Aula 5. Números decimais. Ricardo Ferreira Paraizo. e-tec Brasil Matemática Instrumental

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1 Números decimais Aula 5 Ricardo Ferreira Paraizo e-tec Brasil Matemática Instrumental

2 Metas Apresentar o conceito de números decimais e demonstrar como realizar as operações elementares, envolvendo esse tipo de número. Objetivos Após esta aula, você deverá ser capaz de: 1. realizar a leitura dos números decimais; 2. transformar um número decimal em uma fração e viceversa; 3. comparar números decimais; 4. realizar operações de adição e subtração com números decimais; 5. realizar operações de multiplicação e divisão com números decimais. Pré-requisitos Para melhor compreensão desta aula, você deverá rever os conceitos sobre conjuntos e operações com números inteiros. É importante também ter em mão uma régua e um papel milimetrado.

3 O mundo dos números decimais 107 Atualmente, os números são usados para tudo, mas já houve uma época em que os homens não tinham a noção de número. Então, foi preciso um longo período para o surgimento dele e para que ele começasse a ser escrito, inicialmente de forma primitiva, e, posteriormente, até se escrever os números naturais como fazemos hoje em dia: no sistema de numeração decimal. Os números decimais estão relacionados com várias situações do cotidiano. São utilizados, por exemplo, para representar unidades monetárias. Quantas vezes você já foi ao supermercado fazer compras? Provavelmente, antes de comprar qualquer coisa você faz uma pesquisa de preços, certo? Assim, você economiza seu rico dinheirinho. Aula 5 Números decimais Os números decimais estão presentes nas transações bancárias, na compra de móveis a prazo, nas medidas e em muitas outras situações. Por isso, dominar esse assunto significa, também, não ser enganado. Os números decimais na medida certa Lembra-se dos números naturais? Você aprendeu que o sucessor de 34 é 35 e que não existem números naturais entre 34 e 35. Como fazer para escrever um número maior que 34 e menor que 35, sem usar frações? Depois de um longo período, surgiu a idéia de colocar uma vírgula no final de um número natural e continuar escrevendo algarismos também depois dela. Então, um número que está entre 34 e 35, e que não é fracionário, pode ser, por exemplo, o número decimal 34,6. Como você já percebeu, o que caracteriza os números decimais é a vírgula. Jason Antony Figura 5.1: Quando trabalhamos com medidas ou dinheiro, geralmente nos deparamos com números decimais. Fonte: Afonso Lima

4 108 e-tec Brasil Matemática Instrumental Quando falamos em números com qualquer pessoa que não seja um estudioso de Matemática, como, por exemplo, os números com os quais lidamos na nossa vida diária, na padaria, no ônibus, no posto de gasolina, estamos nos referindo a uma classe bem especial de números racionais os chamados números decimais. Esses números podem representar medidas de comprimento, preços de objetos, notas de provas, índices dos mais diversos e muito mais. Saiba mais... Bailey-Mortimer Sisi Fili Matthieu Huguet Fonte: Nigel Clarke Figura 5.2: Cada salto em distância de algumas espécies de cangurus corresponde a 10 metros. Já algumas espécies de sapos pulam 5,5 metros. Quanto à altura, o canguru alcança 2,7 metros, menos que o puma (3,1 metros) e mais que a raposa (1,2 metros).

5 Os números decimais são todos os números que podem ser escritos na forma de uma fração decimal. Nessa fração, como o próprio nome diz, o denominador é múltiplo de 10, ou seja, 10, 100, 1000, 10000, e assim por diante. Veja os exemplos: , 20 = 4, 20 = 1, 75 = 5, 5 = As casas decimais são os espaços ocupados pelos números depois da vírgula, ou seja, o número 4,20 tem duas casas decimais; o número 5,5 tem apenas uma casa decimal. 109 Aula 5 Números decimais Observando os exemplos anteriores, você pode conferir que o número de casas decimais, em todas as situações, é igual ao número de zeros do denominador. Não se preocupe, veremos isso com mais detalhe adiante. Décimos, centésimos, milésimos... Você já sabe que uma fração decimal tem, no denominador, um número múltiplo de dez, mas qual é o significado disso? Vamos, mais uma vez, usar os dados para que você possa entender melhor esse conceito. Uros Kotnik Fonte: Figura 5.3: Cubos - usando material concreto na construção dos conceitos sobre os números decimais.

6 110 Observe a configuração desses dados e veja a relação existente entre eles: e-tec Brasil Matemática Instrumental A seguir, você pode ver que a coluna formada pelos dados é dez vezes maior que um único dado. Esta coluna de dez dados é dez vezes menor que a placa formada por cem dados, como é mostrado na figura a seguir.

7 Ou ainda, podemos dizer que um cubo formado por mil dados é dez vez maior do que esta placa de cem dados. Veja: 111 Aula 5 Números decimais A relação é dez vezes menor que... que acabamos de ilustrar, que também pode ser entendida como é a décima parte de..., é escrita como a fração 1 10 e representada na forma decimal por 0,1 (lê-se um décimo). E como você representaria a relação é cem vezes menor que... e é mil vezes menor que...? é 100 vezes menor que é 1000 vezes menos que A relação é cem vezes menor que..., também pode ser entendida como é a 1 centésima parte de..., é escrita como a fração e representada na forma 100 decimal por 0,01 (lê-se um centésimo). Já a relação é mil vezes menor que..., que também pode ser entendida como é 1 a milésima parte de... é escrita como a fração e representada na forma 1000 decimal por 0,001 (lê-se um milésimo).

8 112 O esquema a seguir resume bem as relações explicadas anteriormente. e-tec Brasil Matemática Instrumental Unidade 1 Décimo 1 ou 0,1 10 Décimo 1 ou 0, Milésimo 1 ou 0, Décimo de milésimo 1 ou 0, E assim por diante Na figura a seguir, considere a placa formada pelos dados como uma unidade. Você consegue escrever a representação decimal correspondente? Vejamos: Uma placa formada por cem dados deve ser considerada como uma unidade. A figura tem três placas; então, são três unidades, certo? Na figura, também existem duas colunas formadas por dez dados cada uma. Lembre-se de que essas colunas são dez vezes menor que a placa; como a figura apresenta duas colunas, então, são dois décimos. Agora, precisamos unir essas informações, ou seja, representar de forma completa o número decimal correspondente, que é 3,2. Na forma de fração, temos que 3,2 = Achou complicado? Calma! Vamos ver outro exemplo? Observe esta outra figura, ainda considerando a placa como unidade, e veja como é fácil descobrir o número decimal correspondente.

9 113 Aula 5 Números decimais Em primeiro lugar, você deve verificar quantas placas existem na figura. Tem alguma? Não tem nenhuma placa. Isso significa que não existe unidade nesse número, ou seja, a casa das unidades é zero. Essa figura também nos mostra cinco colunas e mais dois dados solitários, certo? Como devemos analisar essas informações? Rodrigo Vieira Fonte: Figura 5.4: Cronômetro - os cronômetros são instrumentos de grande precisão, pois medem intervalos de tempo com aproximação de décimo de segundo ou menos. As cinco colunas representam os décimos, cinco décimos. Já os dois dados solitários representam os centésimos, dois centésimos, pois cada dado é cem vezes menor que a unidade (que é a placa com cem dados). Com isso, o número decimal que estamos procurando é 0,52. Na forma de fração, temos que 0,52 = Na próxima figura, você vai considerar o cubo maior como uma unidade e proceder da mesma forma que nos exemplos anteriores para achar o número decimal correspondente.

10 114 e-tec Brasil Matemática Instrumental Fazendo isso, o número decimal correspondente será 1,123. Não entendeu? Ora, a placa agora representa 1 décimo, pois ela é dez vezes menor que o cubo maior. As colunas agora representam 2 centésimos; cada coluna é cem vezes menor que o cubo maior. Os três dados solitários representam 3 milésimos, pois cada um deles é mil vezes menor que o cubo maior. Na forma de fração, temos que 1,123 = Agora, que tal tomar um dado solitário como uma unidade? Veja a figura a seguir e vamos descobrir o número que ela representa.

11 Observe que cada coluna é dez vezes maior que a unidade e que a placa também é dez vezes maior que cada coluna, ou seja, a placa é 100 vezes maior que a unidade. Com isso, temos: ( 1x100) + ( 2x10) + ( 1) { = 121 Uma centena Duas dezenas uma unidade Ainda considerando um dado solitário como uma unidade, observe a figura a seguir e tente descobrir o número representado. 115 Aula 5 Números decimais Perceba que o cubo maior é mil vezes a unidade e novamente as colunas representam as dezenas. Ou seja: ( x1000) + ( 0 x100) + ( 5x10) { = 1053 Um milhar Zero centena Cinco dezenas TrŒs unidades Três unidades Na tabela a seguir, que resume bem o que foi explicado até aqui, estão mais alguns exemplos. Tabela 5.1: O lugar ocupado pelo algarismo indica a ordem em que ele se encontra. Milhar Centena Dezena Unidade Décimo Centésimo Milésimo , , Ordens inteiras Ordens decimais

12 116 e-tec Brasil Matemática Instrumental Saiba mais... Aprendendo a ler um número decimal Devemos ler a parte inteira, seguida da parte decimal, acompanhada das palavras: Décimos... Quando houver uma casa décimal; Centésimos... Quando houver duas casas decimais. Milésimos... Quando houver três casas decimais. Décimos de milésimo... Centésimos de milésimos... Quando houver quatro casas decimais. Quando houver cinco casas decimais. e assim sucessivamente. Veja alguns exemplos: I. 1,5 Lê-se um inteiro e cinco décimos. II. 7,02 Lê-se sete inteiros e 2 centésimos. III. 3, 28 Lê-se três inteiros e vinte e oito centésimos. IV. 0,147 Lê-se cento e quarenta e sete milésimos. Quando a parte inteira for zero, lemos somente a parte decimal, acompanhada de décimos, centésimos, milésimos... Os números decimais possuem algumas características importantes, mais precisamente três propriedades. Cada uma delas tem conseqüências sobre o seu cálculo e a sua representação.

13 1ª propriedade: Um número decimal não se altera quando retiramos ou acrescentamos um ou mais zeros à direita da sua parte decimal. Isso significa que dois números decimais quaisquer podem ser representados com o mesmo número de CASAS DECIMAIS. Exemplo: 0,12 e 52,068 podem ser escritos: 0,1200 e 52,0680 (ambos com quatro casas decimais). CASA DECIMAL Nos números com vírgula, as casas decimais ficam à direita da vírgula. Por exemplo, o número 0,00001 tem 5 casas decimais. 117 Aula 5 Números decimais Atenção! Todo número natural pode ser escrito na forma decimal, bastando colocar a vírgula após o último algarismo e acrescentar zero(s). Exemplos: I. 7 = 7,0 II. 193 = 193,000 2ª propriedade: Para multiplicar um número decimal por 10, por 100, por 1000, etc basta deslocar a vírgula uma, duas, três etc. casas decimais para a direita. Exemplos: a. 10,2 x 10 = 102 b. 0, x 1000 = 0,379 3ª propriedade: Para dividir um número decimal por 10, por 100, por 1000 etc. basta deslocar a vírgula uma, duas, três etc. casas decimais para a esquerda. Exemplos: a. 57,21 10 = 5,721 b. 9, = 0, Conhecendo as propriedades fica mais fácil trabalhar com esses números.

14 118 Transformando os números decimais e-tec Brasil Matemática Instrumental Agora você vai aprender a transformar números decimais em frações decimais e vice-versa. I. Transformação de números decimais em frações decimais Veja os números a seguir: (i) 0,7 = (ii) 0,07 = 100 (iii) 2,37 = (iv) 7,132= Podemos notar que para transformar um número decimal numa fração decimal basta tomar como numerador o número decimal sem a vírgula e como denominador a unidade (1) seguida de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número dado. Veja outros exemplos: 10 (v) 0{, 010 = 3 casas decimais 1000 { 3 zeros no denominador Já vimos anteriormente que essa fração é lida como dez milésimos. (vi) 4{, 79 2 casas decimais = 479 { zeros no denominador Como você já sabe, essa fração é lida como quatro inteiros e setenta e nove centésimos. II. Transformação de fração decimal em número decimal Veja os exemplos: (i) =1,70 (ii) = 0,732 (iii) = 0,002

15 Como você já deve ter percebido, para transformar uma fração decimal em um número decimal fazemos com que o numerador da fração tenha o mesmo número de casas decimais que o número de zeros do denominador. Comparando números decimais Para comparar dois números decimais, devemos situá-los sobre a reta real. Veja a seguir o passo-a-passo para representar os números decimais sobre a reta. 119 Aula 5 Números decimais 1º passo: Representamos os números inteiros como indicado a seguir: º passo: Dividindo a unidade em dez partes iguais, obtemos os décimos e podemos representar os números com uma ordem (ou casa) decimal. -1,3-1,1-0,9-0,7-0,5-0,3-0,1 0,1 0,3 0,5 0,7-1,2-1,0-0,8-0,6-0,4-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 3º passo: Se dividirmos cada décimo em dez partes iguais, ficam assinalados os centésimos, como podemos ver na figura a seguir. Representamos, assim, os números com duas ordens decimais. 0 0,1-0,03-0,01 0,01 0,03 0,05 0,07 0,09-0,04-0,02 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08-1,2-1,1-1,21-1,19-1,17-1,15-1,13-1,11-1,09-1,22-1,20-1,18-1,16-1,14-1,12-1,10-1,08 Com este processo, podemos representar os diferentes números decimais exatos. Agora que os números já foram localizados na reta, fica fácil fazer a comparação. Verifica-se que a < b se a estiver antes de b sobre a reta, da esquerda para a direita. a b

16 120 Exemplo: e-tec Brasil Matemática Instrumental Qual desses números é maior: 3,426 ou 3,45? Para resolver esta questão, colocamos os números um em baixo do outro com os algarismos de mesma ordem alinhados: 1º. 3,426 2º. 3,45 Observe que os dois números possuem três unidades e também possuem quatro décimos. Agora, veja que os centésimos são diferentes; o primeiro número tem 2 centésimos, enquanto o segundo tem 5 centésimos (5 > 2). Portanto, o segundo número é maior que o primeiro. Chegou o momento de praticar e fixar todos esses conceitos apresentados até aqui. As próximas atividades são fundamentais para que você entenda as operações com os números decimais. Atividade 1 Atende ao Objetivo 1 Escreva, por extenso, como se lê cada um dos números a seguir: a. 1,7 b. 5,23 c. 12,006 d.,8 e. 0,003 f. 0,25 g. 54,9 h. 123,05

17 121 Atividade 2 Atende ao Objetivo 2 Transforme os números a seguir em frações decimais: a. 0,3 b. 1,34 Aula 5 Números decimais c. 9,2324 d. 0,0014 Atividade 3 Atende ao Objetivo 2 Transforme as frações a seguir em números decimais: a b c d

18 122 e-tec Brasil Matemática Instrumental Atividade 4 Atende ao Objetivo 3 Escreva em ordem decrescente os preços encontrados numa padaria: Pães Pãozinho francês R$ 0,30 Pão para hambúrguer R$ 0,95 Pão para cachorro-quente R$ 0,55 Pão doce R$ 0,40 Operando com os decimais Agora, você verá como é fácil fazer contas de somar, subtrair, multiplicar e dividir com números decimais. Adição e subtração Para fazer o cálculo 3,6 + 0, ,124, podemos converter (transformar) os números decimais em frações e somá-las: , 924 3, 6 + 0, , 124 = = = 16, Regra prática (1º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula. (2º) Adicionamos ou subtraímos como se fossem números naturais.

19 Usando a regra prática, podemos somar 3,6 + 0, ,124, fazendo: 123 Veja outro exemplo: Agora, vamos calcular 23,50-1, , , , , 924 Aula 5 Números decimais Mais uma vez, podemos transformar esses números decimais em frações ou, simplesmente, usar a regra prática como é mostrado a seguir. Multiplicação + 23, , 33 22, 17 Para calcular o produto 2,331 x 1,2, podemos converter os decimais em frações e multiplicá-las , 331 1, 2 = x = = 2, Regra prática (1º) Multiplicamos os números decimais como se fossem números naturais. (2º) Separamos no produto, da direita para esquerda, o total de casas decimais dos dois fatores. Usando a regra prática, temos: 02, , 2 x , casas decimais Multiplicando...1 casa decimal Multiplicando...4 casas decimais Produto

20 124 e-tec Brasil Matemática Instrumental Divisão Vamos calcular (Dividendo) 6 25 (Divisor)? (Quociente) (1º) Multiplicando o dividendo por 10, o quociente ficará dividido por 10. Isto justifica a presença do algarismo 0, seguido de uma vírgula no quociente , (2º) Realizamos a divisão de 60 por 25. O resultado será 2 e o resto será ,2 10 (resto) (3º) O resto 10 corresponde a 10 décimos ou 100 centésimos, razão pela qual colocamos um zero (0) à direita do número ,2 100 (4º) Dividimos 100 por 25 para obter o quociente 4 e o novo resto será , (resto) A razão 6 25 inteiro. é igual a 0,24. O resultado é um decimal exato, mas não é um número

21 125 Atenção! Você já sabe que podemos multiplicar tanto o numerador como o denominador de uma fração por 10, 100 ou 1000, que o resultado não se alterará. Utilizando essas informações, poderemos efetuar divisões entre números decimais como se fossem divisões de números inteiros. Aula 5 Números decimais Exemplo: Calcular 7,2 0,4 NUMERADOR DENOMINADOR Se multiplicarmos o numerador e o denominador por 10, a fração irá alterar. Assim, tanto o numerador como o denominador serão números inteiros. Com isso, podemos cortar a vírgula. Veja: 7,2 7,2 X = = = 18 0,4 0,4 X 10 4 Você percebeu que os números decimais fazem parte do nosso cotidiano? Não é raro fazermos contas usando números decimais; por isso é importante saber como fazê-las de maneira correta. Dominar as operações elementares pode proporcionar grandes vantagens. Multimídia Gênio indomável Matemática também pode ser uma boa diversão no cinema; é só assistir ao filme Gênio indomável. Ele conta a história de um faxineiro chamado Will, que trabalhava em um dos mais renomados centros de pesquisa dos Estados Unidos. Sem nunca ter estudado, era capaz de resolver complexos problemas matemáticos. Um professor do Instituto descobre sua genialidade e tenta convencer o jovem a entrar para sua equipe. O problema é que Will é um rebelde com problemas com a polícia. É feito, então, um acordo com a justiça e, para que Will tenha liberdade, ele precisa fazer sessões de terapia. Will conhece então Sean, o psiquiatra, que provocará muitas mudanças em sua vida.

22 126 e-tec Brasil Matemática Instrumental Para finalizar esta aula e garantir que não você ficou com nenhuma dúvida, faça as atividades propostas. Atividade 5 Atende ao Objetivo 4 Calcule: a. 1,23 + 5,04 b. 0,81 + 1,32 c. 0,54 0,16 d. 7,24 + 3,09 e. 72, ,43 f. 0, ,76 Atividade 6 Atende ao Objetivo 4 Na última aula, você aprendeu a trabalhar com expressões. Agora, calcule o valor de cada uma das expressões a seguir: a. (1-0,25) + 2,3 b. (0,83 + 4,1) 1,225

23 127 Atividade 7 Atende ao Objetivo 4 De acordo com o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística), a décima estimativa da safra nacional de cereais, leguminosas e oleaginosas indica uma produção para o ano de 2008 da ordem de 145,6 milhões de toneladas, superior à obtida em 2007, que foi de 133,1 milhões de toneladas. Aula 5 Números decimais Fonte: Acesso em 7 de novembro de Qual a diferença, em toneladas, da produção anual de 2008 para a produção de 2007? Admitindo essa mesma variação na produção anual, qual será a estimativa da safra para o ano de 2009? Atividade 8 Atende ao Objetivo 5 Calcule: a. 0,2. 8 b. 3,58. 0,23 c. 0,36. 0, 501 d. 10,0. 0,5

24 128 e-tec Brasil Matemática Instrumental Atividade 9 Efetue as seguintes operações: a. 0,34 x 10 b. 0,0453 x 100 c. 0, Atende ao Objetivo 5 d. 0, Atividade 10 Atende ao Objetivo 5 Calcule o valor das expressões: a. (0,21. 0,5) : 1,05 b. (0,55 + 0,2). 0,2 : 0,3 Atividade 11 Atende ao Objetivo 5 Uma fábrica produziu 81,5 kg de queijo e quer fazer pacotes, contendo 0,25 kg de queijo em cada. a. Quantos pacotes poderão ser feitos? b. E com 100kg, quantos pacotes podem ser feitos?

25 129 Atividade 12 Atende ao Objetivo 5 A milésima parte dos habitantes de uma cidade tem mais de 60 anos. Se essa cidade tiver habitantes, quantas pessoas terão mais 60 anos? Aula 5 Números decimais Resumindo... Números decimais são todos os números que podem ser escritos como uma fração cujo denominador é um múltiplo de 10. O lugar ocupado pelo algarismo indica a ordem que ele ocupa, ou seja, milhar, centena, dezena, unidade, décimo, centésimo, milésimo etc. Um número decimal não se altera quando retiramos ou acrescentamos um ou mais zeros à direita da sua parte decimal. Para multiplicar um número decimal por 10, 100, 1000 etc., basta deslocar a vírgula uma, duas, três etc. casas para a direita. Para dividir um número decimal por 10, 100, 1000 etc., basta deslocar a vírgula uma, duas, três etc. casas para a esquerda. Para somarmos ou subtrairmos números decimais, primeiro igualamos o número de casas decimais, colocando zeros; depois, ajeitamos as parcelas de forma que fique vírgula em baixo de vírgula. Por fim, somamos ou diminuímos normalmente, colocando a vírgula alinhada com as outras. A multiplicação de decimais é feita como se fossem números naturais; as casas decimais são o total de casas decimais das parcelas. Para dividirmos números decimais, primeiro igualamos o número de casas decimais das duas parcelas, depois retiramos as vírgulas e assim fazemos a divisão como números naturais.

26 130 Informação sobre a próxima aula e-tec Brasil Matemática Instrumental Na próxima aula, vamos estudar as expressões aritméticas. Respostas das Atividades Atividade 1 a. Um inteiro e sete décimos. b. Cinco inteiros e vinte e três centésimos. c. Doze inteiros e seis milésimos. d. Oito décimos. e. Três milésimos. f. Vinte e cinco centésimos. g. Cinqüenta e quatro inteiros e nove décimos. h. Cento e vinte e três inteiros e cinco centésimos. Atividade a. b. c. d Atividade 3 a. 0,008 b. 5,4 c. 1,38 d. 0,041 Atividade 4 R$ 0,95 > R$ 0,55 > R$ 0,40 > R$ 0,30 Atividade 5 a. 1, , 0 4 6, 2 7 e. 7 2, , , b. 2,13 f. 0,7601 c. 0,38 d. -4,15

27 Atividade 6 Como já foi visto na aula passada, devemos efetuar as contas que estão dentro dos parênteses, para depois calcular o resultado final. a. 3,05 b. 3,705 Atividade 7 Para saber a diferença da produção anual de 2007 para 2008 basta fazer: 131 Aula 5 Números decimais 145,6 133,1 = 12,5 milhões de toneladas. Agora, mantendo essa diferença constante, precisamos saber quanto será produção para Para isso basta fazer: 145,6 (produção de 2008) + 12,5 (diferença de 2007 para 2008) = 158,1 milhões de toneladas. Logo, a produção estimada para 2009 será de 158,1 milhões de toneladas. Atividade 8 a. 0, 2 x 8 1, 6 b. 0,8234 c. x 0000, x 0, , d. 5 Atividade 9 a. 3,4 b. 4,53 c. 0,0074 d. 0,0001

28 132 e-tec Brasil Matemática Instrumental Atividade 10 a. 0,21. 0,5 = 0,105 Assim, 0,105 : 1,05 = 0,1 1,05 1,05 0 (resto) 0,1 b. 0,55 + 0,2 = 0,75 Agora, 0,75. 0,2 = 0,15 Assim, 0,15 : 0,3 = 0,5 0,15 0,3 0 (resto) 0,5 Atividade 11 a. 81,5 : 0,25 = 326 pacotes b. 100 : 0,25 = 400 pacotes Atividade 12 A milésima parte significa dividir por mil. Como a cidade tem habitantes, basta fazer : 1000 = 150. Logo, 150 pessoas dessa cidade têm mais de 60 anos de idade. Referências bibliográficas GIOVANNI, José Ruy et alii. A conquista da Matemática. São Paulo. Editora FTD ª edição. 5ª série. IEZZI Gelson. et alii. Matemática e Realidade. São Paulo. Atual Editora ª Ed. 5ª série. MORI, Iracema & ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: idéias e desafios. São Paulo. Editora Saraiva ª Edição. 5ª série. Site consultado < Acesso em 7 de novembro de 2008.