ESTUDOS DIRIGIDOS UM

Transcrição

1 ESTUDOS DIRIGIDOS UM Nome do aluno (a): Professora: Número: Turma: Turno:

2 Este material tem por objetivos: Revisar conteúdos básicos do Ensino Fundamental Minimizar dificuldades em matemática e disciplinas afins. Promover ações que possibilitem sobrepujar dificuldades cognitivas apresentadas pelo aluno ao longo do processo de aprendizagem. Conteúdos abordados: Regra de sinais Operações com números: inteiros e racionais. Equações do primeiro e segundo grau. Regra de três. Porcentagem e proporção. Produtos notáveis Habilidades e competências: Desenvolver o raciocínio lógico para resolver cálculos e situações-problemas envolvendo conhecimentos numéricos Ampliar seu conhecimento algébrico como recurso para a construção de argumentação e resolução de situações-problemas Atenção: Lembre-se que o estudo dirigido é uma atividade para ser realizada em casa, a fim de complementar os estudos de sala de aula. Caso o aluno (a) tenha dificuldade em compreender as situações relatadas neste estudo deve comparecer no reforço oferecido pela escola em turno inverso outra opção é aproveitar o grupo de estudos no facebook para debater com os colegas as dúvidas existentes. Á todos uma boa atividade!!! 2

3 Regra de sinais Na adição e subtração: Sinais iguais: soma-se e conserva o mesmo sinal Ex: -5-2= = 7 Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do maior Ex:-5+2= = 3 Na multiplicação e divisão: Sinais iguais: resultado positivo Ex: -2. (-2)= = 4 Sinais diferentes: resultado negativo Ex: -2. 2= -4 Cuidados especiais: Ex: -3 ( 4-5)= = -7+5=-2 Obs: sempre que tiver um sinal negativo na frente dos: parênteses ( ), colchetes [ ] e ou chaves { }, troque todos os sinais de dentro. Ex: -3.(-4x+5-2y)= 12x-15+6y Obs: O -3 multiplica todos os elementos que estão dentro dos parênteses não se esqueça de aplicar a regra de sinais Ex: 3x+7k+6-5-5k+4x 3x+4x+7k-5k+6-5= 7x +2k+1 Obs: 1. Como você não tem uma igualdade você não pode encontrar o valor de alguma das letras e sim só agrupá-las para reduzir os termos que tens. 2. Não esqueça: você só pode somar termos semelhantes, isto é, x com x, y com y, termo independente com termo independente*. *termo independente é o número que está sozinho sem nenhuma letra. 3

4 Números decimais Transformação de números decimais em frações decimais Observe os seguintes números decimais: 0,8 (lê-se "oito décimos"), ou seja, 8/10. 5,36 (lê-se "quinhentos e trinta e seis centésimos ou cinco inteiros e 36 centésimos"), ou seja, 536/100. 0,047 (lê-se "quarenta e sete milésimos"), ou seja, 47/1000 De modo prático o que podemos concluir: Uma casa decimal é igual a 1 zero no denominador, 2 casas decimais é igual a 2 zeros no denominador e assim por diante. Operações com números racionais decimais Adição Considere a seguinte adição: 1,28 + 2,6 + 0,038 Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros se necessário; 2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula; 3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais. 4

5 Exemplos: 1,28 + 2,6 + 0,038 35,4 + 0, ,14 + 1,8 + 0,007 Substrução É o mesmo processo da adição, podem vamos subtrair. Multiplicação Considere a seguinte multiplicação: 3,49 2,5 Método prático Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais. Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma dos números de casas decimais do fatores. Exemplos: 3,49 2,5 1,842 0,013 5

6 Obs: Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o método prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto é igual ao número de casas decimais do fator decimal. Exemplo: 5 0,423 = 2,115 Os números decimais podem ser transformados em porcentagens. Exemplos 0,05 = 5/100= 5% 1,17 = 117/100= 117% Divisão 1º: Divisão exata Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05 Método prático 1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros; 2º) Suprimimos as vírgulas; 3º) Efetuamos a divisão. 6

7 Exemplos: 1,4 : 0,05 Igualamos as casa decimais: 1,40 : 0,05 Efetuado a divisão Suprimindo as vírgulas: 140 : 5 Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é : 0,015 Igualamos as casas decimais 6,000 : 0,015 Efetuando a divisão Suprimindo as vírgulas : 15 Logo, o quociente de 6 por 0,015 é ,096 : 1,6 Efetuando a divisão Igualamos as casas decimais 4,096 : 1,600 Suprimindo as vírgulas : Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896 unidades. Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente. Para a determinação dos décimos, colocamos uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero resto, uma vez que 896 unidades corresponde a décimos. Continuamos a divisão para determinar os centésimos acrescentando outro zero ao novo resto, uma vez que 960 décimos correspondem a 9600 centésimos. O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo. 7

8 Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56. 0,73 : 5 Efetuando a divisão Igualamos as casas decimais 0,73 : 5,00 Suprimindo as vírgulas 73 : 500 Podemos prosseguir a divisão, colocando uma vírgula no quociente e acrescentamos um zero à direita do três. Assim: Continuamos a divisão, obtemos: Logo, o quociente de 0,73 por 5 é 0,146. Em algumas divisões, o acréscimo de um zero ao resto ainda não torna possível a divisão. Nesse caso, devemos colocar um zero no quociente e acrescentar mais um zero ao resto. Exemplos: 2,346 : 2,3 Verifique 460 (décimos) é inferior ao divisor (2.300). Colocamos, então, um zero no quociente e acrescentamos mais um zero ao resto. Logo, o quociente de 2,346 por 2,3 é 1,02. 8

9 Observação: Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1.000,..., basta deslocar a vírgula para a esquerda uma, duas, três,..., casas decimais. Exemplos: Exercícios: 1)Calcule: a)12,2+3,9 b)0,45+0,865 c)14-9,73 d)5,4+0,309+2,26 e)0,9-0,477 f)0,076+0,33+1,5 g)21-18,77 h)1,66+1,066+1,666 2)Efetue os produtos: a)5x 6,7 b)13x 8,1 c)7x1,35 d)25x 0,88 e)7,8x 4,2 f)0,9x11,7 g)3,25x0,88 h)7,7x 4,4 3) Calcule as divisões: a)10,6: 2 i)13: 5,2 b)7,25: 5 j)21,4: 2,14 c)0,36: 3 l)0,14: 2,8 d)14,4: 12 m)5,12: 0,064 e)30,6: 20 n)1,87: 0,11 f)171,6: 26 o)15: 1,2 g)70,8: 0,6 p)3,045: 1,5 h)5: 0,8 q)0,16: 0,008 Obs: O desenvolvimento do cálculo deve aparecer 9

10 Respostas: 1)16,1 1,315 4,27 7,969 0,423 1,906 2,23 4,392 2)33,5 105,3 9, ,76 10,53 2,86 33,88 3)5,3 1,45 0,12 1,2 1,53 6, ,25 2,5 10 0, ,5 2,03 20 Frações Adição e subtração de números fracionários Temos que analisar dois casos: 1º) denominadores iguais Para somar ou subtrair frações com denominadores iguais, basta somar ou subtrair os numeradores e conservar o denominador. Exemplos: 2º) denominadores diferentes Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações. Obtendo o mmc dos denominadores temos mmc(5,2) = 10. Quando se tem denominador primeiro encontramos um denominador comum através do m.m.c. (só podemos dividir pelos números primos) 5,2 2 5,1 5 1,1 2x5=10 é o resultado do m.m.c 10

11 O resultado do m.m.c é o novo denominador este dividimos pelo anterior e o resultado multiplicamos pelo numerado ex: 10 : 5= 2.4=8 e 10:2=5.5=25 Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como nos exemplos abaixo: Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como no exemplo abaixo: Exercícios: 1. Resolva as operações abaixo e simplifique se possível. Obs: os decimais transforme em frações antes de resolver: 3 1 a) e) i) b) f)1,4. 20 j)1, c) g) :10 4 l)3,5 :15 7 d) - 0, h) - : m)12,

12 Respostas: -1/8 5/16-1/42-27/40 1/42 7/25 1/8-10/ /5 7/30 25/4 2. Resolva as expressões sendo: x=2, y=-1 e z=-3 x y a) x x 2 y b) x y. y x x y 3 z y y 2 c) z x 5 Respostas: 2 1 5/2 Equações do primeiro grau Resolução de uma equação do primeiro grau Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo: Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado. Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). 12

13 Exemplos: a). MMC (4, 6) = 12-9x = 10 => Multiplicador por (-1) ou regra de sinais com + = - 9x = -10 b) (x - 2) - 3. (1 - x) = 2. (x - 4). Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação: 2x x = 2x - 8 2x + 3x -2 x = x = -1 c)0,2x + 4=0 primeiro podemos transformar em fração 0, x x x=-4 4 x

14 Exercícios: Resolva as equações abaixo: a) 3.( x 2) 2.( x 2) c) ( 4 3x) 2 3.( x 1) e) 10x 3.( x 3) 5.( 2x 4) g)4x 7.( 2 x) 3 5 x i) x 2 4 2x 3 x 7 b) x 1 d) x 1 x f ) h)4.( 2 3x) 10x j)5x 4.( x 5) 4x 3 Respostas: -2-19/2-1/6-23/5-11/3-21/2 17/3-4/11 13/5-17/5 Definições Equações de 2º grau Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0; a, b, c IR e Exemplo: x 2-5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6. 6x 2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1. 7x 2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0. x 2-36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36. Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. a é sempre o coeficiente de x²; 14

15 b é sempre o coeficiente de x, c é o coeficiente ou termo independente. Equação completas e incompletas Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas. Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos: x² - 36 = 0 (b = 0) x² - 10x = 0 (c = 0) 4x² = 0 (b = c = 0) Resolução de equações incompletas Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade. Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais: 1º Caso: Equação do tipo. Exemplo: Determine as raízes da equação Solução Inicialmente, colocamos x em evidência: Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim: Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade: De modo geral, a equação do tipo e x=-b/a. tem para soluções 15

16 2º Caso: Equação do tipo Exemplos: Determine as raízes da equação Solução De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo raiz real caso negativo. seja um número Resolução de equações completas Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara. x b 2a, onde b 2 4. a. c ou x - b 2 b 4. a. c 2a A partir da equação, em que a, b, c IR e, desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva). 16

17 Exemplo:: Temos: a=7 b=13 c=-2 Resumindo Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos: Para Para Para, a equação tem duas raízes reais diferentes., a equação tem duas raízes reais iguais., a equação não tem raízes reais. Outro modo para encontrar as raízes Soma das raízes (S) = x +x = -b/a Produto das raízes (P) =x. x =c/a Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações. 17

18 Encontrar as raízes da equação: x²-5x+6=0 Solução Pensar que dois números somados da +5 e estes mesmos números multiplicados resultam em +6. Isto é: + = 5 e x =6 tentanto veremos que estes números são 2 e 3. Logo as raízes são 2 e 3. Exercícios: Achar as raízes das equações: a) x 2 - x = 20 b) x 2-3x = 4 c) x 2-8x + 7 = 0 d)-x²-5x=0 e)-2x²+8=0 f)-x²-4x=0 g)5x²+3x=-5 Respostas: {-4,5} {-1,4} {1,7} {-5,0} {-2,2} {-4,0} Ǿ (vazio não há raizes reais) Regra de três simples É um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. 18

19 Passos utilizados numa regra de três simples: 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. 2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 3º) Montar a proporção e resolver a equação. Exemplos: 1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m 2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2, qual será a energia produzida? Solução: montando a tabela: Área (m 2 ) Energia (Wh) Identificação do tipo de relação: 1, ,5 x Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 19

20 2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h? Solução: montando a tabela: Velocidade (Km/h) Tempo (h) x Identificação do tipo de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos. 20

21 3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: montando a tabela: Camisetas Preço (R$) x Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas. 4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho? Solução: montando a tabela: Horas por dia Prazo para término (dias) x Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 21

22 Em 32 dias a equipe fará o mesmo trabalho. Exercícios: 1)Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? (R:112) 2) Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? (R:4) 3) Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? (R:16) 4) Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? (R:8) 5) Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário? (R:8) 6) Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? (R:90) 7) Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros? (R:4) 8) Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? (R:10) 9) Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²? 22

23 (R:6) 10) Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? (R:3) 11) Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa? (R:10) 12) Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantas peças produzirá em 1 hora? (R:240) 13) Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 75 km /h quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso? (R:4) 14) Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ ,00 quanto custarão 7,2 Kg desse mesmo produto? (R:43.200,00) 15) Um ônibus, à velocidade de 90 Km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levaria se aumentasse a velocidade para 120 Km/h? (R:3) Porcentagem É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos: a) A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 b) O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 c) Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques. 23

24 Razão centesimal Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos: Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos. Ou se preferir monte uma regra de três Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. 24

25 Exemplos: a) Calcular 10% de 300. Ou 0,1. 300= 30 b) Calcular 25% de 200kg. Ou 0, =50 Logo, 50kg é o valor correspondente à porcentagem procurada. c) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez? Portanto o jogador fez 6 gols de falta. d) Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e a revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? 25

26 250. x = 300 neste caso x é o percentual total X=300/250= 1,2 passando para percentual temos 1,2. 100= 120% podemos perceber que há um aumento de 20% logo Ou regra de três % 300 x 250x= x=30 000/250= 120% isso significa =20% Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAÇÃO. Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo: Acréscimo ou Lucro 10% 15% 20% 47% Fator de Multiplicação =110% = 1, =115% = 1, =120% = 1, =147%= 1,47 0bs:110/100=1,10 e assim por diante Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 1,10 = R$ 11,00 26

27 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Desconto 10% 25% 34% 60% Fator de Multiplicação = 90%= 0, =75%= 0,75 100=34= 66% 0, =40% 0,40 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 x 0,90 = R$ 9,00 Exercícios: 1. Determine: a) 35% de 70 c) 22% de 250 b) 45% de 120 d)40% de 320 Respostas: 24, Calcule as porcentagens correspondente a: a) 30 alunos de 40 alunos. c) 60kl de 150kl. 27

28 b) 90 motos de 200 motos. d)15 litros de 75 litros. Respostas: 75% 45% 40% 20% 3. Resolva: a) Aumento de 15% num produto que custa 120 b) Desconto de 5% num produto de 150 reais c) Aumento de 7% num produto que custa 200 d) Desconto de 2% num produto de 40 reais Respostas: , ,20 4. Resolva os problemas: a)ao comprar um par de sapatos por R$ 43,00 obtive um desconto de 10% por ter pago à vista. Qual o valor do desconto? Quanto paguei pelo par de sapatos?r: 4,30 desconto e 38,70 valor do sapato b) Uma pessoa comprou um objeto cujo preço era R$ 250,00 por R$ 235,00. Qual foi a taxa percentual de desconto? R:6% c) Numa classe de 35 alunos houve, em determinado dia, 20% de faltas. Quantos alunos faltaram neste dia? Quantos alunos estavam presentes? R: 7 faltas 28 presentes d) Para fazer um exame inscreveram-se 3000 candidatos. Compareceram 80% dos inscritos. Quantos compareceram? R:2400 e) Um vendedor ganha 4% de comissão sobre o que vende. Num determinado dia, vendeu R$ 2400,00. Quanto ele ganhou neste dia? R:96 28

29 f) Um clube possui 5200 sócios com direito a voto. Para a escolha do novo presidente votaram 3900 sócios. Qual a taxa percentual dos que deixaram de votar? R: 25% Extraído raízes exatas Para extrair uma raiz exata quadrada, basta procurar um número inteiro que multiplicado por ele mesmo resulta no valor que está dentro do radical. Exemplo: 81= 9, pois 9x9=81 Se falarmos de raízes com índices maior que 2, o processo é o mesmo veja: Exemplos: 3 8 2, pois 2x2x2= , pois 2x2x2x2=16 Extraído raízes quadradas não exatas Para extrair uma raiz quadrada não exata, basta procurar um número real que multiplicado por ele mesmo resulta no valor que está dentro do radical, porem vamos será um número aproximado. Dica: primeiro vamos decompor o número para tornar a raiz mais simples. Decompor Exemplos: 12 = 2 2 x 3 = 2 3 Bom 3 está entre as raízes exatas 1 e 4, assim a resposta é um número entre 1 e 2 se testarmos veremos que 1,7 x 1,7 = 2,89 que é aproximo de 3. Ultima etapa é multiplicar 1,7x2=3,4 Logo a raiz aproximada de 12 é 3,4 29

30 Você pode também fazer: 12 está entre as raízes exatas 9 e 16, assim a resposta é um número real entre 3 e 4 se testarmos veremos que é 3,4 pois 3,4x3,4=11,56 Exercícios: Encontre as raízes de: a) 15 b) 22 c) 7 d) 11 e) 38 f) g) h) 4 81 i) j) 10 1 Respostas: 3,87 4,69 2,64 3,31 6, Produtos notáveis Quadrado da soma de dois termos O quadrado da soma de dois termos a e b é indicado por ( a + b )² Para calculá-lo, basta multiplicar a + b por a + b: ( a + b )² = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b )² = a.a + a.b + b.a + b.b ( a + b )² = a² + a.b + b.a + b² Como a.b = b.a vem que: 30

31 (a + b)² = a² + 2ab + b² O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. Exemplos: a)( x + 3 )² = x² + 2.x.3 + 3² = x² + 6x + 9 b)( 2x + 1)² = (2x)² + 2.2x.1 + 1² = 4x² + 4x + 1 Quadrado da diferença de dois termos O quadrado da diferença entre dois termos a e b é indicado por (a b)² Para calculá-lo basta multiplicar a b por a b: (a b)² = (a b)(a b) (a b)² = a² - ab ba + b² (a b)² = a² - 2ab + b² O quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. Exemplos: a)(x 3)² = x² - 2.x.3 + 3² = x² - 6x + 9 b)(5x 3y)² = (5x)² - 2.5x.3y + (3y)² = 25x² - 30xy + 9y² Produto da soma pela diferença de dois termos (a + b).(a b) = a.a + a.(-b) + b.a + b.(-b) = a² - ab + ba b² = a² - b² (a + b)(a b) = a² - b² O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo. Exemplos: a)(x + 2)(x 2) = x² - 2² = x²

32 b)(2a + 4)(2a 4) = (2a)² - 4² = 4a² - 16 Curiosidade: Calcular o produto = (50 + 3)(50 3) = 50² - 3² = = 2491 Exercícios: Resolva os produtos notáveis: a) (x-3)² b) (2x+3)² c) (x+y)² d) (x-z)² e) (x-2). (x+2) f) (2x-4).(2x+4) Respostas: X²-6x+9 4x²+12x+9 x²+2xy+y² x²-2xz+z² x²-4 4x²-16 32