Exercícios de Aprofundamento Mat Sistemas Lineares

Transcrição

1 1. (Unesp 013) Uma coleção de artrópodes é formada por 36 exemplares, todos eles íntegros e que somam, no total da coleção, 113 pares de patas articuladas. Na coleção não há exemplares das classes às quais pertencem o caranguejo, a centopeia e o piolho-de-cobra. Sobre essa coleção, é correto dizer que é composta por exemplares das classes Insecta e a) Arachnida, com maior número de exemplares da classe Arachnida. b) Diplopoda, com maior número de exemplares da classe Diplopoda. c) Chilopoda, com igual número de exemplares de cada uma dessas classes. d) Arachnida, com maior número de exemplares da classe Insecta. e) Chilopoda, com maior número de exemplares da classe Chilopoda.. (Fuvest 015) Em uma transformação química, há conservação de massa e dos elementos químicos envolvidos, o que pode ser expresso em termos dos coeficientes e índices nas equações químicas. a) Escreva um sistema linear que represente as relações entre os coeficientes x, y, z e w na equação química x C8H18 y O z CO w HO b) Encontre todas as soluções do sistema em que x, y, z e w são inteiros positivos. 3. (Unesp 015) Em uma floricultura, os preços dos buquês de flores se diferenciam pelo tipo e pela quantidade de flores usadas em sua montagem. Quatro desses buquês estão representados na figura a seguir, sendo que três deles estão com os respectivos preços. De acordo com a representação, nessa floricultura, o buquê 4, sem preço indicado, custa a) R$ 15,30. b) R$ 16,0. c) R$ 14,80. d) R$ 17,00. e) R$ 15,50. ax y 1 4. (Fuvest 015) No sistema linear y z 1, nas variáveis x, y e z, a e m são x z m constantes reais. É correto afirmar: a) No caso em que a 1, o sistema tem solução se, e somente se, m. b) O sistema tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m. c) No caso em que m, o sistema tem solução se, e somente se, a 1. d) O sistema só tem solução se a m 1. e) O sistema não tem solução, quaisquer que sejam os valores de a e de m. 5. (Epcar (Afa) 015) Alex possui apenas moedas de 5 centavos, de 50 centavos e de 1 real, totalizando 36 moedas. Sabe-se que a soma do número de moedas de 5 centavos com o dobro do número de Página 1 de 14

2 moedas de 50 centavos é igual à diferença entre 8 e 5 vezes o número de moedas de 1 real. Nessas condições é correto afirmar que a) esse problema possui no máximo 7 soluções. b) o número de moedas de 5 centavos nunca será igual ao número de moedas de 50 centavos. c) o número de moedas de 50 centavos poderá ser igual à soma do número de moedas de 5 centavos com as de 1 real. d) o número de moedas de 1 real pode ser 3 6. (Unicamp 015) Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z x y 3z 0 7x 8y mz 6, onde m é um número real. Sejam a b c números inteiros consecutivos tais que (x,y,z) (a,b,c) é uma solução desse sistema. O valor de m é igual a a) 3. b). c) 1. d) (Unicamp 015) Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão q 0 e a a) Mostre que x é uma raiz do polinômio cúbico p(x) a bx cx dx. q b) Sejam e e f números reais quaisquer e considere o sistema linear nas variáveis x e y, a c x e. Determine para que valores da razão q esse tem solução única. d b y f 8. (Unicamp 014) Considere a matriz a 1 1 A 1 0 b, c 0 onde a, b e c são números reais. a) Encontre os valores de a, b e c de modo que T A A. b) Dados a 1 e b 1, para que os valores de c e d o sistema linear soluções? x 1 A y 1 z d tem infinitas 9. (Ita 014) Considere a equação A(t) X B (t), t, em que t t e e 1 x t e A(t) 1 1 1, X y e B(t). 3 1 z 0 valores de x, y e z são, respectivamente, a), 0, 3. b), 0, 3. c) 0, 3,. d) 0, 3, 3. Sabendo que det A(t) 1 e t 0, os Página de 14

3 e) 3, 3, (Fgv 014) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma sociedade com um capital de R$ ,00. B entrou com uma quantia igual ao dobro da de A, e a diferença entre a quantia de C e a de A foi R$ ,00. O valor absoluto da diferença entre as quantias de A e B foi: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ 0 000,00 d) R$ 5 000,00 e) R$ , (Fuvest 014) Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas brancas. As bolas de mesma cor são idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir quantas bolas de cada cor estão no recipiente, usou se uma balança de dois pratos. Verificou se que o recipiente com as bolas pode ser equilibrado por: i) 16 bolas brancas idênticas às que estão no recipiente ou ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas às que estão no recipiente ou iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas. Sendo P A, P B e P R, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do recipiente na mesma unidade de medida, determine P a) os quocientes A P B P ; P e R B b) o número n A de bolas azuis e o número n B de bolas brancas no recipiente. x 1 x (Ita 014) Sejam A y x 1 e B y y z 3 z uma matriz antissimétrica. Das afirmações abaixo: matrizes reais tais que o produto AB é I. BA é antissimétrica; II. BA não é inversível; III. O sistema BA X 0, verdadeira(s) a) Apenas I e II. b) Apenas II e III. c) Apenas I. d) Apenas II. e) Apenas III. t com X x x x, 1 3 admite infinitas soluções, é (são) 13. (Ita 014) Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z x y z 0 x senθ y 4z 0, x 1 cosθ y 16z θ 0, π. a) Determine θ tal que o sistema tenha infinitas soluções. b) Para θ encontrado em (a), determine o conjunto-solução do sistema. Página 3 de 14

4 14. (Epcar (Afa) 013) Irão participar do EPEMM, Encontro Pedagógico do Ensino Médio Militar, um Congresso de Professores das Escolas Militares, 87 professores das disciplinas de Matemática, Física e Química. Sabe-se que cada professor leciona apenas uma dessas três disciplinas e que o número de professores de Física é o triplo do número de professores de Química. Pode-se afirmar que a) se o número de professores de Química for 16, os professores de Matemática serão a metade dos de Física. b) o menor número possível de professores de Química é igual a 3. c) o número de professores de Química será no máximo 1. d) o número de professores de Química será maior do que o de Matemática, se o de Química for em quantidade maior ou igual a (Ita 013) Considere o sistema nas variáveis reais x e y : x senα 3y cosα a x cosα y senα b, π com α 0, e a, b. Analise para que valores de α, a e b o sistema é (i) possível determinado, (ii) possível indeterminado ou (iii) impossível, respectivamente. Nos casos (i) e (ii), encontre o respectivo conjunto-solução. 16. (Espm 013) O sistema se: a) a b) a c) a d) a e) a ax 4y a, x ay em x e y, é possível e indeterminado se, e somente 17. (Enem 013) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa igual a 3 do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos. Qual a expressão que representa a relação entre X e Y? a) 5X 3Y + 15 = 0 b) 5X Y + 10 = 0 c) 3X 3Y + 15 = 0 d) 3X Y + 15 = 0 e) 3X Y + 10 = 0 ax by c 18. (Ita 013) Considere o sistema de equações, com a, b, c, d, p e q reais, px qy d abcd 0, a b m e d nc. Sabe-se que o sistema é indeterminado. O valor de p q é a) m b) m n c) m n d) mn e) m + n Página 4 de 14

5 19. (Fgv 013) Para trabalhar na Feira Internacional do Livro, a editora contratou três funcionários: Ana, Beto e Carlos, com salários x, y e z reais, respectivamente. O salário de Ana é igual à soma dos salários de Beto e Carlos. No final da feira, a editora pagou uma gratificação, de valor igual ao salário de Beto, a cada um dos três. Assim, Ana recebeu no total, R$.300,00, e a soma dos valores que os três receberam foi de R$5.400,00. Qual foi o valor da gratificação que receberam? Página 5 de 14

6 Gabarito: Resposta da questão 1: [D] [Resposta do ponto de vista da disciplina de Biologia] A questão pode ser resolvida por meio de um sistema linear composto por duas equações: sejam x e y, respectivamente, o número de insetos e de aracnídeos na coleção, e 6x e 8y o número respectivo de patas. Então: x y 36 x 36 y 636 y 8y 6 6x 8y 6 6x 8y y 8y 6 y 10 y 5 Substituindo: x 36 5 x 31. Logo, na coleção há 5 aracnídeos e 31 insetos. [Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] Considerando as classes do Filo Arthropoda, nesta coleção estariam presentes somente representantes das classes Insecta e Arachnida. Considerando que x é o número de aracnídeos (8 patas) e y o número de insetos (6 patas), podemos escrever: x y 36( 6) 6x 6y 16 (I) 8x 6y 6 8x 6y 6 (II) Fazendo (II) (I), temos: x = 10 x = 5 (aracnídeos) e y = 31 (insetos) Resposta [D]. Resposta da questão : [Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemática] a) C: 8x = z H: 18x = w O: y = z +w Daí, temos o seguinte sistema linear: z 8x w 9x y z w b) Para resolver o sistema acima vamos considerar x α, então: w 18 α, z 16α e y 5α e a solução do sistema indeterminado será S α,5 α,16 α,18α para α *. Página 6 de 14

7 [Resposta do ponto de vista da disciplina de Química] a) O número de átomos do lado esquerdo da equação é igual ao número de átomos do lado direito da equação para cada elemento químico. x C8H18 y O z CO w HO 8x C z C 18x H w H y O (z w) O Sistema linear: 8x z 18x w y z w b) Soluções do sistema em que x, y, z e w são inteiros positivos: 8x z 18x w y z w z 8x w 9x y 8x 9x z 8x w 9x y 1,5 x Para números inteiros e positivos do tipo x t, substituindo, vem: z 8 t w 9 t y 1,5 t x t z 16 t w 18 t y 5 t Resposta da questão 3: [A] De acordo com as figuras, temos x y z 1,9 x y z 1,1. x z 14,6 Queremos calcular o valor de x y z. Multiplicando a segunda equação por, encontramos x 4y z 4,. Mas x z 14,6 e, portanto, segue que 4y 9,6, implicando em y,4. Em consequência, a resposta é Página 7 de 14

8 x y z x y z y 1,9,4 R$ 15,30. 1ª equação Resposta da questão 4: [A] O determinante da matriz dos coeficientes é igual a a a Logo, se a 1 o sistema possui solução única. Por outro lado, se a 1, devemos tomar a matriz ampliada do sistema para continuar a discussão. Com efeito, escalonando a matriz ampliada, vem m m 1 L ' ( 1) L L m L '' ( 1) L ' L ' 3 Portanto, o sistema possui solução única para a 1 e m ; possui infinitas soluções se a 1 e m ; e não possui solução se a 1 e m. Resposta da questão 5: [C] Sejam x, y e z, respectivamente, o número de moedas de 5 centavos, o número de moedas de 50 centavos e o número de moedas de 1 real. Sabendo que o total de moedas é 36, e que a soma do número de moedas de 5 centavos com o dobro do número de moedas de 50 centavos é igual à diferença entre 8 e 5 vezes o número de moedas de 1 real, temos x y z 36. x y 5z 8 Adicionando a primeira linha multiplicada por 1 à segunda linha, vem x y z 36. y 4z 46 Em consequência, podemos escrever x 3z 10. y 46 4z Página 8 de 14

9 Desde que x, y e z são números inteiros não negativos, temos 4 z 11 e, portanto, as soluções do sistema são (, 30, 4), (5, 6, 5), (8,, 6), (11,18, 7), (14,14, 8), (17,10, 9), (0, 6,10) e (3,,11). Em particular, y x z na terna (11,18, 7). Resposta da questão 6: [A] Sendo a b c números inteiros consecutivos, temos b a 1 e c a. Em consequência, da primeira equação do sistema, vem a (a 1) 3 (a ) 0 a. Assim, encontramos (x, y, z) (, 3, 4) e, portanto, temos 7 83 m 4 6, implicando em m 3. Resposta da questão 7: a) Tem-se que b aq, c aq e 3 d aq. Logo, vem p a aq aq aq q q q q a a a a 0. Por conseguinte, 1 x é uma raiz do polinômio p(x). q b) De (a), obtemos a c x e a aq x e. d b y f 3 aq aq y f Sabendo que a 0, q 0 e q, o sistema terá solução única se, e somente se, a 3 aq aq aq 5 0 a q a q 0 a q(1 q )(1 q ) 0. Portanto, além de q 0, deve-se ter q 1. Resposta da questão 8: t a) Se A A, então A é antissimétrica. Logo, deve-se ter a 0, b e c 1. x b) Se a 1 e b 1, a matriz ampliada do sistema A y 1 é Logo, z d c 0 d efetuando as operações elementares sobre essa matriz, obtemos a matriz equivalente Página 9 de 14

10 c c d 4 Por conseguinte, o sistema possui infinitas soluções se c 0 e d 4. Resposta da questão 9: [B] Como det A(t) 1, temos t e t e t t t t 1 4e 3e 1 3 e e Porém, t 0 implica em t t e e 3 0 4t t e 3e 0 t t e 1 ou e. t e e, portanto, 1 1 x A(t)X B(t) y. 3 1 z 0 Tomando a matriz ampliada do sistema e aplicando as operações elementares sobre matrizes, vem ' 1 L 1 L L ' L 3 L L '' ' ' 3 3 L ( 5) L L Por conseguinte, x, y 0 e z 3. Resposta da questão 10: [A] Sejam a, b e c, respectivamente, as quantias com que os sócios A, B e C entraram na sociedade. Tem-se que Página 10 de 14

11 a b c a a a b a b a c a c a a b c Portanto, o resultado é a b a a a R$ ,00. Resposta da questão 11: a) Temos na PA nb PB PR 16 PB 10 PB 5PA 4 P R. Logo, 16 PB 10 PB 5 PA 5 PA 6 PB PA 6 PB 5 e PR 16 PB 4 PR 4. P B b) Dividindo ambos os lados da igualdade na PA nb PB PR 16 PB por P, B vem P P P P 6 n n 16 n n 1 A B R B A B A B PB PB PB PB 5 5 n A (1 n B). 6 Como n A e n B são inteiros maiores do que 1, segue-se, por inspeção, que só pode ser na 5 e n B 6. Resposta da questão 1: [B] Efetuando o produto AB, temos x y z 6 x y z AB. x y z 3 z Como AB é antissimétrica, temos: z 0 x y z 6 0 Logo, x y 6 x y z 3 (x y z), então, 3 x 3, ou seja, x 1 e y 5. Logo, A, B e BA e det(ba) = 0. [I] Falsa, pois t BA (BA). Página 11 de 14

12 [II] Verdadeira, pois det(ba) = 0. [III] Verdadeira, pois se o sistema linear homogêneo, com determinante é nulo, possui infinitas soluções. Resposta da questão 13: a) Como o sistema é homogêneo, basta que o determinante da matriz dos coeficientes seja nulo para que o sistema seja possível e indeterminado. Logo, vem sen 4 0 cos sen cos 16 Daí, lembrando que cos 1 sen, obtemos sen sen 0 (sen )(sen 1) 0. Assim, convém apenas sen 1. Sendo [0, ], concluímos que 3 rad. b) Para 3 rad temos ' 1 L 1 L L ' L ( ) L L O sistema equivalente é x y z 0. 6z 0 '' ' ' 3 3 L ( ) L L. Portanto, temos z 0, x y e o conjunto solução do sistema é S {(,, 0); }. Resposta da questão 14: [C] M = número de professores de Matemática F = o número de professores de Física Q = número de professores de Química De acordo com o problema, temos: Página 1 de 14

13 F 3 Q M F Q 87 M 3Q Q 87 M 87 4 Q Como 87 4Q > 0, temos 4Q > 87 Q < 1,75 Portanto, o número de professores de Química será no máximo 1. Resposta da questão 15: O sistema será SPD se, e somente se senα cosα 3cosα senα 0 sen α 3co α tg α 3 tgα 3 π π como α0,,temos, portanto: α 3 a 3cosα senα a b senα a.senα b.3cosα cosα b b.senα acosα x e y = x sen α 3cos α sen α 3cos α sen α 3cos α sen α 3cos α a.senα b.3cosα b.senα acosα Neste caso, a solução será dada por S =, sen α 3cos α sen α 3cos α 3 3 x y a π x 3y b Considerando agora α=, temos x 3y a x y b x 3y Escalonando o sistema, temos:. 0 0 a b 3 b x Se a = b 3, o sistema será SPI, e a solução S= x,,x. 3 Se a b 3, o sistema será SI, e a solução S =. Resposta da questão 16: [D] O sistema é possível e indeterminado se, e somente se, a 4 a a. 1 a Resposta da questão 17: [B] Seja Z o tempo que a luz vermelha fica acesa. Logo, temos Página 13 de 14

14 Z 3X X Z 3 e, portanto, 3X Y 5 X Z Y 5 X 5X Y Resposta da questão 18: [D] Para que o sistema acima seja indeterminado os determinantes zero a c c b 0 p d d q Logo, ad pc cq bd d. a b c. p q n.c.m c. p q p q m.n Resposta da questão 19: Temos x y z z x y x y 300 x y 300. x 4y z 5400 x 3y 5400 D x e D y deverão ser iguais a Portanto, somando a terceira linha com a segunda multiplicada por, encontramos y R$ 800,00, que é o resultado procurado. Página 14 de 14