Análise e Síntese de Algoritmos. Programação Linear CLRS, Cap. 29

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1 Análise e Síntese de Algoritmos Programação Linear CLRS, Cap. 29

2 Conteto Algoritmos em Grafos (CLRS, Cap )... Fluos máimos em grafos (CLRS, Cap. 26) Programação Linear (CLRS, Cap. 29) Programação Dinâmica (CLRS, Cap. 15) Algoritmos Greedy (CLRS, Cap. 16) Emparelhamento de Caracteres (CLRS, Cap. 32) Completude NP (CLRS, Cap. 34) Algoritmos de Aproimação (CLRS, Cap. 35) 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 2

3 Resumo Motivação Formas canónicas: Standard e Slack Formulação de problemas O algoritmo Simple Soluções eequíveis iniciais Dualidade 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 3

4 Eemplo Urbanos Suburbanos Campo Estradas Liberalização droga Subsídios agricultura Imposto sobre gasolina Queremos ganhar pelo menos 50% dos votos ( urbanos, suburbanos e rurais) Entrada representa o número de votos (em milhares) ganhos por cada 1000 Euros gastos em campanhas 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 4

5 Eemplo Urbanos Suburbanos Campo Estradas Liberalização droga Subsídios agricultura Imposto sobre gasolina = estradas; 2 = droga; 3 = subsídios; 4 = imposto minimizar sueito a = i 1 i , , , /2006 Análise e Síntese de Algoritmos 5

6 Formulação Geral Programação Linear (LP): Optimizar (minimizar ou maimizar) função linear sueita a conunto de restrições lineares Função linear (função obectivo): Restrições lineares: f n 1 c = 1 (,2, K,n ) = g i ( 1, 2, K,n ) ai = bi n = = /2006 Análise e Síntese de Algoritmos 6

7 Perspectiva sobre LP Qualquer solução do conunto de restrições designa-se por solução eequível A cada solução eequível corresponde um valor da função obectivo (ou de custo) O conunto de soluções eequíveis é designado por região eequível A região eequível é um conunto conveo no espaço n- dimensional Eemplo Conunto conveo S: qualquer ponto de um segmento que liga quaisquer dois pontos em S está também em S S é designado por simple 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 7

8 Perspectiva sobre LP Utilização de representações canónicas: Formas standard e slack Algoritmos: Algoritmo Simple Eponencial no pior caso; eficiente na prática e muito utilizado Algoritmo da Elipsóide Polinomial; normalmente ineficiente Métodos de Ponto Interior Polinomiais; eficientes na prática, competitivos com Simple 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 8

9 Perspectiva sobre LP Noções a reter: Solução eequível Solução não eequível Valor da função obectivo: valor obectivo Valor máimo/mínimo: valor obectivo óptimo LP sem soluções eequíveis diz-se não eequível; caso contrário diz-se eequível LP eequível, mas sem solução óptima, diz-se não limitado 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 9

10 Formulação de Problemas de LP Fluos de Custo Mínimo: minimizar z ( ) = ( i, ) c i E i sueito a : { ( i, ) E } 0 Caminhos Mais Curtos Fluo Máimo... i i :, u i i { : ( i ) E} = b () i i V ( i, ) E 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 10

11 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 11 Outras Formulações Caminhos Mais Curtos Entre s e t: Fluo Máimo: [] [ ] [ ] ( ) ( ) [] 0,, = + s d E v u v u w u d v d t d sueito a maimizar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } t s V u v u f V v u u v f v u f V v u v u c v u f v s f V v V v, 0,,,,,,,, = = sueito a maimizar

12 Forma Standard função obectivo maimizar n = 1 c sueito a n = 1 a i b i i = 1,2, K, m restrições 0 = 1,2, K, n Todos os valores c, a i, b i são valores reais Representação matricial: maimizar T c sueito a A b 0 Em que A = (a i ), b = (b i ) e c = (c ) e = ( ) 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 12

13 Conversão para Forma Standard Problemas: Minimização em vez de maimização Variáveis sem restrição de serem não negativas Restrições com igualdade Restricões com 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 13

14 Conversão para Forma Standard Soluções: Minimização vs. Maimização: Multiplicar coeficientes por -1 Variáveis sem restrição de serem não negativas: Substituir i por duas variáveis i1 e por i2, e multiplicar coeficientes de i2 por 1 Restrições com igualdade: Introduzir duas restrições, uma com e outra com Restrições com : Multiplicar restrição por 1 Eemplo 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 14

15 Conversão para Forma Slack Obectivo é trabalhar apenas com igualdades Todas as restrições, ecepto as restrições das variáveis serem não negativas, são igualdades Para cada restrição introduzir uma nova variável s s: variável de slack Conversão de forma standard para forma slack: Eemplo s = bi = a 1 s 0 = b 0 n n+ i i = 1 n+ i n i a i 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 15

16 Forma Slack Nas epressões: = b n n+ i i = 1 a i Variáveis epressas em função de outras variáveis designam-se por variáveis básicas As variáveis que definem as variáveis básicas designam-se por variáveis não-básicas Definir: Eemplo z n = = 1 c 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 16

17 Forma Slack N: B: Conunto de índices das variáveis não básicas, N = n Conunto de índices das variáveis básicas, B = m Obs: { 1,2, K n m} N B =, + Forma slack descrita por: (N, B, A, b, c, v) v: constante na função obectivo 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 17

18 O Algoritmo Simple Definições Pivots Eemplo O algoritmo simple Soluções eequíveis iniciais Dualidade 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 18

19 Forma Slack Nas epressões: = b n n+ i i = 1 a i Variáveis epressas em função de outras variáveis designam-se por variáveis básicas As variáveis que definem as variáveis básicas designam-se por variáveis não-básicas Definir: z n = = Forma slack descrita por: (N, B, A, b, c, v) N: variáveis não básicas; N = n B: variáveis básicas; B = m 1 c v: constante na função obectivo 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 19

20 Pivots Eemplo Escolher variável não básica e para passar a básica Variável de entrada Escolher variável básica l para passar a não básica Variável de saída Calcular nova forma slack do problema N'= N { e } { l } B'= B { l } { e } ( N ', B', A, b, c, v) 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 20

21 O Algoritmo Simple Calcular forma slack inicial Para a qual solução básica inicial é eequível Caso contrário reporta problema não eequível (retorna unfeasible ) e termina Enquanto eistir c e > 0 (i.e. valor de z pode aumentar) e define variável de entrada (i.e. nova variável básica) Seleccionar l l corresponde a linha i que minimiza b i / a ie, para a ie > 0 Se a ie < 0 para todo o i, retornar unbounded Aplicar pivoting com (N, B, A, b, c, v, l, e) 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 21

22 O Algoritmo Simple Para valores i em B Atribuir valor b i Caso contrário atribuir valor 0 i.e. variáveis em N Eemplos 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 22

23 Solução Eequível Inicial Um programa linear pode ser eequível, mas solução básica inicial pode não ser eequível Eemplo 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 23

24 Solução Eequível Inicial Sea L um programa linear na forma standard, e sea L au definido da forma seguinte: maimizar 0 sueito a n = 1 a i 0 0 b i i = 1,2, K, m = 0,1,2, K, n Então L é eequível se e só se o valor obectivo óptimo de L au é 0 Se L tem solução, então L au tem solução com 0 = 0, o valor óptimo Se o valor óptimo de 0 é 0, então solução é solução para L 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 24

25 Solução Eequível Inicial Se solução básica inicial for não eequível: A partir de L construir L au Determinar índice l com menor b i Aplicar pivot com e = 0 A solução básica calculada é eequível para L au Aplicar passos do Simple para calcular solução óptima Se solução óptima verifica 0 = 0, retornar solução calculada, sem 0 Caso contrário L não é eequível Eemplo 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 25

26 Solução Eequível Inicial Após a primeira aplicação de pivot, a solução básica é eequível para L au e=0 l tal que b l < b i, i=1,..., m b l < 0, pois solução inicial eequível se b i 0 Após aplicar pivot tem-se: 0 = b l / a l0 e i = b i -a i0 (b l / a l0 ), i 0 Como a i0 = -1 para todo o i, 0 = -b l > 0 e i = b i -b l > /2006 Análise e Síntese de Algoritmos 26

27 Simple: Resultados Formais Dado um programa linear (A, b, c): Se o algoritmo Simple retorna uma solução, a solução é eequível Se o algoritmo Simple retorna unbounded, o programa é não limitado Dado um programa linear (A, b, c) na forma standard, e B um conunto de variáveis básicas, a forma slack é única 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 27

28 Simple: Resultados Formais Variação do valor da função obectivo após pivoting: Valor da função obectivo não pode diminuir Variável escolhida tem coeficiente positivo Valor da variável é não negativo, pelo que novo valor da função de custo não pode diminuir Valor da função obectivo pode não aumentar Degenerescência Mas é sempre possível assegurar que algoritmo termina 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 28

29 Simple: Resultados Formais O Simple está em ciclo se eistem formas slack idênticas para duas iterações do algoritmo Se o algoritmo Simple não termina após iterações, então o algoritmo está em ciclo Cada conunto B determina unicamente a forma slack Eistem n+m variáveis e B = m Número de modos de escolher B: Número de formas slack distintas: n m Se algoritmo eecutar mais de C + m iterações, então está em ciclo Eliminar ciclos: n m C + m n m C + m Regra de Bland: desempates na escolha de variáveis através da escolha da variável com o menor indíce 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 29 C n + m m n + = m m

30 Dualidade Conceito essencial em optimização Normalmente associado com eistência de algoritmos polinomiais E.g., fluo máimo corte mínimo Programa linear dual: minimizar sueito a m i = 1 m a i = 1 i y i b y i y i 0 i c i = 1,2, K, n = 1,2, K, m Programa primal: formulação original Eemplo 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 30

31 Dualidade Fraca em Programação Linear Sea uma qualquer solução eequível do programa primal e sea y uma qualquer solução eequível do programa dual. Nestas condições: Prova n c m = 1 i= 1 b i y i 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 31

32 Dualidade em Programação Linear Sea uma qualquer solução pelo algoritmo Simple, e seam N e B os conuntos de variáveis para a forma slack final. Sea c o vector dos coeficientes da forma slack final e sea y i = -c n+i para (n+i) N; 0 caso contrário. Nestas condições: é solução óptima para o programa primal y é a solução óptima para o programa dual e, Eemplo n c = m = 1 i= 1 b i y i 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 32

33 Teorema Fundamental da Programação Linear Qualquer programa linear na forma standard: Ou tem solução óptima com valor finito, Ou não é eequível, Ou não é limitado. Se L não é eequível, o algoritmo Simple retorna infeasible Se L não é limitado, o algoritmo Simple retorna unbounded Caso contrário, o algoritmo Simple retorna uma solução óptima com um valor obectivo finito 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 33

34 Revisão Programação Linear Algoritmo Simple A seguir: Programação Dinâmica (CLRS, Cap. 15) 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 34

35 Eemplos Adicionais Algoritmo Simple Solução eequível inicial Dualidade Fluo máimo com o Simple 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 35