Lista de Questões OBMEP NA ESCOLA Grupo N3 Ciclo 1

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1 Lista de Questões OBMEP NA ESCOLA Grupo N3 Ciclo 1 Em 2017 o Planejamento Acadêmico do Programa OBMEP na Escola prevê a realização de atividades avaliativas em forma de listas de questões. A cada ciclo serão elaboradas pelo Comitê Acadêmico listas com 5 exercícios, sendo que três dessas questões são retiradas de provas anteriores OBMEP, presentes na segunda fase. Essas três questões devem ser resolvidas pelos alunos em casa e posteriormente as soluções são discutidas com os professores. As duas outras questões devem ser resolvidas em sala de aula, como forma de avaliação e de estímulo ao estudo contínuo. As três questões da segunda fase da OBMEP distribuídas para os alunos em cada ciclo podem ser entendidas como uma espécie de tarefa de casa. Entre duas aulas quinzenais com os Professores da Educação Básica (PEB), desejamos que os alunos estudem continuamente, resolvendo pelo menos essas questões, além de assistirem videoaulas no Portal da Matemática, estudarem os bancos de questões, etc. Não existe uma recomendação explicita para os PEB recolherem dos alunos as soluções destas três questões, embora isso possa ser feito. Entretanto, existe a recomendação de que, em algum momento, essas questões sejam discutidas e que as dúvidas dos alunos sejam esclarecidas pelos professores. Este momento de discussão será muito mais proveitoso para aqueles alunos que leram, tentaram entender o enunciado e tentaram resolver as questões. Para os alunos que não leram as questões, este momento de discussão será menos proveitoso e, deste modo, esperamos que as discussões coletivas das questões deixadas como tarefa de casa motivem que todos os alunos se dediquem para resolverem as tarefas deixadas para casa. As duas questões resolvidas em sala de aula devem ser corrigidas pelos Professores da Educação Básica (PEB) e as soluções ou os eventuais erro mais frequentes também devem ser discutidos com os alunos. A participação dos alunos nessas questões deve ser entendida como mais um momento de aprendizado. Esta é uma oportunidade para os alunos perceberem as partes dos conteúdos que já entenderam melhor e aqueles conceitos e resultados que ainda precisam de maior dedicação. Para essas duas questões, os professores atribuirão uma nota de 0 a 10 para cada aluno da sua turma. A seguir fornecemos a lista com as cinco questões referentes aos conteúdos presentes no ciclo 1, as soluções, os critérios de correção e alguns comentários, se for o caso. Página 1 de 10

2 Lista de Exercícios OBMEP NA ESCOLA N3 ciclo 1 ENUNCIADOS: três questões para serem resolvidas em casa com discussão posterior Tarefa de casa 1 (Prova OBMEP a Fase N3 Questão 2) A sequência é formada a partir do numero somando-se alternadamente ou ao termo anterior, isto é: o primeiro termo é, o segundo é mais o primeiro, o terceiro é mais o segundo, o quarto é mais o terceiro, o quinto é mais o quarto e assim sucessivamente. a) Escreva os primeiros termos desta sequência. b) Qual é o termo desta seqüência? c) Algum termo desta sequência é igual a? Por quê? Tarefa de casa 2 (Prova OBMEP a Fase N3 Questão 2) A figura representa o traçado de uma pista de corrida. Os postos A, B, C e D são usados para partidas e chegadas de todas as corridas. As distâncias entre postos vizinhos, em quilômetros, estão indicadas na figura e as corridas são realizadas no sentido indicado pela flecha. Por exemplo, uma corrida de 17 km pode ser realizada com partida em D e chegada em A. a) Quais são os postos de partida e chegada de uma corrida de 14 quilômetros? b) E para uma corrida de 100 quilômetros, quais são esses postos? c) Mostre que é possível realizar corridas com extensão igual a qualquer número inteiro de quilômetros. Página 2 de 10

3 Tarefa de casa 3 (Prova OBMEP a Fase N3 Questão 6) Dois grilos, Adonis e Basílio, pulam sempre para a frente; Adonis só dá pulos de cm ou cm e Basílio só dá pulos de cm ou cm. Eles percorrem qualquer distância com o menor número de pulos possível. Por exemplo, Adonis percorre cm com apenas dois pulos de cm cada, enquanto Basílio precisa de quatro pulos, sendo dois de cm e outros dois de cm. Por outro lado, para percorrer cm, Adonis precisa de oito pulos, sendo um de cm e sete de cm, enquanto Basílio precisa de apenas três pulos, sendo dois de cm e um de cm. Indicando por e, respectivamente, o número de pulos que Adonis e Basílio dão para percorrer centímetros, temos,, e. a) Complete a tabela abaixo: b) Encontre um número entre e tal que (isto é, encontre uma distância entre cm e cm tal que, para percorrê-la, Basílio dá menos pulos do que Adonis). c) Encontre o maior número tal que. Página 3 de 10

4 Lista de Exercícios OBMEP NA ESCOLA N3 ciclo 1 ENUNCIADOS: duas questões para serem resolvidas em sala de aula Questão 1 Seja um número inteiro tal que deixa resto na divisão por. Explique por que também deixa resto na divisão por. Questão 2 Tenho balas de coco e balas de chocolate. Quero formar saquinhos de balas, sem misturar sabores e sem que sobrem balas. Todos os saquinhos devem ter a mesma quantidade de balas, que deve ser a maior possível. Quantas balas devo colocar em cada saquinho e quantos saquinhos de cada tipo de bala devo formar? Página 4 de 10

5 Lista de Exercícios OBMEP NA ESCOLA N3 ciclo 1 SOLUÇÕES e COMENTÁRIOS Solução da tarefa de casa 1 a) Seguindo a lei de formação da sequência, os primeiros termos são e. Para os itens b) e c), observamos que a sequência dada pode ser decomposta em duas sequências, como segue: (i) a sequência dos termos de ordem ímpar: dos múltiplos de ; seu termo geral é para. Esta sequência consiste (ii) a sequência dos termos de ordem par:. Esta sequência consiste dos múltiplos de somados com ; seu termo geral é para. b) Como é par, vemos que o termo da sequência original é o termo da sequência. Este termo corresponde a, uma vez que o primeiro termo de corresponde a. Logo, o termo procurado é. c) Temos que. Logo, não pode ser escrito nem na forma nem na forma para algum, e, portanto, não é um termo da sequência. Outra maneira de resolver este item é notar que as soluções das equações e não são números naturais. Página 5 de 10

6 Solução da tarefa de casa 2 a).uma volta completa em torno da pista tem a extensão de km. Por isso, para percorrer km, precisamos dar uma volta completa e percorrer mais km. A única forma de percorrer km, respeitando-se o sentido da corrida, é começando em A e terminando em B. Portanto, a corrida deve começar em A, dar uma volta completa e terminar em B. b) Como, uma corrida de km corresponde a dar voltas completas na pista e percorrer mais km. A única forma de percorrer km, respeitando-se o sentido da corrida, é começando em A e terminando em D. Portanto, a corrida deve começar em A, dar voltas completas e terminar em D. c) Como sugerido nos itens acima, a solução do problema está baseada na ideia de dar tantas voltas completas sem exceder o comprimento da corrida e depois localizar estações convenientes para percorrer o que falta. Do ponto de vista matemático, o que acabamos de falar é a expressão do algoritmo da divisão euclidiana de números inteiros, no caso com divisor igual a. Em outras palavras, temos o diagrama habitualmente utilizado na divisão euclidiana: que representa a expressão dividendo divisor resto, sendo o resto um número natural menor do que. Logo, o resto só pode ser um dos números ou. Inicialmente, vejamos como podemos realizar corridas com de km até km. Isto é feito por inspeção e o resultado está na tabela abaixo: Página 6 de 10

7 A partir dessa tabela, podemos concluir que é possível realizar corridas cuja extensão é qualquer número inteiro de quilômetros maior do que. Para isso, basta ver que temos duas possibilidades: 1ª possibilidade a extensão é múltipla de 13: nesse caso, escolhemos um posto qualquer e a corrida começa e termina nesse posto, dando um número inteiro de voltas completas na pista. Por exemplo, se a extensão da corrida é km, basta dar 16 voltas completas na pista. 2ª possibilidade a extensão não é múltipla de 13: nesse caso, o resto da divisão da extensão da corrida por é um dos números. Para cada um desses restos, a tabela acima fornece o posto de partida e o de chegada da corrida. Vejamos alguns casos: se o resto é, iniciamos a corrida no posto D e terminamos em B após um certo número de voltas completas na pista. Por exemplo, se a corrida tem km, ela deve começar em D, dar voltas completas até retornar a D e percorrer uma vez o trecho de D até B. se o resto é, iniciamos a corrida no posto C e terminamos em B após um certo número de voltas completas na pista. Por exemplo, se a corrida tem km, ela deve começar em C, dar voltas completas até retornar a C e percorrer uma vez o trecho de C até B. Página 7 de 10

8 Solução da tarefa de casa 3 a) Seja a distância a ser percorrida por Adonis e Basílio. O algoritmo da divisão de Euclides nos permite escrever, onde e. Segue que e. Por exemplo,, donde e. O restante da tabela pode ser preenchido analogamente: b) Para achar um desses números, basta fazer uma tabela como a do item anterior para valores de entre e. Essa tabela mostra que e são os valores de entre e tais que. Observamos que a feitura dessa tabela não é tão trabalhosa como parece, pois o padrão dos valores de e é claro. Por exemplo, basta calcular para os múltiplos de e a linha correspondente a é preenchida como segue: Observação análoga vale para a linha correspondente a. c) Das expressões, temos e. Desse modo, se escreve como. Simplificando essa expressão, chegamos a. O maior valor Página 8 de 10

9 possível para é obtido colocando e, ou seja, o número procurado é. Fica como exercício mostrar que para. Solução da Questão 1 (resolvida em sala de aula) Como deixa resto na divisão por, então existe um inteiro tal que e, logo,. Como, então e, logo, o resto da divisão de por é igual a. Critérios de correção da Questão 1 (resolvida em sala de aula) Esta questão vale 5 pontos, distribuídos da seguinte maneira: Escreveu : pontos; Escreveu que : pontos; Concluiu que o resto da divisão de por é igual a : ponto. Solução da Questão 2 (resolvida em sala de aula) Sejam e as quantidades de saquinhos de balas de coco e de balas de chocolate, respectivamente. Seja a quantidade de balas em cada saquinho. Então, deve-se ter e. Assim, é divisor comum de e. Como deve ter o maior valor possível, então deve ser igual ao mdc de e, que é igual a. Assim, deve-se colocar 12 balas em cada saquinho e deve-se formar de balas de coco e saquinhos de balas de chocolate. saquinhos Página 9 de 10

10 Critérios de correção da Questão 2 (resolvida em sala de aula) Esta questão vale 5 pontos, distribuídos da seguinte maneira: Concluiu que a quantidade de balas em cada saquinho é divisor comum de : pontos; Concluiu que a quantidade de balas em cada saquinho é o mdc de e : pontos; Achou corretamente o mdc de e : 1,5 pontos; Achou corretamente a quantidade de balas em cada saquinho e a quantidade de saquinhos de cada tipo de bala: pontos. e Página 10 de 10