JOÃO CARLOS MOREIRA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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1 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA JOÃO CARLOS MOREIRA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL FUN COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO VOLUME 2 - FUNÇÕES RACIONAIS

2 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO VOLUME 2 - FUNÇÕES RACIONAIS

3 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO VOLUME 2 - FUNÇÕES RACIONAIS JOÃO CARLOS MOREIRA Professor do Instituto de Ciências Exatas e Naturais - ICENP Universidade Federal de Uberlândia EDITORA LIVRARIA MOREIRA S.A https//

4 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA Copyright 208 by João Carlos Moreira CAPA JOÃO CARLOS MOREIRA EDITOR JOÃO CARLOS MOREIRA DIAGRAMAÇÃO JOÃO CARLOS MOREIRA DISTRIBUIÇÃO COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão expressa da Editora. Aos infratores aplicam-se as sanções previstas nos artigos 02, 04, 06 e 07 da Lei n o 9.60, de 9 de fevereiro de 988. Impresso no Brazil / Printed in Brazil https//

5 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA Para todos os meus alunos, com carinho. João Carlos Moreira

6 UMA NOVA ABORDAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA Prefácio Este livro é fruto de um projeto intitulado Escola de Cálculo, criado em 20, com o intuito de colaborar na melhoria do ensino e do aprendizado de Cálculo Diferencial e Integral e suas Aplicações. A metodologia de ensino é baseada na teoria de sistemas matemáticos e no desenvolvimento de algoritmos para o cálculo de limites, derivadas e integrais para a classe das funções racionais. Isso permite ao estudante um estudo profundo sobre as funções racionais presentes na teoria do cálculo diferencial e integral. Esse material é inédito e propõe uma nova abordagem no ensino do cálculo no Brasil. Agradeço a Deus pela missão educacional a mim confiada. Ituiutaba, setembro de 208. João Carlos Moreira

7 SUMÁRIO. CONCEITOS DOMÍNIO E IMAGEM LIMITES DERIVADAS GRÁFICOS INTEGRAI TEOREMAS ALGORITMOS... 47

8 2 FUNÇÕES RACIONAIS CONCEITOS NÍVEL I Exercício valores reais. Dê exemplos. Defina função racional de uma variável real à Exercício 2 Defina domínio de uma função racional de uma variável real à valores reais. Dê exemplos. Exercício Defina ponto limite ou de acumulação do domínio de uma função racional de uma variável real à valores reais. Dê exemplos. Exercício 4 Defina imagem de uma função racional de uma variável real à valores reais. Dê exemplos. Exercício 5 Defina gráfico de uma função racional de uma variável real à valores reais. Dê exemplos. Exercício 6 Sendo f uma função racional de uma variável real à valores reais, defina e dê exemplos a) limite de f no ponto limite x 0 de Ω D(f), lim f(x) = L. x x 0 b) os limites laterais de f à direita do ponto limite x 0 de Ω

9 D(f), lim f(x) = L, lim f(x) = + e lim f(x) =. x x + 0 x x + 0 x x + 0 c) os limites laterais de f à direita do ponto limite x 0 de Ω D(f), lim f(x) = L, lim f(x) = + e lim f(x) =. x x 0 x x 0 x x 0 d) os limites no infinito de f, lim f(x) = L, lim f(x) = +, lim f(x) = x + x + x + e lim f(x) = L, lim x x f(x) = e lim x f(x) = +. Exercício 7 Sendo f uma função racional de uma variável real à valores reais, defina e dê exemplos a) as derivadas laterais de ordem n de f, sobre um conjunto Ω D(f) no ponto limite x 0 de Ω, ( n) (f + (n) (x0 )) e ( n) (f (n) (x 0 )). b) a derivada de ordem n de f sobre um conjunto Ω D(f) no ponto limite x 0 de Ω, ( n) ( f (n) (x 0 )) ou ( n) (( dn f dx n) (x 0)). c) as funções derivadas laterais de ordem n de f, ( n) (f + (n) (x)) e ( n) (f (n) (x)).

10 4 d) as funções derivadas de ordem n de f, ( n) ( f (n) (x)) ou ( n) (( dn f dxn) (x)). e) as diferenciais de ordem n de f sobre um conjunto Ω D(f) no ponto limite x 0 de Ω, ( n)(d n f(x 0 )). Exercício 8 Considerando f uma função racional de uma variável real à valores reais, defina e dê exemplos a) a integral indefinida de f, f(x)dx. b) a integral definida de f (segundo Riemann), c) as integrais impróprias de f, + a b f(x)dx. a b f(x)dx, f(x)dx e + f(x)dx. Exercício 9 Sendo f uma função racional de uma variável real à valores reais, defina e dê exemplos a) continuidade de f no ponto limite x 0 de um conjunto Ω D(f) e continuidade de f. b) reta tangente e reta normal ao gráfico de f no ponto

11 5 (x 0, f(x 0 )). c) intervalos de crescimento e decrescimento de f e a variação do sinal da derivada de primeira ordem de f. d) ponto de máximo local e global de f. e) ponto de mínimo local e global de f. f) intervalos de mudança de concavidade de f e a variação do sinal da derivada de segunda ordem de f. g) ponto de inflexão de f. h) assíntotas vertical, horizontal e oblíqua de f.

12 6 2 FUNÇÕES RACIONAIS DOMÍNIO E IMAGEM NÍVEL N.D.A. = Nenhuma das alternativas anteriores Exercício O domínio e a imagem da função racional f = {(x, x+ 2x+ ) x D(f)} é a) D(f) = {x x } e Im(f) = {y y } 2 2 b) D(f) = {x x } e Im(f) = {y y } 2 2 c) D(f) = {x x } e Im(f) = {y y } 2 2 d) D(f) = {x x } e Im(f) = {y y } 2 2 Exercício 2 O domínio e a imagem da função racional f = {(x, 2x ) x D(f)} é 4x 2 a) D(f) = {x (x 2 ) (x 0)} e Im(f) = {y (y 2 ) y ( 2 )} b) D(f) = {x (x ) (x 0)} e Im(f) = {y (y ) y( 0)} 2 2 c) D(f) = {x (x ) (x )} e Im(f) = {y (y ) y ( )} d) D(f) = {x (x 2 ) (x 2 )} e Im(f) = {y (y 0) y ( 2 )} Exercício O domínio e a imagem da função racional f = {(x, x+ x 2 +x 2 ) x D(f)} é

13 7 a) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R + b) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R c) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R d) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R Exercício 4 O domínio e a imagem da função racional f = {(x, x2 ) x D(f)} é x+2 a) D(f) = {x x 2} e Im(f) = {y (y 4 2 ) (y )} b) D(f) = {x x 2} e Im(f) = {y ( 4 2 y ) } c) D(f) = {x x 2} e IIm(f) = {y ( 2 y 2 ) } d) D(f) = {x x 2} e Im(f) = {y (y 2 ) (y 2 )} e) N.D.A Exercício 5 O domínio e a imagem da função racional f = {(x, x x 2 +x 2 ) x D(f)} é a) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R + b) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R c) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R d) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R Exercício 6 O domínio e a imagem da função racional f = {(x, x 2 x 4 x x 2 +5x 2 ) x D(f)} é a) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R + b) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R c) D(f) = {x (x ) (x 2)}e Im(f) = R d) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R

14 8 Exercício 7 O domínio e a imagem da função racional f = {(x, x 2 + x 4 x x 2 +5x 2 ) x D(f)} é a) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R + b) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R c) D(f) = {x (x ) (x 2)}e Im(f) = R d) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R Exercício 8 O domínio e a imagem da função racional f = {(x, x 2 + ) x D(f)} é a) D(f) = R e Im(f) = {y 0 < y } b) D(f) = {x 0 < x } e Im(f) = R c) D(f) = R e Im(f) = {y < y 0} d) D(f) = R e Im(f) = {y 0 < y < } Exercício 9 O domínio e a imagem da função racional f = {(x, 2 x 2 +x+ ) x D(f)} é a) D(f) = R e Im(f) = {y 8 y 0} b) D(f) = {x 8 x 0} e Im(f) = R c) D(f) = R e Im(f) = {y 8 y < 0} d) D(f) = {x 8 x 0} e Im(f) = R Exercício 0 O domínio e a imagem da função racional f = {(x, x 4 +2x 2 + ) x D(f)} é

15 9 a) D(f) = R e Im(f) = {y 0 < y } b) D(f) = {x 0 x < } e Im(f) = R c) D(f) = R e Im(f) = {y 0 y < } d) D(f) = {y 0 y } e Im(f) = R Exercício O domínio e a imagem da função racional f = {(x, x x 2 +x a) D(f) = {x (x )} e Im(f) = R + b) D(f) = {x (x )} e Im(f) = R c) D(f) = {x (x )} e Im(f) = R d) D(f) = {x (x )} e Im(f) = R ) x D(f)} é Exercício 2 O domínio e a imagem da função racional f = {(x, x2 +x ) x D(f)} é x a) D(f) = {x (x )} e Im(f) = {y (y ) ( y )} b) D(f) = {x (x )} e Im(f) = {y (y ) ( y )} c) D(f) = {x (x )} e Im(f) = {y ( y ) } d) D(f) = {x (x )} e Im(f) = {y ( y ) } Exercício O domínio e a imagem da função racional f = {(x, x2 x+ ) x D(f)} é x a) D(f) = {x (x )} e Im(f) = {y (y ) ( y )} b) D(f) = {x (x )} e Im(f) = {y (y ) ( y )} c) D(f) = {x R x } e Im(f) = {y (y ) ( y )} d) D(f) = {x (x )} e Im(f) = {y ( y ) }

16 0 Exercício 4 O domínio e a imagem da função racional f = {(x, x x 2 +x ) x D(f)} é x a) D(f) = {x (x )} e Im(f) = R + b) D(f) = {x (x )} e Im(f) = R c) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R d) D(f) = {x (x )} e Im(f) = R Exercício 5 O domínio e a imagem da função racional f = {(x, x +x 2 x ) x D(f)} é x a) D(f) = {x (x )} e Im(f) = R + b) D(f) = {x (x )} e Im(f) = R c) D(f) = {x (x ) (x 2)} e Im(f) = R d) D(f) = {x (x )} e Im(f) = R

17 FUNÇÕES RACIONAIS LIMITES NÍVEL I N.D.A. = Nenhuma das alternativas anteriores Exercício x+ x 2 2x+ a) 7 b) 7 c) + d) Exercício 2 x lim 2 +2x+ x x a) 2 b) 2 c) d) Exercício x x x 2 a) 2 b) 2

18 2 c) d) Exercício 4 2x x 4x 2 2 a) b) 4 c) 2 Exercício 5 x+ x + 2x+ a) 2 b) 2 c) + d) Exercício 6 x+ x 2x+ a) 2 b) 2 c) + d)

19 Exercício 7 a) b) 4 c) 2 2x x + 4x 2 Exercício 8 a) b) 4 c) 2 2x x 4x 2 Exercício 9 x+ x + x 2 +x 2 Exercício 0 x+ x x 2 +x 2

20 4 Exercício x+ x + x 2 +x 2 Exercício 2 x+ x x 2 +x 2 Exercício x lim 2 x x+2

21 5 Exercício 4 x x + x 2 +x 2 Exercício 5 x x x 2 +x 2 Exercício 6 x x + x 2 +x 2 Exercício 7 x x x 2 +x 2

22 6 Exercício 8 lim x2 x + x 4 x x 2 +5x 2 Exercício 9 lim x2 x x 4 x x 2 +5x 2 Exercício 20 x lim 2 x + x 4 x x 2 +5x 2 Exercício 2

23 7 x lim 2 x x 4 x x 2 +5x 2 Exercício 22 lim x2 + x + x 4 x x 2 +5x 2 Exercício 2 lim x2 + x x 4 x x 2 +5x 2 Exercício 24 x lim 2 + x + x 4 x x 2 +5x 2

24 8 Exercício 25 x lim 2 + x x 4 x x 2 +5x 2 Exercício 26 a) c) 2 x + x 2 + d) 2 Exercício 27 a) c) 2 x x 2 + d) 2 Exercício 28

25 9 a) c) 2 x + x 2 + d) 2 Exercício 29 a) c) 2 x x 2 + d) 2 Exercício 0 a) c) 2 d) 2 2 x + x 2 +x+ Exercício 2 x x 2 +x+ a) c) 2

26 20 d) 2 Exercício 2 a) c) 0 d) 2 x + x 2 +x+ Exercício a) c) 2 x x 2 +x+ Exercício 4 a) c) 4 x + x 4 +2x 2 + d) - 4 Exercício 5

27 2 a) c) x x 4 +2x 2 + d) - Exercício 6 a) c) 0 d) - x + x 4 +2x 2 + Exercício 7 a) c) x x 4 +2x 2 + Exercício 8 a) x + x x 2 +x

28 22 c) d) - Exercício 9 a) c) x x x 2 +x d) - Exercício 40 Exercício 4 x + x x 2 +x x x x 2 +x

29 2 Exercício 42 lim x2 +x x + x Exercício 4 lim x2 +x x x Exercício 44 x lim 2 +x x + x Exercício 45 x lim 2 +x x x

30 24 Exercício 46 Exercício 47 lim x2 x+ x + x lim x2 x+ x x Exercício 48 x lim 2 x+ x + x Exercício 49

31 25 x lim 2 x+ x x Exercício 50 lim x x2 +x x + x Exercício 5 lim x x2 +x x x Exercício 52 x lim x 2 +x x + x

32 26 Exercício 5 x lim x 2 +x x x Exercício 54 lim x +x2 x x + x Exercício 55 lim x +x2 x x x Exercício 56

33 27 x lim +x 2 x x + x Exercício 57 x lim +x 2 x x x

34 28 5 FUNÇÕES RACIONAIS DERIVADAS NÍVEL N.D.A. = Nenhuma das alternativas anteriores Exercício a) -2 b) c) d) 5 df dx x=, sendo f(x) = x+ 2x+ Exercício 2 a) -2 b) c) d) 5 df dx x=0, sendo f(x) = 2x 4x 2 Exercício df dx x=, sendo f(x) = x+ x 2 +x 2 a) 2 b) 4

35 29 c) d) 5 Exercício 4 a) 2 5 b) 6 c) 6 d) 5 df, sendo f(x) = x2 dx x=2 x+2 Exercício 5 df dx x=, sendo f(x) = x x 2 +x 2 a) 2 b) 4 c) d) 5 Exercício 6 df dx x=0, sendo f(x) = x 2 x 4 x x 2 +5x 2 a) 5 2 b) c)

36 0 d) Exercício 7 df, sendo f(x) = x 2 + dx x=0 x 4 x x 2 +5x 2 a) 5 2 b) 5 4 c) 5 d) Exercício 8 a) b) c) 0 d) 2 df dx x=0, sendo f(x) = x 2 + Exercício 9 a) 2 b) 2 c) 0 d) df dx x=0, sendo f(x) = 2 x 2 +x+

37 Exercício 0 df, sendo f(x) = dx x= x 4 +2x 2 + a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 Exercício df, sendo f(x) = dx x= x x 2 +x a) 2 8 b) 2 8 c) 8 d) 8 Exercício 2 a) 2 b) c) df, sendo f(x) = x2 +x dx x=0 x Exercício

38 2 df, sendo f(x) = x2 x+ dx x= x a) 2 b) c) d) Exercício 4 a) -2 b) - c) - df, sendo f(x) = x x 2 +x dx x=0 x Exercício 5 a) 2 b) c) d) df, sendo f(x) = x +x 2 x dx x= x

39 26 FUNÇÕES RACIONAIS GRÁFICOS NÍVEL Antes de esboçar o gráfico das funções racionais abaixo, determine caso existam, D(f); Im(f); raízes de f; as assíntotas verticais, horizontais e oblíquas; os intervalos de crescimento e decrescimento; os pontos e valores máximos e mínimos locais e globais de f; os intervalos onde a concavidade é voltada para baixo ou para cima, bem como os possíveis pontos de inflexão. Exercício Esboce o gráfico da função racional x + f = {(x, ) x D(f)}. 2x + Exercício 2 Esboce o gráfico da função racional f = {(x, 2x 4x 2 ) x D(f)}. Exercício Esboce o gráfico da função racional x + f = {(x, ) x D(f)}. x 2 + x 2 Exercício 4 Esboce o gráfico da função racional f = {(x, x2 ) x D(f)}. x + 2

40 4 Exercício 5 Esboce o gráfico da função racional x f = {(x, ) x D(f)}. x 2 + x 2 Exercício 6 Esboce o gráfico da função racional x 2 f = {(x, x 4 x x 2 ) x D(f)}. + 5x 2 Exercício 7 Esboce o gráfico da função racional x 2 + f = {(x, x 4 x x 2 ) x D(f)}. + 5x 2 Exercício 8 Esboce o gráfico da função racional f = {(x, x 2 ) x D(f)}. + Exercício 9 Esboce o gráfico da função racional 2 f = {(x, x 2 ) x D(f)}. + x + Exercício 0 Esboce o gráfico da função racional f = {(x, x 4 + 2x 2 ) x D(f)}. + Exercício Esboce o gráfico da função racional f = {(x, ) x D(f)}. x x 2 + x

41 5 Exercício 2 Esboce o gráfico da função racional f = {(x, x2 + x ) x D(f)}. x Exercício Esboce o gráfico da função racional f = {(x, x2 x + ) x D(f)}. x Exercício 4 Esboce o gráfico da função racional f = {(x, x x 2 +x ) x D(f)}. x Exercício 5 Esboce o gráfico da função racional f = {(x, x +x 2 x ) x D(f)}. x

42 6 27 FUNÇÕES RACIONAIS INTEGRAIS NÍVEL N.D.A. = Nenhuma das alternativas anteriores Exercício x+ 0 dx 2x+. a) (log(24) 2) 4 (log(24) 2) b) 4 c) 4 (ln(24) 2) d) (ln(24) 2) 4 Exercício 2 2 2x dx 4x 2. a) 2 log (5 ) b) 2 ln ( 5 ) c) log 2 () 5 d) ln 2 (5) Exercício x+ 2 dx x 2 +x 2.

43 7 a) log ( 5 ) b) log ( 5 ) c) ln (5) ln () d) 5 Exercício 4 a) log ( 27 8 ) 2 b) log ( 27 8 ) + 2 c) ln ( 27 8 ) + 2 d) ln ( 27 8 ) 2 x2 0 dx x+2. Exercício 5 a) b) c) ln () 2 ln (2) log () 2 log (2) d) 0 x dx x 2 +x 2. Exercício 6 0 x 2 dx x 4 x x 2 +5x 2.

44 8 a) (log 4 ) 9 (ln 4 ) b) 9 c) 9 d) 9 ( log 4) ( ln 4) Exercício 7 x dx x 4 x x 2 +5x 2. a) 9 (log (8 5 ) + ) b) 9 (log (8 5 ) ) c) (log 9 (8) + ) 5 d) (log 9 (8) ) 5 Exercício 8 0 dx x 2 +. a) π 4 b) π 2 π c) 4 d) π Exercício 9 a) 4π 0 2 dx x 2 +x+.

45 9 b) 4π 2π c) d) 2π Exercício 0 a) π+2 8 b) π+2 2 c) π+2 2 d) π dx x 4 +2x 2 +. Exercício 4 dx x x 2 +x. a) 4 b) 4 c) 4 (ln (45) + 2arctg() 2arctg(4)) 4 ) + 2arctg() 2arctg(4)) (ln (45 4 (ln (45 4 (ln (45 4 d) 4 ) + 2arctg() + 2arctg(4)) ) 2arctg() 2arctg(4)) Exercício 2 0 x2 +x x dx. a) 2 ln 2 b) 2 +ln 2

46 40 c) 2 log 2 d) 2 +log 2 Exercício x2 x+ 2 x dx. a) 5 2 ln 2 b) 5 2 +ln 2 5 c) log 2 2 d) 5 +log 2 2 Exercício 4 0 x x 2 +x x dx. a) 7 log 2 b) 7 +log 2 7 c) +ln 2 d) 7 ln 2 Exercício 5 a) 7 log 2 b) 7 +log 2 7 c) +ln 2 x +x 2 x 2 x dx.

47 4 d) 7 ln 2

48 42 28 FUNÇÕES RACIONAIS TEOREMAS NÍVEL 2 Teorema Mostre que ( lim f(x) = L) ( lim f(x) = L) ( lim f(x) = L). x x0 x x + 0 x x 0 Teorema 2 Mostre que se ( n)( i) ( (n N) (i {,, n}) ( lim x x0 f i (x) = L i )), então n n ( f i x x0 i= )(x) = i= lim a) lim ( n f i x x0 i= )(x) = n i= lim b) lim x x0 f i (x); x x0 f i (x). Nota. Mostre que o Teorema 2 é válido se substituirmos x 0 por x 0 +, x 0, + ou. Corolário Mostre que se ( lim x x0 f(x) = L), então ( k) ((k R) ( lim x x0 (k f)(x) = k lim x x0 f(x) )). Nota. Mostre que o Corolário é válido se substituirmos x 0 por x 0 +, x 0, + ou. Corolário 2 Mostre que se ( lim x x0 f (x) = L ) ( lim x x0 f 2 (x) = L 2 ), então ( lim f 2 (x) 0 lim ( f lim f (x) x x ) (x) = 0 x x0 x x0 f 2 lim f 2 (x) ). x x 0

49 4 Nota. Se ( lim x x0 + f (x) = 0) ( lim x x0 + f 2(x) = 0), então teremos uma indeterminação em ( lim x x0 + (f ) (x)). f 2 Nota 2. Mostre que o Corolário 2 é válido se substituirmos x 0 por x 0 +, x 0, + ou. Teorema Mostre que se Im(g) D(f), ( lim x x0 f(x) = L) (lim y L g(y) = M) lim x x0 (f g)(x) = M Nota. Mostre que o Teorema é válido se substituirmos x 0 por x 0 +, x 0, + ou. Corolário contínua em x 0, então Se Im(g) D(f), f é contínua em g(x 0 ) e g for lim x x0 (f g)(x) = (f g)(x 0 ). Nota. Mostre que o Corolário é válido se substituirmos x 0 por x 0 + ou x 0. Teorema 4 Se e x 0 é um ponto limite de Ω, então ( x)((x Ω R) (f (x) g(x) f 2 (x))) ( lim x x0 f (x) = L) ( lim x x0 f 2 (x) = L) ( lim x x0 g(x) = L). Nota. Mostre que o Teorema 4 é válido se substituirmos x 0 por x 0 +, x 0, + ou.

50 44 Corolário 4 limite de Ω, então Se ( x)((x Ω) (a g(x) b)) e x 0 é um ponto ( lim x x0 f(x) = 0) ( lim x x0 (f g)(x) = 0). Nota. Mostre que o Corolário 4 é válido se substituirmos x 0 por x 0 +, x 0, + ou. Teorema 5 Mostre que se ( n)( i) ( (n N) (i {,, n}) ( lim x x 0 + f i(x) = + )), então ( n f x x+ i= i 0 a) lim ( n f x x+ i= i 0 b) lim )(x) = + ; )(x) = +. Nota. Se ( lim x x0 + f (x) = + ) ( lim x x0 + f 2(x) = + ) então teremos uma indeterminação em ( lim x x0 + (f ) (x)). f 2 Nota 2. Mostre que o Teorema 5 é válido se substituirmos x 0 + por x 0, + ou. Teorema 6 Mostre que se ( n)( i) ( (n N) (i {,, n}) ( lim x x 0 + f i(x) = )), então ( n f x x+ i= i 0 a) lim ( n f x x+ i= i 0 b) lim )(x) = ; +, se n é par )(x) = {, se n é ímpar.

51 45 Nota. Se ( lim x x0 + f (x) = ) ( lim x x0 + f 2(x) = ) então teremos uma indeterminação em ( lim x x0 + (f ) (x)). f 2 Nota 2. Mostre que o Teorema 6 é válido se substituirmos x 0 + por x 0, + ou. Teorema 7 Mostre que a) ( lim x x 0 + f (x) = + ) ( lim x x 0 + f 2(x) = L) ( lim x x 0 + (f + f 2 )(x) = + ) ; b) ( lim x x 0 + f (x) = ) ( lim x x 0 + f 2(x) = L) ( lim x x 0 + (f + f 2 )(x) = ). Nota. Mostre que o Teorema 7 é válido se substituirmos x 0 + por x 0, + ou. Teorema 8 Mostre que a) ( lim f + (x) = + ) ( lim f + 2 (x) = L) ( lim (f +, se L > 0 + f 2 )(x) = { x x0 x x 0 x x 0, se L < 0 ) ; b) ( lim f + (x) = ) ( lim f + 2 (x) = L) ( lim (f, se L > 0 + f 2 )(x) = { x x0 x x 0 x x 0 +, se L < 0 ). Nota. Se L = 0 temos uma indeterminação. Nota 2. Mostre que o Teorema 8 é válido se substituirmos x 0 + por x 0, + ou. Teorema 9 Mostre que ( lim f + (x) = + ) ( lim f + 2 (x) = ) ( lim (f + f 2 )(x) = ). x x0 x x 0 x x 0 Nota. lim x x0 + (f + f 2 )(x) temos uma indeterminação.

52 46 Nota 2. Se ( lim x x0 + f (x) = + ) ( lim x x0 + f 2(x) = ), então teremos uma indeterminação em ( lim x x0 + (f ) (x)). f 2 Nota. Mostre que o Teorema 9 é válido se substituirmos x 0 + por x 0, + ou. Teorema 0 Mostre que a) ( lim x x0 + f (x) = ) ( lim x x0 + f 2(x) = ) ( lim x x0 + (f + f 2 )(x) = ) ; b) ( lim x x0 + f (x) = ) ( lim x x0 + f 2(x) = ) ( lim x x0 + (f f 2 )(x) = + ). Nota. Mostre que o Teorema 0 é válido se substituirmos x 0 + por x 0, + ou. Teorema Mostre que ( lim x x 0 + f (x) = ) ( lim x x 0 + f 2(x) = + ) ( lim x x 0 + (f f 2 )(x) = ). Nota. Se ( lim x x 0 + f (x) = ) ( lim x x 0 + f 2(x) = + ), teremos uma indeterminação em lim x x 0 + (f + f 2 )(x). Nota 2. Mostre que o Teorema é válido se substituirmos x 0 + por x 0, + ou.

53 47 29 FUNÇÕES RACIONAIS ALGORITMOS NÍVEL Exercício Mostre que se f(x) = n l=0 a lx l m l=0 b l x l N {0}, n, m N {0}, p(x 0 ) 0 e q(x 0 ) 0, então lim f(x) = x x 0 n l l=0 a l x 0 m, se i = j = 0 b l x l l=0 0 p(x 0 ), se i = j 0 q(x 0 ) 0, se i > j {, se i < j = (x x 0 )i p(x), i, j (x x 0 ) j q(x) f(x) = n l=0 a lx l b l x l então Exercício 2 m l=0 a) lim x x 0 f(x) = b) lim x x 0 + f(x) = Mostre que se = (x x 0) i p(x) (x x 0 ) j q(x), i, j N {0}, p(x 0) 0 e q(x 0 ) 0, { { n a l x l l=0 0 m b l x l l=0 0 p(x 0 ) q(x 0 ), se i = j = 0, se i = j 0 0, se i > j +, se j i > 0, j i é par e p(x 0 ) q(x 0 ) > 0, se j i > 0, j i é par e p(x 0 ) q(x 0 ) < 0 +, se j i > 0, j i é impar e p(x 0 ) q(x 0 ) < 0, se j i > 0, j i é impar e p(x 0 ) > 0 q(x 0 ) n a l x l l=0 0 m b l x l l=0 0 p(x 0 ) q(x 0 ), se i = j = 0, se i = j 0 0, se i > j +, se j i > 0 e p(x 0 ) q(x 0 ) > 0, se j i > 0 e p(x 0 ) q(x 0 ) < 0

54 48 Exercício então a) lim x + f(x) = b) lim x f(x) = c) df dx (x) = ( la Mostre que se f(x) = n l=0 a lx l m l=0 b l x l +, se n m > 0 e a n > 0 b m a n, se n = m b m ; 0, se n m < 0, n, m N {0}, {, se n m > 0 e a n < 0 b m +, se n m > 0, n m é par e a n > 0 b m, +, {, se n m > 0, n m é par e a n b m < 0 se n m > 0, n m é ímpar e a n b m < 0 se n m > 0, n m é ímpar e a n > 0 b m n l= lx l ) ( m l=0 b l x l ) ( n l=0 a l x l ) ( m l= lb l x l ) ( m l=0 b l x l ) 2. ; Exercício 5 Mostre que se f(x) = então f(x) pode ser expressa na forma f(x) = n l=0 a lx l m l=0 b l x l, n, m, N {0}, n < m, n l=0 a l x l (x x ) m (x x i ) m i ((x a ) 2 +b 2 ) mi+ ((x a j ) 2 m 2 i+j, +b j ) onde x,, x i são raízes reais de m l=0 b l x l e não são raízes de n l=0 a l x l ; a ± ib,, a j ± ib j são raízes complexas conjugadas de m l=0 b l x l n e não são raízes de l=0 a l x l e m + + m i+j m e δ(p) n. Exercício 6 Mostre que se f(x) = então f(x) pode ser expressa na forma i m k a kl l= (x x k ) l k= + n l=0 a lx l m l=0 b l x l j m k b kl x+c kl k= l= ((x a k ) 2 2 l, +b k ), n, m, N {0}, n < m, onde x,, x i são números reais e a ± ib,, a j ± ib j são números complexas conjugados.

55 49 Sugestão Use o exercício 5. Exercício 7 então f(x)dx é obtida por Mostre que se f(x) = n l=0 a lx l m l=0 b l x l a kl m k l=2 (x x k ) l, n, m, N {0}, n < m, j k= i k= a k ln ( (x x k ) + i l k= + b k arctg( x a k j k= a k b k +c k ln ( cos (arctg ( x a k )) ) + b k b k m k l=2 + b kl 2l 2 (2l 2)b k cos 2l 2 ( arctg ( x a k b k )) + a k b kl +c kl 2l ( cos 2l 2 (u) du), b k onde cos 2l 2 (u) du é obtido recursivamente por cos 2l 2 (u) du = 2l 2 cos2l (arctg ( x a k b k )) b k ) + 2l 2l 2 cos2l 4 (u) du, onde u = arctg ( x a k ), x b,, x i são números reais e a ± ib,, a j ± k ib j são números complexos conjugados. Sugestão Use o exercício 6. Exercício 8 Mostre que se f(x) = então f pode expressa na forma f(x) = n l=0 a lx l m l=0 b l x l r l=0 c l x l + s l=0 a lx l m l=0 b l x l, n, m, N {0}, n m,, s < m. Exercício 9 Determine a equação geral da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f(x) = (x 0, f(x 0 )). n l=0 a lx l m l=0 b l x l, n, m N {0}, no ponto Exercício 0 Elabore um algoritmo para o estudo do sinal das

56 50 funções racionais. Exercício Elabore um algoritmo para o estudo do crescimento e decrescimento das funções racionais e de seus possíveis pontos de máximo e mínimo locais. Exercício 2 Elabore um algoritmo para o estudo da concavidade das funções racionais e de seus possíveis pontos de inflexão. Exercício Exercício de uma função racional f(x) = Elabore um algoritmo para determinar a imagem n l=0 a lx l m l=0 b l x l, n, m N {0}. Exercício 4 racional. Faça um esboço geral do gráfico de uma função EDITOR CHEFE

57 5 JOÃO CARLOS MOREIRA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Natural de Garça, estado de São Paulo, bacharel em matemática pela Unesp - SP, especialista em matemática pelo IMPA-RJ, mestre em matemática aplicada pela UFRJ-RJ e doutor em matemática pela UFSCar-SP. Atualmente é professor associado na UFU- MG, campus de Ituiutaba. Sua área de pesquisa é Análise Aplicada. Fundou em 20 a primeira Escola de Cálculo do país com sede na Universidade Federal de Uberlândia. COLEÇÃO ESCOLA DE CÁLCULO VOLUME 2 - FUNÇÕES RACIONAIS