Investigação Operacional 2005/06 Ficha 6 Teoria da Dualidade e Problema de Transportes

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1 Investigação Operacional 2005/06 Ficha 6 Teoria da Dualidade e Problema de Transportes Departamento de Engenharia Civil Secção de Planeamento do Território e Ambiente 1. Problema da Pedreira III A empresa Constrói-Razoavelmente (CR) tem neste momento obras em Lisboa, no Porto e em Coimbra. A procura diária de inertes em cada obra está de acordo com o quadro seguinte. Procura de inertes (m3/dia) Porto Coimbra Lisboa A empresa CR tem pedreiras em Pinhel, Arouca e Portalegre, com a seguinte produção diária de inertes. Produção de inertes (m3/dia) Portalegre Arouca Pinhel Porto Lisboa Pinhel Arouca Coimbra Portalegre O custo dos próprios inertes e o custo de transporte entre a pedreira e a obra estão representados no quadro seguinte. Custo de transporte ( /m3) Custo dos inertes Porto Coimbra Lisboa ( /m3) Portalegre 2,5 1,5 1,7 1,5 Arouca 1 1,2 2,2 1,2 Pinhel 1,2 1,5 2,6 1 a) Formule este problema como um problema de programação linear b) Formule o problema dual deste problema primal. c) Formule este problema como um problema de transportes. d) Resolva este problema de transportes.

2 2. Problema do Transporte de Mármore A empresa de construção Constrói-Muito, Ltd está neste momento a contruir edíficios de luxo em 3 cidades: Vila Real, Braga e Coimbra. Na construção desses edifícios é utilizado mármore de alta qualidade importado de Itália. O mármore chega ao porto de Leixões por barco e tem então de ser transportado para cada obra por camioneta. A empresa CM pediu orçamentos para o transporte do mármore a 3 firmas diferentes e obteve a seguinte tabela de preços. ( /kg) Vila Real Braga Coimbra Sempre-Rápido (I) Empacota-Mal (II) Empacota-Bem (III) O consumo diário de mármore é respectivamente de 1800, 1000 e 800 kg em Vila Real, Braga e Coimbra. A quantidade máxima que cada firma pode transportar por dia é respectivamente de 1200, 1600 e 2400 kg para as firmas I, II e III. a) Partindo do princípio que a empresa CM não tem preferência especial por qualquer das transportadoras como deve proceder de forma a minimizar os custos? b) A empresa Empacota-Bem garante a entrega dos materiais sempre em excelentes condições. Por essa razão, CM tem preferência por essa empresa. Qual seria nesse caso a melhor solução? (Sugestão: Crie um destino fictício e atribua um custo de transporte muito elevado à origem III) 3. Problema de Transportes Considere o quadro de um problema de transportes na página seguinte. Os valores no canto superior direito de cada célula são os custos de transporte cij. Os valores no canto inferior esquerdo de algumas células (i,j) são os valores de uma solução básica (quantidade transportada da origem i para o destino j). Oferta Procura

3 a) Mostre que a solução é óptima. b) Haverá outra solução óptima? Indique quais as variáveis básicas respectivas. c) Suponha que c 42 é reduzido de 12 para 10. Continuará a presente solução a ser óptima? Em caso negativo determine a nova solução óptima. 4. Problema das Vigotas Pré-Esforçadas A empresa Viga-Forte tem um contrato para a entrega do seguinte número de vigotas préesforçadas durante o próximo Verão: Junho: 60 vigotas Julho: 110 vigotas Agosto: 70 vigotas Setembro: 120 vigotas O preço de venda de cada vigota é constante. A empresa pode produzir mensalmente 80 vigotas a um custo unitário de 20. Trabalhando horas extraordinárias, cada mês pode ainda produzir 40 vigotas com um custo unitário 10 mais elevado do que as produzidas em horas normais de trabalho. As vigotas podem ser armazenadas por 3 /mês cada uma. a) Formule o modelo de transportes que permite encontrar um programa de produção de modo a minimizar o custo de produção mas satisfazendo as condições do contrato. Determine a solução óptima. Suponha que as vigotas feitas em determinado mês podem ser entregues nesse mês e nos que se lhe seguem. O contrato deve ser cumprido todos os meses. b) Formule o modelo de programação linear correspondente. c) Suponha agora que o preço de venda por vigota é de 40 em Junho e Julho e de 50 em Agosto e Setembro. Formule o modelo que permite encontrar um programa de produção de modo a maximizar o lucro. Determine a solução óptima. (Nota: Este é um problema de maximização). (*) 5. Problema de Planeamento Regional A Comissão de Coordenação Regional da Região Interior (CCRI) pretende distribuir pelas 3 principais cidades da zona um investimento de 14 milhões de euros de Fundos Comunitários (UE) e 8 milhões de euros vindos do Estado Português. Este dinheiro é destinado à melhoria das estradas e da rede de transportes públicos. A CCRI tem projectos para as 3 cidades com os seguintes valores:

4 Cidade Projectos (milhões ) Estradas 3,25 2,6 1,95 Transporte Público 7,5 8,0 6,5 A União Europeia pretende que todo seu dinheiro seja investido em projectos de transportes públicos, ao passo que o Governo Português só permite que o seu dinheiro financie projectos de estradas depois de todos os projectos de transporte público estarem financiados. Sabe-se ainda que o benefício por cada euro investido é diferente em cada cidade (devido a diferentes níveis de congestionamento, dimensão das cidades e estado actual das redes de transportes) e por tipo de fonte de financiamento (devido aos diferentes níveis de burocracia). Os benefícios estão na seguinte proporção: Benefícios Cidade (por investido) UE Estado Para além disso, sabe-se que os benefícios do investimento em transportes públicos são em geral metade dos benefícios do investimento em estradas. Determine o plano de distribuição do investimento que maximiza os benefícios, garantindo que as condições impostas pelos financiadores sejam cumpridas. (Sugestão: Divida cada cidade em 2 tipos de projecto. Faça os benefícios unitários dos fundos europeus para os projectos de estradas infinitamente negativos. Crie uma origem fictícia e faça os benefícios unitários dessa origem para os projectos de transporte público infinitamente negativos.) (*) 6. Problema da Equipa de Gestão de Projectos (Problema de Afectação) O gabinete de gestão de projectos Controlador, Lda foi contratado pelo Instituto de Estradas para lhe dar apoio especializado durante a construção de uma grande autoestrada (a AE302) na Região Interior. Há 4 tarefas principais que a equipa de gestão de projectos terá a seu cargo: - Fiscalização dos trabalhos - Ligação com o Director de Obra - Controlo de Custos - Revisão do Projecto

5 O chefe do gabinete tem quatro engenheiros disponíveis para integrar esta equipa e deve decidir como distribui-los pelas diferentes tarefas. Ele achou boa ideia atribuir uma nota por tipo de tarefa a cada um dos engenheiros, baseada no seu desempenho em projectos anteriores. O Engº António e a Engª Carla não têm qualquer experiência de Controlo de Custos e Revisão de Projecto, respectivamente, pelo que são automaticamente excluídos dessas tarefas. Fiscalização Ligação com Dir. Obra Controlo Custos Revisão Projecto António Bernardo Carla Daniel a) Formule este problema de afectação como um problema de programação linear. b) Formule este problema de afectação como um problema de transportes. c) Resolva este problema de transportes. d) Suponha que o Engº Edgar fica disponível para integrar este projecto e lhe são atribuidas as notas de 6, 4.5, 3 e 8 para desempenhar, respectivamente, cada um dos 4 projectos. Será que o chefe do gabinete deveria substituir algum dos outros 4 engenheiros?