Este conjunto de testes formativos para a cadeira de Matemática Discreta baseia-se na matéria do manual indicado.

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1 INTRODUÇÃO Este conjunto de testes formativos para a cadeira de Matemática Discreta baseia-se na matéria do manual indicado. Com este conjunto de testes formativos visa-se atingir três objectivos: Fornecer provas para alguns dos resultados apresentados sem demonstração no livro. Apresentar alguns exercícios resolvidos. Dar uma ideia do formato dos exames. Sobre o último ponto, convém esclarecer que os exames não vão ser cópias dos testes, nem tão pouco matérias não tratadas nos testes ficam fora da matéria a avaliar em exame. Estes testes devem ser vistos como guias aproximados mas não modelos exactos dos exames. Sobre os dois pontos iniciais, serão posteriormente fornecidos mais elementos de estudo na página da cadeira que ficará em Os alunos são convidados a enviar perguntas por para mjoao@univ-ab.pt Estas perguntas terão sempre resposta. Algumas por telefone, outras por e outras, se assim se justificar, serão acrescentadas e respondidas na página da cadeira. A propósito e a despropósito podem os alunos contactar o professor da cadeira pelo telefone Segundas Feiras 10h-17:30h Terças Feiras 10h-1h. Desejo-lhes as maiores felicidades e bom estudo. Com os meus cumprimentos, João Araújo 1

2 Alguns Apontamentos Sobre Critérios de Divisibilidade

3 Divisão por Um número é divisível por se e só se o ultimo algarismo for 0,, 4, 6 ou 8. Divisão por 3 Um número é divisível por 3 se e só se a soma dos seus algarismos for divisível por 3. Por exemplo, é divisível por 3? Vamos somar os algarismos = 45. Será 45 divisível por 3? Voltamos a usar o mesmo critério = 9. Como 9 é divisível por 3 temos que 45 também o é; consequentemente, é divisível por 3. Uma forma simples de perceber porque funciona esta regra poderá ser assim. Tome-se um número com dois algarismos ab. Este número é a 10+b. (Por exemplo 47 = ). Agora a 10 + b = a 9 + a + b. Como a 9 é divisível por 3 temos que o número ab será divisível por três se e só se a + b for divisível por três. O argumento para um número de três algarismos é semelhante. abc = 100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c). Como 99a e 9b são divisíveis por 3, só temos de verificar que a + b + c é divisível por 3. Divisão por 4 Um número é divisível por 4 se e só se o número formado pelos dois últimos algarismos for divisível por 4. Por exemplo, é divisível por 4 porque o número formado pelos dois últimos algarismos 8 é divisível por 4. Esta regra funciona porque um número, por exemplo de quatro algarismos, é da forma abcd = 1000a + 100b + 10c + d. Como 1000a e 100b são 3

4 divisíveis por 4, o número abcd vai ser divisível por 4 se e só se 10c + d for divisível por 4. Divisão por 5 Um número é divisível por 5 se e só se o último algarismo for 0 ou 5. Divisão por 6 Um número é divisível por 6 se e só se for par e divisível por 3 (ou seja, se e só se o número for divisível por e 3). Por exemplo, é par e a soma dos algarismos é 30. Logo o número é divisível por 3 e por pelo que é divisível por 6. Divisão por 7 Para verificar se um número é divisível por 7 toma-se o último algarismo, multiplica-se por e subtrai-se ao número restante. O resultado deve ser divisível por 7. Por exemplo, 91. O último algarismo é 1, multiplica-se por (o que dá ) e subtrai-se a 9. Logo 9 = 7 pelo que 91 é divisível por 7. Divisão por 8 Um número é divisível por 8 se e só se o número constituído pelos últimos três algarismos for divisível por 8. Agora só precisamos de encontrar um critério para decidir se um número de três algarismos abc é divisível por 8. Se a for par, então basta verificar se bc é divisível por 8. Se a for ímpar, temos de verificar se bc 4 é divisível por 8. Por exemplo, para verificar se é divisível por 8 basta ver se 544 é divisível por 8. Como o primeiro algarismo é ímpar, 544 será divisível por 8 se e só se 44 4 = 40 for divisível por 8. Portanto 544 é divisível por 8 e bem assim = Outro exemplo, Os últimos três algarismos formam o número 96. Como o primeiro () é par, resulta que 96 é divisível por 8 se e só se 96 o for. De facto 96 = 8 1 e consequentemente 96 e (= ) também o são. 4

5 Divisão por 9 Um número é divisível por 9 se e só se a soma dos seus algarismos for divisível por 9. Esta regra é semelhante à regra do três e de facto a mesma regra funciona para todas as potências de 3, (3, 3, 3 3, 3 4, etc.). Divisão por 10 Um número é divisível por 10 se e só se terminar em 0. Divisão por 11 Seja um número da forma a 1 b 1 a b a 3 b 3 a 4 b Para ver se ele é divisível por 11, somam-se todos os aa e todos os bb, subtrai-se, e verifica-se se o resultado é divisível por 11. Por exemplo, consideremos o número A soma dos aa é = 51 e a soma dos bb é = 18. Como = 33 e 33 é divisível por 11, temos que o número inicial é divisível por 11. ( = ). Divisão por 1 Um número é divisível por 1 se e só se for divisível por 3 e 4. Divisão por 13 Para ver se um número é divisível pro 13 faz-se o seguinte: retira-se o último algarismo e subtraímos-lhe nove vezes o último algarismo. O resultado tem de ser divisível por 13. Por exemplo consideremos A 139 subtraímos 9 1 = 9 o que dá = 130 = Logo 1391 é divisível por 13. (1391 = ). Outro exemplo, O último algarismo é 3 e 3 9 = 7. Agora temos = 71. Será 71 divisível por 13? Voltamos a usar a regra e temos 7 9 = 63 que não é divisível por 13. Logo o número inicial também não é. Curiosidade: uma forma rápida de saber sempre a tabuada do 9. Começase com os dez dedos da mão. Para saber quanto é 9 vezes um número dado baixa-se o dedo correspondente e vê-se o resultado. Por exemplo, para saber 5

6 quanto é 9 3 baixamos o terceiro dedo e ficam antes e 7 depois. Logo, o resultado é 7. Para saber quanto é 9 7 baixa-se o dedo 7. Ficam 6 dedos antes e 3 depois. Logo a resposta é 63. 6

7 1 o TESTE 7

8 1. O João tem 45 lápis de cores: 1 azuis, 15 vermelhos e 18 verdes. Com esses lápis quer fazer grupos iguais. Quantos grupos pode fazer e qual é a composição de cada grupo? 1 R: Quando se diz que os grupos são todos iguais, isso significa que os grupos têm todos o mesmo número de elementos e o mesmo número de lápis de cada cor, ou seja, se um grupo tem cinco elementos, então todos os grupos têm cinco elementos; e se um grupo tem dois lápis azuis, então todos os grupos têm dois lápis azuis. Daqui resulta que se o número de grupos é n e o número de lápis azuis (encarnados, verdes) é respectivamente a (e,v), então temos que n a = 1 n e = 15 n v = 18. Portanto, n divide 1, divide 15 e divide 18. Os divisores de 1, são {1,, 3, 4, 6, 1}. Os divisores de 15, são {1, 3, 5, 15}. Os divisores de 18 são {1,, 3, 6, 9, 18}. Logo, os únicos comuns são 1 e 3. Donde se conclui que poderemos fazer um grupo com todos os lápis; ou podemos fazer três grupos em que cada grupo tem quatro lápis azuis, cinco lápis encarnados e seis lápis verdes.. Um livreiro pretende agrupar livros para os mandar pelo correio. Quer faça grupos de 3, grupos de 4 ou grupos de 5, sobra-lhe sempre um 1 Exercício 4, página 1. 8

9 livro. Quantos livros tem o livreiro? R: Se ele faz n grupos de 3 livros, sobra 1. Portanto, ele tem 3 n + 1 livros. Ou seja, se tirar um livro, o número de livros que ficam é múltiplo de 3. Do mesmo modo, se tirar um livro, o número de livros que restam é múltiplo de 4. E o mesmo se diga de 5. Portanto, tirando um livro, o número de livros que restam é múltiplo de 3 e de 4 e de 5. O menor múltiplo dos três é 60. Logo o livreiro tem n 60 livros mais um (que foi o que tiramos para fazer contas). 3. Dê ao aluno um número de dois algarismos que seja múltiplo de 4. Peçalhe que acrescente, a partir das centenas, os algarismos que desejar a fim de construir um novo número. Leve-o a constatar que o número obtido continua a ser múltiplo de 4. 3 R: No caso é dado 56. Este número é 4 14, portanto é divisível por 4. Qualquer número do tipo a 4 a 3 a 56 é igual a a a a Como 10 = 4 5, 10 3 = 4 50, 10 4 = 4 500, temos a 4 a 3 a 56 = a a a = a 4 (4 500)+a 3 (4 50)+a (4 5)+4 Logo a 4 a 3 a 56 = 4 (a a a 5 + times14). Portanto a 4 a 3 a 56 é divisível por 4. Da mesma forma se mostra que qualquer número cujos dois últimos algarismos formem um número divisível por 4, é ele próprio divisível por Com os algarismos 1,, 3, escreva todos os números possíveis de 3 algarismos sem os repetir. 4 R: Os possíveis são 13, 31, 31, 13, 13, 31. Divisíveis por são só os que terminam em (os números pares). Todos são divisíveis por 3 porque = 6 que é divisível por Escreva todos os números inteiros menores que 3 como soma de potências de, em que as potências são 0 ou 1. 5 Exercício 6, página 1. 3 Exercício 9, página. 4 Exercício 10, página. 5 Exercício 11, página. 9

10 R: 1 = 0 = 1 3 = = = = = = Escreva todos os números inteiros menores que 3 no sistema de numeração binário. 6 R: Um número em decimal é da forma n = a 0 + a a 10 + a Por exemplo, 8534 = Em binário é exactamente igual: n = a 0 +a 1 +a +a Assim 0 = 0 1 = 1 = dá 10 3 = dá 11 4 = dá = dá = dá = dá = dá = dá = dá Quantas peças tem um jogo de dominó tradicional? 7 R: Este exercício está resolvido na página 17. A resposta é o número triangular de ordem 7, ou seja, 6 Exercício 1, página. 7 Exercício 13. página 7(7 + 1) = 56 = 8. 10

11 Se o dominó só estivesse numerado até 5, seria o número triangular de ordem 6 (porque existem as peças sem pintas), que dá 1. Se o dominó estivesse numerado até 8, seria o número triangular de ordem 9 (porque existem as peças sem pintas), que dá Qual a relação entre o número máximo de pintas e o número de peças do dominó? 8 R: Se o dominó tem n pintas, então o número de peças é o número triangular de ordem n + 1. Portanto, o número de peças de um dominó que tem até n pintas é (n + 1)(n + ) = n + 3n +. Se o dominó tiver 10 pintas, então o número de peças é = 66. Se o dominó tiver 0 pintas, então o número de peças é = Considere uma sequência de quadrados feitos com fósforos. 9 R: A primeira sequência 1,, 3,..., representa o número de quadrados em cada um dos elementos da sequência. A segunda sequência 4, 7, 10,..., representa o número de fósforos necessário para construir cada elemento da sequência. O elemento n da sequência tem n quadrados (o primeiro tem um quadrado, o segundo dois, etc.). Portanto, chamando e n ao número de quadrados do elemento n, temos que e n = n. Chamando f n ao número de fósforos do elemento n, temos que f n = 1 + n 3. Assim o f 1 = 4, f = 1 + 6, etc. Isto resulta observando que a segunda sequência é 1 + 3, 1 + 6, 1 + 9,.... Outra forma de chegar à mesma conclusão seria por recorrência. Olhando 8 Exercício 14. página 3 9 Exercício 15. página 3 11

12 para a sequência vê-se que f n = f n Fazendo f 0 = 1, temos Está provado que f n = 1 + n 3. f n = f n = f n = f n + 3 = f n = f n =... = f n n + n 3 = 1 + n Quantos cubos têm as cinco primeiras figuras? defina por recorrência a sucessão do número de cubos. 10 R: A primeira figura tem 1; a segunda tem 5; a terceira tem 14; a quarta tem 30; a quinta tem 55. Se a n é o número de cubos da figura n, então a n = a n 1 + n. 11. Na sequência de construções indicada, quantos cubos terá a próxima figura? Obtenha um termo geral que lhe dê o número de cubos necessários para cada construção. Quantos cubos são precisos para fazer as 10 primeiras construções? 11 R: Cada construção cresce um cubo ao longo de cada um dos três braços. Logo a próxima construção tem mais três cubos que a última, pelo que terá 13 cubos. Sendo a n o número de cubos da figura n + 1, temos a n = a n Sendo a 0 = 1, temos a n = a n 1 +3 = a n +3+3 = a n + 3 =... = a n n +n 3 = a 0 +n 3. Assim vem a n = 1 + n 3. O número de cubos necessários para as dez primeiras construções são a 0 + a 1 + a a 9. a 0 + a a 9 = a 0 + (a 0 + 3) + (a 0 + 3) (a ) = 10 a i=1 i Exercício 16. página 3 11 Exercício 17. página 3 1

13 Por uma regra bem conhecida dos somatórios, 9 i=1 i 3 = 3 9 i=1 i. Portanto só temos de calcular a soma A forma geral de o fazer é a seguinte: soma-se o primeiro termo ao último, divide-se por e multiplica-se pelo número de termos. Aqui o primeiro termo é 1 e o último é 9. A soma dá 10. Divide-se por (dá 5) e multiplica-se pelo número de termos (que são 9) dando 45. Assim temos a 0 + a 1 + a a 9 = i=1 i = = 145. Para praticar um pouco mais com soma de progressões aritméticas, calcule a soma de, 4, 6, 8, 10, 1, 14, 16. Para fazer esta soma, somamos o primeiro número ao último ( + 16 = 18), dividimos por (dá 9) e multiplicamos pelo número de termos (que é 8). O resultado dá Nesta sequência de figuras, considere a sucessão que a cada figura associa o número de hexágonos. Qual o termo geral da sucessão? Qual é a maior figura com menos de 100 hexágonos? Quantos hexágonos tem a 0 a figura? Quantos hexágonos são necessários para desenhar todas as figuras até à 0 a? 13 R: O argumento é igual à anterior: as figuras crescem acrescentando um hexágono a cada um dos (três) braços. Logo a figura seguinte tem mais três hexágonos que a anterior. Sendo a n o número de cubos da figura n + 1, temos a n = a n Sendo a 0 = 1, temos Assim vem a n = 1 + n 3. a n = a n = a n = a n + 3 =... = a n n + n 3 = a 0 + n 3. 1 Dizem que a fórmula das progressões aritméticas foi descoberta por um aluno da primeira classe uma vez que o professor lhe mandou somar os números todos até Exercício 18. página 4 13

14 Para saber qual é a menor figura com menos de 100 hexágonos, fazemos a n = 100 e resolvemos. a n = 100 implica 1+n 3 = 100 pelo que n 3 = 99 ou seja n = 33. Portanto a figura número 34 tem exactamente 100 hexágonos. (Repare que a primeira figura tem a 0 elementos; a segunda tem a 1 elementos. Logo, a figura com a 33 elementos é a 34 a figura). A 0 a figura tem a 19 hexágonos. Logo a 19 = = 58. Para desenhar todas as figuras até à 0 a são precisos a 0 + a a 19 hexágonos. a 0 + a a 19 = a 0 + (a 0 + 3) + (a 0 + 3) (a ) = 0 a i=1 i 3 = 0 a = (19+1) 19 = = 590. i=1 i 13. Quantos fósforos tem a 10 a figura da sequência dada? Quantas caixas de 10 fósforos são necessárias para fazer todas as dez primeiras figuras? 14 R: O argumento é igual à anterior: as figuras crescem acrescentando três fósforos a cada um dos (três) braços. Logo a figura seguinte tem mais três vezes três (9) fósforos que a figura anterior. Sendo a n o número de fósforos da figura n + 1, temos a n = a n Sendo a 0 = 4, temos a n = a n = a n + 9 =... = a n n + n 9 = a 0 + n 9 = 4 + n 9. Assim vem a n = 4 + n 9. A 10 a figura da sequência tem a 9 fósforos, ou seja, = 85 fósforos. 14 Exercício 19. página 4 14

15 Para desenhar todas as figuras até à 10 a são precisos a 0 + a a 9 fósforos. a 0 + a a 10 = a 0 + (a 0 + 9) + (a 0 + 9) (a ) = 10 a i=1 i 9 = 10 a i=1 i = (9+1) 10 = = 470. Agora só temos de dividir 470 por 10, o que dá Portanto, precisamos de 4 caixas de fósforos. 14. Qual a soma dos cem primeiros números naturais? 15 R: A resposta é = = Qual a soma dos cem primeiros números pares? 16 R: A resposta é = = Qual a soma dos cem primeiros números ímpares? 17 R: A resposta é = = Exercício 0. página 4 16 Exercício 0. página 4 17 Exercício 0. página 4 15

16 o TESTE 16

17 1. Temos um conjunto de 0 calções, 5 pares de meias e 15 camisas. Diga conjuntos iguais se podem fazer. R: Quando se diz que os grupos são todos iguais, isso significa que os grupos têm todos o mesmo número de elementos e o mesmo número de cada peça de roupa, ou seja, se um grupo tem cinco elementos, então todos os grupos têm cinco elementos; e se um grupo tem duas camisas, então todos os grupos têm duas camisas. Daqui resulta que se o número de grupos é n e o número de calções (meias, camisas) é respectivamente c (m,s), então temos que n c = 0 n m = 5 n s = 15. Portanto, n divide 0, divide 5 e divide 15. Os divisores de 0, são {1,, 4, 5, 10, 0}. Os divisores de 15, são {1, 3, 5, 15}. Os divisores de 5 são {1, 5, 5}. Logo, os únicos comuns são 1 e 5. Donde se conclui que poderemos fazer um grupo com todos as peças; ou podemos fazer cinco grupos em que cada grupo tem quatro calções, cinco meias e três camisas.. Um grupo de amigos quer fazer uma viagem e para isso tem um certo número de carros. Se colocarem 5 pessoas em cada carro, sobram duas pessoas; se colocarem 3 pessoas em cada carro sobra uma. Quantas pessoas são? 17

18 R: O número de pessoas é um múltiplo de 5 (portanto é 5k) mais ; e é também um múltpilo de 3 (portanto 3l) mais um. Daqui resulta 3l+1 5k As duas tabelas cruzam-se em 7,, 37 e vai saltando de 15 em Indique o menor número divisível por 3 tal que: o número tem cinco algarismos, termina em 1, começa em 9e a soma dos seus algarismos é um número par. R: O número é da forma 9abc1. A soma dos algarismos é um número par e divisível por 3. A soma é 9 + a + b + c O número 10 é par mas não é divisível por 3. Logo 9 + a + b + c + 1 poderá ser 1. É par e é divisível por 3. Assim a + b + c =. Isto pode ser feito de duas formas: ou um dos números é 0 e os outros dois são 1; ou dois são 0 e o outro é. Como queremos o menor, é este último caso que escolhemos: a = 0, b = 0, c =. Assim temos 9001 é o menor número divisível por 3, começado por 9 e terminando em 1, cuja soma dos algarismos dá um número par. 4. Escreva 5 e 10, 4 e 8 em binário. Pode fazer alguma conjectura? R: 5 = 101, 10 = 1010; 4 = 100, 8 = A conjectura é que para se conseguir o dobre de um número em binário basta acrescentar um zero. Enquanto na notação decimal não é fácil descobrir (de cabeça). 18

19 qual é o dobro de , em notação binária o dobro de é Esta conjectura pode ser facilmente provada da seguinte forma. Seja, por exemplo, a a + a 1 + a 0 um número. O dobro deste número é (a 3 3 +a +a 1 +a 0 ) = a 3 4 +a 3 +a 1 +a 0 +0 Portanto o número inicial era, em binário, a 3 a a 1 a 0 e o dobro é a 3 a a 1 a 0 0. Da mesma forma que se fez para um número até a 3 poderíamos fazer para a n. 5. Um grupo de pescadores lançaram a rede diversas vezes pescando em cada lançamento mais dez quilos de peixe do que no lançamento anterior. Sabendo que no primeiro lançamento conseguiram 40 quilos de peixe, defina o termo geral da progressão e diga quantos lançamentos foram necessários para pescar 470 quilos de peixe Exercício 13. página 19