CADERNO DE ORIENTAÇÕES MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 CADERNO DE ORIENTAÇÕES MATEMÁTICA FINANCEIRA

2 1 Proporções - Introdução Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg. Observe a razão entre o peso dos dois rapazes: Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros: Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade Assim: Proporção é uma igualdade entre duas razões. é uma proporção. Elementos de uma proporção Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim: ou a:b=c:d (lê-se "a está para b assim como c está para d") Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo: b e c os meios da proporção. a e d os extremos da proporção. Exemplo: Dada a proporção, temos: Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36 Aplicações da propriedade fundamental Determinação do termo desconhecido de uma proporção Exemplos: Determine o valor de x na proporção: Solução: 5. x = (aplicando a propriedade fundamental) 5. x = 120

3 2 x = 24 Logo, o valor de x é 24. Determine o valor de x na proporção: Solução: 5. (x-3) = 4. (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = x = 19 3x = -19 x = Logo, o valor de x é. Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x. Solução: 5. x = x = 280 (aplicando a propriedade fundamental) x = 56 Logo, o valor de x é 56. Resolução de problemas envolvendo proporções Exemplo: Numa salina, de cada metro cúbico (m 3 ) de água salgada, são retirados 40 dm 3 de sal. Para obtermos 2 m 3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários? Solução: A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção: Lembre-se que 40dm 3 = 0,04m = 0,04. x 0,04x = 2 (aplicando a propriedade fundamental) x = 50 m 3

4 3 Logo, são necessários 50 m 3 de água salgada Quarta proporcional Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que: Exemplo: Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6. Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção: (aplicando a propriedade fundamental) 8. x = x = 72 x = 9 Logo, a quarta proporcional é 9 Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela abaixo: Tempo (minutos) Produção (Kg) Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 5 min ----> 100Kg 10 min ----> 200Kg Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 5 min ----> 100Kg 15 min ----> 300Kg Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. Grandezas inversamente proporcionais Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela abaixo Velocidade (m/s) Tempo (s) ,

5 4 Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que: Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 5 m/s ----> 200s 10 m/s ----> 100s Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5 m/s ----> 200s 20 m/s ----> 50s Assim: Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza. Exemplo: Se numa receita de pudim de microondas uso duas latas de leite condensado, 6 ovos e duas latas de leite, para um pudim. Terei que dobrar a quantidade de cada ingrediente se quiser fazer dois pudins, ou reduzir a metade cada quantidade de ingredientes se quiser, apenas meia receita. Observe a tabela abaixo que relaciona o preço que tenho que pagar em relação à quantidade de pães que peça: Preço R$ 0,20 0,40 1,00 2,00 4,00 10,00 Nº de pães Preço e quantidade de pães são grandezas diretamente proporcionais. Portanto se peço mais pães, pago mais, se peço menos pães, pago menos. Observe que quando dividimos o preço pela quantidade de pães obtemos sempre o mesmo valor. Propriedade: Em grandezas diretamente proporcionais, a razão é constante. Grandezas Inversamente Proporcionais (G.I.P.) Duas grandezas são ditas inversamente proporcionais quando o aumento de uma implica na redução da outra, quando a redução de uma implica no aumento da outra, ou seja, o que você fizer com uma acontecerá o inverso com a outra. Observação: É necessário que satisfaça a propriedade destacada abaixo. Exemplo: Numa viagem, quanto maior a velocidade média no percurso, menor será o tempo de viagem. Quanto menor for a velocidade média, maior será o tempo de viagem. Observe a tabela abaixo que relaciona a velocidade média e o tempo de viagem, para uma

6 5 distância de 600km. Velocidade média (km/h) Tempo de viagem (h) Velocidade média e Tempo de viagem são grandezas inversamente proporcionais, assim se viajo mais depressa levo um tempo menor, se viajo com menor velocidade média levo um tempo maior. Observe que quando multiplicamos a velocidade média pelo tempo de viagem obtemos sempre o mesmo valor. Propriedade: Em grandezas inversamente proporcionais, o produto é constante. 50 x 10 = 500 = 4 x 150 = 5 x 100 = K Exercícios sobre grandezas proporcionais 1) Os números x, y e 32 são diretamente proporcionais aos números 40, 72, 128. Determine os números x e y. 2) Sabendo que x, y, z e 120 são diretamente proporcionais aos números 150, 120, 200 e 600, determine os números a, b e c. 3) Três funcionários arquivaram um total de 382 documentos em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é correto afirmar que o número de documentos arquivados pelo funcionário mais velho foi: 4) Na bandeira brasileira, o comprimento e a largura são proporcionais a 10 e 7. Carla quer fazer uma bandeira com 2 m de comprimento. Quantos metros deverá ter a largura? a) 1,20 b) 1,30 c) 1,40 d) 1,50 e) 1,70 5) Os números positivos x, y e z são inversamente proporcionais a 10, 1 e 5. Sabendo-se que y - z2-2x = 0, determine x + y + z. 6) Se João correr a uma velocidade de 4,0 km/h, ele completa uma certa distância em 6 minutos. Em 8 minutos, com a mesma distância, sua velocidade será: a) 5,3 km/h b) 5,2 km/h c) 7,6 km/h d) 3,0 km/h

7 6 7) Determine quantos quilômetros esse automóvel percorre, em média, com 1 litro desse combustível. 8) Na bula de um determinado remédio pediátrico recomenda-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do "peso" da criança. Se uma criança tem 12 kg, qual a dosagem correta? 9) (TRE) Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, três técnicos judiciários dividiram o total de microcomputadores entre si, na razão inversa de suas respectivas idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, quanto recebeu o técnico de 30 anos? 10) (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50cm, a sombra da pessoa passou a medir quanto? 11) Um garoto de 1m de altura projeta uma sombra de 0,5 m. No mesmo instante, um edifício projeta uma sombra de 9 m. Qual é altura do edifício? 12) (Ag. de Trânsito - Cesgranrio ) Uma equipe de 30 agentes de trânsito vai ser dividida em dois grupos que atuarão em duas regiões diferentes, uma de 6 km² e outra, de 9 km². Se essa equipe for dividida em partes diretamente proporcionais às áreas das duas regiões, quantos agentes trabalharão na região de maior área? (A) 18 (B) 15 (C) 12 (D) 9 (E) 6 13) (Prova Técnico Judiciário Área Administrativa 4ª Região) - No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de dois técnicos judiciários do Tribunal Regional Eleitoral de uma certa circunscrição judiciária. Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no Tribunal. Se João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era: a) 40 b) 41 c) 42 d) 43 e) 44

8 7 PORCENTAGEM É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. Razão centesimal Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Exemplos: Calcular 10% de 300. Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Calcular 25% de 200kg. Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. EXERCÍCIOS: 1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? Portanto o jogador fez 6 gols de falta. 2) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montamos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação a esses R$250,00, resulte nos R$300,00. Portanto, a taxa percentual de lucro foi de 20%.

9 8 Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro Fator de Multiplicação 10% 1,10 15% 1,15 20% 1,20 47% 1,47 67% 1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto Fator de Multiplicação 10% 0,90 25% 0,75 34% 0,66 60% 0,40 90% 0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 Exercícios de Porcentagem a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola? d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? Calcule as porcentagens correspondentes: e) 2% de 700 laranjas f) 40% de 48 m g) 38% de 200 Kg h) 6% de 50 telhas i) 37,6% de 200 j) 22,5% de 60 Fator de atualização O fator de atualização, denominado pela letra f, é determinado pela razão entre duas grandezas em tempos diferentes (passado, presente ou futuro). O fator de atualização se aplica em diversas situações quando se deseja comparar valores obtidos em tempos diferenciados. Como foi dito anteriormente, o fator de atualização compreende a razão entre determinados valores. Quando trabalhamos com razão entre grandezas, sabemos que teremos uma divisão entre elas, e que, ao dividir dois valores quaisquer, só poderemos obter três tipos de resultados. Denotemos duas grandezas por A e B, e façamos a análise das possibilidades dessa divisão:

10 9 Valores iguais: Valores diferentes: Ou seja, a grandeza do numerador é maior do que a do denominador: Entretanto, a matemática financeira está intimamente ligada aos conceitos da porcentagem, portanto vale lembrar que esta diferenciação das grandezas será expressa em valores decimais que correspondem a porcentagens. Vejamos então alguns exemplos nos quais determinaremos o fator de atualização. Suponhamos que a divisão da grandeza A pela B resulte em 1,10. Com isso, podemos afirmar que a grandeza A é 10% maior do que B, ou ainda, A é 110% de B. Sendo assim, generalizaremos as circunstâncias em que os valores são diferentes, pois quando eles forem iguais o fator de atualização será neutro. Se f > 1, f = 1+ t; então a taxa é t = f 1 (número decimal) Se f < 1, f = 1 t; então a taxa é t = 1+ f (número decimal) O fator de atualização é utilizado quando queremos comparar valores e determinar se houve um aumento nesses valores em tempos diferentes, um desconto ou se não houve variação. Também é possível determinar a taxa de juros acumulada. Exemplos de aplicação!. se a taxa de inflação de janeiro é de 6% e a de fevereiro é de 5%, entao a taxa de inflação do bimestre janeiro/fevereiro é de: A) 11% B) 11,1% C) 11,2% D) 11,3% E) 11,4% Solução 100+6%= %= 105 Basta multiplicar 1,06 * 1,05 = 1,113 1,113 é uma inflação de 11,3% Alternativa (D) 2. Uma loja em liquidação baixou o preço de seus artigos em 20%. Passando o período de desconto, para que voltem ao que eram antes, os preços devem ser reajustados em: 25% 20% 18% 15% 10% X ,8x 0,8x.i=x

11 10 Resposta= 25% 3. A tabela a seguir mostra a variação do preço do dólar em uma semana qualquer, em termos percentuais. No valor acumulado desses 5 dias, o que aconteceu com o preço do dólar ao longo da semana? Segunda-feira 1,54% Terça-feira -2,01% Quarta-feira 0,85% Quinta-feira -0,73% Sexta-feira 0,49% Solução Dólar Inicialmente: 100% * X = X Dólar Segunda-Feira: X + (1,54% * X) = X + (1,54 X / 100) = X + 0,0154 X = 1,0154 X Dólar Terça-Feira: 1,0154 X - (2,01 * 1,0154 X / 100) = 1,0154 X - 0, X = 0, X Dólar Quarta-Feira: 0, X + (0,85 * 0, X / 100) = 0, X+ 0, X = 1, X Dólar Quinta-Feira: 1, X - (0,73 * 1, X / 100) = 1, X - 0, X = 0, X Dólar Sexta-Feira: 0, X + (0,49 * 0, X / 100) = 0, X + 0, X = 1, X = 100, X / 100 = 100,0223 % * X Inicialmente tinha 100% e tornou-se 100, % Logo, o dólar, ao longo da semana, subiu cerca de 0,0223%.

12 11 4. O preço de uma camisa passou de R$50,00 para R$59,00. Qual foi o aumento percentual desse preço? Sendo R$ 50 = 100% do preço, utiliza-se a regra de 3: R$ 50 = 100 % R$ 59 = x x = 118% Como o aumento é de acordo com a diferença entre os dois valores, logo: Aumento = = 18%. Atividades 1. Escreva o fator de atualização correspondente a cada situação a) 3% de aumento b) 3% de desconto c) 15% de aumento d) 15 % de desconto e) 230% de aumento f) 3000% de aumento 2. Interprete cada fator de atualização definindo se é aumento ou desconto, e qual o valor da taxa. a) f= 1,13 b) f= 0,70 c) f= 2 d) f= 0,95 e) f= Avalie o efeito acumulado de cada situação a seguir, definindo qual é o aumento ou desconto equivalente. a) Aumento de 3% e aumento de 5% b) Aumento de 10% e desconto de 20% c) Três aumentos de 10% d) Dois aumentos de 6% e três descontos de 4%. 4. Em uma promoção, o preço de um celular passou de R$ 499,00 para R$ 399,00. Qual foi o desconto dado nessa promoção?

13 12 5. João tinha 30 amigos no Facebook. Em duas semanas, esse número de amigos aumentou 240%. Quantos amigos João tem agora? 6. Investi R$11 000,00 num fundo de aplicação de um banco e hoje, após 3 meses, tenho R$ ,00. Qual foi o rendimento percentual obtido nesse período de 3 meses? JUROS SIMPLES O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: J = P. i. n Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos ) M = P. ( 1 + ( i. n ) ) Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = P. ( 1 + (i.n) ) M = [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias. Exercícios exemplo sobre juros simples: 1) Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias / 6 = logo, 4m15d = x 9 = j = 1200 x = Calcular os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias. Temos: J = P.i.n A taxa de 36% a.a. equivale a 0,36/360 dias = 0,001 a.d. Agora, como a taxa e o período estão referidos à mesma unidade de tempo, ou seja, dias, poderemos calcular diretamente: J = , = R$5000, Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$3.500,00 de juros em 75 dias? Temos imediatamente: J = P.i.n ou seja: 3500 = P.(1,2/100).(75/30) Observe que expressamos a taxa i e o período n em relação à mesma unidade de tempo, ou seja, meses. Logo,

14 = P. 0,012. 2,5 = P. 0,030; Daí, vem: P = 3500 / 0,030 = R$ , Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? Objetivo: M = 2.P Dados: i = 150/100 = 1,5 Fórmula: M = P (1 + i.n) Desenvolvimento: 2P = P (1 + 1,5 n) 2 = 1 + 1,5 n n = 2/3 ano = 8 meses 01) Qual o valor do juro correspondente a um empréstimo de R$ 600,00 pelo prazo de 15 meses, com uma taxa de 3% ao mês? R. 270,00 02) A que taxa o capital de R$ 8000,00 rende R$ 2.400,00 em 6 meses? R. 5% 03) Em quantos meses um capital de R$ 3.000,00 rendeu de juros R$ 900,00 à taxa de 24% ao ano? R. 15 MESES 04) Determine o montante de uma aplicação de R$ 5.000,00, à taxa de 2,5% ao mês, durante 10 meses. R ,00 05) Um capital de R$ ,00, aplicado durante 8 meses, rendeu de juros R$ 1920,00. Determine a taxa anual. 18% 06) (SEAP1102/001-AgSegPenClasseI-V1 2012) Renato pediu R$ 3.000,00 emprestados para pagar depois de 5 meses, à taxa de 3% ao mês, no regime de juro simples. Ao fim desse período, Renato deverá pagar, de juros (A) R$ 45,00. (B) R$ 90,00. (C) R$ 180,00. (D) R$ 450,00. (E) R$ 900,00. R. D

15 14 07) (SEAP1103/001-AgEscVigPen-V1 2012) Elias pediu emprestado R$ 2.600,00 a juro simples com uma taxa de 2,5% ao mês. Se o montante da dívida ficou em R$ 3.250,00, o tempo, em meses, que ele demorou para quitar sua dívida foi (A) 7. (B) 8. (C) 9. (D) 10. (E) 11. R. D Atividade de revisão Faça o teste proposto em JUROS COMPOSTOS

16 15 O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M =P.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula: M = P. (1 + i) n Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses. Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M - P Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês. (use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788) Resolução: P = R$6.000,00 t = 1 ano = 12 meses i = 3,5 % a.m. = 0,035 M =? Usando a fórmula M=P.(1+i) n, obtemos: M = 6000.(1+0,035) 12 = (1,035) 12 Fazendo x = 1, e aplicando logaritmos, encontramos: log x = log 1, => log x = 12 log 1,035 => log x = 0,1788 => x = 1,509 Então M = ,509 = Portanto o montante é R$9.054,00 Atividades 1. Calcule os juros e o montante de uma aplicação financeira a juros compostos, nas seguintes condições: a) capital: R$300,00; taxa: 2% a.m.; prazo: 4 meses; b) capital: R$2500,00; taxa: 5% a.m.; prazo: 1 ano; c) capital: R$100,00; taxa: 16% a.a.; prazo: 3 anos; 2. Uma poupança especial rende 1% ao mês, em regime de juros compostos. Décio aplicou R$480,00 nessa poupança e retirou a quantia um ano depois. a) Que valor Décio retirou? b) Que valor Décio teria retirado, se a taxa de juros fosse de 2% a.m.?

17 16 3. Ana emprestou x reais de uma amiga, prometendo devolver a quantia emprestada, acrescida de juros, após oito meses. O regime combinado foi de juros compostos, e a taxa, de 2,5% a.m. Se após o prazo combinado Ana quitou a dívida com R$500,00, determine: a) O número inteiro mais próximo de x; b) O valor que Ana deveria devolver á amiga, caso tivesse estabelecido regime de juros simples.. 4 Um capital de R$200,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 5% a.m., gerando um montante de R$268,00. (Use log1,34 = 0,13; log1,05 = 0,02 e log2,25 = 0,35). a) Qual é o tempo em que esse capital ficou aplicado? b) Qual o nº mínimo de meses necessário para que o montante fosse de R$450,00? 5) Uma dívida, contraída a juros compostos, aumentou de R$200,00 para R$242,00 em dois meses. Admitindo que a taxa mensal de juros é fixa, determine: a) O valor da taxa. b) O montante dessa dívida meio ano após a data em que foi contraída. 6) Um investidor comprou R$1.000,00 um lote de ações de uma empresa e o revendeu, após n meses, por R$3000,00. Admita que a valorização mensal dessas ações tenha sido de 8% a.m. Qual é o valor de n? (Use log2 = 0,3 e log3 = 0,48). 7) O Sr. Lima investiu R$5000,00 em um fundo de ações. No 1º ano as ações do fundo valorizaram-se 35%; no 2º ano, valorizaram-se 20% (em relação ao 1º ano) e no 3º ano desvalorizaram-se 30% (em relação ao 2º ano). a) Que valor o Sr. Lima terá ao final dos três anos? b) Qual foi o rendimento percentual da aplicação nesses três anos? Soluções 1 t 4 meses t 4 4 i 0,02 M C.(1 i) (300). 1 0,02 (300). 1,02 (300). 1,0824 a) C 300 J M C R$324,72 R$300,00 R$24,72 R$324,72.

18 17 t 1ano 12 meses 12 4 b) i 0,05 (2500). 1 0,05 (2500). 1,05 (2500). 1,7958 C 2500 J M C R$4489,50 R$2500,00 R$1989,50 R$4489,50. t 3 anos 3 3 i 0,16 (100). 1 0,16 (100). 1,16 (100). 1,5608 c) C 100 J M C R$156,08 R$100,00 R$56,08 R$156, Solução. Aplicando as fórmulas de juros compostos, temos: t 1ano 12 meses C 480 a) t i 0,01 M C.(1 i) (480). 1 0,01 (480). 1,01 (480). 1,1268 R$540, 88. b) t 1ano 12 meses t i 0,02 M C.(1 i) C 480 (480) ,02 (480). 1,02 (480). 1,2682 R$608, Solução. Aplicando as fórmulas de juros simples e compostos quando necessário, temos: t 8 meses i 0,025 C x M ,2184 a) x.(1 0,025) (500) x. 1,025 x R$410, 34. Inteiro x = 410. t 8 meses b) i 0,025 M (410,34).(1 0,025.8) M (410,34).(1 0,2) M (410,34).(1,2) R$492,, 40 C 410,34 4 Solução. Aplicando as fórmulas de juros simples e compostos quando necessário, temos:

19 18 t t 268 t log1,34 0,13 a) (1 0,05) (1,05) (1,05) 1,34 t log1, 05 1,34 6,5 meses. 200 log1,05 0,02 t t 450 t log2,25 0,35 b) (1,05) (1,05) (1,05) 2,25 t log1, 05 2,25 17,5 meses. 200 log1,05 0,02 Logo, no mínimo 18 meses. 5 Solução. Aplicando as fórmulas de juros compostos, temos: a) (1 i) 2 (1 i) i i i 1,1 1 i 0,1 10% a.m b) meio ano 6 meses M 200.(1 0,1) 6 M (200).(1,1) 6. (200).(1,7715) R$354,30 6 Solução. Essa situação representa uma aplicação a juros compostos de R$1000,00 por n meses com resgate de R$3000,00 sendo a taxa de 8% a.m. n n 3000 n log3 0, (1,08) (1,08) (1,08) 3 n log1, log1, log ,48 0,48 0,48 0,48 0,48 n 12 meses 2log2 3log3 2log10 2(0,3) 3(0,48) 2(1) 0,6 1,44 2 2,04 2 0,04 7 Solução. As taxas não são fixas e ocorrem de forma sucessiva. a) M 5000.(1 0,35).(1 0,2).(1 0,3) 5000.(1,35).(1,2).(0,7) R$5670, 00. b) (1 i) 1 i 1 i 1,134 i 1,134 1 i 0,134 13,4% Obs: Repare que a taxa acumulada já apareceu no produto: (1,35).(1,2).(0,7) = 1,134 = (1 + 0,134).

20 19 Atividades juros compostos 1. Quanto receberá de juros, no fim de um semestre uma pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia de R$ 6.000,00 a taxa de 1% ao mês? 2. O capital de R$ 2000, aplicado a juros compostos, rendeu, após 4 meses, juros de R$ 165,00. Qual foi a taxa de juros mensal? 3. Qual de ve ser o tempo para que a quantia de R$ 30000,00 gere o montante de R$ 32781,81, quando aplicada a taxa de 3% ao mês, no sistema de juros compostos? 4. calcule o montante produzido por R$ 5000,00, aplicado a taxa de juros de 6% ao bimestre, após um ano, no sistema de juros compostos. 5. Um capital foi aplicado a juros de 18% ao ano, durante 2 anos.. Quanto rendeu de juros: a) em porcentagem? b) em reais? 6. Uma dívida de R$ 700,00 foi contraída a juros compostos de 2% ao mês, para ser quitada em 4 meses. a) quanto deverá ser pago para quitar a dívida? b) qual a taxa de juros acumulada nesse período de 4 meses? 7. Carlos deixou R$ 800,00 aplicados por 3 anos em um fundo de investimentos. Se o rendimento médio desse fundo foi de 1% ao mês, quanto Carlos tinha ao final desse período? Respostas 1. R$ 369,12 2. aproximadamente 2% 3. 3 meses 4. R$ 7092,59 5. a) 39,24% b) R$ 353,16 6 a) R$ 757,70 b) 8,24% 7. R$ 1144,62