Teoria dos Jogos. Prof. Maurício Bugarin ECO/UnB 2013-I. Aula 3 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin. Cap. 1: Jogos Coalizionais sem Pagamentos Laterais

Transcrição

1 Teoria dos Jogos Prof. Maurício Bugarin ECO/UnB 2013-I Cap. 1: Jogos Coalizionais se Pagaentos Laterais Roteiro Capítulo 1: Jogos Coalizionais se Pagaentos Laterais 1. A Fora Coalizional e o Conceito de Núcleo 1. A: Modelage: A Fora Coalizional 1. B: Solução: Núcleo de u Jogo Coalizional 1. C: Aplicação: O algorito de Gale para o ercado das casas (vide final do arquivo Aula 2) 1

2 1. A Fora Coalizional e o Conceito de Núcleo 1.A. A Fora Coalizional Exeplo 2-Econoias de trocas. X = x = ( x1,, xn ) xk R+, k e x = w N N V = 1 n x X e x = w S S ( S) x = ( x,, x ) Aula 2 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin Observação 7-Coo interage os agentes e ua econoia de trocas? (i) Fora coalizões que faze trocas entre si: visão cooperativa: Edgeworth, Matheatical Psychics, (ii) Observa preços, vende suas dotações e copra bens deseados: visão não cooperativa: Walras, Éléents d Éconoie Politique Pure, (iii) Nesta sessão: relacionaos essas duas visões. 2

3 Definição 4-Equilíbrio copetitivo. U equilíbrio copetitivo para ua econoia de trocas é u par (p, x) e que x é ua alocação factível (x X) e p R +, tal que: (1) p.x p.w, N. (2) y X, y > x p.y > p.w. Observação 8-(i) A condição (1) diz que se vender toda sua dotação ao preço de ercado, então terá dinheiro suficiente para coprar a alocação x. Trata-se da restrição orçaentária do agente ou ainda de ua restrição de factibilidade para. (ii) A condição (2) diz que se prefere a alocação y à alocação x, então ele não a adquiriu porque não tinha condições de coprá-la: y é deasiadaente cara para. (iii) O requeriento na definição de que o perfil de cestas escolhidas sea ua alocação factível significa que, para todo be, a soa das deandas individuais é igual à soa de suas ofertas. Assi, no equilíbrio copetitivo, cada ogador está recebendo a cesta preferível dentre todas as que pode coprar, e a deanda agregada é igual à oferta agregada e todos os ercados. Definição 4-Equilíbrio copetitivo. U equilíbrio copetitivo para ua econoia de trocas é u par (p, x) e que x é ua alocação factível (x X) e p R +, tal que: (1) p.x p.w, N. (2) y X, y > x p.y > p.w. Observação 8-(v) U resultado padrão e teoria econôica é que toda econoia de trocas possui u equilíbrio copetitivo, sob condições ínias de regularidade das preferências dos agentes. O teorea a seguir relaciona equilíbrio copetitivo co alocações no núcleo, ostrando que, e geral, o núcleo de ua econoia de trocas não é vazio. 3

4 Teorea 1-Se (p, x) for u equilíbrio copetitivo de ua econoia de trocas, então x está no núcleo dessa econoia. E particular, x é ua alocação eficiente. Deonstração: Suponha, por contradição, que S N e y X sea tais que a alocação y doina a alocação x via S. Então, para todo, y s > s x s. Coo (p,x) é u equilíbrio copetitivo, py s > pw s, para todo. Logo, py > > s pws p ys p ws. Nesse caso, te que existir u be k tal que p k >0 e Mas então y não é factível para S: y V(S), o que é ua contradição. k y s > w k s Exeplo 7-Caixa de Edgeworth, Lente, curva de Pareto e núcleo. Considere ua econoia de trocas co dois consuidores 1 e 2, e dois bens x e y. As alocações iniciais respectivas são: w 1 = w x y ( 1, w 1 ), w 2 = w x y ( 2, w 2 ) O conunto das alocações factíveis pode ser representado pela Caixa de Edgeworth. (Ilustração no quadro) 4

5 Observação 9- Econoias grandes e convergência. Debreu-Scarf (193): Replica econoy. Auann (194): Non-atoic econoy: (i) O conunto de consuidores é dado pelo intervalo T=[0,1]. (ii) As dotações são descritas por ua função ensurável w:t w(t)>0 é a alocação inicial do agente t T. (iii) Os resultados factíveis, ou alocações são os eleentos do conunto: { }, tal que X = x : T R+ x é ensurável e xdt = wdt T T (iv) Ua coalizão S (u subconunto ensurável de T) é efetiva para x se x V(S), e que { } V ( S) = x X xdt = wdt S S (v) As funções de utilidade u t são contínuas e onótonas. R + Observação 10-Equilíbrio copetitivo para a econoia de Shapley-Scarf. (i) O ercado de casas pode ser visto coo u caso particular de econoia de trocas e que ua restrição de não divisibilidade é incluída. O núcleo do ogo é sepre não-vazio (Shapley e Scarf, 1974). (ii) O conunto de equilíbrios copetitivos é sepre não vazio (Algorito de Gale). (iii) Se nenhu agente é indiferente entre duas casas, então o núcleo da econoia é sepre não-vazio e te u único eleento (Roth e Postlewaite, 1977). (iv) O único ponto do núcleo é a única alocação copetitiva da econoia (Roth e Postlewaite, 1977).

6 Exeplo 8-Considere o exeplo 1. Jogador 1: 3 > 1 > 1 Jogador 2: 1 > 2 > 2 Jogador 3: 2 > 3 > 3 Jogador 4: 2 > 4 > 4 Jogador : 1 > 2 > > 4 > 3 > Jogador : 3 > 1 > > 2 > 4 > x=(3, 1, 2, 4,, ) é o resultado obtido pelo algorito de Gale: único eleento do núcleo e do único equilíbrio copetitivo da econoia. Considere a alocação y=(4,,, 1, 2, 3) e os preços p=(2, 2, 1, 0, 1, 1), pʹ =(1, 2, 0, 1, 2, 0) e pʹ ʹ =(3, 3, 3, 1, 2, 2). Analise quais são equilíbrios copetitivos: (p, x), (pʹ, y), (pʹ ʹ, x) Exeplo 1. x=(3, 1, 2, 4,, ), y=(4,,, 1, 2, 3) p=(2, 2, 1, 0, 1, 1), pʹ =(1, 2, 0, 1, 2, 0), pʹ ʹ =(3, 3, 3, 1, 2, 2) (p, x)? 3 > 1 > 1 1 > 2 > 2 2 > 3 > 3 2 > 4 > 4 1 > 2 > > 4 > 3 > 3 > 1 > > 2 > 4 > (p, x) não é u equilíbrio copetitivo pois o ogador 3 não te coo pagar pela casa de 2

7 Exeplo 1. x=(3, 1, 2, 4,, ), y=(4,,, 1, 2, 3) p=(2, 2, 1, 0, 1, 1), pʹ =(1, 2, 0, 1, 2, 0), pʹ ʹ =(3, 3, 3, 1, 2, 2) (pʹ, y)? 3 > 1 > 1 1 > 2 > 2 2 > 3 > 3 2 > 4 > 4 1 > 2 > > 4 > 3 > 3 > 1 > > 2 > 4 > (pʹ, y) não é u equilíbrio copetitivo pois o ogador 2 prefere a casa de 1 e pode pagar seu preço Exeplo 1. x=(3, 1, 2, 4,, ), y=(4,,, 1, 2, 3) p=(2, 2, 1, 0, 1, 1), pʹ =(1, 2, 0, 1, 2, 0), pʹ ʹ =(3, 3, 3, 1, 2, 2) (pʹ ʹ, x)? 3 > 1 > 1 1 > 2 > 2 2 > 3 > 3 2 > 4 > 4 1 > 2 > > 4 > 3 > 3 > 1 > > 2 > 4 > (pʹ ʹ, x) é u equilíbrio copetitivo do ercado. Qualquer outro equilíbrio copetitivo é obtido a partir de (pʹ ʹ, x), ultiplicando-se pʹ ʹ por ua constante positiva 7