VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA. teoria dos números. Conteudista Isidorio Rodrigues Queiros

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1 VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA teoria dos números Conteudista Isidorio Rodrigues Queiros Rio de Janeiro / 2008 Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco

2 UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO Todos os direitos reservados à Universidade Castelo Branco - UCB Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, armazenada ou transmitida de qualquer forma ou por quaisquer meios - eletrônico, mecânico, fotocópia ou gravação, sem autorização da Universidade Castelo Branco - UCB. Un3t Universidade Castelo Branco Teoria dos Números / Universidade Castelo Branco. Rio de Janeiro: UCB, p.: il. ISBN 1. Ensino a Distância. 2. Título. CDD Universidade Castelo Branco - UCB Avenida Santa Cruz, Rio de Janeiro - RJ Tel. (21) Fax (21)

3 Apresentação Prezado(a) Aluno(a): É com grande satisfação que o(a) recebemos como integrante do corpo discente de nossos cursos de graduação, na certeza de estarmos contribuindo para sua formação acadêmica e, conseqüentemente, propiciando oportunidade para melhoria de seu desempenho profissional. Nossos funcionários e nosso corpo docente esperam retribuir a sua escolha, reafirmando o compromisso desta Instituição com a qualidade, por meio de uma estrutura aberta e criativa, centrada nos princípios de melhoria contínua. Esperamos que este instrucional seja-lhe de grande ajuda e contribua para ampliar o horizonte do seu conhecimento teórico e para o aperfeiçoamento da sua prática pedagógica. Seja bem-vindo(a)! Paulo Alcantara Gomes Reitor

4 Orientações para o Auto-Estudo O presente instrucional está dividido em três unidades programáticas, cada uma com objetivos definidos e conteúdos selecionados criteriosamente pelos Professores Conteudistas para que os referidos objetivos sejam atingidos com êxito. Os conteúdos programáticos das unidades são apresentados sob a forma de leituras, tarefas e atividades complementares. As Unidades 1 e 2 correspondem aos conteúdos que serão avaliados em A1. Na A2 poderão ser objeto de avaliação os conteúdos das três unidades. Havendo a necessidade de uma avaliação extra (A3 ou A4), esta obrigatoriamente será composta por todo o conteúdo de todas as Unidades Programáticas. A carga horária do material instrucional para o auto-estudo que você está recebendo agora, juntamente com os horários destinados aos encontros com o Professor Orientador da disciplina, equivale a 60 horas-aula, que você administrará de acordo com a sua disponibilidade, respeitando-se, naturalmente, as datas dos encontros presenciais programados pelo Professor Orientador e as datas das avaliações do seu curso. Bons Estudos!

5 Dicas para o Auto-Estudo 1 - Você terá total autonomia para escolher a melhor hora para estudar. Porém, seja disciplinado. Procure reservar sempre os mesmos horários para o estudo. 2 - Organize seu ambiente de estudo. Reserve todo o material necessário. Evite interrupções. 3 - Não deixe para estudar na última hora. 4 - Não acumule dúvidas. Anote-as e entre em contato com seu monitor. 5 - Não pule etapas. 6 - Faça todas as tarefas propostas. 7 - Não falte aos encontros presenciais. Eles são importantes para o melhor aproveitamento da disciplina. 8 - Não relegue a um segundo plano as atividades complementares e a auto-avaliação. 9 - Não hesite em começar de novo.

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7 SUMÁRIO Quadro-síntese do conteúdo programático Contextualização da disciplina UNIDADE I O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS N Considerações sobre os postulados Princípio da indução finita Adição em N Multiplicação em N Múltiplos adição de fatores iguais Potências multiplicação de fatores UNIDADE II O CONJUNTO Z DOS INTEIROS relativos Classe de equivalência Conjunto de todas as classes de equivalência em N x N Adição em Z Multiplicação em Z UNIDADE III PROPRIEDADES DOS INTEIROS Divisibilidade em Z Números inteiros congruentes Equações diofantinas lineares com duas variáveis Glossário Referências bibliográficas... 40

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9 Quadro-síntese do conteúdo programático UNIDADES DO PROGRAMA OBJETIVOS I. O CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS N 1.1. Considerações sobre os postulados 1.2. Princípio da indução finita 1.3. Adição em N 1.4. Multiplicação em N 1.5. Múltiplos adição de fatores iguais 1.6. Potências multiplicação de fatores Construir axiomaticamente o conjunto. II. O CONJUNTO Z dos Inteiros Relativos 2.1. Classe de equivalência 2.2. Conjunto de todas as classes de equivalência em N x N 2.3. Adição em Z 2.4. Multiplicação em Z Construir através de uma classe de equivalência o conjunto z. III. PROPRIEDADES DOS INTEIROS 3.1. Divisibilidade em Z 3.2. Números inteiros congruentes 3.3. Equações diofantinas lineares com duas variáveis Definir divisibilidade; Provar os teoremas; Definir congruências; Provar os teoremas; Definir equações diofantinas; Resolver equações.

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11 Contextualização da Disciplina 11 Apresentamos a construção axiomática do conjunto dos números naturais, segundo G. Peano, na qual estudaremos o conjunto, tendo como primeiro elemento a unidade. A seguir, construiremos o conjunto Z dos inteiros relativos, como o conjunto de todas as classes de equivalência em N x N. Algumas propriedades do conjunto Z são desenvolvidas = divisibilidade, congruência e equações diofantinas.

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13 UNIDADE I 13 O Conjunto dos Números Naturais N Seja N f, em que se define os postulados (axiomas) de Peano, Giusep Considerações Sobre os Postulados 1) O axioma 1 estabelece que a unidade 1 seja um número natural. 2) O postulado 2 estabelece que todo número natural tenha um sucessor natural (o conjunto dos números naturais é infinito). 3) O axioma 3 estabelece que a unidade 1 seja o primeiro número natural. 4) O axioma 4 estabelece que naturais diferentes tenham sucessores diferentes. Assim, podemos entender o conjunto N por: Princípio da Indução Finita Seja P(n) uma propriedade que depende de n N. Para provarmos que P(n) é verdadeiro o Princípio da Indução Finita, que consiste em: n N, usaremos 1) Provar que P(1) é verdadeiro, isto é, provar que a propriedade é verdadeira para o primeiro número natural. 2) Admitir que P(k) seja verdadeiro, isto é, admitir que a propriedade seja verdadeira para um natural k qualquer. 3) Provar que P(k*) é verdadeiro, isto é, provar que a propriedade é verdadeira para o sucessor de k. Nestas condições, estaremos provando que a propriedade é verdadeira n N. Prove por indução que: Da hipótese da indução, temos:

14 14 Como queríamos demonstrar ou c.q.d.

15 A Soma dos Cubos 15 Assim, temos: Assim, temos:

16 16 VI) n N, 2 2n -1 é divisível por 3. a) P(1): é divisível por 3. b) Admitindo que P(k): 2 c) Provar que P(k *) = 2 2 k -1 seja divisível por 3, então, temos 2k* 1 é divisível por 3. 2k 2-1 = 3. q, q N k* 1 2k* 2 k* 2 ( k ) -1 = 2 1 2k 2 2 k 1 = ² 1 2 2k k k = 4.(2 k 4) = 4.(2 2 k 1) 3 4.3q 3 12q 3 3(4q 1) 3. a, a N Sendo k 2 2 * 1 3. a, logo, é divisível por 3. VII) n N, n² + n é divisível por 2. a) P(1): 1² + 1 é divisível por 2. b) Admitindo que p(k): k² + k seja divisível por 2, então, temos: k² + k = 2 q, q N c) Prove que P(k*) = k * 2 + k* é divisível por 2. k*² + k* = (k + 1)² + (k + 1) k² + 2 k k + 1 = k² + k + 2 k = k² + k + 2 k + 2 = 2 q + 2 k (q + k + 1) a = 2. a, a N Logo: k*² + k* = 2 a é divisível por Adição em N Teoremas Fundamentais Teorema 1 Fechamento da adição em N m, n N, (m + n) N p(n) a) P(1): (m + 1) N é verdade. m + 1 = m*... é verdadeiro pela def. 1 de adição, mas m N pelo postulado 2, m* N. Logo, m* = (m + 1) N b) Admitindo que P(k) = (m + k) N seja verdadeiro. c) Prove que P(k*) = (m + k*) N é verdadeiro. m + k* = (m + k)*... é verdadeiro pela def. 2 da adição. Mas (m + n) N, pela hipótese de indução. Então, pelo postulado 2, (m + k)* N Logo: (m + k)* = (m + k*) N def. 2 da adição.

17 Teorema 2 Associatividade da adição em N m, n, p N, m + (n + p) = (m + n) + p 17 a) P(1): m + (n + 1) = (m + n) + 1 m + (n + 1) = m + n*... def. 1 adição. = (m + n)*... def. 2 adição. = (m + n) teorema 1 e def. 1 adição. b) Admitindo que P(k) = m + (n + k) = (m + n) + k seja verdade. c) Provar que P(k*) = m + (n + k*) = (m + n) + k* é verdade. m + (n + k*) = m + (n + k)*...def. 2 adição. = (m + (n + k))*... def. 2 adição. = ((m + n) + k)*... hipótese de indução. = (m + n) + k*... def. 2 adição. Rascunho: a + b* = (a + b)* ; logo, m + (n + k)* = (m + (n + k))* Teorema 3 n N, n + 1 = 1 + n a) P(1): = b) Admitindo que P(k): k + 1 = 1 + k seja verdade. c) Prove que P(k*) = k* +1 = 1 + k* é verdade. k* + 1 = (k + 1) def. 1 adição. = (1 + k) hipótese de indução. = 1 + (k + 1)... teorema 2. = 1 + k*... def. 1 adição. Teorema 4 Comutatividade da adição em N m, n N, m + n = n + m a) P(1) = m + 1 = 1 + m é verdade pelo teorema 3. b) Admitindo que P(k): m + k = k + m seja verdade. c) Prove que P(k*) = m + k* = k* +m. m + k* = (m + k)*... def. 2 adição. = (k + m)*... hipótese de indução. = (k + m) def. 1 adição. = k + (m + 1)... teorema 2. = k + (1 + m)... teorema 3. = (k + 1) + m... teorema 2. = k* + m... def. 1 adição. Exercícios Resolvidos: I) Prove por indução que: 1) m, n N, m + n* = m* + n a) P(1) = m + 1* = m* + 1 m + 1* = (m + 1)*... def. 2 ad. (1 + m)* teo 3 = 1 + m* def. 2 ad m* teo 3 Obs.: Se quisesse provar m* + 1 = (m + 1) + 1 def. 1 ad. b) Admitindo que P(k) = m + k* = m* + k seja verdade. c) Prove que P(k*) = m + (k*)* = m* + k* é verdade. m + (k*)* = (m + k*)*... def. 2 ad. = (m* + k)*... hipótese de indução. = m* + k*... def. 2 ad. m + (1 + 1)... teo 2 m + 1* def. 1 ad.

18 18 2) m, n N, m* + n = n* + m a) P(1): m* + 1 = 1* + m m* + 1 = (m + 1) def. 1 ad. = m + (1 + 1)... teo 2. = m + 1*... def. 1 ad. = 1* + m... teo. 4. Ou: m* + 1 = 1 + m*... teo 3. = (1 + m)*... def. 2 ad. = (m + 1)*... teo 3. = m + 1*... def. 2 ad. = 1* + m... teo 4. b) Admitindo que P(k) = m* + k = k* + m seja verdade. c) Prove que P(k*) = m* + k* = (k*)* + m é verdade. m* + k* = m* + (k + 1)... def. 1 ad. = (m* + k) teo. 2. = (k* + m) + 1 hip de indução. = k* + (m + 1)... teo. 2. = k* + (1 + m)... teo. 3. = (k* + 1) + m... teo. 2. = (k*)* + m... def. 1 ad. Outro modo: m* + k* = (m* + k)*... de. 2 ad. = (k* + m)*... hip o de indução. = (m + k*)*... teo. 4.. = m + (k*)*... def. 2 ad. = (k*)* + m... teo. 4. Estudando para a Prova 3) 4) 5)

19 Multiplicação em N Teoremas Fundamentais Teorema 5 Fechamento da multiplicação em N m, n N, (m. n) N a) P(1): (m. 1) N mas m. 1 = m... def. 1 multi. e m N... hipótese do teorema. Logo, (m. 1) N. b) Admitindo que P(k): (m. k) N seja verdade. c) Prove que P(k): (m. k*) N é verdade. m. k* = m. k + m... def. 2 mult. Mas (m. k) N... hipótese de indução e m N... hipótese do teorema. Então, (m. k + m) N... teo. 1. Logo: (m. k*) N. Teorema 6 Distribuidade da multiplicação em relação à adição m, n, p N, m. (n + p) = m. n + m. P. a) P(1): m (n +1) = m. n + m. 1. m (n +1) = m. n*... def. 1 ad. = m. n + m... def. 2 multi. = m. n + m def. 1 multi. b) Admitindo que P(k): m (n + k) = m. n + m. k seja verdade. c) Prove que P(k*) = m (n + k*) = m. n + m. k* é verdade. m (n + k*) = m. (n + k)*... def. 2 ad. = m. (n + k) + m... def. 2 multi. = (m. n + m k ) + m... hip. de ind. = m. n + (m k + m)... teo. 2. = m. n + m k*... def. 2 multi. Teorema 7 Distributividade da multiplicação em relação à adição m, n, p N, (n + p). m = n. m + p. m a) P(1): (n + p). 1 = n. 1 + p. 1 (n + p). 1 = n + p... def. 1 multi. = n. 1 + p def. 1 multi. b) Admitindo que P(k): (n + p) k = n k + p k seja verdade. c) Prove que P(k*): (n + p). k* = n k* + p k * é verdade. (n + p). k* = (n + p). k + (n + p)... def. 2 multi. = n k + p k + n + p... hip. hipo. por de indução. = n k + n + p k + p... teo. 4. = n k* + p k*... def. 2 multi. Teorema 8 Associatividade da multiplicação

20 20 Teorema 8 Associatividade da multiplicação m, n, p N, m (n. p) = (m. n). p. a) P(1): m (n. 1) = (m. n). 1. m (n. 1) = m. n... def. 1 multi. = (m. n) def. 1 multi. b) Admitindo que P(k): m (n. k) = (m. n). k seja verdade. c) Prove que P(k*) = m (n. k*) = (m. n). k* é verdade. m (n k*) = m. (n. k + n)... def. 2 multi. = m. n. k + m. n...teo. 6. = (m. n). k + m. n... hip. de indução. = (m. n). k*... def. 2 multi. Teorema 9 n N, n. 1 = 1. n a) P(1): 1. 1 = 1. 1 b) Admitindo que P(k): k. 1 = 1. k seja verdade. c) Prove que P(k*): k*. 1 = 1. k* é verdade. k*. 1 = (k + 1) def. 1 ad. = k teo. 7. = 1. k hip. de indução. = 1. (k + 1)... teo. 6. = 1. k*... def. 1 ad. Teorema 10 Comutatividade da multiplicação m, n N, m. n = n. m a) P(1): m. 1 = 1. m é verdade pelo teo. 9. b) Admitindo que P(k): m. k = k. m, seja verdade. c) Prove que P(k*): m. k* = k*. m é verdade m. k* = m k + m... def. 2, multi. = k m + m hip. de indução. = k. m + 1. m... def. 1 ad. = (k + 1). m... teo. 7. = k* m... def. 1 ad. Exercícios 8) Prove por indução que: Exemplo: a) m, n N, m. n* = m + m. n a) P(1) = m. 1* = m + m. 1. m. 1* = m. 1 + m... def. 2 multi. = m + m teo. 4. b) Admitindo que p(k) = m. k* = m + m k seja verdade. c) Prove que P(k*): m(k*)* = m + m k* é verdade. m(k*)* = m k* + m... def. 2 multi. = m + m k + m... hip. de indução. = m + m k*... def. 2 multi.

21 1.5 - Múltiplos Adição de Fatores Iguais Potências Multiplicação de Fatores Teoremas Fundamentais (a. b) k * k 1 = (a. b)... def. 1 ad. = (a. b) k. (a. b) 1... def. 2 potência. = a k. b k. a 1. b 1... hip. de ind. e def. 1 potência. = a k. a. b k. b... teo. 10. = a k.a 1. b k. b 1... def. 1 pot. k 1 k 1 = a. b def. 2 pot. = a k *. b k * def. 1 ad. Teorema 12 m, n N, a m. a n = a a) P(1): a m. a 1 m 1 = a a m. a 1 = a m 1... def. 2 pot. m k m n b) Admitindo que P(k) = a m. a k = a seja verdade. c) Prove qu e P(k*) = a m. a * m k* = a é verdade. a m. a * = a m k 1. a... def. 1 ad. = a m. a k. a 1... def. 2 pot. = a = a = a = a m k ( m k ) 1 m ( k 1). a 1... hip. de indução.... def. 2 pot.... teo. 2. m k*... def. 1 ad.

22 22 Teorema 13 m, n N, (a m ) n = a m. n a) P(1): (a m ) 1 m.1 = a (a m ) 1 = a m... def. 1 pot. = a m.1... def. 1 múltiplos. b) Admitindo que P(k): (a m ) k = a seja verdade. c) Prove que P(k*): ( a m ) k * m.k* = a é verdade. (a m ) k * = (a m ( k 1) )...def. 1 ad. m.k = (a m ) k. (a m ) 1... def. 2 potência. = a mk. a m hip. de indução e def. 1 potência. mk m = a... teo. 12. m.k* = a... def. 2 multi.

23 UNIDADE II 23 O Conjunto Z dos Inteiros Relativos Seja N x N = {(x, y) / x N e y N}. Sobre esse conjunto, vamos definir uma relação binária, que chamamos de relação. Definição (a, b); (c, d) N x N (a, b) ~ (c, d) a + d = b + c Exemplos ilustrativos: a) (2, 5) ~ (3, 6) = V b) (2, 5) ~ (2, 5) = V c) (2, 5) ~ (5, 2) = F, então, (2, 5) = (5, 2) 2.1- Classe de Equivalência 2.2- Conjunto de Todas as Classes de Equivalência em N x N ( 1, 1 ) ( 2, 1) ( 3, 1 ) (4, 1) ( 1, 2) (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1)... ( 1, 3 ) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2)... ( 1, 4 ) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3)... ( 5, 1 ) (1, 4) (2, 4) (3, 4)(4, 4)... (1, 5) (2, 5) (3, 5) (4, 5) Existe uma simetria da parte acima e abaixo da diagonal em negrito. Chamaremos de conjunto Z dos inteiros relativos o conjunto de todos as classes de equivalência em N x N. Definições

24 Adição em Z Multiplicação em Z Teoremas Fundamentais Teorema 14 Fechamento da adição em Z Teorema 15 Comutatividade da adição em Z hip. por absurdo. Teorema 16 Associatividade da adição em Z pelo teo. 4, segue-se que vale a igualdade inicial. hip. por absurdo. Teorema 17 Elemento neutro da adição em Z hip. por absurdo.

25 25 hip. por absurdo. inicial.

26 26 Teorema 22 Distributividade da multiplicação em relação à adição em Z Teorema 23 Elemento neutro da multiplicação em Z Exercícios Resolvidos

27 Estudando para a Prova 4) a Z, (-1). (-a) = a 27 5) Prove por indução:

28 28 UNIDADE III Propriedades dos Inteiros 3.1- Divisibilidade em Z. Ex.: Teoremas Fundamentais..... multi.

29 29 hip. hip. módulos Números Inteiros Congruentes

30 30 Teoremas Fundamentais

31 31 é uma verdade. Assim, temos: é verdade:

32 Ex 1.: 7 4 ( 3) 1 2 Ex 2.:-3 1 ( 2) Saída: Calcule o resto da divisão de por 7. 13? (7) ) ( ) ( 13 2 = 36 ( 7) e 36 1 (7) (13 2 ) 5 = 1 5 ( 7) (7) (7) Mas: 13 6 ( 7) ( 7 ) (7) ( 7) O resto é 66.

33 Exercícios Resolvidos 33 Estudando para a Prova Ache todos os inteiros x, tais que:

34 34 Então m (positivo) é um divisor de Equações Diofantinas Lineares com Duas Variáveis O tipo mais simples de equação diofantina é a equação ax + by = c, onde a, b, c são inteiros. Todo par de inteiros (x 0, y 0 ), tais que ax 0 + by 0 = c, diz-se uma solução da equação ax+by = c. Ex.: 3x + 6y = 18 São soluções: (4, 1), (-6, 6), (10, -2) etc. Existem equações diofantinas que não têm solução. Tomemos, por exemplo, 2x + 4y = 7. A equação não tem solução, porque 2x + 4y é um inteiro par, quaisquer que sejam os valores inteiros de x e y, enquanto 7 é um inteiro ímpar. Notamos que m. d. c (2, 4) = 2 e 2 não divide 7. Notamos que a condição de existência da solução da equação ax + by = c é: mdc (a, b) = d e d/c. As soluções da equação ax + by = c, são dados por:

35 35

36 36 Estudando para a Prova 9) Exprimir 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divisível por 7 e o segundo seja divisível por 11. a + b = ) Determine o menor inteiro x, tal que: 11) 12) 13) 14) 15)

37 16) 37 17) a) 18) Resolva: 19) 20). Obs.: Como há muitas demonstrações e exemplos, não colocamos o gabarito.

38 38 Se você: 1) concluiu o estudo deste guia; 2) participou dos encontros; 3) fez contato com seu tutor; 4) realizou as atividades previstas; Então, você está preparado para as avaliações. Parabéns!

39 Glossário Axiomas (postulado) - sentença que não é provada e é considerada como verdadeira. G. Peano - matemático italiano. Teorema - afirmação que carece de uma demonstração. 39

40 40 Referências Bibliográficas ALENCAR FILHO, Edgar. Teoria elementar dos números. 3 ed. São Paulo: Ed. Blucher, AYRES, Frank. Álgebra Linear. São Paulo: Mcgraw-Hill, Coleção Schaum. MONTEIRO, Luiz Henrique Jacy. Elementos da Álgebra. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, OLIVEIRA, José Plínio. Introdução à teoria dos números. 2 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2000.