Cálculo I /01 - Marco Cabral Graduação em Matemática Aplicada - UFRJ Monitores: Gabriel Sanfins & Raphael Lourenço

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1 Cálculo I - 01/01 - Marco Cabral Graduação em Matemática Aplicada - UFRJ Monitores: Gabriel Sanfins & Raphael Lourenço Lista 01 - Introdução à Matemática The curiosity and knowledge production in man often outweigh any carnal pleasure, what makes man different from any other animal. Thomas Hobbes Considerações Iniciais: Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente derivados. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Partindo dos Axiomas, toda a teoria é desenvolvida e os resultados obtidos em sequência, podem (e devem ser utilizados para que outros teoremas sejam provados. Os teoremas podem ser deduzidos por uma sequência de raciocínios lógicos, a qual chamamos de Demonstração. Os tipos mais usados são: Demonstração Direta Demonstração por Contradição Demonstração por contraposição (Fazemos o uso da contrapositiva de uma afirmação A contrapositiva de uma afirmação tem o mesmo significado porém é dita de maneira reversa. Vejamos um exemplo: Se como laranjas, então gosto de frutas, a contrapositiva dessa afirmação é: Se não gosto de frutas, então não como laranjas Na realidade, o porquê desses métodos de demonstração funcionarem também é um teorema. Estranho não? Esse resultado é explicado no livro A Mathematical Introduction to Logic do Matemático Americano Herbert Enderton. Independentemente do método usado, lembre-se de sempre escrever todos os seus passos. Procure ser claro e não omita informações ainda que pareçam irrelevantes. 1. (Demonstrações por Contradição O método de demonstração por contradição é usado da seguinte forma: Suponha que o que se quer concluir é falso. Assim, uma sequência de deduções lógicas levará a uma conclusão que contradiz suas hipóteses iniciais ou a um fato que é sabidamente falso. Essa contradição implica a validade do que se queria concluir. Exemplo: Vamos mostrar que é irracional. Para isso, vamos mostrar primeiramente, um teorema que será útil durante a demonstração principal. Em geral quando precisamos mostrar um teorema para depois usa-lo em outra demonstração, damos a ele o nome de Lema. Lema: Se a é múltiplo de, então a é múltiplo de. Vamos usar a contraposição para demonstrar isso. Ou seja, iremos mostrar que se a é ímpar, então a é ímpar. Se a é impar, então, para algum p N, a p + 1. Logo, a (p + 1(p + 1 4p + 4p + 1 (p + p + 1 q + 1 com q p + p, que é um número ímpar, como queriamos demonstrar. Demonstração: Suponha que não é irracional, logo, podemos escrever a b, onde a,b N e a b é irredutível. Logo, a b ; portanto, a é múltiplo de, então a é múltiplo de e com isso podemos escrever ak, com k N. Então ficamos com 4k b k b. Logo, b é múltiplo de. Com isso, a b não é irredutível o que contradiz uma de nossas hipóteses. Logo é irracional. i. Generalize para mostrar que p sendo p um número primo, também é irracional. ii. Tente generalizar o argumento acima para n p sendo p um número primo. 1

2 iii. Agora mostre que n p m, sendo p primo e mdc(n, m 1, também é irracional. iv. Você sabe que existem infinitos números primos. Mas já parou para pensar sobre como demonstrar isso? Então, vamos lá. Suponha que o conjunto dos números primos é finito. Com isso podemos representar esse conjunto de primos (P como: P {p 1, p,... p n }. v. Então tome K p 1 p... p n +1. Chegue a uma contradição. vi. Tente provar que existem infinitos primos nas Progressões Aritméticas 4n+3 e 6n+5 com n N. A generalização disso para qualquer progressão kn + p com mdc(k, p 1 é o chamado Teorema de Dirichlet, porém a demonstração é surpreendentemente difícil.. (Utilizando a Indução Imagine uma fileira com infinitos dominós, um atrás do outro. Suponha que eles estejam de tal modo distribuídos que, uma vez que um dominó caia, o seu sucessor tambám cai. O que acontece quando derrubamos o primeiro dominó? Esperamos que, com isso, mesmo infinitos, todos os dominós caiam. Assim é o princípio da indução finita, que é um método de demonstração muito utilizado quando se quer provar teoremas válidos para os números naturais ou inteiros. Dada uma propriedade P(n que depende de um in- Teorema: Princípio da indução finita - teiro n, então: Se P (n 0, P (n 0 + 1,..., P (n 0 + m são verdadeiras para algum inteiro positivo n 0 e um inteiro não-negativo m, e se k > n 0 + m, P (j ser verdade para todo n j < k implicar que P (k é verdade, então P (n é verdadeira n n 0. Exemplo: Vamos mostrar usando indução que: Seja p um primo e n um inteiro positivo. Então n p n é um múltiplo de p. Esse resultado é conhecido como Pequeno Teorema de Fermat. O caso n1 é óbvio. Então assumamos que isso é verdade k n e vamos mostrar que isso implica a validade para o caso n + 1: (n + 1 p (n + 1 n p + n i1 ( p n j + 1 n 1 i Como ( p i nj é múltiplo de p quando 1 j p 1 e pela nossa hipótese de indução n p n é múltiplo de p, concluimos que (n + 1 p (n + 1 é múltiplo de p. Logo o teorema é valido n N. i. Mostre que n n(n+1 ii. Mostre que n n(n+1(n+1 6 iii. Mostre que n 3 [ n(n+1 ] iv. Quanto vale 1 k + k + 3 k n k? É possível dar uma fórmula fechada para essa expressão k N? v. Vamos mostrar que as funções da forma F (x cos(n arccos(x são polinômios n N. Eles são os chamados Polinômios de Tchebyshev vi. Mostre que para n 1 e para n, F é Polinômio. vii. Suponha que F é um polinômio k N tal que k n. Mostre que isso implica que F é polinômio para o caso n + 1.

3 3. (Funções Convexas e Desigualdade de Jensen Def: Uma função ξ : I R é dita convexa se a, b I, onde I R é um intervalo, vale ξ(λa + (1 λb λξ(a + (1 λξ(b λ [0, 1]. i. Pense nessa definição e em alguns exemplos de funções convexas. É importante que você à compreenda pois essa, provavelmente, é a primeira definição rigorosa de algo em matemática que você viu na vida. Procure saber por que essa definição é boa. O que seria convexidade para você? Pense em polígonos.. ii. ξ é convexa se e somente se a, b I, a b, λ ]0, 1[ vale ξ(a + λ(b a ξ(a λ(b a ξ(b ξ(a b a ξ(b ξ(a + λ(b a. (1 λ(b a iii. Se ξ é convexa e a 1,... a n I, p 1,..., p n > 0 e n k1 p k 1, mostre a Desigualdade de Jensen: ξ( n p k a k k1 n p k ξ(a k. iv. Façamos a demonstração por indução: Para n1, o caso é trivial. Para n, a validade vem da definição de função convexa. Então suponha que a desigualdade é válida k N tal que k n, e mostre que isso implica a validade para o caso n (Algumas Desigualdades legais i. Dados a 1, a,..., a n R +, temos: (1 + a 1 (1 + a... (1 + a n (1 + a 1 + a a n ii. Dados a 1, a,..., a n pertencentes aos Reais positivos, tem-se: a 1 + a a n a 1 + a a n n n iii. Sejam a 0, b 0 e c 0, mostre que: (ab + bc + ac a bc + b ac + c ab iv. Prove a Desigualdade de Bernoulli: (1 + x n 1 + nx, se n N e x 1 v. Prove a Desigualdade de Cauchy-Schwarz: a 1 b 1 + a b a n b n k1 a a n b b n 5. (Identidades Trigonométricas: Acredite, em pouco tempo você verá o quão úteis elas são. Nessa questão você deve demonstrar algumas identidades: i. sec (γ tan (γ + 1 e csc (γ cot (γ + 1 ii. Prove as seguintes igualdades: a. sin(α + sin(β sin( α+β α β b. sin(α sin(β sin( α β α+β c. cos(α + cos(β cos( α+β α β d. cos(α cos(β cos( α β α+β iii. Se x + y + z π então: tan(x + tan(y + tan(z tan(x tan(y tan(z. iv. Mostre por indução a Fórmula ou Identidade de De Moivre: (cos(x + i sin(x n cos(nx + i sin(nx 3

4 6. (Somas Infinitas ou Uma noção inicial de Limite: Comentário: É possível que somas infinitas tenham como resultado algo finito? Sim, e quando acontece dizemos que essa soma converge. Caso contrário dizemos que diverge. Um exemplo simples é: 1 3 0, 3 + 0, , Uma soma infinita na matemática é conhecida como série. i. O que você acha do seguinte Paradoxo do Filósofo Grego Zenão: Aquiles, o herói grego, e a tartaruga decidem apostar uma corrida. Como a velocidade de Aquiles é maior que a da tartaruga, esta recebe uma vantagem, começando a corrida um trecho na frente da linha de largada. Aquiles, então, nunca alcançará a tartaruga, pois terá que correr a distância que os separa, mas ao chegar a esse ponto, a tartaruga terá percorrido uma nova distancia, e assim sucessivamente. Pesquise sobre esse paradoxo e sobre as contradições levantadas por Zenão. Ele chegou a diversos argumentos contra a teoria física do movimento usando esse, e outros paradoxos que são citados na obra de Aristóteles. ii. Mostre a fórmula da soma dos termos da Progressão Aritmética de termo inicial a 1 : a 1 + a a n n(a1+an iii. Mostre a fórmula da soma dos termos da Progressão Geométrica finita de termo inicial a 1 e razão q : S n a1(qn 1 q 1 iv. Se q < 1, quanto vale : n0 aqn? Por que? v. A Soma n1 1 n, converge? vi. E essa: n1 1 n, converge? vii Procure saber se a série i1 1 p i, sendo cada p i o i-ésimo número primo, diverge. Uma bela demonstração para isso é devida a Paul Erdös, um matemático húngaro considerado o mais produtivo de toda a matemática. Um livro feito por dois alunos de Erdös chamado proofs from the book, reúne algumas das mais belas demonstrações já feitas na Matemática. 7. (Princípio da Casa dos Pombos Teorema: PCP - Se distribuirmos nk + 1 pombos em n casas, então alguma das casas contém pelo menos k + 1 pombos. Esse princípio é muito utilizado em diversos problemas, sendo necessário apenas decidir quem são os pombos e quem são as casas. Exemplo: Dados n números inteiros distintos, mostre que existem deles cuja diferença seja um múltiplo de n 1. Consideramos os n números como os pombos e as casas como os n 1 restos possíveis na divisão por n 1. Como n (n o PCP nos diz que existem dois números dentro dos n dados que tem o mesmo resto quando divididos por n 1. Então, vemos que se dois números deixam o mesmo resto na divisão por n 1, a diferença deles é um múltiplo de n 1. Usando o PCP, resolva os seguintes problemas: i. Se n, m N, então o conjunto C {m + 1, m +,..., m + n} possui algum divisor de n. ii. Prove que entre n + 1 elementos escolhidos no conjunto {1,, 3,..., n} existem dois que são primos entre si. iii. Dado qualquer conjunto A formado por 10 números naturais escolhidos entre 1 e 99, inclusos, mostre que existem dois subconjuntos disjuntos e não-vazios de A tal que a soma dos seus respectivos elementos é igual. iv. Mostre que todo poliedro convexo tem duas faces com o mesmo número de arestas. v. Escolhem-se ao acaso 9 pontos em um cubo de aresta. Mostre que pelo menos um dos segmentos que eles determinam tem comprimento menor ou igual a 3. 4

5 8. (Demonstrações Diretas, Conjuntos e algo mais... Nesta Questão veremos algumas propriedades de conjuntos e faremos suas demonstrações usando o método direto. Algo que sempre se deve ter em mente é: Nem sempre os resultados que julgamos serem fáceis, possuem uma demonstração fácil, em outras palavras, provar algo elementar, na matemática, geralmente, não é elementar. A demontração direta é aquela em que assumimos a hipótese inicial como verdadeira e através de uma série de argumentos verdadeiros e deduções lógicas concluímos a veracidade da tese. Exemplo: Quando queremos mostrar que dois conjuntos A e B são iguais, mostramos que A B e depois que B A. Logicamente, se todos os elementos do cconjunto A são elementos de B, e todos os elementos de B são elementos de A, conclui-se que A B. Vejamos um exemplo. Vamos mostrar que dados dois conjuntos A e B, se B A então A B A. Se B A, significa que x B x A. Como A A, temos que A B A. Mas, x A temos x A B e portanto A A B. Logo, se B A então A B A. i. Mostre que, dados os conjuntos A, B e C tem-se: A (B C (A B (A C ii. Mostre que A (B C (A B (A C iii. Mostre que se A B, então, B (A C (B C A, para qualquer conjunto C. iv. O que são números algébricos e números transcendentes? v. Ao número de elementos de um conjunto damos o nome de Cardinalidade. Procure saber o que são Conjuntos Enumeráveis e Conjuntos Não-Enumeráveis. Lembre-se que é seu dever sempre procurar boas fontes de informações e conhecimento. vi. Uma função f : A B é chamada injetiva (biunívoca ou injetora quando, dados x,y quaisquer em A, se f(x f(y então x y. Uma função f : A B é chamada sobrejetiva (sobrejetora quando para todo y B existe pelo menos um x A tal que f(x y. Quando f : A B é injetiva e sobrejetiva, chamamos f de bijetiva (ou bijeção. Procura alguns exemplos de funções bijetoras e verifique você mesmo se elas de fato são bijetoras. vii. Por definição, se dois conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade então existe uma bijeção f : A B. Tente encontrar bijeções entre N e Z. E entre N e Q. Ou seja, N, Z e Q possuem o mesmo número de elementos. Estranho não? Mas N Z Q? Pois é. É estranho mas é verdade. Isso nos leva a ver que quando falamos de coisas infinitas, nem tudo é tão simples assim. 9. (Análise Combinatória: é, você não está nem um pouco livre dela A Análise Combinatória é uma área que dá muitas ferramentas úteis para outras áreas da matemática. O supracitado Princípio da Casa dos Pombos, por exemplo, é um teorema que pertence a essa área. Portanto, saber manipular números binomiais,arranjos, permutações e etc, é algo fundamental. Mostre as seguintes identidades: i. k ( ( n n n 1 ii. ( n k k iii. ( h+m c k 1 ( n 1 ( + n 1 k k 1 h ( h m k0 k( iv. ( n k ( k( m n m v. n jk ( n m ( j k ( n+1 k+1 c k k m para 0 m k n 5

6 10. (Patologias e Sutilezas: As coisas podem ser mais delicadas e estranhas do que você pensa Em matemática, patologias são resultados que de certa maneira vão de encontro às idéias intuitivas, matematicamente falando, de um certo período da história. Um exemplo é a descoberta de que existem números irracionais, na grécia antiga. Parece bobo nos dias de hoje, mas na época foi algo que deixou os matemáticos bastante assustados. i. O que é o Axioma da Escolha? Ele faz sentido para você? Procure saber o por quê desse axioma ser tão polêmico na matemática. Procure pelo Paradoxo de Banach-Tarski. ii. Você já ouviu falar do Teorema da Incompletude de Gödel? O que diz esse teorema? iii. Pesquise sobre a Conjectura de Goldbach. iv. O que é um Fractal? Para que ele serve? v. Se um Hotel possui infinitos quartos, mas todos estão cheios, é possível esse hotel receber mais hóspedes? Pesquise sobre o Hotel de Hilbert. vi. Todas as pessoas do mundo torcem para o Mesmo Time. Vamos demonstrar por indução. Podemos observar que num conjunto que contém uma única pessoa, todas torcem pro mesmo time. Se supusermos que a proposição é verdadeira para todos os conjuntos de dimensão inferior a n e para os de dimensão n, então se houver n + 1 pessoas num conjunto, retiramos uma delas para obter um conjunto resultante com n pessoas, e pela hipótese de indução, todos as pessoas nesse conjunto torcem pro mesmo time. Devolvemos a pessoa retirada ao conjunto inicial, e retiramos outra diferente. Pela hipótese de indução, todas as n pessoas torcem pro mesmo time. Logo as n + 1 pessoas torcem pro mesmo time. Então para qualquer n N, as n pessoas torcem para o mesmo time. E agora? Isso está errado? e se estiver, onde está o erro? vii. Considere-se o conjunto M como sendo o conjunto de todos os conjuntos que não se têm a si próprios como membros. Formalmente: A é elemento de M se e somente se A não é elemento de A. Esse conjunto é membro de si próprio? Suponha que sim e depois que não. O que você conclui? viii. Será que existe o conjunto universo, isto é, um conjunto que contenha todos os conjuntos? As pessoas, em geral, pensam que a matemática é algo completamente certinho e exato, onde tudo sempre funciona e faz perfeito sentido. Bom, você acaba de ver que elas estão completamente enganadas, e que, mesmo nos dias de hoje, ainda existem diversas coisas que deixam o mundo matemático bastante intrigado. 6