À Volta da Roda. Paulo Ventura Araújo. 1. Introdução. Centro de Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

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1 À Volta da Roda Paulo Ventura Araújo Centro de Mateática, Faculdade de Ciências da Universidade do Porto 1. Introdução Neste artigo discutios alternativas para a tradicional roda circular. O princípio que nos guia é que, por ais estranhas que seja as rodas do nosso veículo, não é ipossível que ele circule se solavancos: basta que o faça e pista especialente adaptada para o efeito. Restringios a nossa discussão aos trevos de três ou ais folhas: trata-se de rodas constituídas por três ou ais arcos de circunferência co o eso raio e aplitude, dispostos de odo a que as extreidades desses arcos (que são tabé os pontos couns a dois arcos contíguos) fique todos situados sobre a esa circunferência, e o centro desta últia circunferência pertença a cada ua das circunferências que contê os arcos. Na figura abaixo representa-se os trevos de três e quatro folhas. ao dobro do das folhas do trevo. A figura abaixo ostra o trevo de cinco folhas apoiado na respectiva pista, sendo a trajectória do centro dada pela recta a tracejado. Apresentaos na próxia secção ua prova eleentar de que estas pistas proporciona ao centro do trevo u oviento rectilíneo. Ua outra consideração, não enos iportante para o conforto dos passageiros, é que não haja oscilações abruptas de velocidade; e nisto os trevos são francaente desaconselháveis: u otor convencional transitiria ao eixo do veículo, e portanto à roda, ua velocidade de rotação se variações bruscas; as ua velocidade angular unifore do trevo counica ua velocidade altaente não unifore ao seu centro. No caso do trevo de três folhas, por exeplo, a velocidade áxia é o dobro da ínia; e, por cada rotação copleta da roda, a velocidade do centro oscila três vezes entre a áxia e a ínia. 1 Este resultado, que por certo Ua pista ajustada a estas rodas é ua que perita que o centro da roda tenha oviento rectilíneo; no caso dos trevos, vereos que essa pista é tabé ela constituída por arcos de circunferência, as de raio igual 1 Para que u carro co rodas e trevo de três folhas, cada ua delas co 1,5 de períetro, se desloque a ua velocidade édia de 100 k/h, estas tê que copletar cerca de,4 voltas por segundo; isto resulta e ais de 67 oscilações de velocidade por segundo, entre u áxio de 10 k/h e u ínio de 60 k/h, o que é se dúvida ortífero. 4

2 desencoraja o fabrico e série destes veículos, é deonstrado no final da próxia secção. Ua pergunta a que respondeos na nossa terceira secção é a de saber e que condições u ponto, ligado rigidaente a u círculo que roda se escorregar e torno de outro círculo, te oviento rectilíneo. Mostraos, usando étodos analíticos, que o único caso e que há tal oviento é quando o círculo óvel te etade do diâetro do círculo fixo e roda no interior deste; alé disso, o ponto deve pertencer à circunferência do círculo óvel. Assi, os trevos que aqui consideraos são, nu certo sentido, as únicas rodas razoáveis que são liitadas por arcos de circunferência e roda se solavancos e pistas tabé foradas por arcos de circunferência. As curvas geradas pelo oviento de círculos óveis e torno de círculos fixos recebe o noe de trocóides, e fora objecto de ua classificação exaustiva. Exibios alguns exeplos de trocóides na nossa últia secção, onde fazeos ua breve descrição das hipociclóides e epiciclóides, que são as trocóides geradas por pontos no períetro do círculo óvel. Para ais exeplos reeteos o leitor ao recente livro [R] ou ao clássico [T], e especial ao capítulo X deste últio. cada ponto de D é u diâetro de C. Deonstração. Na figura e baixo, C e D estão inicialente e contacto no ponto Q de C, e A é o centro de C. Quereos ostrar que a trajectória do ponto P de D que no instante inicial está e Q é o diâetro RQ de C. Dado ] π, π ], seja Q() o ponto de C tal que o arco (orientado) de Q para Q() te aplitude. Se rodaros D até contactar co C e Q(), o novo ponto de D e contacto co C liita, co o ponto de contacto inicial P, u arco e D de copriento igual ao arco QQ() e C; e, coo o raio de D é etade do de C, a aplitude do arco e D é o dobro do arco e C, ou seja. Assi, quandod ocupa a posição D() (ver figura), a posição P() de P é dada pela condição de o arco orientado de P() para π Q() ter aplitude. Daqui resulta que P( ) A = e P(π)=R; e assi, para ostrar que P() percorre o diâetro RQ, π basta, por sietria, considerar o caso e que 0 < <.. U olho de trevos Procedeos nesta secção ao estudo dos trevos de n folhas (onde n 3) e à construção da respectiva pista. Coo dizeos na introdução, os arcos (ou folhas) que constitue os trevos prolonga-se a circunferências que passa pelo centro do trevo, e roda sobre arcos de circunferência de raio duas vezes aior. Assi sendo, o resultado seguinte é a chave para justificar o oviento rectilíneo do centro. Proposição. Suponhaos que C e D são circunferências no plano, a prieira fixa e a segunda rodando interiorente, se escorregar, e torno da prieira. Se o raio de D for etade do de C, então a trajectória de Já ostráos que P() está na sei-recta co orige no ponto édio M do segento AQ( ) e que faz u ângulo co o vector MQ( ). Seja T a intersecção dessa seirecta co a recta RQ, e considereos o triângulo MTA: o seu ângulo externo e M ede, e é igual à soa dos seus ângulos internos e T e A; logo T= A=, MTA é isósceles de base TA, e T pertence a D (). Teos então P()=T, o que conclui a deonstração. 5

3 Interessa-nos ainda relacionar a velocidade angular da circunferência D co a velocidade escalar do ponto P. Para isso, observaos que, quando D se desloca da posição inicial para D(), o raio vector do ponto P, que inicialente é horizontal, vai ocupar a posição MP( ), o que significa que D sofre ua rotação de. Alé disso, a recta P()Q() é ortogonal a RQ (o triângulo MP()Q() da figura é isósceles, e portanto MP()Q()= π ); e daí veos que, se 0<<π, o ponto P sofre, desde a posição inicial, u deslocaento l()=r rcos, onde r é o raio de C. Suponhaos agora que o oviento de D e torno de C é dado por ua função =(t) do tepo t. Da fórula anterior obteos então, para a velocidade do ponto P, dl dl d d = = r( sen ). dt d dt dt Esta fórula pode ser reescrita de fora ais conveniente se toaros o valor absoluto de abos os seus ebros. Assi, chaando ω = d dt à velocidade angular de D, υ= dl à velocidade escalar de P, e α 0, dt π / ao ângulo (não orientado) entre as rectas AQ e AQ(), teos υ=rωsenα, (1) fórula esta que é válida se quaisquer restrições e. Logo, eso que ω seja constante, a velocidade escalar de P é variável, oscilando entre 0 e rω. [ ] Vaos agora aos trevos, coeçando por calcular a aplitude angular de cada ua das suas folhas. Os vértices (ou seja, as extreidades dos arcos) de u trevo de n folhas divide a circunferência que os conté e n partes iguais, e portanto cada par de vértices consecutivos define, co o centro do trevo, u ângulo de π/n; e, coo o centro pertence à circunferência de cada arco, esse arco te ua aplitude de 4π/n. Alé disso, vê-se se dificuldade que o ângulo (externo) e cada vértice do trevo é π π/n. Quanto à pista, ela é constituída por ua infinidade de arcos de raio duplo do das folhas do trevo, dispostos lado a lado horizontalente; cada arco da pista deve ter copriento igual ao de ua folha do trevo, e portanto aplitude de π/n. Toaos, coo posição inicial do trevo na pista, aquela e que o ponto édio de ua das folhas se apoia no ponto édio de u dos arcos da pista, e portanto o centro do trevo coincide co o centro da circunferência do arco. Nessas condições, a trajectória do centro do trevo é a recta (horizontal) que conté os centros das circunferências dos arcos. De facto, quando o trevo rola até se apoiar nu vértice da pista, o ponto de apoio é u vértice do trevo; e, pelo que vios atrás, a posição do centro do trevo nesse instante é a intersecção da vertical pelo ponto de apoio (ou seja, pelo vértice) co a dita recta horizontal. Alé disso, o ângulo entre sucessivos arcos da pista é π π/n, igual àquele entre as folhas do trevo, de odo que, ao rolar, a transição de u arco para o seguinte se faz suaveente. Finalente, relacionaos a velocidade angular do trevo co a velocidade escalar do seu centro (ou, dito de outro odo, co a velocidade a que se desloca o veículo equipado co tais rodas). Chaaos ω à velocidade angular do trevo, que supoos constante, e r/ ao raio das suas folhas; o raio dos arcos da pista é então igual a r. O ângulo α que Para seros francos, há u problea co o trevo de três folhas, pois os ângulos do trevo e da pista são agudos, iguais a π/3; e, pouco antes de o trevo atingir cada vértice da pista, esse vértice toca e até perfura ligeiraente a folha do trevo e que este se apoiaria quando ultrapassado o vértice. E rigor, assi, esse trevo não pode ser usado na prática. Mas esse problea não se põe co trevos de quatro ou ais folhas, pois os ângulos e causa são então rectos ou obtusos. 6

4 aparece na fórula (1) é ínio, igual a π π n, quando o trevo se apoia nu dos vértices, e é áxio, igual a π, quando se apoia no ponto édio de u dos arcos. Assi, por cada arco percorrido, a velocidade υ do veículo oscila entre u áxio e ínio respectivaente iguais a rω e π π r ω sen n. No caso do trevo de três folhas (n=3) o prieiro valor é duplo do segundo; para n=4, essa razão baixa para ; quanto aior for n enor será a razão, e o enjoo do passageiro diinuirá proporcionalente. 3. Trocóides rectilíneas Ua trocóide é a curva descrita por u ponto rigidaente ligado a u círculo óvel que roda se escorregar e torno de u círculo fixo. O objectivo desta secção é ostrar que as únicas trocóides que são segentos de recta corresponde ao caso estudado na secção anterior: o ponto gerador pertence ao períetro do círculo óvel, que roda interiorente no círculo fixo e te etade do diâetro deste últio. Chaaos à razão entre o raio da circunferência óvel D e o da circunferência fixa C. Convencionaos que é positivo quando C e D são tangentes interiorente, e negativo no caso de sere exteriores ua à outra; assi, pode toar qualquer valor e IR {0,1}. Na figura A encontra-se representado o caso e que 0<<1: A é o centro de C, B o ponto de tangência inicial, e P o centro de D na sua posição inicial. Vejaos de seguida qual a rotação sofrida por D quando rola até ao novo ponto de tangência D definido pelo ângulo (orientado) na figura. O ponto C é tal que o arco orientado BC te aplitude /; logo, o copriento deste arco é igual ao de BD, e C é ponto de D que vai contactar co C e D. Assi, e coo ilustra a figura (onde C, P, B são as iagens de C, P, B por ua esa translação), D sofre, entre as duas posições, ua rotação de /; e é fácil de ver que a esa fórula se anté válida quando >1 ou <0. Para prosseguir, supoos que a circunferência fixa C te raio 1, e fixaos u sistea ortonoral de eixos co orige e A e no qual B te coordenadas (1, 0). Introduzios ainda os vectores r u() = ( cos, sen ) e r v() = ( sen, cos ). Quando o ponto de tangência copleta u arco (orientado) de aplitude e C, o centro de D ocupa a posição P()=(1 ) u(). r Figura A Figura B 7

5 ] ] Para descrever o oviento de u ponto Q rigidaente ligado à circunferência D, é conveniente toar u referencial óvel; ou seja, u par de vectores ortonorais, aplicados e P(), que acopanhe o oviento rotativo de D (ver figura B). Ua escolha possível, pelo que vios dois parágrafos atrás, é o par r u( ), r v( ). Assi, a equação do oviento de u ponto Q que, no referencial r r ( Pu ; ( 0), v( 0 )), tenha, na posição inicial (=0), coordenadas polares ρ, 0 (onde ρ 0 e 0 π, π ) é r Q() = P() + ρcos u ρsen v + r 0 0 r r = + + r ( 1 ) u( ) ρcos 0u ρsen 0v. () Podeos dar outro aspecto a esta fórula se expriiros r u( ) e r v( ) à custa de u() r e v() r ; ais geralente, teos r r r u( + ϕ) = cos ϕu() + sen ϕv(), r r r v( + ϕ) = sen ϕu() + cos ϕv(), de onde, toando ϕ = e substituindo e (), obteos r r Q() = 1 + ρcos 0 u() ρsen 0 v(). (3) Co esta notação, podeos enunciar o nosso resultado do seguinte odo: Teorea. Se o traço da curva Q() for u segento de recta então ρ= = 1. A condição = 1 exprie não só que o raio de D é etade do de C, as ainda que D rola no interior de C; a igualdade ρ= é equivalente a que o ponto Q pertença a D. Alé de sere necessárias, estas duas condições são, coo vios na secção anterior, suficientes para que Q tenha oviento rectilíneo. Ressalvaos que a prova do teorea fornece de facto u resultado ais forte: se falhar algua das condições enunciadas, então a curva descrita por Q não conté segentos de recta. A deonstração do teorea depende de u lea que fornece ua condição necessária para que o traço de ua curva paraétrica seja u segento de recta: Lea. Seja I IR u intervalo não degenerado e α: I IR ua curva duas vezes derivável. Se o traço α(i) for u segento de recta, então os vectores velocidade e aceleração da curva são linearente dependentes e cada instante t I. 3 Deonstração. Seja R u ponto da recta que conté α(i), e ω r u versor da esa recta. Podeos então r escrever α() t = R+ λ() t ω, onde, ua vez que se te r λ() t = α( t) R, ω, a função escalar λ(t) é tabé ela duas vezes derivável. Da expressão de α(t) obteos α () t = λ () t ω r e α () t = λ () t ω r, igualdades estas que ostra que α () t e α () t são linearente dependentes. Para aplicaros o lea, teos que calcular as duas prieiras derivadas de Q(). No intuito de facilitar os cálculos, fazeos uso das igualdades r r u () = v () e r v () = r u (), que relaciona os vectores u() r e v() r co as suas derivadas. Derivando (3), obteos então 1 r = + + r Q () ρsen 0 u() ρcos 0 v(), 1 = r r Q () ρcos u() + sen v() 0 ρ O eso enunciado é válido não só no plano, as para curvas no espaço euclidiano de qualquer diensão. Se a curva α for regular (ou seja, se α (t) nunca for nulo), então a condição descrita é tabé suficiente para que o traço de α seja rectilíneo; as não fareos aqui uso desse facto. 8

6 Ua vez que u() r e v() r são linearente independentes, os vectores Q () e Q () são linearente dependentes se e só se a atriz x forada pelos coeficientes de u() r e v() r nas fórulas anteriores tiver deterinante zero. O valor desse deterinante é ( ) 3 3 d ( ) = ρ + ρ cos (4) 0. Ora, ua expressão do tipo a+bcosϕ, onde a e b são constantes, só é constante e igual a zero nu certo intervalo ϕ 0 <ϕ<ϕ 1 se for a=b=0. Se suposeros que a curva Q() conté algu segento de recta, então, pelo lea, d() anula-se ao longo de algu intervalo não trivial; e, igualando a zero o tero constante e o coeficiente de cos 0 e (4), obteos (atendendo a que 0 1) ρ= = 1. Isto copleta a deonstração do teorea. 4. Hipociclóides e epiciclóides Retoando a notação e terinologia da secção anterior, as trocóides geradas por pontos no períetro do círculo óvel D dize-se hipociclóides se C e D fore tangentes interiorente u ao outro, e epiciclóides se o fore exteriorente. De facto, esta noenclatura (epregue e [T] e e [R]) não é uito feliz na distinção que estabelece, pois, coo vereos adiante, as epiciclóides são tabé hipociclóides (esta observação aparece e [T] as escapou ao autor de [R]). Coeçaos por fixar ua paraetrização canónica destas curvas. Supoos, coo anteriorente, que C te raio 1 e que IR {0, 1} é a razão (co sinal) entre o raio de D e o de C, de odo que o raio de D é. Se escolheros u sistea de eixos e que o ponto gerador tenha, na posição inicial, coordenadas (1,0), então a - ciclóide (hipociclóide se >0, epiciclóide se <0) é dada por ( ) = ( ) ( ) + F r u r u 1. (5) Esta equação corresponde ao caso ρ= da fórula () e à escolha, na esa fórula, do ângulo 0 =0 se >0, e do ângulo 0 =π se <0. De seguida estudaos alguas propriedades das -ciclóides. Afiraos que F é periódica se e só se for racional. De facto, F é periódica se e só se existir 0 >0 tal que F ( 0 )=F (0)=(1,0), e esta igualdade é equivalente a 0 que os ângulos 0 e 0 seja abos últiplos de π. Supondo que é esse o caso, e resolvendo o sistea 0 0 = kπ 0 = k π, k obteos =, e portanto é racional. k k Reciprocaente, se for racional, escolheos u inteiro k positivo k tal que k/ seja inteiro; e, toando k = k, verificaos que 0 =kπ satisfaz abas as equações do sistea, o que significa que F é periódica de período kπ. Está assi deonstrada a nossa afiração. Supoos agora que é racional, e escreveos =p/q na fora irredutível, sendo p Z e q IN. Pelo que acabáos de ver, o enor período positivo de F é kπ, onde k é o enor natural tal que k é inteiro; e, coo k qk =, daqui veos que k= p. Isso significa que é p necessário que D coplete p voltas a C para que o ponto gerador de F volte ao local de partida (1,0), e que a iage da restrição de F a qualquer intervalo fechado de copriento p π é toda a curva. Trataos e seguida 9

7 de contar o núero de cúspides 4 de F, ou seja, o núero de pontos distintos que a curva te e cou co C. Por (5), veos que F () pertence a C se e só se for r r u( ) = u, o que é equivalente a = kπ, k Z ou ainda = kp π. Veos assi que há q cúspides distintas, q correspondentes aos ângulos 0 4 1, p p q p π, π,..., π q q q ( ). (6) Cada par de cúspides consecutivas (no sentido de distare u ângulo p q π ua da outra) liita u arco e F, que é portanto constituída por q arcos. U fenóeno curioso ocorre se substituiros e (6) o inteiro p por p =q p: ignorando a parcela π, obteos a lista ( ) p 4p q 1 p 0, π, π,..., π, (7) q q q que corresponde exactaente aos esos pontos de (6), ua vez que, para cada j=1,...,q 1, se te ( ) jp q j p π+ π = π, e portanto q q jp q j p π π (odπ). q q A conclusão que tiraos é que, se os parâetros e ( 0,1) fore copleentares (ou seja, tais que + =1) e racionais, então F e F tê exactaente as esas cúspides. O que de facto se passa é ainda ais inesperado: F e F coincide pontualente ua co a outra, e isso acontece co qualquer par, de parâetros copleentares, seja ou não racionais. ( ) Teorea. Se e fore copleentares então F e F tê o eso traço. 5 A ideia da prova é fazer ua udança de variável na paraetrização (5) de F para a transforar nua expressão seelhante, as co no lugar de. Essa udança é de fácil descrição, as convé otivá-la u pouco. Para esse efeito, restringio-nos por agora ao caso e que, são racionais e abos positivos. Nesse caso, teos = p e = p, onde p+p =q e p,p 1; e q q podeos toar, coo doínios fundaentais de F e F (ou seja, que cubra o traço da curva exactaente ua vez), os intervalos 0, pπ [ [ e [ 0, [ p π, respectivaente. Para estabelecer ua correspondência bijectiva entre os dois, basta-nos ultiplicar a variável no prieiro intervalo por p /p= /. Finalente, coparando (6) e (7), veos que as esas cúspides são percorridas por F e F por ordens inversas ua da outra, e convé por isso que a udança de parâetro reflicta a troca do sentido e que a curva é percorrida. Soos assi levados a considerar a nova variável =. De facto, esta udança funciona se qualquer restrição e, : usando a igualdade =1, obteos = e =, de onde, substituindo e (5), tiraos F ()=F ( ), o que conclui a prova do teorea. Nas figuras ostraos alguas -ciclóides para valores racionais de ; a curva correspondente a = 1(ou =) é a cardióide. Para ais exeplos consulte-se [R] ou o 4 Cúspide é u vértice (ou singularidade) onde dois arcos de ua esa curva são tangentes u ao outro. Mostra-se se dificuldade que é esse o caso dos pontos da -ciclóide que pertence à circunferência fixa C. 5 Deste teorea resulta e particular que as epiciclóides, que corresponde a parâetros <0, são tabé as hipociclóides co parâetro 1 >1 (que se obtê quando a circunferência óvel te raio aior que o da fixa). 30

8 capítulo X de [T]; a segunda destas referências conté ainda detalhes históricos e u estudo destas curvas abrangendo uitos aspectos não encionados no presente artigo, e por isso se recoenda especialente Referências [R] John W. Rutter, Geoetry of curves, CRC Press, 000. [T] Francisco Goes Teixeira, Traité des courbes spéciales rearquables - Toe II, Coibra, Iprensa da Universidade, 1909 (reedição Jacques Gabay, Paris, 1995). 6 O autor deste artigo construiu ua aniação no Geoeter s Sketchpad que gera todas as -ciclóides para valores racionais =p/q co p,q {1,,...11}, e dispõe ainda de ua outra aniação co u trevo de n folhas (3 n 8) a rolar na sua pista. Que quiser estas aniações é convidado a pedi-las ao autor por correio electrónico (paraujo@fc.up.pt). 31