Roteiro de Estudos OBMEP NA ESCOLA Grupo N3 Ciclo 1

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1 Roteiro de Estudos OBMEP NA ESCOLA Grupo N3 Ciclo 1 Em 2017 o Planejamento Acadêmico do Programa OBMEP na Escola prevê a realização de 7 ciclos de estudos com duração de quatro semanas cada um. Em cada ciclo serão desenvolvidos estudos sobre conteúdos específicos de acordo com o seguinte esquema: um encontro inicial de formação entre professores e coordenadores, dois encontros com alunos e uma semana de estudos. 1ª semana: encontro de formação entre os coordenadores e os professores da Educação Básica que atuam no Programa OBMEP na Escola. 2ª semana: (encontro 1) aula presencial de quatro horas ministrada por cada professor para a sua turma de alunos convidados. 3ª semana: Período destinado para estudo dos alunos e preparação dos professores. 4ª semana: (encontro 2) aula presencial de quatro horas ministrada por cada professor para a sua turma de alunos convidados. Neste roteiro de estudos vamos apresentar os conteúdos que devem ser estudados neste primeiro ciclo do grupo N3 além de sugerir atividades para coordenadores, professores e alunos. 1ª semana: encontro de formação (Coordenadores e alunos de licenciatura) No início de todos os ciclos, a primeira atividade que deve ser realizada é o encontro de formação entre professores e coordenadores. Nesse encontro que antecede as aulas que serão ministradas para os alunos, espera-se que sejam discutidos os conteúdos, os exercícios, as estratégias para o desenvolvimento dos estudos e os materiais de apoio ao ensino que foram disponibilizados. Dois aspectos fundamentais devem ser enfatizados nesse encontro: a metodologia a ser utilizada se baseia no ensino da matemática através da resolução de problemas. Assim, em cada roteiro de estudos são fornecidas listas de problemas, uma a cada aula, que devem ser trabalhadas junto aos alunos. Espera-se que ao longo desse trabalho uma discussão qualitativa sobre conceitos e resultados correlatos aos assuntos em foco seja estimulada. o aluno deve ter o pleno conhecimento de que a atividade presencial é apenas o início do processo de ensino inerente ao ciclo. Não é esperado que essa atividade presencial seja amplamente abrangente e conclusiva quanto a formação do aluno em relação aos conteúdos abordados. Então, os materiais presentes no Portal da Matemática ( irão complementar essa ação Página 1 de 12

2 formativa. Logo, o aluno deve ser claramente informado da existência do Portal, dos materiais complementares lá existentes e da forma de acesso a esse ambiente virtual. As atividades presenciais e virtuais se complementam e cabe ao professor enfatizar isso junto aos alunos, incentivando continuamente a participação dos alunos nas atividades presentes no Portal. Salientamos que não é aceitável atitudes que se omitam de buscar essa parceria entre ações presenciais e virtuais. Para que esse encontro de formação seja o mais proveitoso possível, antes da sua realização, recomendamos que os coordenadores e os professores: façam um estudo preliminar de todo este roteiro. assistam os vídeos indicados do Portal da Matemática ou do canal PICOBEMP no YouTube. resolvam os exercícios propostos. anotem suas dúvidas. Durante esse encontro de formação deseja-se que: seja realizado um estudo dos materiais indicados e sejam esclarecidas as dúvidas. caso exista infraestrutura disponível, sejam discutidas algumas videoaulas. o coordenador deve promover discussões dos conceitos e dos exercícios mais importantes das aulas que serão ministradas para os alunos convidados. o coordenador auxilie os professores na preparação das aulas. ocorra uma troca de experiências e o compartilhamento de ideias entre os professores. No que segue vamos detalhar os conteúdos das duas aulas (encontro 1 e encontro 2) deste ciclo que devem ser ministradas para os alunos convidados, indicando referências bibliográficas, videoaulas relacionadas e as listas de problemas que direcionarão o estudo a ser realizado em cada aula. Este detalhamento deve ser utilizado tanto na aula para os alunos quanto no encontro de formação entre professores e coordenadores. - Assuntos a serem abordados: Aritmética: Paridade, sistema decimal, divisão euclidiana, critérios de divisibilidade, máximo divisor comum (mdc) e mínimo múltiplo comum (mmc), algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc. - Material a ser estudado pelo professor: Página 2 de 12

3 Os textos e vídeoaulas que o coordenador deve abordar com os professores e que eles deverão estudar para se preparem para as aulas com seus alunos são: Aritmética: - Textos: 1. Seções 1.1, 1.2, 2.1, 2.4, 2.6, 3.1, 3.2, 3.5, 4.1 e 4.2 da Apostila do PIC da OBMEP Encontros de Aritmética, F. Dutenhefner, L. Cadar. - Videoaulas do Portal da Matemática: Paridade: Tópicos Adicionais Módulo Sistemas de Numeração e Paridade ( videoaulas: Problemas envolvendo paridade, Problemas com dominós, Dominós, pesagens e outros problemas. Sistema Decimal: Tópicos Adicionais Módulo Sistemas de Numeração e Paridade ( videoaulas: Sistema de numeração decimal. Divisão Euclidiana: 8º Ano do Ensino Fundamental Módulo Números Naturais: Contagem, Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclidiana ( videoaulas: Teorema da Divisão Euclidiana. Critérios de Divisibilidade: 6º Ano do Ensino Fundamental Módulo Divisibilidade ( videoaulas: Critérios de Divisibilidade 1, Critérios de Divisibilidade 2, Critérios de Divisibilidade 3, Critérios de Divisibilidade 4, Exercícios sobre Divisibilidade 1, Exercícios sobre Divisibilidade 2, Exercícios sobre Divisibilidade 3, Exercícios sobre Divisibilidade 4, Exercícios sobre Divisibilidade 5. Máximo Divisor Comum (mdc), Mínimo Múltiplo Comum (mmc) e Algoritmo de Euclides para o Cálculo do mdc: Tópicos Adicionais Módulo Números Naturais Representação, Operações e Divisibilidade ( videoaulas: Múltiplos, divisibilidade e MMC, Divisores e MDC Algoritmo de Euclides. Página 3 de 12

4 ENCONTRO 1 2ª semana: aula para alunos convidados - Assuntos a serem abordados: Aritmética paridade, sistema decimal, divisão euclidiana, critérios de divisibilidade. - Texto para consulta: seções 1.1, 1.2, 2.1, 2.4, e 2.6 da Apostila do PIC da OBMEP Encontros de Aritmética, F. Dutenhefner, L. Cadar ( - Exercícios a serem discutidos com os alunos: está disponibilizada uma lista de oito exercícios. O professor deverá propor os exercícios da lista para que os alunos resolvam. Acompanhando, individual ou coletivamente, a tentativa de resolução dos exercícios pelos alunos, o professor poderá perceber o nível de compreensão dos temas abordados. Para cada exercício da lista, sugere-se que pelo menos um dos alunos que o tenham resolvido apresente sua resolução para os demais alunos, e o professor acompanhe a resolução, corrigindo, destacando e aprofundando os conhecimentos matemáticos abordados. A ideia é que os temas abordados sejam assimilados pelos alunos durante a resolução dos exercícios, ou seja, a resolução dos exercícios deve provocar a necessidade de aprofundar os temas abordados. Se todos os exercícios da lista forem resolvidos durante o tempo do encontro, cabe ao professor propor exercícios adicionais sobre os assuntos abordados. Exercícios adicionais sobre os assuntos abordados podem ser encontrados, por exemplo, na Apostila do PIC da OBMEP Encontros de Aritmética ou no livro Círculos Matemáticos: A Experiência Russa, D. Fomin, S. Genkin, I. Itenberg. Página 4 de 12

5 Lista de Exercícios OBMEP NA ESCOLA N3 Ciclo 1 Encontro 1 ENUNCIADOS No que segue, apresentamos uma lista de problemas que devem ser utilizados para direcionar o estudo da aula com os alunos convidados. Esses exercícios devem ser trabalhados segundo a metodologia do ensino da matemática através da resolução de problemas e as discussões desses exercícios devem motivar o estudo dos conteúdos propostos para esta aula. 1) Na divisão euclidiana de por o quociente é e o resto é. Quais são os possíveis valores para e. 2) O produto de um número de três algarismos por termina (à direita) em. Qual é esse número? 3) Determine todos os algarismos e tais que o número seja divisível por e por. 4) Os inteiros de a estão escritos no quadro. Dois números quaisquer e são apagados e substituídos pelo número. Depois desse processo ser repetido diversas vezes, pode acontecer do único número restante no quadro ser zero? (Dorichenko, problema 20.7) 5) Exercício 6, página 6, Apostila do PIC Encontros de Aritmética. 6) Exercício 20, página 13, Apostila do PIC Encontros de Aritmética. 7) Exercício 5, página 31, Apostila do PIC Encontros de Aritmética. 8) Um inteiro é dito um quadrado perfeito quando é igual ao quadrado de um inteiro. a) Mostre que se um quadrado perfeito é divisível por 3, então é divisível por 9. b) Um número escrito com cem algarismos iguais a, cem iguais a e cem iguais a, pode ser um quadrado perfeito? (Dica para o item b: aplique os critérios de divisibilidade por e por ) (Fomin, capítulo 3, problema 10) Página 5 de 12

6 Lista de Exercícios OBMEP NA ESCOLA N3 Ciclo 1 Encontro 1 SOLUÇÕES 1) Tem-se, sendo. Como e, então, ou seja, e. Mas, se, e somente se,, e se, e somente se,. Assim, deve-se ter e, ou seja, pode ser igual a ou ou ou, sendo que os respectivos valores de são iguais a ou ou ou. Portanto, os possíveis valores para e são ou. 2) Seja representação decimal do número procurado. Então, o número termina em. Como o algarismo das unidades de é o mesmo algarismo das unidades de, então o algarismo das unidades de deve ser igual a. Como, conclui-se que a única possibilidade é. Assim,. Como o algarismo das dezenas de é o mesmo algarismo das dezenas de, então o algarismo das dezenas de deve ser igual a. Como, conclui-se que a única possibilidade é. Assim,. Como o algarismo das centenas de é o mesmo algarismo das centenas de, então o algarismo das centenas de deve ser igual a. Como, conclui-se que a única possibilidade é. Assim, o número procurado é. 3) Tem-se que é divisível por se, e somente se, é divisível por. Como, então é divisível por se, e somente se, é divisível por. Como, conclui-se que é divisível por se, e somente se, ou. Por outro lado, é divisível por se, e somente se, é divisível por. Para, é divisível por se, e somente se,, já que. Para, é divisível por se, e somente se,, já que. Assim, os possíveis valores para e tais que o número seja divisível por e por são e. 4) Não. Inicialmente, a soma dos números no quadro é igual a, que é um número ímpar. Em cada etapa, ao apagarmos dois números e, e substituilos pelo número, a soma dos números do quadrado diminui de. Como é par e a subtração por um número par não altera a paridade, então a soma dos números no quadro sempre tem a mesma paridade. Como inicialmente, essa soma é Página 6 de 12

7 ímpar, então permanecerá sempre ímpar e, logo, não pode ocorrer do único número restante no quadro ser zero, que é par. 5) A solução está em seguida ao enunciado do exercício na apostila. 6) A solução está em seguida ao enunciado do exercício na apostila. 7) A solução está em seguida ao enunciado do exercício na apostila. 8) a) Seja um quadrado perfeito divisível por, sendo um inteiro. Pela Divisão Euclidiana, é da forma ou é da foram ou é da forma, sendo um inteiro. Se é da forma, então não é divisível por, o que não é verdade. Se é da forma, então não é divisível por, o que não é verdade. Assim, só resta concluir que é da forma e, portanto, é múltiplo de. b) Não. A soma dos algarismos do número é igual a, que é divisível por 3 e não é divisível por. Assim, o número é divisível por e não é divisível por e, logo, pelo item a), não pode ser um quadrado perfeito. 3ª semana: Período destinado para estudo dos alunos e preparação dos professores Em cada ciclo, a terceira semana é destinada para estudos individuais ou em grupo. Nesta semana, alunos e professores devem se dedicar para o estudo dos materiais teóricos indicados, para assistir as videoaulas e para resolver os exercícios propostos. Nesta semana não existe nenhuma aula programada e nenhum encontro entre coordenadores, professores e alunos. Esta é uma semana de estudo. Por este motivo, é muito importante que no primeiro encontro entre professores e alunos convidados, o professor passe o maior número possível de informações para os alunos, indicando apostilas, videoaulas e exercícios. Página 7 de 12

8 ENCONTRO 2 4ª semana: aula para alunos convidados - Assuntos a serem abordados: Aritmética máximo divisor comum (mdc) e mínimo múltiplo comum (mmc), algoritmo de Euclides para o cálculo do mdc. - Texto para consulta: seções 3.1, 3.2, 3.5, 4.1 e 4.2 da Apostila do PIC da OBMEP Encontros de Aritmética, F. Dutenhefner, L. Cadar ( - Exercícios a serem discutidos com os alunos: está disponibilizada uma lista de oito exercícios. O professor deverá propor os exercícios da lista para que os alunos resolvam. Acompanhando, individual ou coletivamente, a tentativa de resolução dos exercícios pelos alunos, o professor poderá perceber o nível de compreensão dos temas abordados. Para cada exercício da lista, sugere-se que pelo menos um dos alunos que o tenham resolvido apresente sua resolução para os demais alunos, e o professor acompanhe a resolução, corrigindo, destacando e aprofundando os conhecimentos matemáticos abordados. A ideia é que os temas abordados sejam assimilados pelos alunos durante a resolução dos exercícios, ou seja, a resolução dos exercícios deve provocar a necessidade de aprofundar os temas abordados. Se todos os exercícios da lista forem resolvidos durante o tempo do encontro, cabe ao professor propor exercícios adicionais sobre os assuntos abordados. Exercícios adicionais sobre os assuntos abordados podem ser encontrados, por exemplo, na Apostila do PIC da OBMEP Encontros de Aritmética ou no livro Círculos Matemáticos: A Experiência Russa, D. Fomin, S. Genkin, I. Itenberg. Página 8 de 12

9 Lista de Exercícios OBMEP NA ESCOLA N3 Ciclo 1 Encontro 2 ENUNCIADOS 1) Em 1 ocorreu uma conjunção entre os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam ser vistos bem próximos um do outro quando avistados da Terra. Admitindo que Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao redor do Sol aproximadamente a cada e anos, respectivamente, determine qual foi o ano imediatamente anterior a em que ocorreu uma conjunção entre os dois planetas. 2) Exercício 22, página 84, Apostila do PIC Encontros de Aritmética. 3) Exercício 25, página 86, Apostila do PIC Encontros de Aritmética. 4) Exercício 26, página 87, Apostila do PIC Encontros de Aritmética. 5) Mariana produziu 108 barras de chocolate branco e 162 barras de chocolate ao leite. a) Ela juntou toda a sua produção e colocou 18 barras em cada pacote. Quantos pacotes foram formados? b) Se forem colocadas quantidades iguais em cada pacote, sem misturar os tipos de chocolate, quantas barras, no máximo, poderá haver em cada pacote? Quantos pacotes de chocolate ao leite foram formados? 6) Precisamos remeter duas encomendas de sabonetes idênticos para dois compradores diferentes. Um pediu 420 sabonetes e o outro pediu 480 sabonetes. Queremos acondicionar os sabonetes em embalagens idênticas que sirvam para atender aos dois pedidos. Quantos sabonetes devem caber em cada uma das embalagens para que possamos atender as duas demandas utilizando a menor quantidade possível de embalagens? (Exercício 2, página 65, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) 7) Duas engrenagens A e B têm 16 e 28 dentes, respectivamente. Elas estão encaixadas de modo que um motor ligado à engrenagem A a faz girar no sentido horário e esta faz a engrenagem B girar no sentido anti-horário. Se a engrenagem A realiza uma revolução por minuto, após quanto tempo de o motor ter sido ligado as duas engrenagens retornarão à posição inicial pela primeira vez? (Exercício 6, página 71, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Página 9 de 12

10 8) Use o Algoritmo de Euclides para calcular (Exercício 8, página 100, Apostila do PIC Encontros de Aritmética ) Página 10 de 12

11 Lista de Exercícios OBMEP NA ESCOLA N3 Ciclo 1 Encontro 2 SOLUÇÕES 1) A partir de, os anos em que Júpiter e Saturno completam uma volta ao redor do Sol são da forma e, com e inteiros. Assim, ocorre conjunção dos dois planetas quando, ou seja,. Mas,, ou seja, é múltiplo comum de 12 e 30 se, e somente se, é múltiplo de. Ora, o maior múltiplo negativo de é igual a. Assim, o ano imediatamente anterior a 1982 em que ocorreu uma conjunção entre os dois planetas é. 2) A solução está em seguida ao enunciado do exercício na apostila. 3) A solução está em seguida ao enunciado do exercício na apostila. 4) A solução está em seguida ao enunciado do exercício na apostila. 5) a) Como a produção total é de barras de chocolate e foram colocadas barras em cada pacote, então foram formados pacotes. b) Seja a quantidade de barras de chocolate em cada pacote. Sejam e as quantidades de pacotes de chocolate branco e de pacotes de chocolate ao leite, respectivamente. Então, e. Assim, é um divisor comum de e. Para que seja máximo, deve-se tomar como sendo igual ao, que é a quantidade máxima de barras em cada pacote. Neste caso, a quantidade de pacotes de chocolate ao leite é igual a. 6) Seja a quantidade de sabonetes que cabem na embalagem. Sejam e as quantidades de embalagens a serem enviadas para o primeiro comprador e para o segundo comprador, respectivamente. Então, e. Assim, é um divisor comum de e. Para que e tenham menor valor possível, deve-se tomar como sendo igual ao. 7) Vamos focar nossa atenção para o ponto em que as duas engrenagens estão encaixadas. Como elas giram simultaneamente, a quantidade de dentes que passam por de uma engrenagem é igual à quantidade de dentes que passa por da outra Página 11 de 12

12 engrenagem. Após revoluções da engrenagem A, dentes de A passam por. Analogamente, após revoluções da engrenagem B, dentes de B passam por. A situação em que as duas engrenagens retornam à posição inicial corresponde ao número de dentes de A que passam por T ser igual ao número de dentes de B que passam por T, ou seja,. O menor valor inteiro tal que, com e inteiros positivos, ou seja, tal que seja múltiplo de e de, é, sendo que, nesse caso,, ou seja, a engrenagem A completa revoluções. Como a engrenagem A realiza uma revolução por minuto, então as engrenagens retornarão à posição inicial pela primeira vez após minutos. 8) Como então mdc. Como então mdc. Como então mdc. Como então mdc. Como então mdc. Assim,. Página 12 de 12