EAE Microeconomia I Lista de Exercícios. Professor: David Turchick Monitor: Felipe Durazzo

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1 EAE Microeconomia I Lista de Exercícios Professor: David Turchick Monitor: Felipe Durazzo 1. A palavra "strongly" na assunção 5.1 do livro de Jehle e Reny é mesmo necessária? Ou a monotonicidade forte segue da monotonicidade simples e da quaseconcavidade estrita? 2. Considere a economia de trocas ε = (( (2 0)) ( (2 0)) ( (0 2)) ( (0 2))) onde representa as preferências relativas à utilidade u : R 2 + R dada por u(x 1 x 2 ) = x 1 x 2. Argumente que x = ( x 1 x 2 x 3 x 4) = (( ) ( ) ( ) ( )) é factível individualmente racional Pareto-eficiente mas não está no núcleo de ε. 3. Uma economia de trocas é formada pelos indivíduos A e B com preferências dadas por uma função utilidade da forma u (x 1 x 2 ) = x 1 x 2 onde x 1 e x 2 representam unidades de consumo de dois bens. Suas dotações são e A = (19 1) e e B = (1 19). Encontre o núcleo dessa economia dada a seguinte hipótese: (a) Os bens são perfeitamente divisíveis. (b) Os bens são indivisíveis. 4. Na economia do item (a) do exercício anterior entra um novo participante C com mesmas preferências dos demais e dotação igual à média dos demais e C = (10 10). Qual o núcleo dessa economia? Sugestão: você consegue descobrir um valor exato para o consumo de C de cada um dos bens no núcleo? Uma vez feita essa determinação será que qualquer alocação do núcleo da economia anterior corresponde a uma alocação do núcleo desta economia? Por exemplo que dizer da alocação ((5 5) (15 15) (10 10))? 5. Jehle e Reny: exercícios (Starr 2. a ed. exercício 3.5) Considere uma economia de trocas formada por dois indivíduos A e B e dois bens x e y. Os indivíduos são caracterizados por: e A = (10 0) u A ( x A y A) = x A + 4y A e B = (0 10) e u B ( x B y B) = 5x B + y B. (a) Desenhe uma caixa de Edgeworth para essa economia e represente nela a dotação da economia a curva de contrato a(s) alocação(ões) de equilíbrio competitivo e o conjunto das alocações Pareto-eficientes. Devido às preferências lineares esse último conjunto não será representado (( por um locus de tangências não perca tempo com derivadas. Mostre que x A y A) ( x B y B)) = ((0 10) (10 0)) é um equilíbrio competitivo. (b) Alguns poderiam pensar que a curva de contrato dessa economia é o próprio conjunto de equilíbrios competitivos isto é que qualquer alocação Pareto-eficiente e individualmente racional pode ser obtida via mercados competitivos. Tais alocações incluiriam aquelas da forma (( x A y A) ( x B y B)) = (( 0 y A) ( 10 y B)) com 2.5 < y A 10 e y B = 10 y A. Isso está errado; explique por quê. Dica: pense fora da caixa. 7. (Prova 2016) Uma economia com mercados competitivos e sem produção tem dois indivíduos Aníbal e Benedito e dois bens homogêneos e perfeitamente divisíveis x 1 e x 2. Aníbal é dotado de 2 unidades do primeiro bem e 10 do segundo enquanto Benedito é dotado de 10 unidades do primeiro bem e 14 unidades do segundo. Suas preferências podem ser representadas respectivamente pelas funções utilidade u A u B : R 2 + R dadas por u A (x 1 x 2 ) = x 1 + x 2 e u B (x 1 x 2 ) = min {3x 1 3x 2 }. (a) Desenhe uma caixa de Edgeworth capaz de representar os elementos desta economia e nela identifique precisamente os conjuntos de pontos que representam: o núcleo as alocações de equilíbrio Walrasiano e as alocações Pareto-ótimas. 1

2 (b) Para cada possível vetor de preços p = (p 1) com p > 0 analise se se trata de um equilíbrio Walrasiano ou não. Obs.: neste exercício se seu argumento contiver a análise de problemas de otimização você não precisa se preocupar em justificar por que a solução é de fato aquela alegada. 8. Leia o exemplo 1.1 na seção 1.3 do livro de Hildenbrand e Kirman. Neste Ada inicialmente possui 4 pãezinhos e 0 garrafas de vinho e Bill 0 pãezinhos e 3 garrafas de vinho. Convença-se através de uma Caixa de Edgeworth que é possível o equilíbrio competitivo ser melhor para Ada se ela inicialmente der um pãozinho para Bill (sim sem receber nada em troca). Dê uma explicação para esse aparente paradoxo. Obs.: esse fenômeno foi descrito originalmente em [Aumann R.J. e Peleg B A note on Gale s example. Journal of Mathematical Economics ]. 9. (Prova 2014) É dada uma economia com mercados competitivos sem produção ( u i e i) i I onde para cada i I e i R n + e u i : R n + R é uma função que satisfaz a propriedade de não-saciedade local. Seja W o conjunto das alocações de equilíbrio Walrasiano dessa economia e C o seu núcleo. Mostre que W C. 10. Em uma economia sem produção e com mercados competitivos é introduzido um imposto ad valorem τ > 0 de maneira que o preço enxergado para compra do bem 1 passa de p 1 para p 1 (1 + τ). Há I indivíduos cada um dos quais recebe uma transferência no valor T que em equilíbrio é igual a um I-ésimo da arrecadação tributária isto é T = (1/I)p 1 τ I i=1 xi 1. O problema de um consumidor i {1... I} qualquer é: max ( ) x i 0.5 ( ) 1 x i s.a. p1 (1 + τ) x i 1 + p 2 x i 2 p 1 e i 1 + p 2 e i 2 + T. (x i 1 xi 2) R 2 + Suponha I i=1 ei 1 = I i=1 ei 2. Suponha ainda que a dotação do indivíduo I de unidades do bem 1 e I 1 é menor que a dotação média desse bem na sociedade (1/I) I i=1 ei 1. (a) O indivíduo I sai ganhando ou perdendo com a introdução desse imposto? (b) Discuta se a alocação de equilíbrio resultante dessa política de imposto estará no núcleo da economia. 11. Considere uma economia com mercados competitivos composta por dois indivíduos e na notação usual: u 1 (x y) = xy e 1 = (1 9) u 2 (x y) = min {xy 16} e 2 = (9 1). (a) O vetor p = ( ) é um vetor de preços de equilíbrio com alocação correspondente (x 1 y 1 ) = (x 2 y 2 ) = (5 5)? Essa alocação é Pareto-eficiente? Mostre o porquê. (b) Esse é um contraexemplo para o Primeiro Teorema do Bem-Estar? Explique. 12. É dada uma economia composta por 2 indivíduos e mercados competitivos para 3 bens. As duas funções utilidade são da forma u i (x 1 x 2 x 3 ) = (x x x ) 2 e as dotações são e 1 = ( ) e e 2 = ( ). (a) Mostre que as funções demanda Marshalliana são dadas por para k = x i k(p p e i ) = p 2 k p p p 1 p e i 3 (b) Encontre as funções excesso de demanda agregada por cada bem (funções z 1 z 2 e z 3 ) e cheque continuidade 0-homogeneidade e Lei de Walras. (c) Tome p m = (1/m 2 1/m 1) m N. Alguma(s) das três componentes da sequência z (p m ) m N é ilimitada superiormente? Todas aquelas correspondentes aos bens cujos preços estão convergindo para zero? 2

3 13. Considere uma economia com I consumidores e n bens. Cada consumidor i tem dotação e i 0 e preferências dadas de acordo com uma função utilidade u i : R n + R de forma funcional onde α li > 0 para todos i e l. u i (x 1... x n ) = n l=1 x α li l (a) Encontre a função excesso de demanda de cada consumidor. (b) Encontre a função excesso de demanda agregada z : R n ++ R n. (c) Mostre que z é contínua. (d) Mostre que z é homogênea de grau zero. (e) Mostre que z satisfaz a Lei de Walras p z (p) = 0 p R n ++. (f) Mostre que o excesso de demanda agregada de cada bem l z l (p) é limitado inferiormente. (g) Tome uma sequência de preços (p m ) m N com cada p m R n ++ convergente a p R n ++ \{0}. Mostre que neste caso devemos ter (z k (p m )) m N ilimitada superiormente para todo k tal que p k = 0. (h) O que pode-se concluir dos itens acima? 14. (Mas-Colell Whinston e Green seção 15.E adaptado) Considere uma economia com um grande número de cidades N. Cada cidade n {1... N} possui uma única firma também chamada n tomadora de preços e produtora de um bem de consumo homogêneo e perfeitamente divisível através da tecnologia y n 2 l n onde y n denota a quantidade produzida por essa firma e l n sua demanda por trabalho. O bem de consumo é comercializado no mercado nacional e o seu preço é normalizado em 1. Há M indivíduos nessa economia que ofertam inelasticamente uma unidade de trabalho. Para eles os produtos de cada firma são substitutos perfeitos de maneira que suas preferências podem ser caracterizadas pela função u : R N + R dada por u (x 1... x N ) = N n=1 x n. O trabalho é perfeitamente móvel i.e. o trabalhador pode livremente se mudar para uma cidade n {1... N} com o maior salário w n ou mesmo trabalhar em mais de uma firma. (a) Mostre que em equilíbrio os salários w 1... w N nas diversas regiões devem ser iguais a w := N/M e também os lucros π 1... π N iguais a π := N/M. (b) A cidade 1 está considerando estabelecer um imposto local de t > 0 sobre cada unidade de trabalho empregada pela firma 1. Um jornalista interessado na questão da incidência desse imposto para os agentes dessa economia lhe telefona e conta o seguinte: "Acabei de conversar com um economista que me disse acreditar que os salários na economia como um todo deveriam se manter e que apenas o lucro da firma 1 cairia. Mas ele também me alertou que estava fazendo só uma tal análise de equilíbrio parcial e que ainda precisaria pensar um pouco mais a respeito. Gostaria de saber se você concorda com a análise do seu colega". Qual sua resposta? 15. (Prova 2015) Robinson Crusoe é dotado de 24 horas (h) e 0 cocos (y). Suas preferências podem ser representadas { pela função utilidade u dada por u (h y) = hy. Ele é dono de uma firma com tecnologia Y = ( h y) R R : y } h e age como se estivesse em ambiente competitivo apesar de ser o único indivíduo na economia. Normalize para 1 o preço dos cocos. Escreva os problemas de otimização envolvidos e obtenha um sistema de equações sem equações supérfluas capaz de gerar o salário-hora real de equilíbrio w do trabalhador Robinson na firma e a alocação de equilíbrio ( (h c y c ) ( h f y )) f. 16. Considere o modelo de produção 2 2 com um único consumidor apresentado em aula. Imagine que tenha ocorrido na produção de bananas progresso tecnológico intensivo no fator labor. Argumente graficamente pelo barateamento resultante da terra vis-à-vis labor e da banana vis-à-vis coco. 3

4 17. (Prova 2016) É dada uma economia formada por dois indivíduos Asdrúbal (A) e Benvinda (B) e mercados competitivos para três bens homogêneos e perfeitamente divisíveis. O bem 3 é usado apenas como insumo na produção dos bens 1 e 2. A firma 1 da qual Asdrúbal é o único dono detém uma tecnologia capaz de transformar cada unidade do bem 3 em três unidades do bem 1 (mas nenhuma do bem 2). Já a firma 2 de Benvinda consegue transformar cada unidade do bem 3 em quatro unidades do bem 2 (mas nenhuma do bem 1). As dotações de Asdrúbal e de Benvinda são de zero unidades dos bens 1 e 2 e cinco unidades do bem 3. Suas utilidades têm forma funcional u A (x 1 x 2 x 3 ) = x x e u B (x 1 x 2 x 3 ) = x x (a) Determine os preços e alocações de equilíbrio Walrasiano desta economia. (b) Benvinda propõe a Asdrúbal trocarem entre si a posse de suas firmas. Ela argumenta que dessa maneira ele passará a ter controle sobre a produção do seu bem favorito e assim deve conseguir auferir um nível de utilidade maior. Asdrúbal nota que se é Benvinda quem traz a proposta supostamente ela também ganharia com esse rearranjo. Dado que Asdrúbal já fez um curso de Equilíbrio Geral qual deverá ser sua resposta a Benvinda sobre a procedência do seu argumento? 18. Uma economia competitiva é composta pelos indivíduos A e B. Há dois bens (homogêneos e perfeitamente divisíveis): maçã (m) e suco (s). A é dono de uma firma capaz de transformar m f maçãs (aqui não estamos usando a convenção de representar insumos por quantidades negativas) em m f k litros de suco se m f k onde k é um parâmetro positivo. Essa firma também pode transformar 0 maçãs em 0 litros de suco. As preferências de A e B podem ser representadas pelas funções utilidade u A u B : R 2 + R dadas por e u A (m s) = 2 log (1 + m) + 3s u B (m s) = log (1 + m) + 3s onde log é a função que calcula o logaritmo na base e. Cada indivíduo é dotado de 4 maçãs e nada de suco. Para cada uma das três economias parametrizadas pelos valores abaixo apresente um equilíbrio Walrasiano e uma alocação de equilíbrio associada ou argumente por que este não existe. (a) k = 2. (b) k = 16. (c) k = 64. Dica: seja p o preço do litro de suco em relação ao preço da maçã. Se p for muito baixo será que a firma operará? Por outro lado se p for muito alto será que os consumidores demandarão suco? 19. (Prova 2015) É dada uma economia com mercados competitivos com produção e propriedade privada ( u i e i θ ij Y j). Defina a função excesso de demanda agregada z (e adicione hipóteses i Ij J que julgar relevantes para essa função estar bem-definida) e mostre a validade da Lei de Walras para o caso de funções utilidade localmente não-saciadas. 20. (Prova 2014) É dada uma economia com mercados competitivos com produção e propriedade privada ( u i e i θ ij Y j) i Ij J. (a) Defina precisamente uma alocação de equilíbrio-com-transferências. (b) Dê um I um J um n (quantidade de bens) dotação(ões) ( e i) e participação(ões) na(s) i I firma(s) ( θ ij) que justifiquem a figura feita na lousa (adendo: peça a figura para o i Ij J monitor). Explique brevemente o que essa figura implica em termos da função custo marginal da(s) firma(s). (c) O ponto indicado na figura representa uma alocação de equilíbrio-com-transferências? Justifique. (d) Essa possível alocação dos recursos da economia contraria o Segundo Teorema do Bem-Estar? Explique. 4

5 21. Jehle e Reny: exercícios Mas-Colell Whinston e Green: exercício 16.E.1(ab). 23. (Prova 2010) Considere uma economia com n bens I consumidores e J firmas. As preferências podem ser representadas por funções utilidade côncavas duas vezes diferenciáveis e fortemente monótonas com u i (0) = 0. Para toda firma j seu conjunto de possibilidades de produção é Y j = { y R n : F j (y) 0 } onde F j : R n R é convexa duas vezes diferenciável com todas as derivadas parciais positivas e tal que F j (0) 0. O Problema de Pareto é: max (xy) R ni + RnJ u 1 (x x 1 n) s.a. u i (x i 1... x i n) u i i = 2... I i xi l = i ei l + j yj l l = 1... n F j (y j 1...yj n) 0 j = 1... J (a) Encontre as condições de primeira ordem do Problema de Pareto. Elas são necessárias e suficientes para caracterizar o ótimo? O que pode ser dito sobre a taxa marginal de substituição e a taxa marginal de transformação? (b) Considere o problema de maximização de uma função de bem-estar: max (xy) R ni + RnJ i λ i u i (x i 1... x i n) s.a. { i xi l = i ei l + j yj l l = 1... n F j (y j 1...yj n) 0 j = 1... J Mostre que para determinados pesos da função de bem-estar obtemos a mesma solução do Problema de Pareto. 24. (Prova 2015) Há dois bens perfeitamente divisíveis e dois indivíduos com funções utilidade dadas por u 1 (x 1 x 2 ) = x 1 (x 2 ) 2 e u 2 (x 1 x 2 ) = (x 1 ) 2 x 2. (a) Um planejador social deseja distribuir 10 unidades do primeiro bem e 20 unidades do segundo de maneira que dado um nível mínimo de utilidade de 8000/27 (= (20/3) 3 ) para o indivíduo 2 o indivíduo 1 fique com a maior utilidade possível. Qual alocação ele deve escolher? (b) Suponha agora que o planejador queira justificar a alocação escolhida no item anterior com base na maximização de uma função de bem-estar social da forma u 1 +λu 2. É possível fazê-lo? Por quê? E da forma log u 1 + λ log u 2? Explique exatamente como encontrar o valor de λ que serve tal propósito. (c) Dada uma economia perfeitamente competitiva formada por esses dois indivíduos e dotações e 1 = (2 10) e e 2 = (8 10) encontre todas suas alocações de equilíbrio Walrasiano. (d) A(s) alocação(ões) do item anterior também emergiria(m) da resolução de um problema como o do item (a) com o número 8000/27 substituído por outro? Se possível dê um argumento relacionado a algum teorema de bem-estar. 25. Mas-Colell Whinston e Green: exercícios 19.C.2 19.C.4 19.C (Prova 2015) É dada uma economia perfeitamente competitiva formada por I > 1 indivíduos avessos ao risco ao menos um dos quais é neutro ao risco. Há apenas um período para consumo e um bem básico mas S > 1 possíveis estados da natureza. Não há risco agregado de modo que em qualquer estado a oferta agregada (= dotação agregada) desse bem é a mesma digamos 1. Para cada indivíduo i sua utilidade pode ser escrita na forma de utilidade esperada U i (x 1... x S ) = S s=1 πi su i (x s ) onde u i é duas vezes diferenciável e estritamente crescente. Assuma a existência de uma alocação de equilíbrio de Arrow-Debreu interior. Explique se verdadeiro ou falso: (a) Necessariamente todos π i s > 0. (b) Todos os indivíduos neutros ao risco necessariamente concordam quanto às probabilidades de ocorrência de cada estado. (c) O equilíbrio interior é tal que cada indivíduo estritamente avesso ao risco contrata um nível maior de consumo para o estado que considera mais provável... 5

6 (d) Se as probabilidades de ocorrência de cada estado são objetivas então todos os indivíduos estritamente avessos ao risco fazem seguro parcial. (e) Se I 1 indivíduos são estritamente avessos ao risco além da alocação de equilíbrio de Arrow- Debreu mencionada no enunciado não pode existir mais nenhuma outra associada ao mesmo vetor de preços. 27. (Prova 2016) Uma economia de Arrow-Debreu sem produção é formada por dois indivíduos 1 e 2 um único bem básico de consumo x e um único período para consumo. Porém há dois estados possíveis para esse período: crise (c) e bonança (b). Todos entendem que a probabilidade de uma crise é π (0 1) e são maximizadores de utilidade esperada com utilidades Bernoulli dadas pelo logaritmo (natural) log (você pode considerar log 0 = se quiser). Na crise a dotação agregada do bem de consumo e 1 c + e 2 c é positiva mas menor que sob bonança e 1 b + e2 b. Considere ainda e 1 b = e2 c = 0. (a) Calcule o vetor de preços de equilíbrio (p c p b ) sob a normalização p c + p b = 1. Que interpretação está associada a tal vetor dentro do paradigma de Arrow-Debreu de equilíbrio geral com risco? (b) Mostre como p c se compara com π e interprete isso de maneira clara e objetiva. (c) Um planejador social maximizador de uma média aritmética ponderada das utilidades dos indivíduos 1 e 2 dadas as restrições de recursos da economia para cada possível estado poderia escolher justamente a alocação de equilíbrio de Arrow-Debreu associada aos preços calculados no item (a)? Em caso positivo obtenha os pesos λ 1 e λ 2 que esse planejador teria em mente. Você consegue explicar em palavras por que tais valores fazem sentido? 28. (Prova 2014) É dada uma economia com mercados competitivos sem produção sem risco dois indivíduos um bem básico e dois períodos. A dotação agregada para cada período é 1. Sendo a função v : R + R dada por v (x) = ( x 1 σ 1 ) / (1 σ) onde σ > 0 e σ 1 a utilidade do indivíduo i (= 1 ou = 2) é dada por u i (x 1 x 2 ) = v (x 1 ) + ( 1 + ρ i) 1 v (x2 ) onde os índices subscritos se referem ao período de consumo e ρ i > 0 é a taxa de desconto intertemporal de i. (a) Escreva o Problema de Pareto dessa economia. (b) Encontre uma expressão relacionando os consumos apenas do primeiro indivíduo (x 1 1 e x 1 2) para descrever as alocações Pareto-ótimas desta economia e supondo ρ 1 < ρ 2 represente o locus dessas alocações em uma caixa de Edgeworth onde consumo presente é mensurado na horizontal e consumo futuro na vertical. (c) Supondo um planejador central que procura maximizar uma média aritmética ponderada entre u 1 ( x 1 1 x 1 2) e u 2 ( x 2 1 x 2 2) indique pesos λ 1 e λ 2 (em função de x 1 1) que podem ser usados para implementar a alocação Pareto-ótima (( x 1 1 x 1 2) ( x 2 1 x 2 2)). Para o restante do exercício suponha e 1 = (1 0) e e 2 = (0 1). (d) Normalizando para 1 o preço do bem em t = 1 e denotando por p o preço do bem em t = 2 mostre como obter as restrições orçamentárias de cada indivíduo no formato x e x e interprete essas desigualdades. (e) Monte um sistema de equações sem equações supérfluas capaz de gerar a taxa real de juros de equilíbrio r dessa economia. Uma das equações deve servir para definir r como função de p. (f) Explique se as informações contidas no enunciado desta questão já garantem que o sistema do item anterior de fato terá alguma solução r > 0 ou se são necessárias hipóteses adicionais. (g) No caso particular em que todos os indivíduos descontam o futuro na mesma medida mostre que o valor da taxa de juros de equilíbrio independe de como a dotação para cada período está distribuída entre os indivíduos. 29. Considere uma economia formada por consumidores i = 1... I um único bem básico c períodos t = e sem risco. É permitido consumo desse bem no período 0 que é também o único período no qual eles recebem dotações positivas a i 0. As preferências dos indivíduos são representadas por uma mesma utilidade Bernoulli diferenciável e côncava u que satisfaz às condições de Inada e por uma mesma taxa de desconto β. O bem é durável e não deprecia (ou se preferir cada indivíduo é dono de uma firma com uma tecnologia de estocagem perfeita i.e. capaz de produzir uma unidade de c em um período usando como insumo uma unidade de c do período passado). 6

7 (a) Encontre a alocação de equilíbrio de Arrow-Debreu dessa economia. (b) Cheque se a alocação do item anterior é equivalente àquela que emergiria do problema em uma roupagem macroeconômica mais tradicional em que cada indivíduo i resolve um problema na forma ( ) ( ) max u c i 0 + βu c i 1 + β 2 u ( c i ) (c i 0...ci 2) R 3 2 s.a. + a i 1 ai 2 Rai 3 0 a i 1 a i 0 = c i 0 a i 2 a i 1 = r 1 a i 1 c i 1 a i 3 a i 2 = r 2 a i 2 c i 2 (c) Enuncie e resolva o problema de um planejador central que maximiza uma média aritmética ponderada das utilidades desses indivíduos. (d) Cheque a validade dos Teoremas de Bem-Estar para essa economia. 30. Uma economia perfeitamente competitiva tem dois indivíduos Aurélia e Basílio e um único período com estado sol ou chuva para consumo do bem x. Este pode ser produzido por três firmas todas de propriedade de Basílio que devem contratar quantidades (não-negativas) do insumo z previamente à revelação do estado da natureza. Ambos os indivíduos têm dotação de 12 unidades desse insumo e são maximizadores de utilidade esperada com utilidades Bernoulli iguais à função identidade Id : R + R +. As probabilidades que Aurélia associa à ocorrência de sol e chuva são 1/4 e 3/4 respectivamente. Já Basílio 1/3 e 2/3. As tecnologias das firmas são descritas a seguir: Firma 1: consegue transformar cada z 1 unidades de insumo em 2z 1 unidades do bem de consumo se ocorre sol e em 0 unidades se ocorre chuva. Firma 2: consegue transformar cada z 2 unidades de insumo em 0 unidades do bem de consumo se ocorre sol e em 3z 2 unidades se ocorre chuva. Firma 3: faça sol ou faça chuva consegue transformar z 3 unidades de insumo em z 3 1 unidades do bem de consumo se z 3 > 1 e em 0 unidades se z 3 1. (a) Encontre os preços e alocação(ões) de equilíbrio competitivo. (b) A(s) alocação(ões) do item anterior é (são) eficiente(s)? 31. (Starr 2. a ed. exercício 20.13) Considere uma economia de trocas sob risco com três tipos de indivíduos A B e C três estados da natureza 1 2 e 3 e um único bem de consumo. Os indivíduos recebem dotações perfeitamente correlacionadas desse bem da seguinte forma: Tipo A: 100 unidades se o estado 1 ocorrer 200 unidades se o estado 2 ocorrer e 600 unidades se o estado 3 ocorrer. Tipos B e C: 200 unidades se o estado 1 ocorrer 400 unidades se o estado 2 ocorrer e 1200 unidades se o estado 3 ocorrer. Represente por (x 1 x 2 x 3 ) uma cesta genérica de consumo contingente: "x 1 se o estado 1 ocorrer x 2 se o estado 2 ocorrer x 3 se o estado 3 ocorrer". As funções utilidade de cada tipo de indivíduo são dadas por u A (x 1 x 2 x 3 ) = x 1 +x 2 +x 3 u B (x 1 x 2 x 3 ) = x 3 e u C (x 1 x 2 x 3 ) = min {x 1 x 2 x 3 }.. (a) Considere uma população formada por dois indivíduos do tipo A um do tipo B e um do tipo C. Mostre que p = (1/3 1/3 1/3) é um vetor de preços de equilíbrio competitivo para os três bens contingentes. Dica: provavelmente é perda de tempo tentar calcular taxas marginais de substituição. (b) Agora suponha que há um grande número de agentes na economia: 200 do tipo A 100 do tipo B e 100 do tipo C. Como os preços de equilíbrio se modificam? Explique. 32. (Prova 2014) Uma economia com mercados competitivos sem produção apresenta possibilidade de consumo apenas em um período (T = 1) três estados da natureza (s {1 2 3}) nesse período um bem básico e quatro indivíduos sendo 2 do tipo A 1 do tipo B e 1 do tipo C. As utilidades de cada tipo de indivíduo são da forma u A (x 1 x 2 x 3 ) = x 1 + x 2 + x 3 u B (x 1 x 2 x 3 ) = x 3 e u C (x 1 x 2 x 3 ) = min {x 1 x 2 x 3 } e suas dotações contingentes (correspondendo aos estados 1 2 e 3 respectivamente) são e A = ( ) e e B = e C = ( ). 7

8 (a) Suponha que existem tanto mercados futuros em t = 0 (de contratos que garantem a entrega de uma unidade do bem se e só se ocorrer determinado estado) quanto mercados spot em t = 1 em cada estado s cujos preços já são conhecidos em t = 0. Os vetores de preços são respectivamente q R 3 ++ e p R Mostre que (p q) = ((1 1 1) (1 1 1)) é equilíbrio de Arrow-Radner desta economia. Inclua em sua discussão o cálculo da alocação correspondente ( (( ) ( ) ( ) ( )) x A1 1 x (x z) = A1 2 x A1 3 x A2 1 x A2 2 x A2 3 x B 1 x B 2 x B 3 x C (( ) ( ) ( ) ( 1 x C 2 x C 3)) z A1 1 z2 A1 z3 A1 z A2 1 z2 A2 z3 A2 z B 1 z2 B z3 B z C 1 z2 C z3 C onde z i s é a quantidade do bem básico contratada previamente por i para entrega em s e x i s a quantidade finalmente consumida por i no estado s. (b) É possível mostrar que a coalizão {A1 B C} ou a coalizão {A2 B C} (isto é pelo menos uma das duas) bloqueia a alocação x pedida no item anterior? Explique. 33. Mas-Colell Whinston e Green: exercício 19.D (Hildenbrand e Kirman seção 5.2 exemplo 5.1) Uma economia de trocas puras é composta pelos indivíduos 1 2 e 3. Suas preferências sobre as cestas de bens (x 1 x 2 ) podem ser representadas pela mesma função utilidade de forma funcional u(x 1 x 2 ) = x 1 x 2. Suas dotações iniciais são respectivamente e 1 = (1 14) e 2 = (1 14) e e 3 = (27 1). (a) Verifique que a alocação x = ( x 1 x 2 x 3) onde x 1 = (6 6) x 2 = (7 7) e x 3 = (16 16) pertence ao núcleo dessa economia. (b) Uma vez que os indivíduos 1 e 2 são idênticos o resultado do item anterior não fere o Teorema do Tratamento Igualitário no Núcleo (teorema 5.16 do livro de Jehle e Reny)? 35. Procure refazer o exercício 2 usando o truque de identificação de uma coalizão bloqueante em economias de réplica contido na prova do Teorema de Edgeworth-Debreu-Scarf. 36. (Prova 2015) Fixado um r natural ε r é uma economia de trocas com r indivíduos do tipo 1 e r indivíduos do tipo 2. Todos têm utilidade u : R 2 + R dada por u (x 1 x 2 ) = x 1 x 2 onde ambos os bens são perfeitamente divisíveis. Indivíduos do tipo 1 têm dotação (19 1) e indivíduos do tipo 2 têm dotação (1 19). Seja C r = { ( x 1 x 2) R 4 : (x 1... x 1 x 2... x 2 ) é uma alocação do núcleo de ε }{{}}{{} r }. r vezes r vezes (a) Ilustre a economia ε 1 seu núcleo e seu(s) equilíbrio(s) Walrasiano(s) em uma caixa de Edgeworth. (b) Mostre que se (( x 1 1 x 1 2) ( x 2 1 x 2 2)) C1 então x 1 2 = x 1 1 e x 2 2 = x 2 1. (c) Argumente por que ((10 10) (10 10)) C r r N. (d) ((7 7) (13 13)) C 2? Por quê? (e) ((7 7) (13 13)) C 3? Por quê? 37. (Prova 2016) É dada uma economia com mercados competitivos ε = ( u i e i) i I com i I ei R n ++ e cada u i : R n + R monótona estritamente quasecôncava e contínua. Verifica-se que o próprio vetor de dotações e = ( e 1... e I) é uma alocação Pareto-eficiente. Dado r N seja ε r a economia de réplica que contém r indivíduos do tipo 1 (isto é com mesmas preferências e dotações que o indivíduo 1) r do tipo 2... e r do tipo I. Seja r e a dotação da economia ε r isto é Alguma coalizão de ε r bloqueia r e? r e = (e 1... e 1 e 2... e 2... e I... e I ). }{{}}{{}}{{} r vezes r vezes r vezes ) 8