Teoria dos Jogos. Prof. Maurício Bugarin ECO/UnB 2013-I. Aula 7 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin. Cap. 2. Jogos Estáticos com Informação Completa

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1 Teoria dos Jogos Prof Maurício Bugarin ECO/UnB 013-I Cap Jogos Estáticos com Informação Completa Roteiro Capítulo Jogos Estáticos com Informação Completa (Cap 1 do livro-texto) 1 A Forma Normal e o Conceito de Equlíbrio de Nash 1 A: A Forma Normal 1 B: Solução por Dominância 1 C: Equilíbrio de Nash Aplicações A: Duopólio de Cournot B: Duopólio de Bertrand C: Negociação com arbitragem 3 Estratégias mistas e existência de Equilíbrio de Nash 3A: Estratégias mistas: Definição e exemplos 3B: Existência de Equilíbrio de Nash 1

2 3 Estratégias mistas Experimento: par ou ímpar? p i 1 P 1, 1 1, 1 I 1, 1 1, 1 3 Estratégias mistas Definição- Seja J=(n; S 1,, S n,, u n ) um jogo na forma normal no qual os conjuntos de estratégias dos agentes são finitos: S i =n i, i=1,, n Uma estratégia mista para o agente i é uma distribuição de probabilidades definida sobre o conjunto S i : σ i : S i [0, 1] tal que k σ i (s ik ) = 1 s ik σ i (s ik ) Um perfil de estratégias mistas σ=(σ 1,, σ n ) é uma seleção de uma estratégia mista para cada jogador i, i=1,, n

3 3 Estratégias mistas Exemplo: par ou ímpar? p i 1 P 1, 1 1, 1 I 1, 1 1, 1 σ=(σ 1, σ )=((1/4, 3/4), (/3, 1/3)) =((1/4)P+(3/4)I, (/3)p+(1/3)i) 3 Estratégias mistas Exemplo- Pedra, papel ou tesoura? pe pa te PE 0, 0 1, 1 1, 1 1 PA 1, 1 0, 0 1, 1 TE 1, 1 1, 1 0, 0 σ=(α PE + β PA + γ TE, λ pe + µ pa +ν te)=((α, β, γ), (λ, µ,ν)) em que α+β+γ=λ+µ+ν=1 3

4 3 Estratégias mistas Definição- Sejam N=(n; S 1,, S n,, u n ) um jogo na forma normal e σ=(σ 1,,σ n ) um perfil de estratégias (mistas) Então a conseqüência do jogo para um jogador i quando todos jogam de acordo com o perfil σ é dada por: Eu i (σ)= σ 1 (s 1 ) σ n (s n ) u i (s 1,,s n ) O somatório é tomado sobre todos os possíveis perfis de estratégias puras s=(s 1,, s n ) O produto σ 1 (s 1 ) σ n (s n ) corresponde à probabilidade do perfil s ser o perfil jogado, e u i (s 1,,s n ) é o payoff do jogador i quando esse perfil é de fato realizado Portanto, Eu i (σ) é o payoff esperado (a utilidade esperada) do jogador i quando cada jogador j escolhe a estratégia mista σ j, j=1,, n 3 Estratégias mistas Exemplo: par ou ímpar? p i 1 P 1, 1 1, 1 I 1, 1 1, 1 σ=(σ 1, σ )=((1/4, 3/4), (/3, 1/3)) =((1/4)P+(3/4)I, (/3)p+(1/3)i) Eu 1 (σ)=(1/4)(/3)1 +(1/4)(1/3)(-1) +(3/4)(/3)(-1) +(3/4)(1/3)1 = 1/1-3/1 = -1/6 Eu (σ)=(1/4)(/3)(-1) +(1/4)(1/3)1 +(3/4)(/3)1 +(3/4)(1/3)(-1) = -1/1 +3/1 = 1/6 4

5 Cap Jogos Estáticos com Informação Completa 3 Estratégias mistas Exemplo- Pedra, papel ou tesoura? pe pa te PE 0, 0 1, 1 1, 1 1 PA 1, 1 0, 0 1, 1 TE 1, 1 1, 1 0, 0 σ=(α PE + β PA + γ TE, λ pe + µ pa +ν te)=((α, β, γ), (λ, µ,ν)) em que α+β+γ=λ+µ+ν=1 σ=(0, 1/, 1/), µ=(1/3, 0, /3) Eu 1 (σ,µ) = (1/)(1/3)1 +(1/)(/3)(-1) +(1/)(1/3)(-1) +(1/)(/3)0 = -1/3 Eu (σ,µ) = (1/)(1/3)(-1) +(1/)(/3)1 +(1/)(1/3)1 +(1/)(/3)0 = 1/3 3 Estratégias mistas Definição: Seja J=(n; S 1,, S n,, u n ) um jogo na forma normal Pode-se definir a partir de J o jogo ΔJ=(n; ΔS i ; Eu i, i=1,, n) Portanto, uma estratégia mista do jogo J nada mais é que uma estratégia pura do jogo ΔJ Equilíbrio de Nash para estratégias mistas: Um perfil de estratégias σ * =(σ 1*,,σ n* ) ΔS 1 ΔS n é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas (ENM) se e somente se, para cada jogador i, Eu i (σ * ) Eu i (σ i, σ -i* ), σ i ΔS i 5

6 3 Estratégias mistas Exemplo: par ou ímpar? p i 1 P 1, 1 1, 1 I 1, 1 1, 1 Jogador 1: Eu 1 (λ, µ) = λµ - λ(1-µ) - µ(1-λ) + (1-λ)(1-µ) = (1 - λ)(1-µ) Jogador : Eu (λ, µ) = - (1 - λ)(1-µ) 3 Estratégias mistas Exemplo: par ou ímpar? Jogador 1: Eu 1 (λ, µ) = (1 - λ)(1-µ) Jogador : Eu (λ, µ) = - (1 - λ)(1-µ) µ 1 MR Se µ<1/ então MR 1 : λ=0 Se µ=1/ então qualquer valor de λ é uma MR 1 Se µ>1/ então MR 1 : λ=1 Se λ<1/ então MR : µ=1 Se λ=1/ então qualquer valor de µ é uma MR Se λ>1/ então MR : µ=0 p i 1/ 1 P 1, 1 1, 1 0 I 1, 1 1, 1 0 1/ 1 MR 1 ENM λ 6

7 3 Estratégias mistas Exemplo- Jogo do Banana d m 1 D 0, 0 10, 50 M 50, , 100 ENM: (λ, µ) Abordagem alternativa: UE 1 (D µ), (quadro) Cap Jogos Estáticos com Informação Completa Roteiro Capítulo : Jogos Estáticos com Informação Completa (Cap 1 do livro-texto) 1 A Forma Normal e o Conceito de Equlíbrio de Nash 1 A: A Forma Normal 1 B: Solução por Dominância 1 C: Equilíbrio de Nash Aplicações A: Duopólio de Cournot B: Duopólio de Bertrand C: Negociação com arbitragem 3 Estratégias mistas e existência de Equilíbrio de Nash 3A: Estratégias mistas: Exemplos: Batalha dos Sexos Assimétrica e Cidadania 3B: Existência de Equilíbrio de Nash 7

8 3 Estratégias mistas Exemplo- Batalha dos Sexos Assimétrico B S 1 B 7, 4 3, S 0, 0 4, 6 ENM: (λ, µ) (quadro) Discussão: ENM como mecanismo para disciplinar o outro jogador Radicalismo estratégico 3 Estratégias mistas Observações: Todo EN em estratégias puras é um ENM EIED? t 1 t t 3 1 s 1 14, 1 18, 1, 6 s 10, 16, 1 16, 6 8

9 Cap Jogos Estáticos com Informação Completa 3A Estratégia Mistas: Jogo da Cidadania Denunciar crimes N=, n> d n 1 D v c, v c v c, v N v, v c 0, 0 Cap Jogos Estáticos com Informação Completa Definição-Sejam A, B R k e seja (B)= B o conjunto dos subconjuntos de B (i) Uma aplicação f: A (B) é chamada uma correspondência de A em B (ii) O gráfico da correspondência f é dado pelo conjunto: Graf(f)={(x,y) x A, y f(x)} (iii) O gráfico de f é dito fechado se quaisquer que sejam as seqüências {a n } em A e {b n } em B, tais que n, b n f(a n ), se a n converge para a e b n converge para b, então a A e b f(a) Exemplo-Toda função g: A B pode ser vista como um caso particular de uma correspondência de A em B, f g, definida por f g (a)={g(a)} Nesse caso, o gráfico de f g é fechado se e somente se A é um subconjunto fechado de R k e g é contínua 9

10 Cap Jogos Estáticos com Informação Completa Exemplo- f(x)=x Exemplo-Seja f: R + (R) definida por f(x)=[-x, x] Então o gráfico de f é fechado e pode ser representado pela figura 61 abaixo Observe que se f for definida por f(x)=(-x, x), então o gráfico de f não é mais fechado y y=x x y= x Figura 61: Gráfico da correspondência f(x)=[ x, x] Cap Jogos Estáticos com Informação Completa Exemplo-Considere um consumidor que possui uma renda I a ser usada na aquisição dos bens 1,,, m Seja x=(x 1,, x m ) bens Se p=(p 1,, p m ) economia, então pode-se definir: uma cesta genérica desses for o vetor de preços de mercado dos bens na m { x R p x I} B( p) = + O conjunto B(p) é chamado conjunto orçamentário associado ao vetor de preços p e representa todas as cestas que o consumidor pode comprar, dada sua renda, se os preços de mercado forem dados por p Assim, B define uma correspondência m m de em, que é chamada de correspondência orçamentária R + R + m R + m R + (Gráfico) 10

11 Cap Jogos Estáticos com Informação Completa Quadro Teorema (lema)-teorema do Ponto Fixo de Kakutani Seja A R n não vazio, convexo e compacto e seja f: A (A) uma correspondência Suponha que: (i) Para todo a A, f(a) é um subconjunto não-vazio e convexo de A (ii) O gráfico de f é fechado Então existe z A tal que z f(z) O ponto z é chamado um ponto fixo da correspondência f Exemplo-No exemplo anterior, f(x)=[-x, x], todo ponto x R + é um ponto fixo de f E se f(x)=[-x/, x/]? E se f(x)=[1-x, x-1], x [0,1]? Exemplo-No caso particular em que f é uma função, um ponto fixo é um ponto z A tal que f(z)=z Se A=[a, b] e f: A A, então o conhecido Teorema do Valor Intermediário pode ser visto como um caso particular do Teorema de Kakutani Cap Jogos Estáticos com Informação Completa Teorema (lema)-existência de Equilíbrio de Nash Seja J=(n; S 1,, S n,, u n ) um jogo na forma normal tal que: (i) Para todo jogador i, S i é um subconjunto não-vazio, convexo e compacto de algum espaço euclidiano (ii) Para todo jogado i, u i é uma função contínua em s=(s 1,, s n ) e quase-côncava em s i Então existe pelo menos um equilíbrio de Nash no jogo J Demonstração Defina, para cada i=1,, n, a correspondência melhor resposta: MR i : S -i (S i ) s -i MR i (s i )=argmax u i (s i, s -i )={s i S i u i (s i, s -i ) u i (r, s -i ), r S i } Então: (i) Como S i é compacto e u i é contínua em s i, então para todo s -i S -i, MR i (s -i ) é nãovazio 11

12 Cap Jogos Estáticos com Informação Completa Teorema (lema)-existência de Equilíbrio de Nash Seja J=(n; S 1,, S n,, u n ) um jogo na forma normal tal que: (i) Para todo jogador i, S i é um subconjunto não-vazio, convexo e compacto de algum espaço euclidiano (ii) Para todo jogado i, u i é uma função contínua em s=(s 1,, s n ) e quase-côncava em s i Então existe pelo menos um equilíbrio de Nash no jogo J Demonstração Defina, para cada i=1,, n, a correspondência melhor resposta: MR i : S -i (S i ) s -i MR i (s i )=argmax u i (s i, s -i )={s i S i u i (s i, s -i ) u i (r, s -i ), r S i } Então: (ii) Como u i é quase-côncava em s i, s i, s iʹ S i, α [0,1], s i, s iʹ MR i (s -i ) u i (s i, s -i ) u i (s iʹ, s -i ) u i (αs i + (1-α)s iʹ, s -i ) u i (s iʹ, s -i ) αs i + (1-α)s iʹ MR i (s -i ), s -i S -i Assim, MR i (s -i ) é um conjunto convexo Cap Jogos Estáticos com Informação Completa Teorema (lema)-existência de Equilíbrio de Nash Seja J=(n; S 1,, S n,, u n ) um jogo na forma normal tal que: (i) Para todo jogador i, S i é um subconjunto não-vazio, convexo e compacto de algum espaço euclidiano (ii) Para todo jogado i, u i é uma função contínua em s=(s 1,, s n ) e quase-côncava em s i Demonstração MR i : S -i (S i ) s -i MR i (s i ) (iii) Seja s -i,k uma seqüência em S -i e, para cada k, seja s i,k MR i (s -i,k ), tais que s -i,k s -i e s i,k s i Como S i e S -i são conjuntos compactos s i S i e s -i S -i Além disso, por construção, para cada k, u i (s i,k, s -i,k ) u i (s iʹ, s -i,k ), s iʹ S i Como u i é contínua em S, tomando o limite quando k + temos: Logo, o gráfico de MR i é fechado u i (s i, s -i ) u i (s iʹ, s -i ), s iʹ S i s i MR i (s -i ) 1

13 Cap Jogos Estáticos com Informação Completa Teorema (lema)-existência de Equilíbrio de Nash Seja J=(n; S 1,, S n,, u n ) um jogo na forma normal tal que: (i) Para todo jogador i, S i é um subconjunto não-vazio, convexo e compacto de algum espaço euclidiano (ii) Para todo jogado i, u i é uma função contínua em s=(s 1,, s n ) e quase-côncava em s i Demonstração MR i : S -i (S i ) s -i MR i (s i ) (iv) Defina agora MR: S (S) por MR(s)=MR 1 (s -1 ) MR n (s -n ) Então, MR satisfaz as condições do teorema de Kakutani Assim, existe s=(s 1,, s n ) S tal que s i MR(s -i ), para todo i=1,, n Logo s é um equilíbrio de Nash do jogo Cap Jogos Estáticos com Informação Completa Teorema (lema)-existência de Equilíbrio de Nash Seja J=(n; S 1,, S n,, u n ) um jogo na forma normal tal que: (i) Para todo jogador i, S i é um subconjunto não-vazio, convexo e compacto de algum espaço euclidiano (ii) Para todo jogado i, u i é uma função contínua em s=(s 1,, s n ) e quase-côncava em s i Exemplos Cournot, Bertrand com produtos não homogêneos, cidadania visto como escolha de estratégias mistas 13

14 Cap Jogos Estáticos com Informação Completa Teorema-Existência de Equilíbrio de Nash (Nash 1950) Seja J=(n; S 1,, S n,, u n ) um jogo na forma normal onde cada jogador possui um número finito de estratégias Então J possui pelo menos um equilíbrio de Nash em estratégias mistas Demonstração Basta considerar o jogo associado ΔJ=(n; ΔS 1,,ΔS n ; Eu 1,,Eu n ) e observar que os simplexos ΔS i satisfazem as condições (i) do teorema anterior e que as funções de utilidade esperada Eu i são lineares, e portanto contínuas e quase-côncavas, em seus argumentos Diagrama de Venn 14