para verificar se um conjunto de dados segue uma distribuição normal. A estatística do teste é dada por sendo [ ] respectivamente, os coeficientes de assimetria e curtose, com ( ) (variância). Sob a hipótese de normalidade dos dados segue uma distribuição qui-quadrado com dois graus de liberdade. Quanto maior for o valor dessa estatística, menor a evidência de que a distribuição é de fato normal. Este teste baseia-se no fato de numa distribuição normal espera-se observar valores de e iguais a zero. e 14

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