Conceituar número primo. Verificar se um número dado é ou não primo. Obter o Máximo Divisor Comum (M.D.C.) de dois ou mais números usando o conjunto

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2 Conceituar número primo. Verificar se um número dado é ou não primo. Obter o Máximo Divisor Comum (M.D.C.) de dois ou mais números usando o conjunto dos divisores, a decomposição em fatores primos e as divisões sucessivas. Determinar o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) de dois ou mais números naturais usando o conjunto dos múltiplos e a decomposição simultânea em fatores primos. Aplicar as etapas essenciais na resolução de problemas envolvendo frações.

3 Olá Meu nome é Fabiana Pfaffenseller, sou formada em Matemática Licenciatura. Neste semestre estarei atuando, junto com a bolsista Carine Vogt, na Oficina do PINAC Matemática. O objetivo geral da Oficina de Matemática do PINAC - UNISC é revisar alguns conteúdos desta área com o propósito de promover uma melhora no aprendizado e acompanhamento das disciplinas de Matemática do curso superior escolhido por cada um de vocês. Fabiana Pfaffenseller

4 Nesta aula iremos abordar a realização das quatro operações aritméticas fundamentais com os números reais, utilizando a adição, subtração, multiplicação e divisão. Iniciaremos a aula revisando o que é um Número Primo e realizaremos o cálculo do Máximo Divisor Comum (M.D.C.) e do Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.). A Matemática é uma ciência que relaciona o entendimento coerente e pensativo com situações habituais, sendo considerada uma das ciências mais aplicadas em nosso cotidiano. Carine Vogt

5 Na internet podemos encontrar livros e apostilas para o estudo da Matemática. Abaixo seguem links de mini manuais compactos de Matemática e apostilas dos níveis fundamental e médio, que podem ser utilizados durante a Oficina para auxiliá-los no entendimento dos conteúdos. Matemática Ensino Fundamental; Matemática Ensino Médio; Esp. Matemática Mídias Digitais e Didática; Netsaber Apostilas

6 Durante o estudo do m.m.c. e m.d.c. você poderá visualizar o vídeo MMC e MDC que encontramos no Youtube que pode auxiliá-lo durante a resolução dos exercícios.

7 Para compreender o estudo das frações, podemos acessar os portais abaixo e entender o que é uma fração, como ela se classifica, o que significa equivalência de frações e como podemos realizar os cálculos de adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação das frações. Portal Só Matemática Portal Matemática Didática

8 Observe a seguinte operação: 6 (1 + ). Você acha que seria 1? Você acha que seria 9? Para responder essa pergunta devemos recordar a Ordem de Prioridade Algébrica. Acesse Professor Cardy e descubra a resposta:

9 Vamos começar... O que significa número primo? Número Divisores 0 1,,, 4, , 1, 4 1,, 4 5 1, 5 6 1,,, 6 7 1, 7 8 1,, 4, 8 9 1,, ,, 5, , Um número que possui apenas dois divisores naturais distintos (o número 1 e ele mesmo) é denominado número primo.

10 Máximo Divisor Comum: o M.D.C. No dia das crianças, dona Clara queria distribuir 6 pirulitos e 4 bombons para algumas crianças da vizinhança. No entanto, ela queria dar a mesma quantidade de doces para cada uma delas. Para quantas crianças ela poderia dar doces? A resposta pode ser obtida determinando-se o M.D.C. entre 6 e 4. Para tanto, determinaremos o conjunto de divisores de cada um dos números dados, isto é: D(6) = { 1,,, 4, 6, 9, 1, 18, 6} D(4) = { 1,,, 6, 7, 14, 1, 4}

11 Assim, o conjunto de divisores comuns é dado pela intersecção entre os conjuntos de divisores: D(6) D(4) = { 1,,, 6}

12 Sendo finito o conjunto dos divisores, conclui-se que o conjunto dos divisores comuns também é finito. O M.D.C. entre os números dados é o maior dos divisores comuns entre elas. A resposta é que dona Clara poderia distribuir igualmente os doces para 6 crianças.

13 Determinação do M.D.C. de dois ou mais números Para se determinar o M.D.C. de dois ou mais números, procede-se da seguinte maneira: Decompõem-se os números dados em fatores primos; A seguir, forma-se o produto entre os fatores comuns a ambos, utilizando-se os fatores com menores expoentes. Exemplo: Determinar o M.D.C. (4,, 48) Solução: 4 = x = 5 48 = 4 x Logo: M.D.C. (4,, 48) = = 8

14 Uma forma prática de se obter o M.D.C. é decompor os números em fatores primos e os iguais, assim: Assim, M.D.C. (4,, 48) = x x = 8

15 Existe também o processo das divisões sucessivas. Para obter o M.D.C. entre 10 e 150, seguimos os seguintes passos: 1) Divide-se o maior número pelo menor: ) Pega-se o divisor e divide-se pelo resto: ) Faz-se esse processo até obter zero. Quando isso ocorre, o M.D.C. é o divisor dessa etapa. Nesse caso, o M.D.C. (150,10) = 0

16 Observações: 1) O M.D.C. entre dois números em que o maior é múltiplo do menor será o menor deles. Exemplo: m.d.c. (1, 4) = 1 ) O M.D.C. entre dois números primos entre si é a unidade. É o processo geralmente usado para se saber se dois números quaisquer são primos entre si. Exemplo: m.d.c. (1, 1) = 1 Se multiplicarmos (ou dividirmos) dois ou mais números por um mesmo valor, diferente de zero, o maior divisor comum ficará multiplicado (ou dividido) por esse mesmo valor. Exemplo: M.D.C. (45, 50) = 5 Multiplicando-se por, teremos: M.D.C. (15,150)= 15 = 5.

17 Mínimo Múltiplo Comum: o M.M.C. Analise a situação a seguir: De certa estação rodoviária, saem ônibus para o Paraná de 5h em 5h e para o Mato Grosso de 6h em 6h. Se os ônibus para o Paraná e para o Mato Grosso partirem juntos ao meio-dia, quando eles partirão novamente juntos? Para solucionar este problema, devemos determinar o M.M.C. entre 5 e 6. Para tanto, determinaremos o conjunto dos múltiplos de cada um, isto é: M(5) = {0, 5, 10, 15, 0, 5, 0,...} M(6) = {0, 6, 1, 18, 4, 0, 6,...} E, em seguida, o conjunto dos múltiplos comuns, isto é: M(5) M(6) = {0, 0,...}

18 Como o conjunto dos múltiplos de um número é infinito, e assim não podemos determinar o maior múltiplo comum, haverá, então, um número que será o menor múltiplo comum, diferente de zero, que será denominado Mínimo Múltiplo Comum. Portanto, concluímos que os ônibus partirão novamente juntos dali a 0h, ou seja, às 18h do dia seguinte.

19 Saiba As tabuadas são infinitas porque cada uma delas é o conjunto dos múltiplos de um número. Note que: 7 x 0 = 0 7 x 1 = 7 7 x = 14 7 x = 1 7 x 4 = 8 7 x 5 = 5 7 x 6 = 4 7 x 7 = Logo, M(7) = {0, 7, 14, 1, 8, 5,...}

20 Processo de decomposição simultânea É o processo mais usado na obtenção do M.M.C. entre dois ou mais números. Para isso decompomos, simultaneamente, os números dados em fatores primos. Exemplo: Portanto, o M.M.C. (4,, 48) =..... = 5. = 96

21 Observe que seguimos a ordem crescente dos números primos {,, 5, 7, 11,...}, ou seja, começa-se dividindo por (se houver números divisíveis por ), quando não for mais possível dividir por, passamos ao (se houver números divisíveis por ), seguimos com 5, 7, 11,..., até que todos os quocientes sejam 1. O número que não é divisível copia-se na linha em que estamos trabalhando. Outro exemplo: M.M.C. (4, 45) =.. 5 = 60 Esse processo pode ser utilizado com qualquer quantidade de números maiores que.

22 Determinação do M.M.C. de dois ou mais números Procede-se da seguinte maneira: Decompõem-se em fatores primos os números dados; A seguir, forma-se o produto entre os fatores comuns e não comuns, utilizando os fatores com maiores expoentes. Exemplificando, temos: Determinar o m.m.c. (4,, 48). Solução: 4 = x = 5 48 = 4 x Logo: M.M.C. (4,, 48) = 5. = 96

23 Como é fator comum em todos os números, tomamos o representante deles elevado ao maior expoente e multiplicamos, também, pelos números não comuns. Observações: 1) O M.M.C. entre dois números em que o maior deles é múltiplo do menos é o maior deles. Exemplo: M.M.C. (1, 4) = 4 ) O M.M.C. entre dois números primos entre si é o produto deles. Exemplo: M.M.C. (1, 1) = 156 ) Se multiplicarmos (ou dividirmos) dois ou mais números por um mesmo número diferente de zero, o menor múltiplo comum ficará multiplicado (ou dividido) por esse número. Exemplo: M.M.C. (5, 7) = 5 M.M.C. (0, 8) = 5. 4 = 140

24 Frações O numerador e o denominador são os termos de uma fração. -> Numerador -> Denominador Tipos de frações Frações próprias, impróprias e mistas. Assista aos vídeos e veja quais são os tipos de frações:

25 Operações com frações Adição de frações 1) Frações com o mesmo denominador: Neste caso, conservase o denominador comum e adicionam-se os numeradores. Assim, temos: = = ) Frações com denominadores diferentes: Neste caso, determina-se o M.M.C. entre os denominadores, reduzindo as frações aos mesmos denominadores, e recai-se no primeiro caso. Assim, temos: + = 5 M.M.C. (, 5) = = = =

26 Subtração de frações 1) Frações com o mesmo denominador: Neste caso, conservase o denominador comum e subtraem-se os numeradores. Assim, temos: = = ) Frações com denominadores diferentes: Neste caso, determina-se o M.M.C. entre os denominadores, reduzindo as frações aos mesmos denominadores. Assim temos: - = 5 M.M.C. (, 5) = = = = 1 15

27 Multiplicação de frações Para multiplicar várias frações, devemos formar uma nova fração que terá, para numerador, o produto dos numeradores; para denominador, o produto dos denominadores. Assim, temos: 5 1 x 5 x 1 x x = = 7 x 7 x 10 6

28 Saiba: Existe uma regra chamada regra do cancelamento que pode ser usada na multiplicação de frações. Veja como ela funciona: 5 10 x x Comece pelo. Olhe se nos denominadores tem algum ou múltiplo dele (está na sua tabuada). Faça a simplificação por dois, tanto o de cima como o 6 de baixo. Vá para o 10 e faça o mesmo com o 5. Por último, o 7 e o x x Agora é só multiplicar os números que sobraram no numerador e no denominador, resultando em: 1

29 Divisão entre frações Para dividir uma fração por outra, conservamos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso da segunda fração. Assim, temos: _ = 7 5 x = 14 15

30 Assista ao vídeo Divisão de Frações :

31 Potenciação de frações Para resolver a potenciação de uma fração, devemos elevar tanto o numerador como o denominador à potência indicada. Assim, temos: ( ) = = 8 7 Para praticar a potenciação, acesse o Jogo de Memória Potências!

32 Radiciação de frações Para resolver a radiciação de uma fração, devemos extrair a raiz indicada tanto do numerador como do denominador. Assim, temos: = 16 4 = 49 7

33 Propriedades das frações 1) Comutativa em relação a: a) Adição: + = b) Multiplicação: 7 7 x = x 5 5

34 ) Elemento neutro a) Adição: é zero + 0 = b) Multiplicação: é o número 1 x 1 =

35 ) Associativa a) Adição: b) Multiplicação:

36 Resolução de expressões numéricas A ordem de resolução é a seguinte: Passo 1: os parênteses; Passo : os colchetes; Passo : as chaves. Lembre-se que dentro de cada um dos passos devemos resolver as operações na ordem inversa da que aprendemos, isto é: 1º) Potências ou raízes; º) Multiplicações ou divisões; º) Adições e subtrações.

37 Veja os exemplos: 1)

38 )

39 Para a melhor compreensão do conteúdo, finalizamos com vários exemplos de operações aritméticas envolvendo todas as operações: 1) { 5 [0 (5 + ²): ] }= { 5 [0 (5 + 9): ] + 1}= { 5 [0 14: ] + 1}= { 5 [0 7] + 1}= { }= { } =

40 )

41 )

42 4) (,5 +. 1,45) ( 1, : 5,5) = (,5 +,90) ( 0,4,5) = ( 0,60) (,74) = 0,60 +,74 =,14

43 5)

44 6)

45 7) { 5² + [9. (64 : ³) 0] + 51¹}= { 65 + [184 (64 : 8) 0] + 51}= { 65 + [ ] + 51}= { 65 + [147 0] + 51}= { }= 118

46 8) (0,) + (0,16) = 0, ,056 = 0,06

47 O conteúdo abordado nesta aula é muito importante e básico para o estudo da Matemática, em todas as suas áreas. Neste contexto, estamos propondo algumas atividades de fixação. Enquanto você estiver resolvendo as questões propostas como atividade, avalie suas dúvidas e nos informe a respeito para que possamos auxiliá-lo.

48 BOSQUILHA, Alessandra. Manual compacto de matemática: ensino fundamental. São Paulo: Rideel, 010. BRASIL ESCOLA. Disponível em: < com/matematica/> Acessado em 1 jul. 01. CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM MATEMATICA. UFRGS. Disponível em: < Acessado em 5 jul. 01. GIOVANNI, José Ruy. A conquista da Matemática Ensino Fundamental. São Paulo: FTD, 007. MATEMÁTICA º CICLO. Disponível em: < rpedu.pintoricardo.com/actividades_interactivas/jogo_ de_memoria_potencias.php.> Acessado em jul. 01. Matemática Didática. Disponível em: < matematicadidatica.com.br/> Acessado em jul. 01.

49 MOREIRA, Sady D. de Brito. Minimanual compacto Ensino Fundamental. Disponível em: < Matematica-EnsinoFundamental.PDF> Acessado em 11 jul. 01. MOREIRA, Sady D. de Brito. Minimanual compacto Ensino Médio. Disponível em: < Matematica-EnsinoMedio.PDF> Acessado em 1 jul. 01. NETSABER APOSTILAS. Disponível em: < netsaber.com.br/apostilas/list_apostilas_c_4.html> Acessado em 5 jul. 01. PROFESSOR CARDY. Disponível em: < com/> Acessado em 1 jul. 01. Só Matemática. Disponível em: < com.br/> Acessado em jul. 01.

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