PRÉ-VESTIBULINHO MATEMÁTICA. Leonardo Garibaldi Rigon Luís Otávio Lima Rochel

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1 PRÉ-VESTIBULINHO MATEMÁTICA Leonardo Garibaldi Rigon Luís Otávio Lima Rochel Setembro/2012

2 MATEMÁTICA FRAÇÃO Algumas vezes, a/b é uma número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de a/b? Uma fração envolve a seguinte ideia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse. Exemplo: Imagine que dividimos um chocolate em 4 partes iguais. João, um avestruz, comeu 3 partes e nos restou apenas uma. Podemos dizer que João comeu ¾ do chocolate e nos restou ¼. Adição e subtração de números fracionários Temos que analisar dois casos: 1º) Se os denominadores forem iguais: Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e manter o denominador. O processo da subtração é o mesmo: mas ao invés de somar, subtrairemos os numeradores = = 2 8 2º) Se os denominadores foram diferentes: Nesse caso, devemos obter frações equivalentes, ou seja, de denominadores iguais ao mmc dos denominadores da frações. Exemplo: Somar 4/5 e 5/2 Obtendo o mmc dos denominadores, temos mmc(5,2) = = x = x 8= x 5 2 = x = x 25= x = Após obter os denominadores iguais, procedemos com a operação assim como fizemos com o primeiro caso. Multiplicação e divisão de números fracionários Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador, assim como no exemplo abaixo: = 8 15 Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Exemplo abaixo: = = 25 6 Resolução de uma equação Resolver uma equação consiste em realizar operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar o valor de x. Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplo: Resolva a equação: 3x 4 = 5 6 9x 12 = x= 10 x= 10/9

3 REGRA DE TRÊS Regra de três simples A regra de três simples consiste em um cálculo onde se relaciona quatro valores, onde um deles é desconhecido. A regra de três apresentará relações de grandezas e proporcionalidade. 1º Exemplo: Elvis Presley comprou 5 chinelos e pagou R$75,00. Quanto ele pagaria se comprasse 12 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: 5 12 = 75 x Observe que aumentando o número de chinelas, o preço aumenta também. Podemos afirmar que as grandezas tratadas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: 5 12 = 75 x 5x= x= x= 180 Logo, Elvis Presley pagaria R$180,00 pelos 12 chinelos. 2º Exemplo: Uma banana, deslocando-se a uma velocidade média de 350 m/s, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 700 m/s? = 3 x Observe que, quando aumentamos a velocidade, o tempo do percurso diminui. Podemos afirmar que as grandezas anteriores são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: = 3 x = x = 700.x 1050= 700x 1050/700= x x= 1,5 Logo, o tempo desse percurso seria de 1,5 horas ou 1 hora e 30 minutos. Regra de três composta A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Exemplo: Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³? Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: 20 x = Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o X (1ª coluna). A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação entre horas e caminhões é inversamente proporcional (seta para cima na 2ª coluna). Aumentando o volume da areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

4 20 x 20 x = = x = = 800x = x x= x = Logo, serão necessários 25 caminhões. Proporções Com 36 laranjas, uma fábrica consegue fabricar 9 caixas de suco de um litro. Observe a razão laranja-suco: (simplificando por 9)= = 4 1 Nesse caso, podemos afirmar que a igualdade 36/9 = 4/1 é uma proporção. Assim, proporção é a igualdade entre duas razões. No exemplo dado, poderíamos simplificar o enunciado dizendo que para cada 4 laranjas, uma fábrica faz uma caixa de suco. Elementos de uma proporção Dados quatro números racionais a, b, c e d, não nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim: a b = c ou a:b= c: d d Lê-se a está para b assim como c está para d. Os números a, b, c e d são os termos da proporção, onde: b e c são os meios da proporção; a e d são os extremos da proporção. Exemplo: Dada a proporção 3:4 = 27:36, temos: Meios: 4 e 27; Extremos: 3 e 36. Propriedade fundamental das proporções Observe as seguintes proporções: 1º) 3:4 = 30:40 Produto (isto é, resultado da multiplicação) dos meios: 4.30 = 120 Produto dos extremos: 3.40 = 120 2º) 5:8 = 45/72 Produto dos meios: 8.45 = 360 Produto dos extremos: 5.72 = 360 De um modo geral, a propriedade fundamental das proporções nos diz que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios. a:b = c:d a.d = b.c Porcentagem É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, número ou quantidade, sempre tomando por base 100 unidades. O preço da sebica teve um aumento de 15%. Significa que em cada R$100,00 houve um acréscimo de R$15,00. O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100,00 foi dado um desconto de R$10,00. Razão centesimal Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal.

5 7 100, , , Podemos representar uma razão centesimal de outras formas: 7/100 = 0,07 = 7% 125/100 = 1,25 = 125% As expressões 7% e 125% são chamadas de taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema: João vendeu 50% das suas 50 bolas. Quantas bolas ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de bolas(50) % de 50 = 50 = = 25 Logo, João vendeu 25 bolas, que representa a porcentagem procurada. Portanto, chegamos a seguinte definição: Porcentagem é o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Calcular 10% de 300: % de 300 = 300 = = 30 Calcular 25% de 200kg: % de 200 = 200 = = 50 Se eu comprei uma ação de um clube por R$250,00 e revendi por R$300,00, qual a taxa percentual de lucro obtida? Montaremos uma equação, onde somando os R$250,00 iniciais com a porcentagem que aumentou em relação aos R$250,00 resulte em R$300, x 100 = x 100 = x = 5000 x = = 20 Logo, a taxa percentual de lucro foi de 20%. Uma dica importante: o Fator de Multiplicação: Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10. 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será: Fator de multiplicação = 1 taxa de desconto (na forma decimal) Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10. (1 0,1) = x 10. 0,9 = x R$ 9,00 = x TRANSFORMAÇÂO DE UNIDADES Volume: Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplo: 2,45m³ = dm³. Comprimento ou peso:

6 Na transformação de unidades de comprimento ou peso, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de comprimento ou peso é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplo: 100cm = 1m. GEOMETRIA Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura. Se tivermos um triangulo com lados de 3, 4 e 5 cm de lado, seu perímetro será de 12 cm. Porem se todos os lados da figura forem iguais (como um quadrado) o perímetro será o tamanho do lado multiplicado pelo numero de lados. Um quadrado com lado de comprimento 5cm terá um perímetro de 20cm. Perímetro de um círculo: se cortássemos um circulo e medirmos o comprimento teríamos o perímetro (C = P). Independente do tamanho do circulo, quando dividimos o seu comprimento (C) pela medida do seu diâmetro (D), encontramos sempre uma constante, com valor aproximadamente igual a Sendo assim: Logo: C D = 3,14... = π (pí). C = π C= D.π P= 2r.π D EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim significa igual. Exemplos de equações: 2x + 8 = 0 5x 4 = 6x + 8 3a b c = 0 Equação geral do primeiro grau: ax + b = 0, onde a e b são números conhecidos e maiores que zero. Esses problemas são resolvidos de maneira simples: Subtraindo b dos dois lados, obtemos ax = -b e dividindo os dois lados por a, temos: x = b a Considere a equação 2x 8 = 3x 10: A letra x é a incógnita da equação, ou seja, é o número desconhecido. Na equação acima a incógnita é x; tudo o que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede é o 2º membro. Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação. No caso, 2x, -8, 3x e -10 são todos termos da equação. Pares ordenados Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem. Denominamos esses números de par ordenado. (2,1), (1, ½) Assim, indicamos por (x,y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento, Observações: 1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: (x,y) é diferente de (y,x). Exemplo: (1,3) é diferente de (3,1). 2. Dois pares ordenados (x,y) e (r,s) são iguais somente se x=r e y=s. Representação gráfica de um par ordenado Podemos representar um par ordenado através de um ponto em um plano. Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

7 Coordenadas cartesianas Os números do par ordenado são chamados coordenadas cartesianas. A(3, 5) 3 e 5 são coordenadas do ponto A. Denominamos de abcissa o 1º número do par ordenado e ordenada o 2º número desse par. Equações de primeiro grau Considere a equação: 2x - 6 = 5 3y Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, pode ser transformada numa equação equivalente mais simples. Assim: 2x + 3y = x + 3y = 11 Essa é uma equação do primeiro grau na forma ax + by = c Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode ser reproduzida à forma ax + by =c, sendo a e b números diferentes de zero. Na equação ax +by = c, denominamos: x e y - variáveis ou incógnitas; a - Coeficiente de x; b - Coeficiente de y; c - termo independente; x+y = 30 x-4y = 10-3x-7x = -48 2x-3y = 0 Solução de uma equação de primeiro grau com duas variáveis Quais os valores de x e y que tornam a sentença x 2y = 4 verdadeira? Observe os pares abaixo: x = 6, y = 1 x = 8, y = 2 x-2y = 4 x-2y = = = = = 4 4 = 4 (verdade) 4 = 4 (verdade) Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x-2y=4. Assim, os pares (6,1) e (8,2) são algumas das soluções dessa equação. Equações do primeiro grau com duas variáveis têm infinitas soluções: infinitos (x,y). Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo: Determine uma solução para a equação 3x y = 8. Atribuímos para x o valor 1. Observe que podemos atribuir qualquer valor à x, resultando em um valor diferente para y. No caso, só precisamos de uma solução, então usaremos um valor simples. 3x y = y = 8 3 y = 8 -y = 8 3 -y = 5 (Multiplicaremos os dois lados por -1, para inverter os sinais) y = -5 O par ordenado (1, -5) é uma das soluções dessa equação. Resumindo: Um par ordenado (r,s) é uma solução de uma equação ax + by = c (a e b diferentes de zero),

8 caso x = r e y = s e verifica-se igualdade, a sentença é verdadeira. Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções. Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x,y). Dispondo de dois pares ordenados de uma equação, podemos representá-las graficamente num plano cartesiano determinando, através da reta que os une, o conjunto das soluções dessa equação. Exemplo: Construir um gráfica da equação x + y = 4 Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação. Aqui, usaremos A(4,0) e B(0,4). A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano: A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação. Sistema de equações Considere o seguinte problema: Pipoquinha, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou? Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber: x + y = 25 (total de arremessos) 2x + 3y = 55 (total de pontos) Essas equações contêm um sistema de equações. Costuma-se indicar o sistema usando chave. x + y = 25 2x + 3y = 55 O par ordenado (20, 5) resolveria as duas equações simultaneamente, é esse par é chamado de solução do sistema. Um sistema com duas equações e duas variáveis possui apenas uma solução. Resolução de sistemas A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, as duas equações. Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação. Estudaremos a seguir alguns métodos: Método de substituição x +y = 4 2x + 3y = 3 Solução: Determinamos o valor de x na 1ª equação. x = 4 y

9 Substituímos esse valor na 2ª equação: 2x + 3y = 3 2.(4-y) + 3y = 3 8-2y+3y = y = 3 y = 3 8 y = -5 Agora que temos o valor de y, podemos usá-lo na 1ª ou na 2ª equação para determinar o valor de x. No nosso caso, usaremos a 1ª equação. x+y = 4 x-5 = 4 x = 9 A solução do sistema é o par ordenado (9,-5). Método da adição Observe a solução de cada um dos sistema a seguir, pelo método da adição. Resolva o sistema abaixo: Solução: x + y = 10 x y = 6 Adicionaremos membros a membros as equações: x + y = 10 x y = 6 x + x = x = 16 x = 16/2 x = 8 Com o valor de x, podemos determinar o valor de y. x + y = y = 10 y = 10-8 y = 2 A solução do sistema é o par ordenado (8, 2). EQUAÇÕES DE SEGUNDO GRAU Definições: Denomina-se equação de 2º grau na incógnita x, toda equação da forma: ax²+bx+c =0; a, b, c pertencem a R e a diferente de zero. Exemplo: x² - 5x + 6 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6; 6x² -x -1 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1; 7x² - x = 0 é uma equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c =0; x² - 36 = 0 é uma equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes. Lembrando que: a é sempre coeficiente de x²; b é sempre coeficiente de x; c é sempre coeficiente de x 0 ou termo independente; Equações completas e incompletas: Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. x² - 9x + 20 = 0 e x² + 10x 16 = 0 são equações complexas. Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c são diferentes de zero.

10 x² - 36 = 0 e x² - 2x = 0 são equações incompletas. Raízes de uma equação do 2º grau: Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes. Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira. O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. 1) Dentre os elementos do conjunto A = {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação x² - x 2 = 0? Para x = -1: (-1)² - (-1) - 2 = = 0 0 = 0 (-1 é raiz); Para x = 0: (0)² - (0) 2 = = 0-2 = 0 (0 não é raiz); Para x = 1: (1)² - (1) 2 = = 0-2 = 0 (1 não é raiz); Para x = 2: (2)² - (2) 2 = = 0 0 = 0 (2 é raiz); Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim: x = ou x 8 = 0 x = 8; De modo geral, a equação do tipo ax² + bx = 0 tem para soluções x = 0 e x = -b/a. 2º caso: Equação do tipo ax² + c = 0 Exemplo: determine as raízes da equação 2x² - 72 = 0. Solução: 2x² = 72 x² = 36 x= 36 ou x= 36 x = ±6 RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Catetos e hipotenusa: Em um triangulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos. Observe a figura: Logo, -1 e 2 são as raízes da equação. 2) Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p -1)x² - 2px 2 = 0. (2p -1)*2² - 2p*2 2 = 0 (2p 1)*4 4p 2 = 0 8p 4 2p 2 =0 4p 6 = 0 4p = 6 p = 6/4 p =3/2 Seno, Cosseno e Tangente Considere um triângulo retângulo BAC. Logo, o valor de p é 3/2. Resolução de equações incompletas: 1º caso: Equação do tipo ax² + bx =0 Exemplo: determine as raízes da equação x² - 8x = 0. Solução: Inicialmente colocamos x em evidencia. x.(x 8) = 0 Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:

11 Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. medida do catetooposto Seno= medida da hipotenusa = a b Cosseno de um ângulo ajuda é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e medida da hipotenusa. Cosseno= medida docateto adjacente = c medida da hipotenusa b Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. medida docateto oposto Tangente= medida docateto adjacente = c a EXEMPLO 3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menor que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa. Ângulos Podemos classificar um ângulo em agudo, reto, obtuso e raso. Ângulo agudo é o ângulo cujo valor é menor que 90º. Os ângulos de 30º, 45º e 60º são ângulos agudos. Ângulo reto é aquele cujo valor é igual a 90º. Ângulo obtuso é todo ângulo que é maior que 90º. Os ângulos de 120º, 135º e 150º são ângulos obtusos. Ângulo raso é aquele cujo valor é igual a 180º. Retas perpendiculares As retas r e s da figura abaixo são concorrentes e formam entre si quatro ângulos retos. senb= 9 15 = 3 5 cosb= = 4 5 tgb= 9 12 = 3 4 senc = = 4 5 cosc = 9 15 = 3 5 tgc= 12 9 = 4 3 Observações: 1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre o seno e o cosseno de seu ângulo. Seno Tangente = Cosseno 2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo. Dizemos que as retas r e s são perpendiculares e indicamos Observação: Duas retas concorrentes que não formam ângulos retos entre si são chamadas de oblíquas.

12 Ângulos complementares Observe os ângulos na figura abaixo. Nesse caso, dizemos que os ângulos AÔB e CÔD são opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, isto é, são iguais. Verifique que AÔB + BÔC = 90º. Nesse caso, como a soma dos dois ângulos é igual a 90º, dizemos que os ângulos AÔB e BÔC são complementares. Ângulos suplementares: Observe os ângulos AÔB e BÔC na figura abaixo: As semi-retas OA e OC formam um ângulo raso. Verifique que AÔB + BÔC = 180º. Nesse caso, dizemos que eles são suplementares. Ângulos opostos pelo vértice Observe os ângulos AÔB e CÔD na figura abaixo. Verifique que OA e OC são semi-retas opostas, assim como OC e OD são semi-retas opostas também.