INTEIROS. Luciana Santos da Silva Martino. lulismartino.wordpress.com PROFMAT - Colégio Pedro II. 25 de agosto de 2017

Transcrição

1 Sumário REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS INTEIROS Luciana Santos da Silva Martino lulismartino.wordpress.com PROFMAT - Colégio Pedro II 25 de agosto de 2017

2 Sumário 1 Sistemas de Numeração 2

3 Outline 1 Sistemas de Numeração 2

4 Sistemas de Numeração sistema sexagesimal: babilônios, 1700 a.c. sistema decimal: desenvolvido na China e na Índia. Maior difusão na Europa a partir de 1202, quando da publicação do Liber Abacci, de Fibonacci sistema binário: bases como potências de 2 foram as escolhidas na arquitetura de computadores Todos são sistemas posicionais com base constante

5 Sistemas de Numeração No sistema decimal todo número inteiro é representado por uma sequência formada pelos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 acrescidos do símbolo 0(zero), que representa a ausência de algarismo. Por serem dez os algarismos, o sistema é chamado decimal. Sistema posicional: cada algarismo, além do seu valor intrínseco, possui um peso que lhe é atribuído, em função da posição que ele ocupa no número. No sistema decimal esse peso é sempre uma potência de dez

6 Sistemas de Numeração Cada algarismo de um número possui uma ordem contada da direita para a esquerda. Cada terna de ordens também contada da direita para a esquerda, forma uma classe unidades 1 a ordem classe das unidades dezenas 2 a ordem centenas 3 a ordem unidades de milhar 4 a ordem classe do milhar dezenas de milhar 5 a ordem centenas de milhar 6 a ordem unidades de milhão 7 a ordem classe do milhão dezenas de milhão 8 a ordem centenas de milhão 9 a ordem

7 Sistemas de Numeração Os sistemas de numeração posicionais baseiam-se no teorema a seguir, que é uma aplicação da divisão euclidiana Teorema 4.1: Sejam dados a, b Z, com a > 0 e b > 1. Existem números inteiros n 0 e 0 r 0, r 1,..., r n < b, com r n 0, univocamente determinados, tais que a = r 0 + r 1 b + r 2 b r n b n A representação dada no teorema acima é chamada de expansão relativa à base b.

8 Sistemas de Numeração. Algoritmo para determinar a expansão de um número qualquer relativamente à base b Aplicações sucessivas da divisão euclidiana a = bq 0 + r 0, r 0 < b q 0 = bq 1 + r 1, r 1 < b q 1 = bq 2 + r 2, r 2 < b e assim por diante. Como a > q 0 > q 1 >..., devemos, em certo ponto, ter q n 1 < b e, portanto, de q n 1 = bq n + r n, decorre que q n = 0, o que implica que 0 = q n = q n+1 = q n+2 =..., e, portanto, 0 = r n+1 = r n+2 =... Temos então que a = r 0 + r 1 b r nb n

9 Sistemas de Numeração Proposição 4.2: Sejam dados os números inteiros b > 1, m, n 0, 0 < r 0,..., r n < b e 0 r 0,..., r n < b. Tem-se que i) r 0 + r 1 b r n b n < b n+1 ii) n > n e r n 0 r 0 + r 1 b r n b n > r 0 + r 1 b r n b n iii) n = n e r n > r n r 0 + r 1 b r n b n > r 0 + r 1 b r nb n

10 Sistemas de Numeração A expansão numa dada base b fornece-nos um método para representar os números naturais. Para tanto, escolha um conjunto S de b símbolos S = {s 0, s 1,..., s b 1 } com s 0 = 0, para representar os números de 0 a b 1 Um número natural c na base b escreve-se na forma x nx n 1...x 1 x 0 com x 0,..., x n S, e n variando, dependendo de a, representando o número x 0 + x 1 b x nb n Notação: [x n...x 1 x 0 ] b : número representado por x n...x 1 x 0 na base b [x n...x 1 x 0 ] b = x 0 + x 1 b x nb n

11 Sistemas de Numeração Proposição 4.6: Seja a = r n...r 1 r 0 um número representado no sistema decimal. Uma condição necessária e suficiente para que a seja divisível por 5 (respectivamente por 10) é que r 0 seja 0 ou 5 (respectivamente 0) Proposição 4.7: Seja a = r n...r 1 r 0 um número representado no sistema decimal. Uma condição necessária e suficiente para que a seja divisível por 3 (respectivamente por 9) é que r n r 1 + r 0 seja divisível por 3 (respectivamente por 9) Exemplo 4.8: O nove misterioso Peça para alguém escolher, em segredo, um número natural com, pelo menos, três algarismos (no sistema decimal). Peça, ainda, para que efetue uma permutação qualquer dos seus algarismos, obtendo um novo número, e que subtraia o menor do maior dos dois números. Finalmente, peça ao seu parceiro de jogo para reter um dos algarismos diferentes de zero desse novo número e divulgar os restantes. É possível adivinhar o algarismo retido!

12 Sistemas de Numeração Corolário 4.9: Todo número natural escreve-se de modo único como soma de potências distintas de 2. Exemplo 4.10: O método acima, para determinar expansões binárias permite desenvolver um algoritmo antigo para calcular o produto de dois números usando apenas multiplicações e divisões por 2, além de adições. Esse método tem a vantagem de apenas necessitar da tabuada do 2. Exemplo 4.11: O Problema da Moeda Falsa Vamos generalizar a solução do problema da moeda falsa, que discutimos no Exemplo 2.13 (pág 37), para um número arbitrário de moedas

13 Outline 1 Sistemas de Numeração 2

14 Jogo 1 Dispõe-se sobre uma mesa um número N de palitos separados em três grupos, de n 1, n 2 e n 3 palitos (N 1 + n 2 + n 3 = N), de modo que n i n j se i j. O jogo é realizado por dois jogadores. Cada jogador, na sua vez, deve retirar um número qualquer ( 0) de palitos de um, e de apenas um, dos grupos. Os jogadores alternam-se e quem retirar o(s) último(s) palito(s) ganha o jogo. O objetivo da estratégia é mostrar que, se um dos jogadores a um certo momento encontrar-se numa situação favorável (a ser definida) e se não cometer nenhum deslize nas jogadas seguintes, ele ganhará o jogo.

15 Jogo 1 Cada estado do jogo pode ser codificado por um terno de números, representando o número de palitos em cada grupo, ordenados previamente como Grupo 1, Grupo 2 e Grupo 3, começando com uma configuração inicial (n 1, n 2, n 3 ) onde n 1 + n 2 + n 3 = N Exemplo: João (J) e Maria (M) com configuração inicial (3,5,7) Uma situação em que todos os algarismos da chave são pares será chamada de posição segura, enquanto que, quando pelo menos um dos algarismos da chave é ímpar, será uma posição insegura

16 Jogo 1 Resultado (Bouton): Qualquer que seja a configuração inicial do jogo, se um jogador encontra na sua vez uma posição segura qualquer que seja a jogada que faça, só poderá chegar a uma posição insegura Resultado (Bouton): De uma posição insegura, pode-se, com uma jogada conveniente, sempre retornar a uma posição segura Outro Exemplo: Configuração inicial (3,5,6)

17 Outras variantes do Jogo do Nim Jogo 2: Dispõe-se sobre uma mesa um certo número N de palitos. Estipula-se que cada jogador, na sua vez, possa retirar, no mínimo, 1 palito e, no máximo, um número preestabelecido de n palitos, com n > 1. Supõe-se ainda, que N e N 1 não sejam múltiplos de n + 1. Perde o jogador que retirar o último palito Jogo 3: Da mesma forma que a variante anterior, dispõe-se sobre uma mesa um certo número N de palitos e estipula-se que cada jogador, na sua vez, possa retirar, no mínimo, 1 palito e, no máximo, um número n prefixado de palitos, com n > 1. Supõe-se ainda que N não seja múltiplo de n + 1. Ganha o jogador que retirar o último palito

18 Outro Jogo Um jogo, jogado por duas pessoas, consiste de um tablete de chocolate dividido em 6x10 quadradinhos separados por sulcos. Cada jogador, na sua vez, quebra a barra de chocolate numa horizontal ou numa vertical ao longo de todo um sulco e come uma das partes. O jogo prossegue com a parte restante até que um dos jogadores é obrigado a comer o último quadradinho que restar, perdendo o jogo