ETAPA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO

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2 Sumário SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO... 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS... 3 Números Naturais... 3 Múltiplos de um Natural... 3 Divisores de um Número Natural... 3 Números Primos... 4 Fatoração em Números Primos... 4 Menor Múltiplo Comum... 5 Números Inteiros... 5 Números Racionais... 6 Números Irracionais... 6 Números Reais... 6 FUNÇÕES FUNÇÃO DE 1º GRAU FUNÇÃO DE 2º GRAU POLINÔMIOS PORCENTAGEM JUROS SIMPLES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

3 ETAPA 1 SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO O sistema de numeração indo-arábico tem esse nome devido aos hindus que o inventaram, e devido aos árabes, que o transmitiram para a Europa Ocidental. Na Índia encontramos colunas de pedras datadas no ano 250 a.c., com símbolos numéricos que seriam os precursores do nosso sistema de numeração, mas nesses não encontramos nem o zero (sinal para marcar ausência de unidade ou "o espaço vazio" de uma unidade faltante) e nem a notação posicional. Porém, a ideia de valor posicional e zero devem ter sido introduzida na Índia antes do ano 800 a.c., pois o matemático persa Al-Khowârizmî descreveu de maneira completa o sistema hindu num livro datado no ano 825 d.c.. Não sabemos como esses numerais chegaram na Europa, provavelmente através de comerciantes e viajantes árabes, pelas costas do Mediterrâneo. Sabemos que foi uma tradução latina do tratado de Al-Khowârizmî, feita no século XII, seguida de alguns trabalhos europeus sobre o assunto, fez com que o sistema se disseminasse mais amplamente. Um primeiro divulgador de seu uso foi Gerbert ( ). Nascido em Auvugne, França, foi um dos primeiros cristãos a estudar nas escolas muçulmanas da Espanha, e ao retornar de seus estudos, tentou introduzir na Europa cristã os numerais indo-arábicos (sem o zero). Á ele, atribui-se a construção de ábacos, globos terrestres e celestes e um relógio. Ele subiu na hierarquia da Igreja, tornando-se papa com o nome de Silvestre II no ano 999. Foi considerado um erudito profundo, escreveu sobre astrologia, aritmética e geometria. Na época de Gerbert, começaram a entrar na Europa Ocidental os clássicos gregos de ciência e matemática. Houve assim um período de transição, durante o qual o saber grego, preservado pelos muçulmanos, foi passando para os europeus ocidentais. Posteriormente, Leonardo de Pisa defendeu e utilizou a notação indo-árabica em seus trabalhos, colaborando para a introdução desses numerais na Europa. No século XVI, os cálculos com numerais indo-arábicos se padronizaram. Muitos dos campos nos quais os cálculos numéricos são importantes, como a astronomia, a navegação, o comércio, a engenharia e a guerra, fizeram com que esses numerais fossem utilizados para tornar os cálculos rápidos e precisos. ( - acessado em 24/12/2012 às 11h26) 2

4 CONJUNTOS NUMÉRICOS Números Naturais É o conjunto numérico com a menor quantidade de elementos. São todos os números utilizados numa eventual contagem. Representa-se por N. Assim: N = {0, 1, 2, 3,...} N* = {1, 2, 3,...} (O asterisco exclui o zero em qualquer conjunto numérico) Múltiplos de um Natural por outro. São todos os valores encontrados como produto de um número natural Exemplos: Múltiplos de 2: {0, 2, 4, 6, 8, 10,...} Múltiplos de 3: {0, 3, 6, 9, 12, 15,...} Múltiplos de 4: {0, 4, 8, 12, 16, 20,...} Múltiplos de 5: {0, 5, 10, 15, 20, 25,...} Divisores de um Número Natural iguais. São todos os números naturais que dividem outro em partes exatamente Exemplos: Divisores 2: {1, 2} Divisores 4: {1, 2, 4} Divisores 6: {1, 2, 3, 6} 3

5 Números Primos São todos os números que possuem apenas 2 divisores. Exemplos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...} primos. Todo número natural será formado pelo produto de dois ou mais números Fatoração em Números Primos Fatorar em números primos significa reescrever o valor dado através de um produto de fatores primos, assim: Número Fator Logo, Número Fator Logo, , ou ainda,

6 Menor Múltiplo Comum Dados dois, ou mais, números naturais, o menor múltiplo comum (mmc) entre eles será o menor número múltiplo (excetuado o zero), simultâneo deles. Exemplos: O mmc entre 2 e 3 é 6. O mmc entre 2 e 4 é 4. O mmc entre 5 e 3 é 15. (2,3) mmc mmc (8,12,15) Números Inteiros Representado por Z, é o conjunto formado por todos os números naturais, considerando também seus simétricos negativos. Assim: Z = {..., - 2, - 1, 0, 1, 2, 3,...}. 5

7 Números Racionais Representado por Q são todos os números que podem ser escritos na forma fracionária. Por definição: O conjunto dos números racionais é formado por todos os elementos que assumem a forma de uma fração, na qual o numerador (a) pertence ao conjunto dos números inteiros e, o denominador (b) pertence ao conjunto dos números inteiros com exceção do zero. a Q / a Z b Z * b Números Irracionais É o conjunto de todos os números que não podem ser encontrados através da divisão de dois números inteiros. Em outras palavras, não podem ser escritos na forma fracionária. Representa-se por I. São irracionais, por exemplo: Nº Valor Nº Valor Nº Valor 3, e 2, , , , , Números Reais Conjunto formado pela união () de racionais e irracionais. 6

8 Exercícios para resolução 1. Observando os números A = 0, , B = 0, , C = 0, , D = 0, e E = 3, podemos concluir que: A) nenhum é racional. B) todos são racionais. C) apenas E é racional. D) apenas A, D e E são racionais. E) apenas B e C são racionais. 2. A lista completa dos adjetivos natural, inteiro, positivo, negativo, racional, irracional, e real, que se aplica ao número A) Real, irracional e negativo. B) Racional, inteiro e positivo. C) Real, racional, inteiro e negativo. D) Racional, inteiro, negativo e natural. E) Real, racional, inteiro e positivo é 3. Dentre os números apresentados abaixo, qual é o único racional? A) 2, B) 0, C) D). E) e

9 4. No frio do inverno gaúcho, constatou-se na cidade de Canela que a temperatura em uma determinada noite no mês de agosto variou entre 3ºC e + 4ºC. A diferença entre a temperatura mínima e a máxima foi de A) + 1ºC B) 1ºC C) + 7ºC D) 7ºC E) NDA 5. A soma de todos os múltiplos ímpares de 3 entre 6 e 18 é igual a: A) 24 B) 36 C) 48 D) 60 E) Fazendo uma contagem simples de 0 (zero) a 100, encontramos quantos números que possuem o algarismo 9? A) 9 B) 10 C) 19 D) 20 E) João disse: "Pedro tem 45 anos. Thaís é mais velha que Pedro. As idades de Pedro e Thaís são números consecutivos. A minha idade é um número que é o sucessor do sucessor da idade de Thaís". A idade de João é? A) 24 B) 30 C) 36 D) 42 E) 48 8

10 8. O número de divisores do número 40 é: A) 8 B) 6 C) 4 D) 2 E) Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por: A) 1/125 B) 1/8 C) 8 D) 12,5 E) 80 seguir: Classifique em verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das sentenças a ( ) Todo número inteiro positivo é racional. ( ) O número zero é inteiro, natural e racional. ( ) Todo número racional é inteiro. ( ) Todo número racional exato é racional. ( ) Toda dízima periódica é número racional. ( ) A razão entre dois números racionais será sempre um número inteiro. ( ) A razão entre dois números racionais poderá ser um número inteiro. ( ) A razão entre dois números racionais sempre será um número racional. ( ) A razão entre um número inteiro e um número racional será sempre um número racional. ( ) O produto de dois números racionais poderá ser um número inteiro negativo. ( ) Somando-se dois números inteiros não negativos distintos, podemos encontrar como resposta 0. ( ) A expressão , obtemos como resposta um número inteiro. 9

11 Gabarito: 1.D 2.C 3.A 4.D 5.A 6.C 7.E 8.A 9.E 10. V V F V V F V V V V F F V. FUNÇÕES Definição Uma função é uma relação de comparação entre duas variáveis x e y onde para cada valor associado para x teremos um único correspondente y. Observe a figura ao lado, onde: A B A é o conjunto domínio da função, e; B é o conjunto contradomínio da função. 10

12 Exemplo 1 Exemplo 2 Pela definição É função Pela definição NÃO É função A B Imagem Domínio Contra-Domínio Conforme os exemplos anteriores, os elementos do primeiro conjunto são ligados ao segundo grupo através de uma seta. Assim, o grupo que envia é chamado de domínio da função enquanto que o flechado será o contradomínio. Os elementos flechados formam o conjunto imagem da função. Exemplo: Na figura ao lado, o conjunto X representa o domínio da função, pois todos os elementos {1, 2, 3} tem um único correspondente no grupo Y. O grupo Y é o contradomínio. Os elementos de Y que foram flechados, {a, c, d}, representam a imagem. 11

13 Valor Numérico O valor numérico de uma função f, definida por y = f(x) será o valor de y, quando x tiver valor conhecido. Exemplos: Seja a função f x 2x 1 valor de f(3) é f x f f f 2x Seja a função valor de f(5) é f x f x f f f f o 3x 1, o 2 3x Seja a função valor de f(3) é 2 x f x, o 2 f x f f x Exercícios para resolução: 1. O valor de f( 2), na função f(x) = x² 3x 4, vale: A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 12

14 2. O valor de f(3) na função f(x) = 2x 5 é: A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 3. Na função f(x) = 4x + 1, o valor de f(1) é: A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 4. Dada a f(x) = x² ax + 5, o valor de a para que f ( 3) = 8 é: A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 5. Seja a função f(x) = ax + b tal que f(2) = 5 e f ( 1) = 4, calcule a + b. A) 2 B) 1 C) 0 D)1 E) 2 13

15 6. O valor de f(5) na função f x A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 2x 2 é: 3 7. Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x 1, o valor de f(2) + g(4) é: A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 2 8. Dada a função f(x) = 2x 1, determine o valor de cada uma proposições abaixo. i.f(3) = ii.f(5) = iii.f(-3) = iv.f() = 9. Sendo f uma função real definida por f(x) = 2x² + a, se f(-2) = 11, então a vale: A) 0 B) 2 C) 3 D) 9 E) 19 14

16 10. Uma função f é dada por f(x) = ax + b, onde a e b são números reais. Se f(-1) = 3 e f(1) = -1, então f(3) é o número: A) 1 B) 3 C) 3 D) 5 E) 5 Gabarito: 1.C 2.C 3.C 4.A 5.A 6.D 7.A 8.i= 7 ii= 9 iii= 7 iv= C 10.E FUNÇÃO DE 1º GRAU Chamamos de função polinomial de 1º grau, toda função f de R R, que assuma a forma f(x) = ax + b, onde, necessariamente a e b são números reais. O gráfico da função de primeiro grau será sempre uma reta. 15

17 Coeficientes Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente angular da reta e apresenta o formato da inclinação da reta. Desta forma: a < 0 a = 0 a > 0 y y y x x x y y y x x x y y y x x x Na mesma função, o número b é chamado de coeficiente linear e representa o valor numérico do corte no eixo y. 16

18 Raiz (ou zero da função) A raiz da função de primeiro grau será o valor numérico do corte no eixo x. (lembre-se que neste ponto temos y = 0). Portanto, calcular a raiz da função de primeiro grau é o mesmo que: y f x ax b y ax b 0 ax b ax b 0 ax b b x a Assim, a raiz da função de primeiro grau será igual a b x. a Exercícios para resolução: 1. A função representada no gráfico abaixo tem como coeficientes a e b, respectivamente: a) 1/2 e 2 b) 2 e 1/2 c) 1/2 e 2 d) 2 e 1/2 e) 1/2 e 1/ A função representada pelo gráfico está na alternativa a) y = x + 3 b) y = x + 3 c) y = 2x+6 d) y = x 3 e) y = 3x

19 3. A raiz da função real, definida por f(x) = 2x + 8 é igual a a) 4 b) 4 c) 2 d) 2 e) 0 4. Seja f: R R uma função definida por f(x) = mx + p. Se f passa pelos pontos A(0,9) e B(3,0), então f(1) passa pelo ponto a) 1 b) 4 c) 6 d) 7 e) 11 Gabarito: 1.A 2.B 3.B 4.C FUNÇÃO DE 2º GRAU Chamamos de função polinomial de 2º grau, toda função f de R R, que assuma a forma f(x) = ax² + bx + c, onde, necessariamente a, b e c são números reais e com o coeficiente a 0. O gráfico da função de segundo grau será uma parábola cuja concavidade será aberta para cima ou para baixo. 18

20 Coeficientes Na função f(x) = ax² + bx + c, temos: O coeficiente a representa a abertura da concavidade da parábola. Assim: a > 0 a < 0 O sinal do coeficiente b indica se a função é crescente ou decrescente no momento do corte no eixo y. Assim: b < 0 b = 0 b > 0 O coeficiente c indica o valor numérico do corte no eixo dos y. 19

21 Raízes (ou zeros) da Função x 2 a 2 b b 4 a c O Delta (Discriminante) 0 Não existem raízes reais. 2 b 4 a c 0 Existem 2 raízes reais e iguais. 0 Existem 2 raízes reais e diferentes. Além de determinar o número de raízes da função, o discriminante também auxilia no cálculo do vértice da função. O Vértice da Função Quadrática V x ; y v v x y v v b 2a 4a Imagem da Função Quadrática Imagem: a < 0 a > 0 y ; Imagem: y v ; v 20

22 Exercícios para resolução 1.A função f(x) = x 2 2x + 1 tem vértice no ponto em que x vale: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 2.O y do vértice da função f(x) = x 2 + 2x + 2 é: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 3.Considere a função f: R R, definida por f(x) = x 2 2x + 5. Pode-se afirmar corretamente que: A) vértice do gráfico de f é o ponto (1; 4); B) f possui dois zeros reais e distintos; C) f atinge um máximo para x = 1; D) o gráfico de f é tangente ao eixo das abscissas. E) Nda 4.O maior valor que y pode de assumir na expressão y= x 2 +2x é: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 21

23 5.Se x e y são as coordenadas do vértice da parábola y= 3x 2 5x + 9, então x + y é igual a: A) 5/6 B) 31/4 C) 83/12 D) 89/18 E) 93/12 6.A imagem da função f: R R, definida por f(x) = x 2 1 é o intervalo: A) [ 1 ; ) B) ( 1 ; ) C) [0 ; ) D) ( ; 1) E) ( ; 11] 7.O gráfico de f(x) = x² + bx + c, onde b e c são constantes, passa pelos pontos (0,0) e (1,2). Então f( 2/3) vale A) 2/9 B) 2/9 C) 1/4 D) 1/4 E) 4 8.A função f, de R em R, dada por f(x) = ax² 4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(-2) é igual a A) 4 B) 2 C) 0 D) 1/2 E) 2 22

24 9.O gráfico da função definida por y = x² mx + (m 1), onde m R, tem um único ponto em comum com o eixo das abscissas. Então, o valor de y que essa função associa a x = 2 é: A) 2. B) 1. C) 0. D) 1. E) Na função quadrática representada no gráfico abaixo, temos que: A) a > 0; > 0 e c = 0 B) a < 0; b = 0 e c = 0 C) a > 0; = 0 e c = 0 D) a = 0; b = 0 e c = 0 E) a > 0; b = 0 e c > 0 11.O valor máximo da função f(x) = x² + 2x + 2 é A) 2 B) 5 C) 1 D) 4 E) 3 12.O vértice da parábola y = x² + kx + m é o ponto V( 1, 4). O valor de k + m é A) 2 B) 1 C) 0 D) 1 E) 2 23

25 13.Um projétil é lançado verticalmente para cima e sua trajetória é uma curva de equação s = 40t² + 200t, onde s é o espaço percorrido, em metros, em t segundos. A altura máxima atingida por esse projétil, em metros é: A) 25 B) 50 C) 250 D) 500 E) Na figura temos a representação geométrica do gráfico de uma parábola de equação y = ax² + bx + c. Para esta parábola, os sinais dos produtos ab, ac e bc são, respectivamente, A) negativo, negativo e positivo B) negativo, positivo e negativo C) negativo, negativo e negativo D) positivo, positivo e positivo E) positivo, negativo e negativo 15.Num terreno plano, um corpo é lançado de um ponto no solo, descrevendo uma trajetória parabólica de equação 2 x y 20x. Se x e y são 2 expressos em metros, a distância entre o ponto de lançamento e o ponto em que o corpo toca o solo novamente é, em metros, igual a A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 E) 50 24

26 16.Para testar a eficiência de um pesticida, este foi ministrado a uma população de insetos e, a partir daí, procedeu-se um controle do crescimento da população. Sendo o tempo (t) medido em semanas, o tamanho da população de insetos é calculado por P(t) = 10t² + 40t è possível afirmar que: A) a população de insetos cresce só na primeira semana B) a população de insetos decresce na segunda semana C) a população de insetos decresce só após a quinta semana D) a população de insetos decresce a partir da terceira semana E) o pesticida não foi eficiente 17.O gráfico da função dada por f(x) = x² + bx + 2 é uma parábola com vértice no ponto V(4, k). O valor de b + k é: A) 6 B) 6 C) 8 D) 14 E) Uma bola colocada no chão é chutada para o alto, percorrendo uma trajetória descrita por y = 2x² + 12x, onde y é a altura, dada em metros. A altura máxima atingida pela bola é de A) 36 m B) 18 m C) 12 m D) 6 m E) 3 m 25

27 19.Para que a parábola de equação y = ax² + bx 1 contenha os pontos ( 2, 1) e (3, 1), os valores de a e b são, respectivamente, A) 3 e B) e C) 3 e 3 D) 3 1 e 3 E) 1 e 3 1 Gabarito: 1.B 2.A 3.A 4.A 5.B 6.A 7.B 8.E 9.D 10.C 11.E 12.B 13.C 14.D 15.D 16.D 17.D 18.B 19.B POLINÔMIOS Um polinômio é uma função real definida pela relação: n n1 n2 A, B, C,..., Z s o n meros reais P x Ax Bx Cx Z, onde ã ú. n N n é o expoente 26

28 Grau de um Polinômio Grau de um polinômio é o expoente máximo que ele possui. Exemplos: a) P(x) = 5 ou P(x) = 5x 0 é um polinômio constante de grau 0. b) P(x) = 3x + 5 é um polinômio do 1º grau. c) P(x) = 4x 5 + 7x 4 é um polinômio do 5º grau. Valor Numérico O valor numérico de um polinômio P(x) é o número que se obtém ao substituir x pelo valor apresentado. Exemplo: p(x) = 5x 3 p(4) = 5(4) 3 p(4) = 20 3 p(4) = 17 logo, quando x = 4 temos p(4) = 17 Se p(x) = x³ + 3x² 5x + 1, então o valor de P( 1) é? p(x) = x³ + 3x² 5x + 1 p( 1) = ( 1)³ + 3( 1)² 5( 1) + 1 p( 1) = 1 + 3(1) p( 1) = p( 1) = 8 p( 1) = 8 Logo, quando x = 1 temos P( 1) = 8. Se P(a) = 0, o número a chamado raiz ou zero de P(x). 27

29 Igualdade de Polinômios iguais. Dois polinômios são ditos iguais se todos os seus coeficientes forem Exemplo: Os polinômios p(x) = 2x + 3 e q(x) = ax + b são ditos idênticos (p = q), se a = 2 e b = 3. Exemplos resolvidos: 1) Dado um polinômio p(x), temos que seu valor numérico é tal que x = a é um valor que se obtém substituindo x por a, onde a pertence ao conjunto dos números reais. Dessa forma, concluímos que o valor numérico de p(a) corresponde a p(x) onde x = a. Por exemplo, dado o polinômio p(x) = 4x² 9x temos que seu valor numérico para x = 2 é calculado da seguinte maneira: p(x) = 4x² 9x p(2) = 4. 2² 9.2 p(2) = p(2) = p(2) = 2 Exercícios para resolução: 1. Dado o polinômio p(x) = 4x³ 9x² + 8x 10, determine o valor numérico de p(3). F) -10. G) 25. H) I) 40. J)

30 2. Determine o valor numérico de p(x) = 5x 4 2x³ + 3x² + 10x 6, para x = 2. A) 100. B) 16. C) 22. D) 85. E) Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x 3-7x 2 + 3x 4, para x = 2. A) B) - 9. C) 15. D) 32. E) Considerando que P(x) = 2x³ kx² + 4x 1, para que valores de k temos P(2) = 4? A) 5/2. B) 24/3. C) 19/4. D) 17/4. E) 7/3. 5. Temos que a raiz do polinômio p(x) = 2x² mx + 12 é igual a 5. Calcule o valor de m. A) 5/4 B) 1/2. C) 15/4. D) 62/5. E) 31/5. 29

31 6. Em relação ao polinômio P(x)=5x⁴-3x³+bx² +3x-2, sabe-se que P(1)= -12. Nessas condições, o valor de b é igual a: A) 5 B) 4 C) 5 D) 6 E) - 15 Gabarito: 1. E 2. E 3. A 4. C 5. D 6. E PORCENTAGEM É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. Razão centesimal Toda a razão que tem para consequente o número 100 denominase razão centesimal. Alguns exemplos: 30

32 Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos resolvidos: 1) Calcular 10% de ) Calcular 25% de 200kg. Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. 31

33 Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: Fator de Acréscimo ou Lucro Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67 11,00 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desco Fator de nto Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10 32

34 9,00 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ Exemplos resolvidos: 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00. Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%. Exercícios para resolução: Calcule as porcentagens correspondentes: 1) 2% de 700 laranjas 2) 40% de 48 m 3) 38% de 200 Kg 4) 6% de 50 telhas 33

35 5) 37,6% de 200 6) 22,5% de 60 7) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? A) 10% B) 45% C) 25% D) 30% E) 15% 8) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? A) x = 1100 m B) x = 1200 m C) x = 1600 m D) x = 900 m E) x = 450 m 9) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola? A) 6 professores B) 5 professores C) 10 professores D) 2 professores E) 8 professores 10) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? A) 125 reais B) 118 reais C) 110 reais D) 115 reais E) 120 reais 34

36 Gabarito: laranjas 5. 75,2 9. A 2. 19,2 m 6. 13,5 10. E kg 7. B 4. 3 telhas 8. C JUROS SIMPLES O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = C. i. n Onde: J = juros C = capital i = taxa de juros n = número de períodos Exemplo resolvido: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Capital + Juros 35

37 Montante = Capital + (Capital x Taxa de juros x Número de períodos) M = C. ( 1 + ( i. n ) ) Exemplo resolvido: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = C. ( 1 + (i.n) ) M = [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. Exercícios para resolução: 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. A) 100 B) 132 C) 234 D) 300 E) 214 2) Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. A) R$ 2500,00 B) R$ 3500,00 C) R$ 4000,00 D) R$ 5000,00 E) R$ 4500,00 36

38 3) Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? A) R$ ,67 B) R$ ,00 C) R$ 108,666,87 D) R$ ,87 E) R$ ,67 4) Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? A) 4 meses B) 3 meses C) 5 meses D) 7 meses E) 8 meses 5) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? A) 2 anos B) 1 ano C) 3 anos D) 1 ano e 6 meses E) 4 anos 6) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de R$ ,00. O seu valor à vista era de R$ ,00 e a taxa é de 2,4% a.m. Por quantos anos pagarei por este material? A) 2 anos B) 1,5 anos C) 1 ano D) 3 anos E) 2,5 anos 37

39 7) Timóteo pagou mensalmente, pelo período de 1 ano, por um curso que à vista custava R$ 1.800,00. Por não ter o dinheiro, financiou-o a uma taxa de juros simples de 1,3% a.m. Qual o valor total pago pelo curso? Qual o valor do juros? A) R$ 2.080,80 e R$ 280,80 de juros B) R$ 2.000,80 e R$ 280,80 de juros C) R$ 2.100,00 e R$ 300,00 de juros D) R$ 1.980,80 e R$ 150,00 de juros E) R$ 2.180,00 e R$ 188,00 de juros Gabarito: 1. C 2. D 3. E 4. E 5. A 6. B 7. A Sugestão de sites para consulta: REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: YOUSSEF, A. N.; SOARES, E. & FERNANDEZ, V. P. Matemática: de olho no mundo do trabalho. Volume único. São Paulo: Editora Scipione, DANTE, L. R. Matemática: projeto Teláris. 1ª edição. São Paulo: Editora Ática,