Teoria do Consumidor:

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1 Teoria do Consumidor: Excedente do consumidor e equação de Slutsky 28 de março de 2010

2 Sumário A função de utilidade indireta Função dispêndio e demanda compensada Medidas de variação de bem estar individual Equação de Slutsky O problema de minimização dos gastos Exercícios

3 Sumário A função de utilidade indireta Definição Função dispêndio e demanda compensada Medidas de variação de bem estar individual Equação de Slutsky O problema de minimização dos gastos Exercícios

4 Função de utilidade indireta Definição Sejam as funções de demandax 1 (p 1,p 2,m) e x 2 (p 1,p 2,m) resultantesda solução do problema de maximizara função de utilidadeu(x 1,x 2 ) dada a restrição orçamentáriap 1 x 1 +p 2 x 2 =m. A função de utilidade indireta, notada por V(p 1,p 2,m), retorna, para os valores de p 1, p 2 e n a utilidade obtida ao se resolver esse problema V(p 1,p 2,m) =U(x 1 (p 1,p 2,m),)x 2 (p 1,p 2,m))

5 Exemplo preferências Cobb-Douglas Função de utilidade U(x 1,x 2 ) =x 1 a x 2 1 a, 0<a<1 Funções de demanda x 1 (p 1,p 2,m) =a m p 1 e x 2 (p 1,p 2,m)=(1 a) m p 2 Função de utilidade indireta V(p 1,p 2,m)= a mp1 a (1 a) mp2 1 a =a a (1 a) 1 a m p 1 a p 2 1 a

6 Sumário A função de utilidade indireta Função dispêndio e demanda compensada Função dispêndio Medidas de variação de bem estar individual Equação de Slutsky O problema de minimização dos gastos Exercícios

7 Definições A função de dispêndio,notada por e(p 1,p 2,u), é uma função que retorna a resposta à seguinte questão: que renda deve ser dada a um consumidor para garantir que, com essa renda, dadosos preços p 1 e p 2, ele obtenha,ao maximizar sua utilidade, o nível de utilidade u? Desse modo,e(p 1,p 2,u) é definida por V(p 1,p 2,e(p 1,p 2,u)) =u

8 Exemplo: preferências Cobb-Douglas A função de utilidade indireta m V(p 1,p 2,m)=a a (1 a) 1 a p a 1 p 1 a 2 Função dispêndio: V(p 1,p 2,e(p 1,p 2,u)) =u a a (1 a) 1 ae(p 1,p 2,u) p 1 a p 2 1 a =u e(p 1,p 2,u)=u p 1 a p 2 1 a a a (1 a) 1 a

9 Observações Se considerarmos u uma constante, a função e(p 1,p 2,u) passa a ter apenasdois argumentos e seu gráfico descreverá a superfície de iso-utilidade indireta associada ao nível de utilidadeu. Se adicionalmenteconsiderarmosp 2 uma constante,afunção e(p 1,p 2,u) para a ter apenas um argumento variável e seu gráfico será uma curva de iso-utilidade indireta.

10 Preferências Função dispêndio e curvas de iso-utilidade indireta m V(p 1,p 2,m) =u 2 m=e(p 1,p 2,u 2 ) V(p 1,p 2,m) =u 1 m=e(p 1,p 2,u 1 ) V(p 1,p 2,m) =u 0 m=e(p 1,p 2,u 0 ) p 1

11 Funções de demanda compensada Definimos as funções de demanda compensada ou hicksiana pelos bens 1 e 2, notadas respectivamentepor h 1 (p 1,p 2,u) e h 2 (p 1,p 2,u) como e h 1 (p 1,p 2,u)=x 1 (p 1,p 2,e(p 1,p 2,u)) h 2 (p 1,p 2,u)=x 2 (p 1,p 2,e(p 1,p 2,u))

12 Exemplo: preferências Cobb-Douglas Funções demanda e dispêndio x 1 (p 1,p 2,m)=a m p 1 e(p 1,p 2,u)=u p 1 a p 2 1 a a a (1 a) 1 a Função demanda compensada (bem 1) h 1 (p 1,p 2,u) =x 1 (p 1,p 2,e(p 1,p 2,u)) u p 1 a p 1 a 2 a =a a (1 a) 1 a a =u p 1 1 a p 1 a 2 p 1

13 Preferências Exemplo: derivando curvas com p 2 =1 x 2 m 1 u(x 1,x 2 )=u m 1 m m=e(p 1,1,u ) v(p 1,1,m) =u m 0 m 0 p 1 1 p 0 1 x 1 p 1 p 1 x 1 1 x 0 1 p 0 1 p 1 1 p 1 1 p 0 1 h 1 (p 1,1,u ) x 1 x 1 1 x 0 1

14 Preferências e(p 1,p 2,u) é côncava em relação a p 1 m m=p 1 x 1 +p 2 x 2 x 1 m=e(p 1,p 2,u ) v(p 1,p,m) =u 2 m p 2 x 2 p 1 p 1 x 1 =h 1(p 1,p 2,u ) x 2 =h 2(p 1,p 2,u ) u =U(x 1,x 2 ) =V(p 1,p 2,m )

15 Lema de Shephard e(p 1,p 2,u) =h 1 (p 1,p 2,u) p 1 e(p 1,p 2,u) =h 2 (p 1,p 2,u) p 2

16 Exemplo: preferências Cobb-Douglas Função dispêndio e(p 1,p 2,u)=u p 1 a p 2 1 a a a (1 a) 1 a Função demanda compensada: h 1 (p 1,p 2,u) = e(p 1,p 2,u) p 1 = u p 1 a p 1 a 2 p 1 a a (1 a) =au p 1 a 1 p 1 a 2 1 a a a (1 a) 1 a a p 2 =u 1 a p 1 1 a

17 Preferências Curvas de iso-utilidade indireta para bens normais m p 1

18 Curvas de iso-utilidade indireta para bens inferiores m p 1

19 Curvas de iso-utilidade indireta para preferências quase-lineares m p 1

20 Lei da demanda compensada A demandacompensadade um bem é não crescente em relação ao preço desse bem, ou seja p 1 1 >p0 1 h 1(p 1 1,p 2,m) h 1 (p 0 1,p 2,m) Observação: A lei da demandanão é válida para a demanda não compensada,uma vez que os bens Giffen são teoricamente possíveis.

21 Preferências Curvas de demanda marshalliana e de demanda compensada bem normal p 1 h 1 (p 1,p 2,v(p1 1,p 2,m )) p 0 1 h 1 (p 1,p 2,v(p0 1,p 2,m )) p 1 1 x 1 (p 1,p 2,m ) x 1

22 Preferências Curvas de demanda marshalliana e de demanda compensada bem inferior p 1 x 1 (p 1,p 2,m ) p 0 1 h 1 (p 1,p 2,v(p 1,p 2,m )) x 1

23 Preferências Curvas de demanda marshalliana e de demanda compensada preferências quase-lineares p 1 p 0 1 x 1 (p 1,p 2,m ) =h 1 (p 1,p 2,v(p0 1,p 2,m )) =h 1 (p 1,p 2,v(p1 1,p 2,m )) p 1 1 x 1

24 Sumário A função de utilidade indireta Função dispêndio e demanda compensada Medidas de variação de bem estar individual Variação compensatória Variação equivalente Comparações Excedente do consumidor Equação de Slutsky O problema de minimização dos gastos Exercícios

25 Variação compensatória Seja uma mudança nos preços e na renda do consumidordos valores iniciais (p 0 1,p0 2,m0 ) para os valores finais (p 1 1,p1 2,m1 ). Associada a essa mudança definimos a variação compensatória na renda desse consumidor(vc) como a redução na renda (ou o negativo do aumentona renda) necessária(o) para fazer com que, a partir dos preços e renda finais (p 1 1,p1 2,m1 ), o consumidor volteaobter em equilíbrio, o mesmo nível de utilidadeque obtia com os preços e renda originais, (p 0 1,p0 2,m0 ).

26 Variação compensatória definições equivalentes Usando a função de utilidade indireta: V(p 1 1,p1 2,m1 VC) =V(p 0 1,p0 2,m0 ) Usando a função dispêndio: VC=m 1 e(p 1 1,p1 2,V(p0 1,p0 2,m0 ))

27 Preferências Representação gráfica redução em p 1 m V(p 1,p 2,m) =u 1 m=e(p 1,p 2,u 1 ) V(p 1,p 2,m) =u 0 m=e(p 1,p 2,u 0 ) m VC p 1 1 p 0 1 p 1

28 Preferências Representação gráfica aumento em p 1 m m VC V(p 1,p 2,m) =u 0 m=e(p 1,p 2,u 0 ) V(p 1,p 2,m) =u 0 m=e(p 1,p 2,u 0 ) p 0 1 p 1 1 p 1

29 Redução em p 1 representação alternativa. x 2 p 0 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =e(p 1 1,p 2,V(p 0 1,p 2,m)) VC p 2 E 0 E c E 1 x 1

30 Variação equivalente Seja uma mudança nos preços e na renda do consumidordos valores iniciais (p 0 1,p0 2,m0 ) para os valores finais (p 1 1,p1 2,m1 ). Associada a essa mudança definimos a variação equivalente na renda desse consumidor(ve) como o aumento na renda (ou o negativo da redução na renda) necessário(a) para fazer com que, a partir dos preços e renda iniciais (p 0 1,p0 2,m0 ), o consumidor passasse a obter em equilíbrio, o mesmo nível de utilidade que obteria com os preços e renda finais, (p 1 1,p1 2,m1 ).

31 Variação equivalente definições equivalentes Usando a função de utilidade indireta: V(p 0 1,p0 2,m0 +VE) =V(p 1 1,p1 2,m1 ) Usando a função dispêndio: VE=e(p 0 1,p0 2,V(p1 1,p1 2,m1 )) m 0

32 Preferências Representação gráfica redução em p 1 m m VE V(p 1,p 2,m) =u 1 m=e(p 1,p 2,u 1 ) V(p 1,p 2,m) =u 0 m=e(p 1,p 2,u 0 ) p 1 1 p 0 1 p 1

33 Preferências Representação gráfica aumento em p 1 m V(p 1,p 2,m) =u 1 m=e(p 1,p 2,u 1 ) V(p 1,p 2,m) =u 0 m=e(p 1,p 2,u 0 ) m VE p 0 1 p 1 1 p 1

34 Redução em p 1 representação alternativa. x 2 p 0 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =e(p 0 1,p 2,V(p 1 1,p 2,m)) VE p 2 E 0 E c E 1 x 1

35 Preferências VC e VE redução em p 1 m m VC VE V(p 1,p 2,m) =u 1 m=e(p 1,p 2,u 1 ) V(p 1,p 2,m) =u 0 m=e(p 1,p 2,u 0 ) p 1 1 p 0 1 p 1

36 Preferências VC e VE aumento em p 1 m m VE VC V(p 1,p 2,m) =u 0 m=e(p 1,p 2,u 0 ) V(p 1,p 2,m) =u 1 m=e(p 1,p 2,u 1 ) p 0 1 p 1 1 p 1

37 Comparando as medidas Variação apenas no preço de um bem Bens normais VC<VE Bens inferiores VC>VE Preferências quase-lineares VC = VE

38 Variação compensatória e equivalente e demanda compensada O caso de uma mudança em p 1 Variação compensatória VC=e(p 0 1,p 2,u 0 ) e(p 1 1,p 2,u 0 ) Variação equivalente = p 0 1 p 1 1 VE=e(p 0 1,p 2,u 1 ) e(p 1 1,p 2,u 1 ) = p 0 1 p 1 1 h 1 (p 1,p 2,u 0 )dp 1 h 1 (p 1,p 2,u 1 )dp 1 Nas quais u 0 =V(p 0 1,p 2,m) e u 1 =V(p 1 1,p 2,m)

39 Preferências Variações compensatória e equivalente como áreas Var. compensatória p 1 Variação equivalente p 1 h 1(p 1,p 2,u 1 ) p 0 1 p 1 1 VC x 1(p 1,p 2,m) p 0 1 p 1 1 VE x 1(p 1,p 2,m) h 1(p 1,p 2,u 0 ) x 1 x 1

40 Excedente do consumidor Em se tratando de um bem com demanda independente da renda (preferências quase-lineares), as duas áreas do slide anterior coincidem e são chamadas variação no excedente do consumidor.

41 Preferências Uma medida aproximada p 1 p 0 1 p 1 1 CS x 1(p 1,p 2,m) x 1

42 ANPEC concurso 2008, questão 2 Um consumidor tem a função de utilidade U(x,y) =x α y 1 α, com 0<α<1, em quex é a quantidadedo primeiro bem e y a do segundo. Os preços dos bens são, respectivamente,peq, e m é a renda do consumidor. Julgue as afirmações: 0. A demanda do consumidor pelo primeiro bem será x =m/p F 1. A demanda do consumidor pelo segundo bem será y =(1 α)m/αq F 2. Se m=1.000, α =1/4 e q=1, então o consumidor irá adquirir 250 unidades do segundo bem. F

43 ANPEC concurso 2008, questão 2 3. Suponhaque: m=288, α =1/2 e p=q=1. Se q quadruplicar, será necessário triplicar a renda do consumidorpara que ele fique tão bem quanto antes, pelo cálculo de sua variação compensatória. F 4. Suponhaque m=288, α =1/2 e imagine que, após uma situação inicial em que p=q=1, q tenha quadruplicado. Pelo cálculo da variação equivalente, a variação de bem-estar corresponderá à redução de sua renda à metade, aos preços iniciais. V

44 Questão 02 de 2007 Sendo U(x, y) a função que representa a utilidade atribuída por um consumidorauma cesta (x,y) qualquer, julgue as proposições: 0. Se U(x,y) =x α y β, sendo α e β dois números positivos, as preferências do consumidor não são bem-comportadas. F 1. Se U(x,y) =x+ln(y) e se a demanda é interior, então a variação no excedente do consumidor decorrente de uma variação no preço do bem y mede a variação no bem-estar do consumidor. V

45 Sumário A função de utilidade indireta Função dispêndio e demanda compensada Medidas de variação de bem estar individual Equação de Slutsky Efeitos substituição e renda Efeitos substituição e renda de Slutsky A equação de Slutsky O caso de compra e venda O problema de minimização dos gastos Exercícios

46 Efeitos substituição e renda Definição O efeito substituição associado a uma mudança no preço do bem 1 de p 0 1 para p1, com o preço do 1 bem dois e a renda constantesem p 2 e m é dado por ES=h 1 (p 1 1,p 2,V(p 0 1,p 2,m)) x 1 (p 0 1,p 2,m) =h 1 (p 1 1,p 2,V(p 0 1,p 2,m)) h 1 (p 0 1,p 2,V(p 0 1,p 2,m)) Definição O efeito renda associado a uma mudançano preço do bem 1 de p 0 1 para p1, com o preço do bem dois 1 e a renda constantesem p 2 e m é dado por ER =x 1 (p 1 1,p 2,m) h 1 (p 1 1,p 2,V(p 0 1,p 2,m))

47 Preferências Ilustração gráfica redução de preço, bem normal p 1 p 0 1 h 1 (p 1,p 2,v(p0 1,p 2,m )) p 1 1 x 1 (p 1,p 2,m ) ef. substituição ef. renda ef. total x 1

48 Preferências Ilustração gráfica aumento de preço, bem inferior p 1 x 1 (p 1,p 2,m ) p 0 1 h 1 (p 1,p 2,v(p 1,p 2,m )) ef. substituição ef. renda ef. total x 1

49 Outra ilustração gráfica bem normal, redução em p 1 x 2 p 0 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =e(p 1 1,p 2,V(p 0 1,p 2,m)) E 0 E c E 1 Efeito substituição Efeito preço Efeito renda x 1

50 Três possibilidades Bens normais: Efeitos substituição e renda têm a mesma direção. Bens inferiores ordinários: Efeitos substituição e renda têm sinal contrário e efeito substituição é maior, em módulo, ao efeito renda. Bens de Giffen: Efeitos substituição e renda têm sinal contrário e efeito renda é maior, em módulo, ao efeito substituição.

51 Efeitos substituição e renda de Slutsky Convenções p 1 =p 1 1 p0 1 x 0 1 =x 1(p 0 1,p 2,m) Definições: Os efeitos substituição e renda de Slutsky (respectivamente ESS e ERS) associados a uma mudançano preço do bem 1 de p 0 1 para p1 1, com o preço do bem dois e a renda constantesem p 2 e m são dados por ESS=x 1 (p 1 1,p 2,m+ p 1 x 0 1 ) x 1(p 0 1,p 2,m) ERS =x 1 (p 1 1,p 2,m) x 1 (p 1 1,p 2,m+ p 1 x 0 1 )

52 Ilustração gráfica x 2 p 0 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =m p 1 1 x 1 +p 2 x 2 =m+ p 1 x 0 1 E 0 E c E 1 Efeito substituição Efeito preço Efeito renda x 1

53 A equação de Slutsky Derivação h 1 (p 1,p 2,u) x 1 (p 1,p 2,e(p 1,p 2,u)) h 1 = x 1 + x 1 e(p 1,p 2,u) p 1 p 1 m p 1 = x 1 p 1 + x 1 m h 1(p 1,p 2,u) = x 1 p 1 + x 1 m x 1(p 1,p 2,e(p 1,p 2,u)) x 1 p 1 = h 1 p 1 x 1 m x 1

54 Equação de Slutsky em elasticidades x 1 p 1 = h 1 p 1 x 1 m x 1 x 1 p 1 = h 1p 1 x 1 mp 1 x 1 p 1 x 1 p 1 h 1 mx 1 m ε 1,1 =ε h1,p 1 s i ε 1,m

55 Preferências Compra e Venda exemplo 1 Efeito de um aumento em p 1 x 2 p 0 1 p 2 ω 1 +ω 2 ω 2 efeito substituição efeito renda comum ω 1 efeito renda dotação x 1

56 Preferências Compra e Venda exemplo 2 Efeito de um aumento em p 1 x 2 p 0 1 p 2 ω 1 +ω 2 ω 2 efeito substituição efeito renda comum ω 1 efeito renda dotação x 1

57 O caso de compra e venda A função de demandado bem 1 é x 1 (p 1,p 2,m(p 1,p 2 )) na qual m(p 1,p 2 ) p 1 ω 1 +p 2 ω 2. Assim dx 1 dp 1 = x 1 p 1 + x 1 m ω 1 dx 1 dp 1 = h 1 p 1 + x 1 m (ω x 1) Caso o bem 1 seja normal e o consumidorseja ofertante líquido desse bem, o efeito renda total (ordinário + dotação) terá sinal contrário ao efeito substituição.

58 Sumário A função de utilidade indireta Função dispêndio e demanda compensada Medidas de variação de bem estar individual Equação de Slutsky O problema de minimização dos gastos O problema Funções dispêndio e demanda compensada Exercícios

59 Minimização de gastos Qualéovalor da cesta de bens mais barata que garanta que um consumidor com preferências representadas por uma função de utilidade U(x 1,x 2 ) atinja um nível mínimo de utilidadeū? Trata-se de resolver o problema: min x 1,x 2 p 1 x 1 +p 2 x 2 sujeito au(x 1,x 2 ) ū

60 Preferências Solução gráfica Curvas de isocusto x 2 Solução x 2 p1x 1 +p 2 x 2 =c 0 p1x 1 +p 2 x 2 =c 1 p1x 1 +p 2x 2 =c 2 TMS = p 1 p 2 tan = p 1 p2 h 2 U(x 1,x 2 ) =ū x 1 h 1 x 1

61 Solução matemática O problema min x 1,x 2 p 1 x 1 +p 2 x 2 sujeito au(x 1,x 2 ) ū O Lagrangiano L =p 1 x 1 +p 2 x 2 λ(u(x 1,x 2 ) ū) Condições de 1ªordem UMg 1 = p 1 UMg 2 p 2 U(x 1,x 2 )=ū

62 Funções de demanda compensada e função dispêndio Função de demanda compensada Sejam h 1 (p 1,p 2,u) e h 2 (p 1,p 2,u) as funções que geram as quantidadesótimas dos bens 1 e 2, respectivamente, para o problema de minimização de gastos. Elas são chamadas funções de demanda compensadas ou funções de demanda hicksianas. A função dispêndio A função dispêndio,notadapor e(p 1,p 2,u), é a função que determina o gasto ótimo associado ao problema de minimização de gasto. Ela é definida por e(p 1,p 2,u) p 1 h 1 (p 1,p 2,u)+p 2 h 2 (p 1,p 2,u)

63 ANPEC 2009 Questão 1 Considere uma função de utilidade Cobb-Douglas U=q α 1 qα. Julgueas afirmativas abaixo: 2 0. A demanda hicksiana pelo bem 1 tem a forma q 1 =U p ρ 1 +pρ 2 1/ρ, em que ρ =0,75. F 1. A sensibilidade da demanda hicksiana do bem 1 em relação ao preço do bem 2 é igual à sensibilidade da demanda hicksiana do bem 2 ao preço do bem 1. V 2. A demanda marshalliana pelo bem 1 tem a forma q 1 =Ap 1 α p α 1 W, em que A é uma 2 1 função de α e em que W é a renda do consumidor. 3. O efeito-rendapara esta função é dado por ( α 2 W)/p Para esta função de utilidade,oefeito renda é igual ao efeito substituição. F F V