Análise e Síntese de Algoritmos. Programação Linear CLRS, Cap. 29

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Análise e Síntese de Algoritmos. Programação Linear CLRS, Cap. 29"

Transcrição

1 Análise e Síntese de Algoritmos Programação Linear CLRS, Cap. 29

2 Conteto Algoritmos em Grafos (CLRS, Cap )... Fluos máimos em grafos (CLRS, Cap. 26) Programação Linear (CLRS, Cap. 29) Programação Dinâmica (CLRS, Cap. 15) Algoritmos Greedy (CLRS, Cap. 16) Emparelhamento de Caracteres (CLRS, Cap. 32) Completude NP (CLRS, Cap. 34) Algoritmos de Aproimação (CLRS, Cap. 35) 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 2

3 Resumo Motivação Formas canónicas: Standard e Slack Formulação de problemas O algoritmo Simple Soluções eequíveis iniciais Dualidade 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 3

4 Eemplo Urbanos Suburbanos Campo Estradas Liberalização droga Subsídios agricultura Imposto sobre gasolina Queremos ganhar pelo menos 50% dos votos ( urbanos, suburbanos e rurais) Entrada representa o número de votos (em milhares) ganhos por cada 1000 Euros gastos em campanhas 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 4

5 Eemplo Urbanos Suburbanos Campo Estradas Liberalização droga Subsídios agricultura Imposto sobre gasolina = estradas; 2 = droga; 3 = subsídios; 4 = imposto minimizar sueito a = i 1 i , , , /2006 Análise e Síntese de Algoritmos 5

6 Formulação Geral Programação Linear (LP): Optimizar (minimizar ou maimizar) função linear sueita a conunto de restrições lineares Função linear (função obectivo): Restrições lineares: f n 1 c = 1 (,2, K,n ) = g i ( 1, 2, K,n ) ai = bi n = = /2006 Análise e Síntese de Algoritmos 6

7 Perspectiva sobre LP Qualquer solução do conunto de restrições designa-se por solução eequível A cada solução eequível corresponde um valor da função obectivo (ou de custo) O conunto de soluções eequíveis é designado por região eequível A região eequível é um conunto conveo no espaço n- dimensional Eemplo Conunto conveo S: qualquer ponto de um segmento que liga quaisquer dois pontos em S está também em S S é designado por simple 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 7

8 Perspectiva sobre LP Utilização de representações canónicas: Formas standard e slack Algoritmos: Algoritmo Simple Eponencial no pior caso; eficiente na prática e muito utilizado Algoritmo da Elipsóide Polinomial; normalmente ineficiente Métodos de Ponto Interior Polinomiais; eficientes na prática, competitivos com Simple 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 8

9 Perspectiva sobre LP Noções a reter: Solução eequível Solução não eequível Valor da função obectivo: valor obectivo Valor máimo/mínimo: valor obectivo óptimo LP sem soluções eequíveis diz-se não eequível; caso contrário diz-se eequível LP eequível, mas sem solução óptima, diz-se não limitado 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 9

10 Formulação de Problemas de LP Fluos de Custo Mínimo: minimizar z ( ) = ( i, ) c i E i sueito a : { ( i, ) E } 0 Caminhos Mais Curtos Fluo Máimo... i i :, u i i { : ( i ) E} = b () i i V ( i, ) E 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 10

11 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 11 Outras Formulações Caminhos Mais Curtos Entre s e t: Fluo Máimo: [] [ ] [ ] ( ) ( ) [] 0,, = + s d E v u v u w u d v d t d sueito a maimizar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } t s V u v u f V v u u v f v u f V v u v u c v u f v s f V v V v, 0,,,,,,,, = = sueito a maimizar

12 Forma Standard função obectivo maimizar n = 1 c sueito a n = 1 a i b i i = 1,2, K, m restrições 0 = 1,2, K, n Todos os valores c, a i, b i são valores reais Representação matricial: maimizar T c sueito a A b 0 Em que A = (a i ), b = (b i ) e c = (c ) e = ( ) 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 12

13 Conversão para Forma Standard Problemas: Minimização em vez de maimização Variáveis sem restrição de serem não negativas Restrições com igualdade Restricões com 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 13

14 Conversão para Forma Standard Soluções: Minimização vs. Maimização: Multiplicar coeficientes por -1 Variáveis sem restrição de serem não negativas: Substituir i por duas variáveis i1 e por i2, e multiplicar coeficientes de i2 por 1 Restrições com igualdade: Introduzir duas restrições, uma com e outra com Restrições com : Multiplicar restrição por 1 Eemplo 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 14

15 Conversão para Forma Slack Obectivo é trabalhar apenas com igualdades Todas as restrições, ecepto as restrições das variáveis serem não negativas, são igualdades Para cada restrição introduzir uma nova variável s s: variável de slack Conversão de forma standard para forma slack: Eemplo s = bi = a 1 s 0 = b 0 n n+ i i = 1 n+ i n i a i 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 15

16 Forma Slack Nas epressões: = b n n+ i i = 1 a i Variáveis epressas em função de outras variáveis designam-se por variáveis básicas As variáveis que definem as variáveis básicas designam-se por variáveis não-básicas Definir: Eemplo z n = = 1 c 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 16

17 Forma Slack N: B: Conunto de índices das variáveis não básicas, N = n Conunto de índices das variáveis básicas, B = m Obs: { 1,2, K n m} N B =, + Forma slack descrita por: (N, B, A, b, c, v) v: constante na função obectivo 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 17

18 O Algoritmo Simple Definições Pivots Eemplo O algoritmo simple Soluções eequíveis iniciais Dualidade 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 18

19 Forma Slack Nas epressões: = b n n+ i i = 1 a i Variáveis epressas em função de outras variáveis designam-se por variáveis básicas As variáveis que definem as variáveis básicas designam-se por variáveis não-básicas Definir: z n = = Forma slack descrita por: (N, B, A, b, c, v) N: variáveis não básicas; N = n B: variáveis básicas; B = m 1 c v: constante na função obectivo 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 19

20 Pivots Eemplo Escolher variável não básica e para passar a básica Variável de entrada Escolher variável básica l para passar a não básica Variável de saída Calcular nova forma slack do problema N'= N { e } { l } B'= B { l } { e } ( N ', B', A, b, c, v) 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 20

21 O Algoritmo Simple Calcular forma slack inicial Para a qual solução básica inicial é eequível Caso contrário reporta problema não eequível (retorna unfeasible ) e termina Enquanto eistir c e > 0 (i.e. valor de z pode aumentar) e define variável de entrada (i.e. nova variável básica) Seleccionar l l corresponde a linha i que minimiza b i / a ie, para a ie > 0 Se a ie < 0 para todo o i, retornar unbounded Aplicar pivoting com (N, B, A, b, c, v, l, e) 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 21

22 O Algoritmo Simple Para valores i em B Atribuir valor b i Caso contrário atribuir valor 0 i.e. variáveis em N Eemplos 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 22

23 Solução Eequível Inicial Um programa linear pode ser eequível, mas solução básica inicial pode não ser eequível Eemplo 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 23

24 Solução Eequível Inicial Sea L um programa linear na forma standard, e sea L au definido da forma seguinte: maimizar 0 sueito a n = 1 a i 0 0 b i i = 1,2, K, m = 0,1,2, K, n Então L é eequível se e só se o valor obectivo óptimo de L au é 0 Se L tem solução, então L au tem solução com 0 = 0, o valor óptimo Se o valor óptimo de 0 é 0, então solução é solução para L 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 24

25 Solução Eequível Inicial Se solução básica inicial for não eequível: A partir de L construir L au Determinar índice l com menor b i Aplicar pivot com e = 0 A solução básica calculada é eequível para L au Aplicar passos do Simple para calcular solução óptima Se solução óptima verifica 0 = 0, retornar solução calculada, sem 0 Caso contrário L não é eequível Eemplo 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 25

26 Solução Eequível Inicial Após a primeira aplicação de pivot, a solução básica é eequível para L au e=0 l tal que b l < b i, i=1,..., m b l < 0, pois solução inicial eequível se b i 0 Após aplicar pivot tem-se: 0 = b l / a l0 e i = b i -a i0 (b l / a l0 ), i 0 Como a i0 = -1 para todo o i, 0 = -b l > 0 e i = b i -b l > /2006 Análise e Síntese de Algoritmos 26

27 Simple: Resultados Formais Dado um programa linear (A, b, c): Se o algoritmo Simple retorna uma solução, a solução é eequível Se o algoritmo Simple retorna unbounded, o programa é não limitado Dado um programa linear (A, b, c) na forma standard, e B um conunto de variáveis básicas, a forma slack é única 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 27

28 Simple: Resultados Formais Variação do valor da função obectivo após pivoting: Valor da função obectivo não pode diminuir Variável escolhida tem coeficiente positivo Valor da variável é não negativo, pelo que novo valor da função de custo não pode diminuir Valor da função obectivo pode não aumentar Degenerescência Mas é sempre possível assegurar que algoritmo termina 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 28

29 Simple: Resultados Formais O Simple está em ciclo se eistem formas slack idênticas para duas iterações do algoritmo Se o algoritmo Simple não termina após iterações, então o algoritmo está em ciclo Cada conunto B determina unicamente a forma slack Eistem n+m variáveis e B = m Número de modos de escolher B: Número de formas slack distintas: n m Se algoritmo eecutar mais de C + m iterações, então está em ciclo Eliminar ciclos: n m C + m n m C + m Regra de Bland: desempates na escolha de variáveis através da escolha da variável com o menor indíce 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 29 C n + m m n + = m m

30 Dualidade Conceito essencial em optimização Normalmente associado com eistência de algoritmos polinomiais E.g., fluo máimo corte mínimo Programa linear dual: minimizar sueito a m i = 1 m a i = 1 i y i b y i y i 0 i c i = 1,2, K, n = 1,2, K, m Programa primal: formulação original Eemplo 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 30

31 Dualidade Fraca em Programação Linear Sea uma qualquer solução eequível do programa primal e sea y uma qualquer solução eequível do programa dual. Nestas condições: Prova n c m = 1 i= 1 b i y i 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 31

32 Dualidade em Programação Linear Sea uma qualquer solução pelo algoritmo Simple, e seam N e B os conuntos de variáveis para a forma slack final. Sea c o vector dos coeficientes da forma slack final e sea y i = -c n+i para (n+i) N; 0 caso contrário. Nestas condições: é solução óptima para o programa primal y é a solução óptima para o programa dual e, Eemplo n c = m = 1 i= 1 b i y i 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 32

33 Teorema Fundamental da Programação Linear Qualquer programa linear na forma standard: Ou tem solução óptima com valor finito, Ou não é eequível, Ou não é limitado. Se L não é eequível, o algoritmo Simple retorna infeasible Se L não é limitado, o algoritmo Simple retorna unbounded Caso contrário, o algoritmo Simple retorna uma solução óptima com um valor obectivo finito 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 33

34 Revisão Programação Linear Algoritmo Simple A seguir: Programação Dinâmica (CLRS, Cap. 15) 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 34

35 Eemplos Adicionais Algoritmo Simple Solução eequível inicial Dualidade Fluo máimo com o Simple 2005/2006 Análise e Síntese de Algoritmos 35

PESQUISA OPERACIONAL I

PESQUISA OPERACIONAL I PESQUISA OPERACIONAL I Professor: Dr. Edwin B. Mitacc Meza edwin@engenharia-puro.com.br www.engenharia-puro.com.br/edwin/po-i.html Dualidade Introdução Uma das mais importantes descobertas no início do

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu Programação Não Linear Aula 7: Programação Não-Linear - Funções de Várias variáveis Vector Gradiente; Matriz Hessiana; Conveidade de Funções e de Conjuntos; Condições óptimas de funções irrestritas; Método

Leia mais

Problemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade

Problemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade Problemas em Programação Linear Resolução e Análise de Sensibilidade 24-25 Junho 2014 Metodologias de apoio à decisão nas Ciências Agrárias Eemplo: Formulação Um agricultor pretende cultivar 80 ha de terra

Leia mais

Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Análise e Síntese de Algoritmos Algoritmos de Aproximação CLRS, Cap. 35 Resumo Algoritmos de aproximação Algoritmos, com complexidade polinomial, que calculam soluções aproximadas para problemas de optimização

Leia mais

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica.

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica. Ano lectivo: 2008/2009; Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Ficha de exercícios nº3: Dualidade. Interpretação Económica. Cursos: Economia 1. Formule o problema

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Métodos de Programação Linear: Gráfica, (Mestrado) Engenharia Industrial http://dps.uminho.pt/pessoais/zan - Escola de Engenharia Departamento de Produção e Sistemas 1 Representação Gráfica Considere o

Leia mais

Vânio Correia Domingos Massala

Vânio Correia Domingos Massala Optimização e Decisão 06/0/008 Método do Simplex Vânio Correia - 5567 Domingos Massala - 58849 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Generalidades do Método do Simplex Procedimento algébrico iterativo para resolver

Leia mais

5. Problema de Transporte

5. Problema de Transporte 5. Problema de Transporte O Problema de Transporte é talvez o mais representativo dos Problemas de Programação Linear. É um problema de grande aplicação prática, tendo sido estudado por vários investigadores,

Leia mais

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. IV Modelo Dual

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. IV Modelo Dual INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Exercícios Cap. IV Modelo Dual António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. i Cap. IV - Modelo Dual - Exercícios IV. Modelo Problema Dual 1. Apresente o

Leia mais

X - D U A L I D A D E

X - D U A L I D A D E X - D U A L I D A D E 1 - Introdução. Regras de transformação "Primal - Dual" Consideremos os dois problemas P1 e P2 de Programação Linear seguintes: P1 : n Maximizar F = Σ ck. Xk k = 1 n Σ aik. Xk bi

Leia mais

Programação Linear (PL)

Programação Linear (PL) Programação Linear (PL) Prof. Paulo Cesar F. De Oliveira, BSc, PhD 07/08/15 P C F de Oliveira 2014 1 Características Técnicas mais utilizadas na abordagem de problemas em PO Técnica de solução programável

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL. Fabiano F. T. dos Santos. Instituto de Matemática e Estatística

PESQUISA OPERACIONAL. Fabiano F. T. dos Santos. Instituto de Matemática e Estatística PESQUISA OPERACIONAL Fabiano F. T. dos Santos Instituto de Matemática e Estatística Dualidade em Programação Linear Todo problema de programação linear, que chamaremos de primal, traz consigo um segundo

Leia mais

Otimização de grande porte

Otimização de grande porte Otimização de grande porte Silvana Bocanegra Ciclo de Seminários BSI 204.2 Esboço Otimização: definição, aplicações e motivação; Classe de problemas de otimização e métodos de solução; Principais métodos

Leia mais

Capítulo 7: Equações Diferenciais Ordinárias. 1. Problema de valor inicial

Capítulo 7: Equações Diferenciais Ordinárias. 1. Problema de valor inicial Capítulo 7: Equações Diferenciais Ordinárias. Problema de valor inicial Definição: Sea uma função de e n um número inteiro positivo então uma relação de igualdade que envolva... n é camada uma equação

Leia mais

Professor: Rodrigo A. Scarpel

Professor: Rodrigo A. Scarpel Professor: Rodrigo A. Scarpel rodrigo@ita.br www.mec.ita.br/~rodrigo Pesquisa Operacional Durante a Segunda Guerra Mundial, os líderes militares solicitaram que cientistas estudassem problemas como posicionamento

Leia mais

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Optimização. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Programação Linear (PL) Aula 5: O Método Simplex. 2 Algoritmo. O que é um algoritmo? Qualquer procedimento iterativo e finito de solução é um algoritmo. Um algoritmo é um processo que se repete (itera)

Leia mais

Método Simplex Dual. Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP

Método Simplex Dual. Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP Método Simplex Dual Prof. Fernando Augusto Silva Marins Departamento de Produção Faculdade de Engenharia Campus de Guaratinguetá UNESP www.feg.unesp.br/~fmarins fmarins@feg.unesp.br Introdução Algoritmo

Leia mais

α ( u 1 - u 2 ) = u 3 - u 2.

α ( u 1 - u 2 ) = u 3 - u 2. 2- NOÇÕES DE CONVEXIDADE E FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR 21 Noções de Convexidade 211 - Combinação Convexa de pontos ponto b = αx 1 Considere C um conjunto contendo os pontos

Leia mais

2º Semestre 2002/2003 Problemas Resolvidos

2º Semestre 2002/2003 Problemas Resolvidos RESOLUÇÂO DO PROBLEMA Nº 19 Determinado problema de Programação Linear depois de formulado permitiu obter as seguintes expressões: Max L = 4x 1-2x 2 + 2x 3 -x 4 s.a. R 1: x 1 - x 2 + 2x 3 +x 4 10 R 2:

Leia mais

A Dualidade em Programação Linear

A Dualidade em Programação Linear Investigação Operacional- 2009/10 - Programas Lineares 14 A Dualidade em Programação Linear Para melhor ilustrar este conceito vamos estudar dois problemas intimamente relacionadas: o problema da dona

Leia mais

Programa de Unidade Curricular

Programa de Unidade Curricular Programa de Unidade Curricular Faculdade Ciências Empresariais Licenciatura Ciências Económicas e Empresariais Unidade Curricular Investigação Operacional Semestre: 5 Nº ECTS: 6,0 Regente José Manuel Brito

Leia mais

II. Programação Linear (PL)

II. Programação Linear (PL) II. Programação Linear (PL) Dualidade revisão e interpretação econômica Seja o pl max Z x x x x 4 x, x 5x x 0 8 000-00 Prof.ª Gladys Castillo Formulação do Problema de PL em termos de Atividades. Exemplo

Leia mais

Celso Carneiro Ribeiro Introdução aos Modelos e Métodos de Otimização em Pesquisa Operacional

Celso Carneiro Ribeiro Introdução aos Modelos e Métodos de Otimização em Pesquisa Operacional Celso Carneiro Ribeiro Introdução aos Modelos e Métodos de Otimização em Pesquisa Operacional Parte I Programação Linear 4 Organização Parte I: Programação linear (5 aulas) Parte II: Programação inteira

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBL ESCOL SUPERIOR DE TECNOLOGI DEPRTMENTO DE MTEMÁTIC INVESTIGÇÃO OPERCIONL Eame - a Chamada CURSOS: EMP,EEM e EME / Data: de Janeiro de Duração: 8: às : Instruções:. Leia

Leia mais

y x f x y y x y x a x b

y x f x y y x y x a x b 50 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconecida e algumas de suas derivadas. Se a função é de uma só variável, então a equação

Leia mais

Análise de Sensibilidade. Investigação Operacional. Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO. Análise de Sensibilidade

Análise de Sensibilidade. Investigação Operacional. Análise de Sensibilidade aos coeficientes da FO. Análise de Sensibilidade nálise de Sensibilidade Investigação Operacional rogramação Linear (arte II) 2/2 Nuno Moreira/milcar rantes/ui Marques/Marta Gomes Licenciatura em Engenharia Civil Licenciatura em Engenharia do Território

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Investigação Operacional Licenciatura em Gestão 3.º Ano Ano Lectivo 2013/14 Programação Linear Texto elaborado por: Maria João Cortinhal (Coordenadora) Anabela Costa Maria João Lopes Ana Catarina Nunes

Leia mais

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Análise e Síntese de Algoritmos. RESOLUÇÃO DO 2 o TESTE

INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Análise e Síntese de Algoritmos. RESOLUÇÃO DO 2 o TESTE INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Análise e Síntese de Algoritmos Ano Lectivo de 2006/2007 2 o Semestre RESOLUÇÃO DO 2 o TESTE I. (2,0+2,0+2,0 = 6,0 val.) 1) Calcule o valor óptimo da função objectivo e o respectivo

Leia mais

Investigação Operacional I. Guia de Utilização do Software. José Manuel Vasconcelos Valério de Carvalho. Universidade do Minho

Investigação Operacional I. Guia de Utilização do Software. José Manuel Vasconcelos Valério de Carvalho. Universidade do Minho Investigação Operacional I Guia de Utilização do Software José Manuel Vasconcelos Valério de Carvalho Universidade do Minho 2003 Guia de Utilização do Software Este documento apresenta diversas informações

Leia mais

IV - P R O G R A M A Ç Ã O L I N E A R :

IV - P R O G R A M A Ç Ã O L I N E A R : IV - P R O G R A M A Ç Ã O L I N E A R : C O N C E I T O S F U N D A M E N T A I S Consideremos um problema de Programação Linear apresentado na sua forma standard: Maximizar F = c1. X1 + c2. X2 + c3.

Leia mais

Análise e Síntese de Algoritmos. Emparelhamento de Cadeias de Caracteres CLRS, Cap. 32

Análise e Síntese de Algoritmos. Emparelhamento de Cadeias de Caracteres CLRS, Cap. 32 Análise e Síntese de Algoritmos Emparelhamento de Cadeias de Caracteres CLRS, Cap. 32 Contexto Revisão Algoritmos em Grafos Programação Linear Programação Dinâmica Algoritmos Greedy Emparelhamento de Cadeias

Leia mais

Métodos Quantitativos

Métodos Quantitativos UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO PAULO Escola Paulista de Política, Economia e Negócios Bacharelado em Ciências Contábeis Métodos Quantitativos Prof. João Vinícius de França Carvalho jvfcarvalho@gmail.com Modelo

Leia mais

Investigação Operacional 2004/05 2º Mini-teste Extra. 9 de Dezembro, 11:00h 12:30h

Investigação Operacional 2004/05 2º Mini-teste Extra. 9 de Dezembro, 11:00h 12:30h Investigação Operacional 00/0 º Mini-teste Extra 9 de Dezembro, :00h :0h Sem consulta, sem máquina de calcular Justifique todas as respostas Departamento de Engenharia Civil Secção de Planeamento do Território

Leia mais

TESTE DE AVALIAÇÃO MATEMÁTICA A. Versão A

TESTE DE AVALIAÇÃO MATEMÁTICA A. Versão A E S C O L A S E C U N D Á R I A A F O N S O L O P E S V I E I R A Escola Secundária Afonso Lopes Vieira TESTE DE AVALIAÇÃO MATEMÁTICA A Nome:... Data: //9 Duração da prova 9 min Nº:... º Ano Turma A Versão

Leia mais

Problemas de Fluxos em Redes

Problemas de Fluxos em Redes Investigação Operacional Problemas de Fluxos em Redes Slide Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Problemas de fluxos em redes Rede: Conjunto de pontos (vértices) ligados por linhas ou

Leia mais

Resolução de problemas difíceis de programação linear através da relaxação Lagrangeana

Resolução de problemas difíceis de programação linear através da relaxação Lagrangeana problemas difíceis de programação linear através da relaxação Lagrangeana Ana Maria A.C. Rocha Departamento de Produção e Sistemas Escola de Engenharia Universidade do Minho arocha@dps.uminho.pt http://www.norg.uminho.pt/arocha

Leia mais

MOQ-12: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. VA s e Distribuições

MOQ-12: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS. VA s e Distribuições Motivação: MOQ-2: PROBABILIDADES E PROCESSOS ESTOCÁSTICOS VA s e Distribuições Definimos anteriormente Espaço de Probabilidades como sendo a tripla (W,, P(.)), em que, dado um eperimento, W representa

Leia mais

Monotonia de uma função Dominar os conceitos. Função Par e Função Impar. Fazer exercícios.

Monotonia de uma função Dominar os conceitos. Função Par e Função Impar. Fazer exercícios. p-p6 : Generalidades sobre funções reais de variável real. Conceito de Ler com atenção. Monotonia de uma função Dominar os conceitos. Função Par e Função Impar. Fazer eercícios. Função Periódica. Conceito

Leia mais

Joaquim J. Júdice. Pedro C. Martins. Marta M. B. Pascoal. Jorge P. Santos

Joaquim J. Júdice. Pedro C. Martins. Marta M. B. Pascoal. Jorge P. Santos Joaquim J. Júdice Pedro C. Martins Marta M. B. Pascoal Jorge P. Santos PROGRAMAÇÃO LINEAR Departamento de Matemática Universidade de Coimbra 9 Conteúdo Introdução Formulação de Problemas em Programa Linear

Leia mais

Resolução de PL usando o método Simplex

Resolução de PL usando o método Simplex V., V.Lobo, EN / ISEGI, 28 Resolução de PL usando o método Simplex Método Simplex Algoritmo para resolver problemas de programação linear George Dantzig, 947 Muito utilizado Facilmente implementado como

Leia mais

Problemas de Transportes e de Afectação

Problemas de Transportes e de Afectação CAPÍTULO 6 Problemas de Transportes e de Afectação 1. Problema de Transporte Este problema, que é um dos particulares de PL, consiste em determinar a forma mais económica de enviar um bem disponível, em

Leia mais

Método Simplex V 1.1, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008

Método Simplex V 1.1, V.Lobo, EN / ISEGI, 2008 .,.Lobo, EN / ISEGI, 8 Método Simplex Resolução de PL usando o método Simplex Algoritmo para resolver problemas de programação linear George Dantzig, 97 Muito utilizado Facilmente implementado como programa

Leia mais

Programação Linear. Rosa Canelas 2010

Programação Linear. Rosa Canelas 2010 Programação Linear Rosa Canelas 2010 Problemas de Optimização São problemas em que se procura a melhor solução (a que dá menor prejuízo, maior lucro, a que é mais eficiente, etc.) Alguns destes problemas

Leia mais

IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E

IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E IX - A N Á L I S E D E S E N S I B I L I D A D E A N Á L I S E P Ó S - O P T I M A L I D A D E Recordemos o exercício apresentado para ilustrar a aplicação do Algoritmo Simplex Revisto: Consideremos o

Leia mais

CAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES

CAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES CAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES Vamos estudar alguns métodos numéricos para resolver: Equações algébricas (polinómios não lineares; Equações transcendentais equações que envolvem funções

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBL ESCOL SUPERIOR DE TECNOLOGI DEPRTMENTO DE MTEMÁTIC INVESTIGÇÃO OPERCIONL TESTE CURSOS: EMP, EEM e EME 2005/2006 Data: 4 de Novembro de 2005 Duração: 19:0 às 21:0 Instruções:

Leia mais

PROGRAMAÇÃO LINEAR 11º ANO MATEMÁTICA A

PROGRAMAÇÃO LINEAR 11º ANO MATEMÁTICA A PROGRAMAÇÃO LINEAR 11º ANO MATEMÁTICA A Prof.ª: Maria João Mendes Vieira ESC 11MatA 2012/2013 PROGRAMAÇÃO LINEAR A programação linear é uma "ferramenta" matemática que permite encontrar a solução ótima

Leia mais

Capítulo Gradiente e hessiana

Capítulo Gradiente e hessiana Cálculo - Capítulo - Gradiente e hessiana Capítulo - Gradiente e hessiana - Nova notação 4 - O gradiente e as curvas de nível - Gradiente e hessiana 5 - Interpretação econômica do gradiente - Significado

Leia mais

O Problema de Transportes

O Problema de Transportes Investigação Operacional- 00/0 - Problemas de Transportes 8 O Problema de Transportes O problema geral de transportes consiste em determinar a forma mais económica de enviar um bem que está disponível

Leia mais

O objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra.

O objeto fundamental deste curso são as funções de uma variável real. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra. Universidade Federal Fluminense Departamento de Análise GAN0045 Matemática para Economia Professora Ana Maria Luz 00. Unidade Revisão de função de uma variável real O objeto fundamental deste curso são

Leia mais

Capítulo 8: Transferência de calor por condução

Capítulo 8: Transferência de calor por condução Capítulo 8: ransferência de calor por condução Condução de calor em regime transiente Condução de calor em regime transiente Até o momento só foi analisada a transferência de calor por condução em regime

Leia mais

Simplex. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP

Simplex. Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas. c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Simplex Transparências de apoio à leccionação de aulas teóricas Versão 3 c 2011, 2009, 1998 José Fernando Oliveira, Maria Antónia Carravilla FEUP Programação Linear abordagem algébrica max sujeito a: n

Leia mais

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios)

EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros exercícios) UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA (sistemas de equações lineares e outros eercícios) ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL Eercícios

Leia mais

ESCOLA SECUNDÁRIA DE LOUSADA

ESCOLA SECUNDÁRIA DE LOUSADA ESCOLA SECUNDÁRIA DE LOUSADA 2012 2013 PLANIFICAÇÃO DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA Curso Profissional de Técnico de Multimédia ELENCO MODULAR A7 Probabilidades 28 A6 Taxa de variação 36 A9 Funções de crescimento

Leia mais

O Método Simplex para

O Método Simplex para O Método Simplex para Programação Linear Formas de Programas Lineares O problema de Programação Matemática consiste na determinação do valor de n variáveis x 1, x 2,, x n que tornam mínimo ou máximo o

Leia mais

Recursos críticos disponíveis: Madeira 300 metros Horas de trabalho 110 horas

Recursos críticos disponíveis: Madeira 300 metros Horas de trabalho 110 horas I. Programação Linear (PL) 1. Introdução A Programação Linear é, no campo mais vasto da Programação Matemática, uma das variantes de aplicação generalizada em apoio da Decisão. O termo "Programação" deve

Leia mais

Benemar Alencar de Souza

Benemar Alencar de Souza Benemar Alencar de Souza Métodos de Otimização Aplicados Questões introdutórias O que é otimização? i Por que otimização é importante? Como tratar a otimização i como um problema? Quais objetivos são usuais?

Leia mais

Conceitos: Função. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções potência, exponencial e

Conceitos: Função. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções potência, exponencial e Matemática II 05/6 Curso: Gestão Departamento de Matemática ESTG-IPBragança Ficha Prática : Revisões: Funções, Derivadas. Primitivas -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Leia mais

Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex

Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia de Produção e Gestão Pesquisa Operacional Simplex Prof. Dr. José Arnaldo Barra Montevechi Programação Linear (PL) Solução algébrica - método simplex

Leia mais

2 Processo de Agrupamentos

2 Processo de Agrupamentos 20 2 Processo de Agrupamentos A análise de agrupamentos pode ser definida como o processo de determinação de k grupos em um conjunto de dados. Para entender o que isso significa, observe-se a Figura. Y

Leia mais

Pretende-se calcular uma aproximação para a menor raiz positiva da equação

Pretende-se calcular uma aproximação para a menor raiz positiva da equação 1 Prete-se calcular uma aproimação para a menor raiz positiva da equação, pelos métodos de Newton-Raphson e ponto fio. a) Localize um intervalo que contenha a menor raiz positiva da equação dada Determinar

Leia mais

O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT).

O método Simplex Aplicado ao Problema de Transporte (PT). Prof. Geraldo Nunes Silva (Revisado por Socorro Rangel) Estas notas de aula são Baseadas no livro: Hillier, F. S. e G. J. Lieberman. Introdução à Pesquisa Operacional, Campus, a ed., 9 Agradeço a Professora

Leia mais

Agrupamento de Escolas do Fundão

Agrupamento de Escolas do Fundão Agrupamento de Escolas do Fundão MATEMÁTICA P GPI 13 12º Ano CURRÍCULO DA DISCIPLINA E Nº DE AULAS PREVISTAS Período PLANIFICAÇÃO ANUAL Módulos a leccionar + Conteúdos Programáticos Módulo A6- Taxa de

Leia mais

ARA Pesquisa Operacional

ARA Pesquisa Operacional ARA7524 - Pesquisa Operacional Aulas 1, 2 e 3: Introdução e Modelagem Álvaro J. P. Franco 17 de agosto de 2015 Aula baseada nos livros de Chvátal, Dantzig e Thapa, CLRS, e Goldbarg e Luna Bibliografia

Leia mais

Programação Linear. (3ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016

Programação Linear. (3ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Programação Linear (3ª parte) Informática de Gestão 61020 Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Conteúdos Excel Solver Instalação do Solver Resolução de problemas de programação linear Problema de minimização

Leia mais

Problema de Designação. Fernando Nogueira Problema de Designação 1

Problema de Designação. Fernando Nogueira Problema de Designação 1 Problema de Designação Fernando Nogueira Problema de Designação 1 O Problema de Designação é um caso específico de um Problema de Transporte, que por sua vez é um caso específico de um Problema de Programação

Leia mais

Análise e Síntese de Algoritmos

Análise e Síntese de Algoritmos Análise e Síntese de Algoritmos Fluxos Máximos em Grafos CLRS, Cap. 26 Contexto Algoritmos elementares em grafos (CLR, Cap. 22) Árvores abrangentes de menor custo (CLR, Cap. 23) Caminhos mais curtos com

Leia mais

Programação Linear. (2ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016

Programação Linear. (2ª parte) Informática de Gestão Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Programação Linear (2ª parte) Informática de Gestão 61020 Maria do Rosário Matos Bernardo 2016 Conteúdos Representação e resolução gráfica dos problemas de programação linear Problema de minimização Problema

Leia mais

5.1 Noção de derivada. Interpretação geométrica de derivada.

5.1 Noção de derivada. Interpretação geométrica de derivada. Capítulo V Derivação 5 Noção de derivada Interpretação geométrica de derivada Seja uma unção real de variável real Deinição: Chama-se taa de variação média de uma unção entre os pontos a e b ao quociente:

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc.

PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX. Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. PESQUISA OPERACIONAL -PROGRAMAÇÃO LINEAR MÉTODO SIMPLEX Prof. Angelo Augusto Frozza, M.Sc. MÉTODO SIMPLEX A ideia geral é Em vez de enumerar todas as soluções básicas (pontos extremos) do problema de PL,

Leia mais

Sumário. Decisões óptimas em jogos (minimax) Cortes α-β Decisões imperfeitas em tempo real

Sumário. Decisões óptimas em jogos (minimax) Cortes α-β Decisões imperfeitas em tempo real Jogos Capítulo 6 Sumário Decisões óptimas em jogos (minimax) Cortes α-β Decisões imperfeitas em tempo real Jogos vs. Problemas de Procura Adversário imprevisível" necessidade de tomar em consideração todas

Leia mais

Maristela Santos. Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo

Maristela Santos. Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo Programação Matemática Maristela Santos Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação Universidade de São Paulo Forma Padrão - Definição Características da forma padrão: Problema de minimização Todas

Leia mais

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL a Edição Rio Grande Editora da FURG 206 Universidade Federal

Leia mais

Resolução de problemas com apenas restrições lineares de igualdade

Resolução de problemas com apenas restrições lineares de igualdade Resolução de problemas com apenas restrições lineares de igualdade Marina Andretta ICMC-USP 14 de outubro de 2014 Marina Andretta (ICMC-USP) sme0212 - Otimização não-linear 14 de outubro de 2014 1 / 22

Leia mais

Faculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu

Faculdade de Engenharia Investigação Operacional. Prof. Doutor Engº Jorge Nhambiu 1 Aula 2 Definição de Problemas de Investigação Operacional Construção de um modelo matemático de PL. Programação Matemática(PM) e Programação Linear(PL). Exemplos clássicos de PL. 2 Problemas de Investigação

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBL ESCOL SUPERIOR DE TECNOLOGI DEPRTMENTO DE MTEMÁTIC MTEMÁTIC PLICD TESTE B CURSOS: EII e EIG / Data: 7 de Janeiro de Duração: : às 7: Instruções:. Leia atentamente o teste/eame

Leia mais

Método da substituição

Método da substituição Prof. Neto Sistemas de equações do 1 grau a duas variáveis ESTUDE A PARTE TEÓRICA E RESOLVA OS EXERCÍCIOS DO FINAL DA FOLHA NO CADERNO. Introdução Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir

Leia mais

Curso Profissional de Nível Secundário

Curso Profissional de Nível Secundário Curso Profissional de Nível Secundário Técnico Auxiliar de Saúde 2 TAS Ano Letivo: 2014/2015 Matemática (200 horas) 11º Ano PLANIFICAÇÃO A LONGO PRAZO A7 Probabilidades Fenómenos aleatórios. 2 aulas Argumento

Leia mais

é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que:

é uma proposição verdadeira. tal que: 2 n N k, Φ(n) = Φ(n + 1) é uma proposição verdadeira. com n N k, tal que: Matemática Discreta 2008/09 Vítor Hugo Fernandes Departamento de Matemática FCT/UNL Axioma (Princípio da Boa Ordenação dos Números Naturais) O conjunto parcialmente (totalmente) ordenado (N, ), em que

Leia mais

1 Despacho económico

1 Despacho económico Trânsito de potência difuso DC com despacho incorporado Documento complementar à dissertação José Iria ee06210@fe.up.pt - 10-03-2011 1 Despacho económico 1.1 Considerações Gerais O problema de decisão

Leia mais

Pesquisa Operacional. Prof. José Luiz

Pesquisa Operacional. Prof. José Luiz Pesquisa Operacional Prof. José Luiz Resolver um problema de Programação Linear significa basicamente resolver sistemas de equações lineares; Esse procedimento, apesar de correto, é bastante trabalhoso,

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Ano lectivo: /6 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática Investigação Operacional Ficha de exercícios n o Pós-Optimização e Análise de Sensibilidade Cursos: Gestão e Economia. Uma fábrica

Leia mais

Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear Pedro A. Santos

Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear Pedro A. Santos Sistemas de Equações Lineares e Equações Vectoriais Aula 2 Álgebra Linear MEG Operações Elementares Trocar a posição de duas equações Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero Não alteram

Leia mais

Técnicas para Implementação de Jogos

Técnicas para Implementação de Jogos Técnicas para Implementação de Jogos Solange O. Rezende Thiago A. S. Pardo Considerações gerais Aplicações atrativas para métodos de IA Formulação simples do problema (ações bem definidas) Ambiente acessível

Leia mais

Universidade dos Açores Departamento de Matemática Curso de Informática Redes e Multimédia Cálculo II

Universidade dos Açores Departamento de Matemática Curso de Informática Redes e Multimédia Cálculo II Universidade dos Açores Departamento de Matemática Curso de Informática Redes e Multimédia Cálculo II Tema : Cálculo diferencial de funções de duas variáveis Este teto foi retirado do manual de apoio à

Leia mais

Curso de Férias de IFVV (Etapa 3) INTEGRAIS DUPLAS

Curso de Férias de IFVV (Etapa 3) INTEGRAIS DUPLAS Curso de Férias de IFVV (Etapa ) INTEGAIS UPLAS VOLUMES E INTEGAIS UPLAS Objetivando resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. A idéia é aplicar procedimento semelhante

Leia mais

Conceitos básicos: Variável Aleatória

Conceitos básicos: Variável Aleatória : Variável Aleatória Variável aleatória (v.a.) valor numérico que é resultado de uma eperiência aleatória. Podemos ter variáveis aleatórias contínuas ou discretas. Eemplo 1: Suponha que lança duas moedas

Leia mais

Análise e Síntese de Algoritmos. Fluxos Máximos em Grafos CLRS, Cap. 26

Análise e Síntese de Algoritmos. Fluxos Máximos em Grafos CLRS, Cap. 26 Análise e Síntese de Algoritmos Fluxos Máximos em Grafos CLRS, Cap. 26 Contexto Algoritmos elementares em grafos (CLR, Cap. 22) Árvores abrangentes de menor custo (CLR, Cap. 23) Caminhos mais curtos com

Leia mais

Métodos de Pesquisa Operacional I

Métodos de Pesquisa Operacional I Etraído de INTRODUÇÃO Á PESQUISA OPERACIONAL- Eduardo Leopoldino de Andrade LTC ( PLT 391) 1) Uma pequena manufatura produz dois modelos, Standard e Luo, de um certo produto. Cada unidade do modelo Standard

Leia mais

método de solução aproximada

método de solução aproximada método de solução aproximada Definir - Representação - Objectivo - Função de avaliação 73 Representação do problema - Definição das variáveis de decisão do modelo escolhido para o problema real. Importante

Leia mais

Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015)

Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015) Engenharia Civil/Mecânica Cálculo Profa Olga (º sem de 05) Conteúdo: Função do º grau (Função Afim) Definição Chama-se função polinomial do o grau, ou função afim, a qualquer função f: dada por uma lei

Leia mais

Um grande número de problemas de otimização linear inteiro envolve a ocorrência ou não de um evento, e a decisão entre duas alternativas.

Um grande número de problemas de otimização linear inteiro envolve a ocorrência ou não de um evento, e a decisão entre duas alternativas. Modelagem com variáveis binárias Um grande número de problemas de otimização linear inteiro envolve a ocorrência ou não de um evento, e a decisão entre duas alternativas. seoeventoocorre 0 se o evento

Leia mais

PESQUISA OPERACIONAL I

PESQUISA OPERACIONAL I PESQUISA OPERACIONAL I Professor: Dr. Edwin B. Mitacc Meza edwin.professor@gmail.com www.engenharia-puro.com.br/edwin Objetivos A disciplina busca possibilitar ao Aluno: Fornecer conhecimentos de Pesquisa

Leia mais

CENTRO UNIVERSITÁRIO FUNDAÇÃO SANTO ANDRÉ FACULDADE DE ENGENHARIA ENGENHEIRO CELSO DANIEL RELATÓRIO DE ATIVIDADES

CENTRO UNIVERSITÁRIO FUNDAÇÃO SANTO ANDRÉ FACULDADE DE ENGENHARIA ENGENHEIRO CELSO DANIEL RELATÓRIO DE ATIVIDADES CENTRO UNIVERSITÁRIO FUNDAÇÃO SANTO ANDRÉ FACULDADE DE ENGENHARIA ENGENHEIRO CELSO DANIEL RELATÓRIO DE ATIVIDADES UMA APLICAÇÃO DE PROGRAMAÇÃO LINEAR EM UMA EMPRESA DE SERVIÇOS Aluna: Orientadora: Fabiana

Leia mais

5. Invólucros Convexos no Plano

5. Invólucros Convexos no Plano 5. Invólucros Convexos no Plano Antonio L. Bajuelos Departamento de Matemática Universidade de Aveiro Mestrado em Matemática e Aplicações Problema: uma primeira abordagem Definição do Problema: Dado: um

Leia mais

Investigação Operacional. Análise de Sensibilidade

Investigação Operacional. Análise de Sensibilidade Investigação Operacional rogramação Linear (arte II) Licenciatura em ngenharia ivil Licenciatura em ngenharia do Território Licenciatura em ngenharia e rquitectura Naval / Nuno Moreira/milcar rantes/ui

Leia mais

Notas em Álgebra Linear

Notas em Álgebra Linear Notas em Álgebra Linear 1 Pedro Rafael Lopes Fernandes Definições básicas Uma equação linear, nas variáveis é uma equação que pode ser escrita na forma: onde e os coeficientes são números reais ou complexos,

Leia mais

Investigação Operacional

Investigação Operacional Ano lectivo: 0/06 Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática Investigação Operacional Ficha de exercícios n o Algoritmo Simplex Cursos: Gestão e Economia. Considere o seguinte conjunto

Leia mais

Logaritmos Exponenciais - Fatoração

Logaritmos Exponenciais - Fatoração Logaritmos Eponenciais - Fatoração Prof. Edson. Após acionar um flash de uma câmera, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacitor do flash, o qual armazena uma carga elétrica dada por t Q(t)

Leia mais

3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido)

3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido) Álgebra Linear Cursos: Engenharia Civil, Engenharia de Minas, Engenharia do Território 1 ō ano/1 ō Semestre 21/211 3 a Lista para auto-avaliação (com um exercício resolvido) 1. Indique a característica

Leia mais