Avaliação (AS): 3 horas. Todas as respostas deverão ser claramente justificadas. O uso de calculadora científica não é autorizado.

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1 Professor: Victor Filipe Martins da Rocha Monitor: Laura Simonsen Leal 20 de dezembro 2012 Graduação em Ciências Econômicas Fundamentos de Microeconomia EPGE/FGV Avaliação (AS): 3 horas Todas as respostas deverão ser claramente justificadas. O uso de calculadora científica não é autorizado. Questão 1 (2 pontos). Duas empresas operam no mercado de chocolate, podendo optar entre produzir um chocolate de alta qualidade ou um chocolate de baixa qualidade. Os lucros resultantes de cada estratégia encontram-se apresentados na matriz de payoff: Empresa 1 Empresa 2 Baixo Alto Baixo -20, ,600 Alto 100,800 50,50 a. Quais resultados são equilíbrios de Nash (caso haja algum nessa matriz)? Resposta. Temos dois equilíbrios de Nash. O primeiro é: A Empresa 1 joga Alto e a Empresa 2 joga Baixo, ou seja (Alto,Baixo). O segundo equilíbrio é (Baixo,Alto). Empresa 1 Empresa 2 Baixo Alto Baixo -20, ,600 Alto 100,800 50,50 b. Se os administradores de ambas as empresas forem pessoas conservadoras e ambos empregarem estratégias maximin, qual será o resultado? Resposta. Ao escolher Baixo, a Empresa 1 tem o vetor ( 20, 900) de possíveis payoffs contingente à escolha da Empresa 2. O pior payoff é -20. Da mesma forma, podemos ver que o pior payoff para a Empresa 1 caso optasse por escolher Alto seria 50. Assim, seguindo uma estratégia maximim, a Empresa 1 joga Alto. Da mesma forma, podemos mostrar que a Empresa 2 joga Alto. O resultado do jogo é (Alto,Alto). c. Qual é o resultado cooperativo? Resposta. Se os dois jogadores cooperam, eles escolhem o perfil de estratégias que maximiza a soma dos payoffs, ou seja (Baixo, Alto). d. Qual das duas empresas se beneficia mais com um resultado cooperativo? Quanto essa empresa precisa oferecer à outra para persuadi-la a fazer uma coalizão? 1

2 Resposta. O problema da cooperação é como dividir o bolo. Cooperando, a soma dos payoffs chega ao valor de Sem transferência entre os jogadores, a Empresa 1 se beneficia mais do que a Empresa 2. Pois, a Empresa 1 fica com 900 enquanto ela poderia ficar com 100 em um dos equilíbrios de Nash possíveis. A Empresa 2 fica com 600 e poderia esperar ficar com 800 em um dos equilíbrios de Nash possíveis. A Empresa 2 poderia ameaçar escolher a estratégia Baixo que corresponde à um equilíbrio de Nash. Nesse caso, a melhor resposta da Empresa 1 seria jogar Alto e o perfil de payoffs seria (100, 800). Para a cooperação ser uma solução estável, a Empresa 1 deve garantir pelo menos o payoff de 800 para evitar que a Empresa 2 opte por jogar Baixo. Se a Empresa 1 se compromete a transferir pelo menos 200, a Empresa 2 não tem mais incentivos a desviar. Questão 2 (1,5 ponto). Considere o seguinte jogo de barganha. O Jogador A executa o primeiro movimento, fazendo uma oferta ao Jogador B para a divisão de 100 moedas de $1. Por exemplo, o Jogador A poderia sugerir que ele ficasse com 60 moedas e o Jogador B levasse 40. Fazemos a hipótese que não se pode dividir uma moeda. Dessa forma, as possíveis divisões de n moedas são (n, 0), (n 1, 1), (n 2, 2),..., (1, n 1) e (0, n). O Jogador B pode aceitar ou rejeitar a oferta. Se ele rejeitar, o montante de moedas disponíveis cairá para 90; ele, então, fará uma oferta para a divisão do dinheiro restante. Se o Jogador A rejeitar essa oferta, o montante de moedas cairá para 80, seguindo-se uma nova oferta do Jogador A para a divisão. Se o Jogador B rejeitar essa oferta, o montante de moedas cairá para 0 e o jogo acabará. Ambos os jogadores são racionais, totalmente informados e querem maximizar seus lucros. Fazemos a hipótese que, quando indiferente entre duas opções, um jogador sempre opta para a opção que minimiza o bem estar do outro jogador. Qual é o resultado desse jogo? Sugerimos fazer uma analise do problema por indução retroativa, começando por resolver o que aconteceria se o jogo chegasse na última fase. Resposta. Estamos analisando um jogo sequencial com três fases. Na primeira fase, o Jogador A faz uma oferta de partilha ao Jogador B que pode aceitar ou rejeitar. A segunda fase acontece somente se o Jogador B rejeitou a oferta do Jogador A na primeira fase. Na segunda fase é a vez do Jogador B de fazer uma oferta de partilha ao Jogador A que pode aceitar ou rejeitar. A terceira fase acontece somente se o Jogador A rejeitou a oferta do Jogador B na segunda fase. Na terceira e última fase é a vez do Jogador A de fazer uma oferta de partilha ao Jogador B que pode aceitar ou rejeitar. Vamos analisar o que aconteceria se o jogo chegasse na terceira fase. O Jogador A faz um ofertar de divisão (n 3, 80 n 3 ) com n 3 {0, 1,..., 80}. Se o Jogador B recusar essa oferta, eles ficam os dois com payoff zero. Assim, o Jogador B prefere aceitar logo que 80 n 3 > 0. Sabendo disso, o Jogador A escolhe o mair valor de n 3 verificando essa condição, ou seja n 3 = 79. Acabemos de ver que se o jogo chegasse à terceira fase, o Jogador A ofereceria a divisão (79, 1) e ficaria com payoff 79 enquanto o Jogador B ficaria com payoff 1. Vamos analisar agora o que aconteceria se o jogo chegasse a segunda fase. O Jogador B oferece uma divisão (90 n 2, n 2 ) onde n 2 é a quantidade de moedas que ficariam para o Jogador B. O Jogador A deve escolher entre aceitar ou rejeitar. Aceitando, o Jogador A fica com payoff 90 n 2. Rejeitando, o jogo vai para a terceira fase e o Jogador A sabe que poderá obter um payoff de 79. Vemos então que o Jogador A aceita a divisão se e somente se 90 n 2 > 79, ou seja se e somente se n O Jogador B deve escolher n 2. Escolhendo n 2 10, ele sabe que o Jogador A vai aceitar e ele ficaria então com um payoff de n 2. Se o Jogador B escolhe n 2 > 10, ele sabe que o Jogador A vai rejeitar e então ele ficaria com payoff 1 (resultado do jogo na terceira fase). Assim, a melhor opção para o Jogador B é escolher n 2 = 10 e o perfil de payoff é (80, 10). Vamos analisar agora a primeira fase o jogo. O Jogador A oferece uma divisão (n 1, 100 n 1 ) onde n 1 é a quantidade de moedas que ficariam para o Jogador A. O Jogador B precisa escolher entre aceitar ou recusar. Recusando, o Jogador B sabe que na segunda fase ele irá obter o payoff 10. Assim, ele vai aceitar se e somente se 100 n 1 > 10. O Jogador A tem que escolher n 1. Escolhendo n 1 89, ele sabe que o Jogador B vai aceitar e ele ficaria então com payoff n 1. Escolhendo n 1 90, o Jogador A sabe que o Jogador B vai rejeitar e na segunda fase, o Jogador A ficaria com payoff 80. A melhor opção é então escolher n 1 = 89. O Jogador B aceita e o perfil de payoffs é (89, 11). 2

3 Questa o 3 (2,5 pontos). Considere uma economia com dois agentes, a e b, que consomem dois bens, x e y. As func o es de utilidade sa o dadas por ua (xa, ya ) = min{xa, 2ya } e ub (xb, yb ) = xb + yb. As dotac o es sa o ωa = (7, 2) e ωb = (3, 3). a. Representa na Caixa de Edgeworth algumas curvas de indiferenc a (relevantes). Sugerimos usar cores diferentes para representar as curvas de cada agente. b. Define e represente na Caixa de Edgeworth as alocac o es eficientes no sentido de Pareto. Use uma terceira cor para representar o conjunto das alocac o es eficientes na Caixa de Edgeworth. Resposta. Uma alocac a o factı vel e um par (ca, cb ) (onde ci = (xi, yi )) que verifica ca + cb = ωa + ωb. Uma alocac a o factı vel e eficiente se na o existe outra alocac a o factı vel (c0a, c0b ) que Pareto domina (ca, cb ) no sentido que ui (c0i ) > ui (ci ) para cada i {a, b} com pelo menos uma desigualdade estrita. Temos que procurar na caixa de Edgeworth os pontos c nos quais a zona abaixo da curva de indiferenc a verde na o tenha intersec a o com a zona acima da curva de indiferenc a vermelha. Isso so pode acontecer nas alocac o es c = (ca, cb ) tais que xa = 2ya. Veja a curva de contrato em azul no gra fico abaixo. c. Sejam p > 0 e q > 0 os prec os dos bens x e y respectivamente. 3

4 i. Calcule a demanda do agente a em função de p e q. Sugerimos mostrar em primeiro que se (x a, y a ) é a cesta demanda pelo agente a, devemos ter que x a = 2y a. O argumento pode ser analítico ou gráfico. Resposta. Seja (x a, y a ) um cesto de consumo na demanda do agente a, ou seja, (x a, y a ) d a (p, q) argmax{u a (x a, y a ) : px a + qy a 7p + 2q}. Se aumentamos o consumo dos dois bens, a utilidade aumenta. Dessa forma temos que ter px a + qy a = 7p + 2q (nenhum recurso é desperdiçado). Suponha que x a > 2y a. Poderíamos diminuir um pouco o consumo do bem x sem diminuir a utilidade. Com os recursos poupados podemos aumentar o consumo do bem y que aumenta a utilidade. Chegamos a uma contradição. Da mesma forma, podemos mostrar que não podemos ter 2y a > x a. Acabamos de provar que x a = 2y a. Como já vimos que px a + qy a = 7p + 2q, temos que ter x a = 2y a e y a = 7p + 2q 2p + q. ii. Calcule a demanda do agente b em função de p e q. Sugerimos analisar separadamente os três casos: p = q, p > q, e p < q. O argumento pode ser analítico ou gráfico. Resposta. Seja (x b, y b ) um cesto na demanda do agente b, ou seja (x b, y b ) d b (p, a) argmax{u b (x b, y b) : px b + qy b 3(p + q)}. Se (x b, y b ) é um ponto interior então a TMS deve ser igual à razão dos preços. Como a TMS é 1, temos que ter p = q. Acabamos de ver que uma condição necessária para termos uma solução interior é p = q. Reciprocamente, se p = q então a restrição orçamentária é p(x b +y b ) 6p. Como os dois bens são perfeito substitutos, temos que d b (p, q) = {(x b, y b ) R 2 + : x b + y b = 6} quando p = q. Vamos agora supor que p > q. Como os bens são perfeito substitutos e que o bem x é mais caro, o agente b vai somente pedir unidades do bem y, ou seja Da mesma forma, temos d b (p, q) = {(0, 3(p + q)/q)} quando p > q. d b (p, q) = {(3(p + q)/p, 0)} quando p < q. d. Defina e calcule o equilíbrio competitivo. Resposta. Um equilíbrio competitivo é uma alocação factível c = (c a, c b ) e um vetor de preços (p, q ) tal que c a = (x a, x b) d a (p, q ) e c b = (x b, y b ) d b (p, q ). Se p > q temos x b = 0 e, por factibilidade, devemos ter x a = 10. Como c a d a (p, q ), devemos ter x a = 2ya, ou seja ya = 5. De novo por factibilidade, concluímos que yb = 0. Mais (0, 0) não pertence à demanda d b (p, q ): chegamos numa contradição, ou seja, temos p q. Trocando o bem x pelo bem y, podemos provar que p q. Temos então que p = q. Como c a d a (p, q ) temos que y a = 3 e x a = 6. Por factibilidade obtemos y b = 2 e x b = 4. Observe que (4, 2) pertence à demanda d b(p, q ). 4

5 Questa o 4 (1 ponto). Ao se defrontar com uma reputac a o de fabricar automo veis com histo ricos ruins de manutenc a o, diversas empresas norte-americanas passaram a oferecer amplas garantias aos compradores de seus veı culos (por exemplo, garantia de sete anos para todas as pec as e consertos relacionados com problemas meca nicos). a. Com base em seu conhecimento do mercado de automo veis de qualidade duvidosa, explique por que essa nova polı tica e razoa vel. Resposta. Quando um individuo decide comprar um carro, ele pode estar na duvida sobre a qualidade: alta ou baixa. Se na o existe nenhum sinal que permite diferenciar um carro de alta qualidade de um carro de baixa qualidade, o comprador ira usar um prec o de reserva media para decidir se compra ou na o o carro. As empresas que produzem carros de alto qualidade acabam subsidiando indiretamente as empresas que produzem os carros de baixa qualidade porque os dois tipos de carros sa o vendidos ao mesmo prec o. E o problema de selec a o adversa. Se uma empresa que produz carros de alta qualidade decide oferecer amplas garantias, ela sabe que as empresas que produzem carros de baixa qualidade na o fara o a mesma escolha porque seria muito custoso para elas. O comprador tambe m faz o mesmo raciocı nio: ele entende que amplas garantias e um sinal de qualidade e esta o dispostos a pagar um prec o maior. Dessa forma, a empresa que produz carros de alta qualidade e decide oferecer amplas garantias esta se beneficiando, reduzindo o problema de selec a o adversa. b. Essa nova polı tica pode criar um problema de risco moral? Explique. Resposta. O comprador de um carro com amplas garantias pode alterar seu comportamento por causa dessas garantias. Em vez de zelar pelo cuidado do carro, ele pode ser mais negligente porque sente-se protegido pelas garantias. Esse comportamento aumenta a probabilidade de um problema meca nico. E por isso que as montadores oferecem garantias sobre condic o es especificas relacionadas a manutenc a o dos carros (vistorias regulares). Questa o 5 (1,5 ponto). Como presidente das Indu strias ASP, voce estima que sua receita anual e dado pela tabela abaixo. A receita (R em milho es de $) depende da demanda de mercado e do empenho de seu novo CEO. As probabilidades de cada condic a o de demanda ocorrer tambe m sa o mostradas na tabela. Demanda de mercado Prob. de mercado Baixo empenho Alto empenho Demanda baixa 0,30 R=5 R = 10 5 Demanda me dia 0,40 R = 10 R = 15 Demanda alta 0,30 R = 15 R = 17

6 Você precisa delinear um pacote de remuneração para o CEO que maximize o lucro esperado da empresa (o lucro é a receita menos a remuneração do CEO). Embora a empresa seja neutra ao risco, o CEO é avesso ao risco. A função de utilidade do CEO é: { W 1/2 quando se empenha pouco Utilide = W 1/2 100 quando se empenha muito onde W é a renda do CEO ( 100 é o custo de utilidade em que o CEO incorre ao se empenhar muito). Você conhece a função de utilidade do CEO, e tanto você quanto ele têm acesso a todas as informações da tabela precedente. Você não sabe o nível de empenho do CEO no momento da remuneração ou o estado exato da demanda. Você sabe, porém, qual é a receita da empresa. Como presidente das Indústrias ASP, qual das três alternativas de pacotes de remuneração abaixo você prefere? Por quê? (1) Pagar ao CEO um salário base de $ por ano. (2) Pagar ao CEO uma porcentagem fixa de 6% sobre a receita anual da empresa. (3) Pagar ao CEO um salário base de $ por ano e, além disso, 50% sobre qualquer receita acima de $15 milhões. Resposta. Introduzimos a seguinte notação: a receita esperada da empresa (em milhões de $) com empenho Baixo do CEO é e a receita esperada com empenho Alto é E[R Baixo] 0, , , = 10 E[R Alto] 0, , , = 14, 1. Com o primeiro esquema de compensação, o CEO não tem incentivos a desempenhar-se porque isso não afeta seu payoff. Sabemos então que ele vai optar pelo empenho baixo e o lucro esperado da empresa (em milhões de $) é Π 1 = E[R Baixo] 0, 575 = 9, 425. Vamos analisar qual é a melhor estratégia do CEO sob o segundo esquema de compensação. Se ele opta por um empenho baixo, a utilidade do CEO é U 2 (Baixo) 0, 30 [6% ] 2 + 0, 40 [6% ] 2 + 0, 30 [6% ] 2 = 758, 76. Enquanto a utilidade do CEO caso ele se empenha muito é U 2 (Alto) 0, 30 [6% ] 2 +0, 40 [6% ] 2 +0, 30 [6% ] = 814, 84. Assim, ele opta pelo empenho Alto. O lucro da empresa (em milhões) sob o segundo esquema seria então Π 2 94% E[R Alto] = 13, 254. Finalmente, analisamos o terceiro esquema. Se ele opta por um empenho baixo, a utilidade do CEO é U 2 (Baixo) 0, 30 [ ] 1/2 + 0, 40 [ ] 1/2 + 0, 30 [ ] 1/2 = 707, 11. Enquanto a utilidade do CEO caso ele se empenha muito é U 2 (Alto) 0, 30 [ ] 1/2 + 0, 40 [ ] 1/2 + 0, 30 [ ] 1/2 100 = 762, 40. Assim, ele opta pelo empenho Alto. O lucro da empresa (em milhões) sob o terceiro esquema seria então Π 3 E[R Alto] 0, 30 [ ] + 0, 40 [ ] + 0, 30 [ ] = 13, 3. Dos três esquemas analisados, o melhor para o presidente da empresa é o terceiro. 6

7 Questão 6 (1,5 pontos). Georges Bank, uma área de pesca altamente produtiva situada na costa da Nova Inglaterra, pode ser dividida em duas zonas segundo a quantidade de peixes. A Zona 1 tem uma quantidade maior de peixes por milha quadrada, mas está sujeita a rendimentos acentuadamente decrescentes em relação ao esforço de pesca. A quantidade pescada diariamente na Zona 1 é de: F 1 (X 1 ) = 200(X 1 ) 2(X 1 ) 2 onde X 1 representa o número de barcos de pesca em atividade nessa zona. Na Zona 2 há menos peixes por milha quadrada, mas ela é maior e o problema dos rendimentos decrescentes é menor. A quantidade pescada lá diariamente é de: F 2 (X 2 ) = 100(X 2 ) (X 2 ) 2 onde X 2 é o número de barcos de pesca em atividade na zona. Atualmente há 100 barcos autorizados pelo governo dos Estados Unidos a pescar nessas duas zonas. Os peixes são vendidos a $100 por tonelada. O custo total (de capital e operacional) por barco é constante e igual a $1.000 por dia. Responda às seguintes perguntas sobre essa situação: a. Se os barcos fossem autorizados a pescar onde quisessem, não havendo nenhuma restrição governamental, quantas embarcações estariam pescando em cada uma das zonas? Qual seria o valor bruto da pesca? Fazemos a hipótese que se temos X i barcos na zona i, cada barco está pescando a quantidade média F i (X i )/X i. Resposta. Seja (X 1, X 2 ) uma repartição dos 100 barcos entre as duas zonas. Cada barco na zona 1 está pescando a quantidade F (X 1 )/X 1 e cada barco da zona 2 está pescando F (X 2 )/X 2. Se F (X i )/X i fosse menor que F (X j )/X j alguns barcos da zona i se mudariam para a zona j. Enquanto tivermos F (X i )/X i < F (X j )/X j teremos barcos saindo da zona i e indo para a zona j. O equilíbrio obtêm-se quando F (X i )/X i = F (X j )/X j. Temos então um sistema com duas equações: X 1 + X 2 = 100 e 200 2X 1 = 100 X 2, ou seja X 1 = 200/3 e X 2 = 100/3. A quantidade total pescada é F 1 ( X 1 ) + F 2 ( X 2 ) = = Observa que Cada barco (tanto na zona 1 como na zona 1) está pescando 66,66 toneladas de peixe com lucro de $5.666 por dia. b. Supomos que o governo dos Estados Unidos decidisse regular a distribuição dos barcos em cada zona. Se o objetivo do governo é maximizar o bem estar social (soma dos lucros dos pescadores), quantos deveriam ser alocados para cada zona? Qual passaria a ser o valor bruto da pesca? Nesta questão estamos supondo que o número total de barcos permanece igual a 100. Resposta. Para maximizar o lucro agregado dos pescadores, o governo deve escolher (X 1, X 2 ) para maximizar F 1 (X 1 ) + F 2 (X 2 ) sob a restrição X 1 + X 2 = 100 (o preço do peixo e o custo por barco são iguais em cada zona). Seja (X 1, X 2 ) a solução desse problema. Podemos considerar uma mudança dx 1 de barcos na zona 1. Por restrição de factibilidade, devemos considerar a mudança dx 2 dx 1. Por definição de ser ótimo, temos F 1 (X 1 + dx 1 ) + F 2 (X 2 dx 1 ) F 1 (X 1 ) + F 2 (X 2 ). Ou seja, os produtos marginais no ótimo devem ser iguais: F 1(X 1 ) = F 2(X 2 ). Temos então um sistema com duas equações para resolver: X 1 + X 2 = 100 e 200 4X 1 = 100 2X 2. A solução é X 1 = X 2 = 50. A quantidade total pescada na zona 1 é F 1 (X 1 ) = e na zona 2 F 2 (X 2 ) = No total temos toneladas de peixe. Observe que o lucro total é de $ , porém o lucro não é igual nas duas zonas. c. Caso outros pescadores estejam dispostos a adquirir barcos e aumentar a frota pesqueira atual, será que um governo que estivesse interessado em maximizar o valor líquido da pesca obtida estaria disposto a conceder autorizações para eles? Por quê? 7

8 Resposta. O valor líquido da pesca para uma distribuição (X 1, X 2 ) é Π(X 1, X 2 ) = Π 1 (X 1 ) + Π 2 (X 2 ) onde Π i (X i ) = 100F (X i ) 1000X i. Para analisar a função (X 1, X 2 ) Π(X 1, X 2 ), vamos analisar cada uma das funções X i Π i (X i ). Temos Π 1 (X 1 ) = (X 1 ) 200(X 1 ) 2 e Π 2 (X 2 ) = 9.000(X 2 ) 100(X 2 ) 2. As duas funções são côncavas e atingem o máximo respectivamente em X 1 = 47, 5 e X 2 = 45. Em particular, se aumentamos o numero de barcos de uma quantidade h 0, o governo irá repartir h em cada zona, ou seja, h = h 1 + h 2, de tal forma a manter os produtos marginais iguais F 1(X 1 + h 1 ) = F 2(X 2 + h 2 ). Como as funções F i são decrescentes, temos que h 1 0 e h 2 0 (o governo poderia diminuir o numero de barcos na zona 1 e aumentar o numero na zona 2, ou o contrário). Como cada função X i π i (X i ) é decrescente depois de X i e como já temos Xi > X i, podemos concluir que o aumento do numero de barcos só pode diminuir o lucro líquido da pesca. 8