x 2y z 9 2x y z 3, 3x y 2z 4

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1 PROFESSOR: Equipe BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 2ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PARTE 3 ============================================================================================= Sistemas 01- Se a terna (a, b, c) é solução do sistema x 2 z 9 2x z 3, 3x 2z então calcule o valor numérico de (a b c). 02- Uma pessoa tem no bolso moedas de R$1,00, de R$ 0,50, de R$0,25 e R$0,10. Se somadas, as moedas de R$1,00 com as de R$0,50 e com as de R$ 0,25, têm-se R$ 6,75. A soma das moedas de R$0,50 com as moedas de R$0,25 e com as de R$0,10, resulta em R$,5. A soma das moedas de R$0,25 com as de R$0,10 resulta em R$ 2,95. Das alternativas, assinale a que indica o número de moedas que a pessoa tem no bolso. (A) 22. (B) 23. (C) 2. (D) 25. (E) Uma pequena empresa fabrica dois tipos de colchão: solteiro e casal. A tabela a seguir refere-se ao faturamento da empresa nos meses de agosto e setembro: Faturamento mensal com colchão Faturamento mensal com colchão de solteiro de casal TOTAL AGOSTO (?) (?) R$ 8 320,00 SETEMBRO Metade do valor faturado em agosto Um terço do valor faturado em agosto R$ 3 200,00 Cada colchão de solteiro custa R$ 320,00, e cada colchão de casal custa R$ 80,00. A quantidade de colchões de solteiro vendidos em agosto corresponde a: (A) 6. (B) 8. (C) 10. (D) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma sociedade com um capital de R$ ,00. B entrou com uma quantia igual ao dobro da de A, e a diferença entre a quantia de C e a de A foi R$ ,00. O valor absoluto da diferença entre as quantias de A e B foi: (A) R$ ,00. (B) R$ ,00. (C) R$ ,00. (D) R$ ,00. (E) R$ ,00. Página 1 de 6-27/0/2016-9:8

2 05- Em um determinado parque, existe um circuito de caminhada, como mostra a figura a seguir. Um atleta, utilizando um podômetro, percorre em um dia a pista 1 duas vezes, atravessa a ponte e percorre a pista 2 uma única vez, totalizando 1157 passos. No dia seguinte, percorre a pista 1 uma única vez, atravessa a ponte e percorre a pista 2, também uma única vez, totalizando 757 passos. Além disso, percebe que o número de passos necessários para percorrer sete voltas na pista 1 equivale ao número de passos para percorrer oito voltas na pista 2. Diante do exposto, conclui-se que o comprimento da ponte, em passos, é: (A) 5. (B) 6. (C) 7. (D) 8. (E) Segundo uma promoção realizada por um time de futebol, os associados ganham crédito de R$ 6,00 em compras, na loja oficial do clube, por vitória do time, ganham R$ 2,00 por empate e não ganham, nem perdem créditos quando há derrota. Até o momento, o time jogou 8 partidas e cada vitória vale 3 pontos na tabela do campeonato, cada empate vale 1 ponto e cada derrota zero ponto, totalizando 16 pontos no campeonato e R$ 32,00 de créditos para associados. Em relação aos dados acima, analise as proposições abaixo e assinale a soma da(s) CORRETA(S). (01) A situação apresentada no enunciado pode ser representada por um sistema linear. (02) Há apenas uma solução para a quantidade de vitórias, empates e derrotas do time. (0) Não existem valores reais que representem solução para a quantidade de vitórias, empates e derrotas do time. (08) Há mais de uma solução para a quantidade de vitórias, derrotas e empates do time. (16) Podemos garantir que a quantidade de vitórias é maior que a soma de empates e derrotas. Soma: 07- Na era do real, o brasileiro nunca guardou tantos recursos na poupança quanto no mês de junho de Nesse mês, a caderneta captou R$ 9,5 bilhões líquidos (depósitos menos saques), um recorde mensal na série do Banco Central, iniciada em Sabendo que, nesse mês, a metade do valor total depositado mais 2 5 do valor total sacado foi igual a R$ 100,6 bilhões, pode-se concluir que o valor total depositado na poupança em junho de 2013 foi, em bilhões de reais, igual a: (A) 112,5. (B) 108. (C) 106,5. (D) 116. (E) As frutas são fontes naturais de vitaminas e sais minerais e auxiliam na prevenção de doenças. Suponha que as equações do sistema 70X a 260 ax b 7z 19 20x 12z 8 representam, respectivamente, a quantidade de vitamina C, cálcio e fósforo, quando são ingeridas as porções x, e z de três tipos de frutas diferentes. Sabe-se que o sistema tem como solução x 3, 1 e z 2. Página 2 de 6-27/0/2016-9:8

3 Qual é o determinante da matriz dos coeficientes do sistema? (A) (B) (C) (D) (E) Uma padaria possui 3 tipos de padeiros, classificados como A, B e C. Essa padaria é bem conhecida na cidade pela qualidade do pão francês, da baguete e do pão de batata. Cada padeiro do tipo A produz, diariamente, 30 pães franceses, 100 baguetes e 20 pães de batata. Cada padeiro do tipo B produz, diariamente, 30 pães franceses, 70 baguetes e 20 pães de batata. Cada padeiro do tipo C produz, diariamente, 90 pães franceses, 30 baguetes e 100 pães de batata. Quantos padeiros do tipo A, do tipo B e do tipo C são necessários para que em um dia a padaria produza, exatamente, 20 pães franceses, 770 baguetes e 360 pães de batata? Apresente os cálculos realizados na resolução desta questão. 10- O sistema 2x 3 x 2 pode ser apresentado como: (A) (B) (C) (D) (E) 2 1 x x x x x Gabarito Tomando a matriz ampliada do sistema e escalonando, obtemos L 2 ' ( 2) L1 L2 L 3 ' ( 3) L1 L L 3 '' ( 2) L 2 ' L 3 ' L 3'' L 2' L 3 ''' ( 3) L 2'' L 3'' Página 3 de 6-27/0/2016-9:8

4 x 2 z 9 Portanto, o sistema escalonado equivalente é z 1. 6z 12 x 1, 3 e z 2. Portanto, segue que a b c Resolvendo esse sistema, obtemos facilmente 02- (A) Considerando: x moedas de R$ 1,00 moedas de R$ 0,50 z moedas de R$ 0,25 w moedas de R$ 0,10 Temos o seguinte sistema: x 0,5 0,25z 6,75 0,5 0,25z 0,1w,5 0,25z 0,1w 2,95 Substituindo a terceira equação na segunda, temos: 3. Da terceira equação, temos: z w (B) 0- (A) Para que w seja um número inteiro devemos considera como sendo um número ímpar. Se z 1, temos w 27, 3 e x 5. Logo, x z w 36. Se z 3, temos w 22, 3 e x,5 (não convém). Se z 5, temos w 17, 3 e x. Logo, x z w 29. Se z 7, temos w 12, 3 e x 3,5 (não convém). Se z 9, temos w 7, 3 e x 3. Logo, x z w 22. Se z 11, temos w 2, 3 e x 2,5 (não convém). Se z 13, temos x 3 (não convém). Portanto, a resposta possível é x z w 22 moedas. Sendo x o faturamento para o mês de agosto para colchão de solteiro e o faturamento para o mês de agosto para colchão de casal, tem o seguinte sistema: x 8320 x Resolvendo o sistema temos x 2560, portanto o número de colchões vendidos em agosto será dado por 2560 : Sejam a, b e c, respectivamente, as quantias com que os sócios A, B e C entraram na sociedade. Tem-se que a b c a 2a a b 2a b 2a c a c a a b c Portanto, o resultado é a b a 2a a R$ , (C) Página de 6-27/0/2016-9:8

5 Comprimento da pista 1: x Comprimento da ponte: Comprimento da pista 2: z De acordo com as informações do problema temos o seguinte sistema linear: 2x z 1157 ( I ) x z 757 ( II ) 7x 8z (III) Fazendo ( I ) ( II ), temos x = 00m Utilizando a equação (III) temos: 7(00) 8z z 350 Utilizando agora a equação (II): m Portanto, o comprimento da ponte é 7m = (D) 08- (B) Admitindo que x seja o número de vitórias, o número de empates e z o número de derrotas, temos o seguinte sistema linear: x z 8 3x 16 6x 2 32 Multiplicando a segunda equação por -2 e somando com a terceira, temos o sistema indeterminado: x z 8 3x 16 Onde, = 16 3x e z = 2x 8 Temos então apenas dois valores possíveis para x, considerando a situação do problema, x = ou x = 5. Portanto, os ternos ordenados que verificam o problema são: (,, 0) ou (5, 1, 2). (01) Verdadeira. O sistema formado acima é linear. (02) Falsa. Temos duas soluções possíveis. (0) Falsa. Temos duas soluções possíveis. (08) Verdadeira. Temos duas soluções. (16) Falsa, pois não é maior que + 0. Considerando x o valor depositado e o valor sacado, temos o seguinte sistema: x 9,5 x 9,5 x 2 100,6 5x Multiplicando a primeira equação por e somando com a segunda, temos 9x 10 x 116. Portanto, x = 116 bilhões. Fazendo x = 3, = 1 e z = 2 nas duas primeiras equações, temos: 70 3 a a 50 a 50 a 3 b a b 181 b 30 Portanto, o determinante dos coeficientes será: ( ) Página 5 de 6-27/0/2016-9:8

6 09- Sejam a, b e c, respectivamente, o número de padeiros do tipo A, do tipo B e do tipo C. Temos 30a 30b 90c 20 a b 3c 1 100a 70b 30c a 7b 3c 77 20a 20b 100c 360 a b 5c 18 a b 1 3c 10a 7b 3c 77 2c a b 8 10a 7b 71 c 2 a 5 b 3. c 2 Portanto, são necessários 5 padeiros do tipo A, 3 padeiros do tipo B e 2 padeiros do tipo C. 10- (A) Decompondo o sistema num produto matricial, temos: 2x x 3 x FM/1503/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/2015/MATEMATICA - 2a SERIE - ENSINO MEDIO - 1a ETAPA CLAUDIO DIAS - PARTE 3 - SISTEMAS.DOC Página 6 de 6-27/0/2016-9:8