Controle Linear Controle Não-Linear Controle Adaptativo Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada 2/145

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1 SEM0317 Aula 8 Controle de Manipuladores Robóticos Prof. Dr. Adriano A. G. Siqueira Prof. Dr. Marcelo Becker SEM - EESC - USP

2 Sumário do Módulo Introdução Controle Linear Controle Não-Linear Controle Adaptativo Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada 2/145

3 Introdução Baseado no estudo cinemático e dinâmico dos manipuladores Calcular as variáveis de junta que correspondem à trajetória desejada Como fazer com que o manipulador execute o movimento desejado?? 3/145

4 Introdução Gerador de Trajetória θ d (t) & θ d (t) & θ d (t) Sistema de Controle τ Robô θ θ & Robô: Sensores nas Juntas (Encoders e Tacômetros) Atuadores 4/145

5 Introdução Gerador de Trajetória θ d (t) & θ d (t) & θ d (t) Sistema de Controle τ Robô θ θ & τ = M θ )&& θ V ( θ, & θ ) G( θ ) ( d d d d d Matriz de Massa Aceleração Centrífuga e de Coriollis Gravidade 5/145

6 Introdução Gerador de Trajetória θ d (t) & θ d (t) & θ d (t) Sistema de Controle τ Robô θ θ & Sistema de Controle Controle em Malha Aberta Controle em Malha Fechada E E& Erros = θd = & θ d θ & θ 6/145

7 Introdução Gerador de Trajetória θ d (t) & θ d (t) & θ d (t) Sistema de Controle τ Robô θ θ & Estabilidade? Erros permanecem pequenos, mesmo na presença de distúrbios moderados Modelagem, simulação e testes. 7/145

8 Introdução Gerador de Trajetória θ d (t) & θ d (t) & θ d (t) Sistema de Controle τ Robô θ θ & Estratégia? MIMO Multi Input, Multi Output SISO Single Input, Single Output Controle Independente de cada Junta 8/145

9 Introdução Gerador de Trajetória θ d (t) & θ d (t) & θ d (t) Sistema de Controle τ Robô θ θ & Controladores? Lineares Não-lineares Adaptativos 9/145

10 Sumário do Módulo Introdução Controle Linear Controle Não-Linear Controle Adaptativo Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada 10/145

11 Controle Linear Controle de Sistemas de 2ª ordem Como alterar o comportamento do sistema massa-mola-atrito? Adiciona-se sensores e atuadores... m. && x b.x& k.x = Detecta-se a posição e a velocidade k x m f f b 11/145

12 Controle Linear Propõem-se a seguinte lei de controle: f = k.x& v k p.x Ganhos do Controlador - Σ - f Sistema x k v k p x& Sistema de Controle Diagrama em Malha Fechada 12/145

13 Controle Linear Assim: m. & x b.x& k.x = -kp.x -k v. x& m. && x x.(b & k v ) x.(k kp) = 0 m. && x b'.x & k'.x = 0 k x m f b' = (b k v ) e k' = (k k p ) b 13/145

14 Controle Linear Posição Estratégia para projetar controladores: Dividir a estrutura de controle em duas estruturas independentes (técnica de sobreposição): Modelo do sistema Atuador Passos: 1. Deseja-se reduzir o sistema a uma massa unitária! 2. Seleciona-se os ganhos para um sistema composto apenas por uma massa unitária... m. && x b.x& k.x = f 14/145

15 Controle Linear Posição Assim, o 1º passo - a redução para uma massa unitária: m. & x b.x& k.x = f Controle de Posição f = α. f' β m. && x b.x& k.x = α. f' β f ' =& x& Sendo α = m β = b. x& k.x 15/145

16 Controle Linear Posição O 2º passo - a seleção dos ganhos: f ' = k.x& k Mas: v f ' =& x & p.x && & Assim: x k.x k.x 0 v p = Pode-se selecionar os ganhos independentemente dos parâmetros do sistema! Amortecimento Crítico: k = 2 v k p 16/145

17 Controle Linear Posição No Diagrama de Blocos: - Σ - f m Σ f Sistema k v k p x x& Diagrama em Malha Fechada 17/145

18 Controle Linear Trajetória Controle de Trajetória: Dada por uma seqüência de posições em função do tempo: x d (t) Hipóteses: Trajetória Suave (2 primeiras derivadas existem); Gerador de Trajetórias fornece x d, x d e x d para todos instantes de tempo t; Erro do atuador: e = x d x; Lei de Controle do atuador: f ' = & x d k.e& v k p.e... 18/145

19 Controle Linear Trajetória f ' = & x d k.e& v k p.e Assim, combinando com a equação: && x& = && x k.e & k d v & p.e Ou: e k.e kp.e = 0 & v f ' =& x& Ganhos do Controlador Espaço dos Erros (Error space) 19/145

20 Controle Linear Trajetória No Diagrama de Blocos: & x& d Σ f m Σ f Sistema x d x& d k v Σ e& - k p Σ e - x x& Diagrama em Malha Fechada 20/145

21 Controle Linear Distúrbios Controle de Distúrbios (perturbações, ruídos, forças externas, etc.) Minimizar erros! Assim: e & k.e& k.e = v p f distúrbio Se a força é limitada (bounded): max(fdistúrbio (t)) < t a 21/145

22 Controle Linear Distúrbios Solução da equação e(t) também existe! BIBO stability (bounded-input, bounded-output) Válido para uma grande classe de distúrbios Garante estabilidade do sistema & e k.e& k.e = v p f distúrbio Ganhos do Controlador 22/145

23 & x& d Controle Linear Distúrbios No Diagrama de Blocos: Σ f m f distúrbio Σ f Sistema x d x& d k v Σ e& - k p Σ e - x x& Diagrama em Malha Fechada 23/145

24 Controle Linear Distúrbios Erro permanente (steady-state error) Considerando uma força f distúrbio constante Analisando o sistema em repouso: && e & k.e & k.e = v 0 0 k p.e = f distúrbio f p f distúrbio e = f distúrbio k p 24/145

25 Controle Linear Distúrbios Termo Integral no Controlador Usado para eliminar o erro permanente Adiciona-se um termo integral na lei de controle: f ' = && x& d k.e & k.e k e.dt v p i Controle PID Obtêm-se a equação para o erro: & e & e.dt = k.e kp.e k v i f distúrbio 25/145

26 Controle Linear Distúrbios Assim, se e(t) = 0 para t < 0, pode-se escrever para t > 0: & e && k.e && k.e& k e = v p i f& distúrbio k i.e = 0 e = 0 Pequenos valores para aproximar o sistema de 3ª ordem pelo de 2ª ordem 26/145

27 Sumário do Módulo Introdução Controle Linear Controle Não-Linear Controle Adaptativo Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada 27/145

28 Técnica de Controle mais avançada Deseja-se minimizar os erros... Foco: Computed-torque Method Análise de Estabilidade: Método de Lyapunov Cartesian-based Control 28/145

29 Computed-Torque Method Sistema Não Linear de 2ª ordem Fazendo uma analogia com um sistema massamola-atrito: k x m f F qx 3 x F. b c.sgn(x). x b Mola Atrito Coulombiano 29/145

30 Computed-Torque Method Sistema Não Linear de 2ª ordem Fazendo uma analogia com um sistema massamola-atrito: k x m f Pela 2ª Lei de Newton: 3 m.x && bc.sgn(x) & q.x = f b 30/145

31 Computed-Torque Method Reduzindo a equação para uma massa unitária: 3 m.x && bc.sgn(x) & q.x = f = α. f' β 3 m.x && b.sgn(x) & q.x = α f' β Sendo: c. α = m f' = && xd k v.e& k p.e f β = b.sgn(x) & c Ganhos do Controlador Controle de Posição q.x 3 31/145

32 Computed-Torque Method No Diagrama de Blocos: & x& d Σ f m Σ f Sistema x d x& d k v Σ e& - k p Σ e - x x& Diagrama em Malha Fechada 32/145

33 Computed-Torque Method Pêndulo Invertido Ou um manipulador robótico com 1 link: F b c.sgn(θ). F b v.θ τ l g θ. θ. θ Atrito Coulombiano na Junta Atrito Viscoso na Junta 33/145

34 Computed-Torque Method Pêndulo Invertido: 2 = ml.θ& b. θ& b.sgn(θ) & τ v c τ = α. τ ' β m.l.g.cos(θ) τ l g 2 α = ml β = b.sgn(θ) & c bv.θ& m.l.g.cos(θ) θ τ ' = && xd k v.e& k p.e Ganhos do Controlador 34/145

35 Computed-Torque Method Em Sumário: 1. Desenvolver um modelo não linear que anule as não linearidades do sistema a ser controlado (técnica de sobreposição); 2. Reduzir o sistema a ser controlado a um simples sistema linear com uma massa unitária. i É necessário conhecer todos os parâmetros do sistema não linear... 35/145

36 Computed-Torque Method Sistemas MIMO: Manipuladores industriais são tipicamente sistemas de múltiplas entradas e saídas i i (multi-input, multi-output). Tem-se um vetor de posições, velocidades e acelerações desejadas. A técnica de dividir o controle em sistema acionado e fazer a sobreposição do modelo do sistema e do acionamento continua sendo aplicável (na forma de matrizes e vetores)... 36/145

37 Computed-Torque Method Sistemas MIMO: Para um sistema com n graus de liberdade: F =. F' α β n x 1 n x n n x 1 n x 1 A matriz α deve ser escolhida de forma a desacoplar as n equações de movimento!!! 37/145

38 Computed-Torque Method Sistemas MIMO: A escolha de α e β para sistemas MIMO permite linearizar e desacoplar as leis de controle. F' = X&& K E& d v K p E Em geral, Matrizes Diagonais n x n Vetores de Erro de Posição e Velocidade n x 1 38/145

39 Computed-Torque Method Para manipuladores: A equação de movimento: τ = M ( Θ) Θ && V ( Θ, Θ& ) G( Θ) Matriz de Inércia n x n Vetor de Aceleração Centrífuga e de Coriollis n x 1 Vetor de Termos relativos à Gravidade n x1 Pode-se adicionar o atrito, efeitos de. deformação dos links, etc. F(Θ, Θ) 39/145

40 Computed-Torque Method Para manipuladores: Assim: = ( Θ) Θ & ( Θ, Θ& ) ( Θ) ( Θ, Θ& τ M V G F ) τ = α. τ ' β α = M (Θ) β = V ( Θ, Θ& ) G( Θ) F( Θ, Θ& ) n x 1 τ ' = Θ&& d K v.e & K p.e Ganhos do Controlador 40/145

41 Computed-Torque Method No Diagrama de Blocos: Θ & d Σ τ M(Θ) Σ τ Manipulador Robótico Θ d Θ & d K v Σ E & - K p Σ E - Θ Θ & Diagrama em Malha Fechada 41/145

42 Computed-Torque Method Para manipuladores: O vetor de erro: Θ Θ E = d A equação de erro: E && K E K E v & p = 0 Como as matrizes K v e K p são diagonais... e& i k e& k e v i p i = 0 Para cada junta do manipulador! 42/145

43 Computed-Torque Method Considerações Práticas: A equação de erro E && K E & v KpE não é válida na prática, pois: = 0 Sistemas reais são discretos... Tempo de processamento necessário Os modelos dos manipuladores robóticos são imprecisos... Falta de conhecimento de parâmetros 43/145

44 Computed-Torque Method Falta de conhecimento de parâmetros Não se conhece com exatidão o modelo dinâmico do manipulador: Atritos Envelhecimento Uso de Ferramentas Manuseio de cargas Solução não ideal: adicionar Ruídos Externos no sistema... 44/145

45 Computed-Torque Method Falta de conhecimento de parâmetros Assim: E&& K v E& K p E = M 1 (Θ). τ distúrbio Θ & d Σ τ M(Θ) τ distúbio Σ τ Braço Robótico Θ d Θ & d K v Σ E & - K p Σ E - G(Θ) B ( Θ ) C ( Θ ) Θ Θ & 45/145

46 Computed-Torque Method Falta de conhecimento de parâmetros Analisando a equação de erro: E && K v E & K p E = M 1 (Θ). Θ τ distúrbio Desacoplada Perturbações em qualquer junta Afetas as demais juntas do robô... Erro em regime permanente: E = K p. 1 1 M (Θ). τ distúrbio 46/145

47 Computed-Torque Method Falta de conhecimento de parâmetros Quando o modelo dinâmico do manipulador não é acurado: Análise mais difícil... Mˆ ( Θ) = M ( Θ) Vˆ ( Θ, Θ& ) = V ( Θ, Θ& ) Gˆ ( Θ) = G( Θ) Fˆ ( Θ, Θ& ) = F( Θ, Θ& ) A equação dinâmica do manipulador: = ( Θ) Θ & ( Θ, Θ& ) ( Θ) ( Θ, Θ& τ M V G F ) 47/145

48 Computed-Torque Method Falta de conhecimento de parâmetros As leis de controle: τ = α. τ ' β α = M ˆ ( Θ ) β = Vˆ ( Θ, Θ& ) Gˆ( Θ) Fˆ ( Θ, Θ& ) Obtêm-se: & & = Mˆ 1 K ve KpE E... ( V.[( M Vˆ) Mˆ ( G ). Θ &... Gˆ ) ( F Fˆ )] 48/145

49 Computed-Torque Method Sistemas de Controle Atuais em Manipuladores Industriais Modelagem Complexa de Manipuladores Falta de Parâmetros pode anular os benefícios de uma modelagem mais complexa... i Usa-se se controladores simples na prática J J Razões Econômicas Leis de Controle que são Simples 49/145

50 Computed-Torque Method Sistemas de Controle Atuais em Manipuladores Industriais Controle PID por Junta Individual τ = α. τ ' β α = I β = 0 Matriz Identidade n x n A parte relativa ao atuador: τ ' = Θ&& K.E& K.E K E.dt d v p i 50/145

51 Computed-Torque Method Sistemas de Controle Atuais em Manipuladores Industriais Onde: τ ' = Θ&& K.E& K.E K E.dt d v p i 0 Matrizes Diagonais e Constantes n x n Cada junta do manipulador é controlada separadamente. Cada junta tem seu próprio microprocessador. 51/145

52 Computed-Torque Method Sistemas de Controle Atuais em Manipuladores Industriais Performance do Manipulador Não foi feito o desacoplamento:» Movimento de uma junta afeta as demais juntas!» Gera-se erros que são controlados pelas leis de controle (error-driven control laws). 52/145

53 Computed-Torque Method Sistemas de Controle Atuais em Manipuladores Industriais Performance do Manipulador Não é possível obter ganhos fixos para todas as configurações do manipulador:» Utiliza-se ganhos médios;» Amortecimento Crítico é obtido apenas próximo ao centro do espaço de trabalho; 53/145

54 Computed-Torque Method Isso afeta o espaço de trabalho (envelope) Máximo Restrito Operacional Amortecimento Crítico Sub ou Sobre Amortecido 54/145

55 Computed-Torque Method Sistemas de Controle Atuais em Manipuladores Industriais Adição da compensação da gravidade Os termos relacionados à gravidade causam erros estáticos de posição τ = α. τ' β α = I β = G ˆ( Θ ) τ ' = Θ && K.E& K.E K E.dt Gˆ ( Θ ) d v p i 55/145

56 Computed-Torque Method Sistemas de Controle Atuais em Manipuladores Industriais Adição da compensação da gravidade Controlador baseado no modelo mais simples; Torna-se necessário um processador central ou uma arquitetura de controle que permita a comunicação entre os controladores das juntas... 56/145

57 Computed-Torque Method Simplificação de Modelos Adição da compensação da gravidade Na prática, várias simplificações são empregadas:» Desacoplamento de equações;» Linearizações;» Etc. 57/145

58 Computed-Torque Method Simplificação de Modelos Adição da compensação da gravidade É também comum: i i i Despreza-se se as componentes do torque relativas à velocidade Atritos não são incluídos na modelagem; Matriz de inércia é simplificada Alterações na matriz de inércia do PUMA 560 reduziram o processamento do modelo em 90%, resultando em um erro da ordem de 1%.. [Armstrong et al., 1986] 58/145

59 Método de Lyapunov Análise de Estabilidade Mais complicada para sistemas não-lineares; Método de Lyapunov serve tanto para sistemas lineares, como não-lineares; Para um sistema massa-mola-atrito, tem-se: k x m m. && x b.x& k.x = 0 b 59/145

60 Método de Lyapunov Análise de Estabilidade Assim, a energia total do sistema: k x m b ε n = m.x & k.x 2 2 & = m. x.x & && k.x.x& ε n Sendo: & = b.& ε n m. && x = b.x& k.x 2 x 2 60/145

61 Método de Lyapunov Análise de Estabilidade & = b.& ε n 2 x Observa-se que: ε& n < 0 b > 0 k A posição de repouso para resposta permanente do sistema ocorre para: x m b k.x = 0 Método Direto de Lyapunov 61/145

62 Método de Lyapunov Análise de Estabilidade Método Direto de Lyapunov: Pode-se tecer conclusões sobre a estabilidade do sistema sem resolver as equações diferenciais que o regem!! Não se obtém informação sobre a resposta transiente e a performance do sistema... Sistemas estáveis podem apresentar respostas insatisfatórias para a aplicação desejada... 62/145

63 Método de Lyapunov Análise de Estabilidade Método de Lyapunov: Mais geral e pode ser aplicado diretamente em sistemas não lineares!! Determina-se a estabilidade da equação diferencial: X & = f(x) Vetor m x 1 que pode ser não-linear Pode ser não-linear e não explicitamente função do tempo! 63/145

64 Método de Lyapunov Análise de Estabilidade Método de Lyapunov: Propriedades para provar a estabilidade: ε n (x) 1. A função tem as 1ª s derivadas parciais contínuas e para qualquer x exceto ε n ( x) > ε n ( 0) = 0 2. Para qualquer alteração de trajetória do sistema, tem-se: 0 ε& n ( x) 0 64/145

65 Método de Lyapunov Análise de Estabilidade Método de Lyapunov: As propriedades podem ser válidas globalmente ou apenas para uma região; Idéia básica: se a função de energia é decrescente ou constante sistema estável A dimensão do vetor de estados é limitada! ε& n ( x) 0 Quando ocorre uma convergência assimptótica para zero! 65/145

66 Método de Lyapunov Análise de Estabilidade Para um Manipulador Robótico: A dinâmica do Manipulador é dada por: = M ( Θ) Θ && V ( Θ, Θ& τ ) G( Θ) A Lei de controle: τ =.E - K. Θ & G(Θ) K p d Matrizes Diagonais de Ganho do Controlador 66/145

67 Método de Lyapunov Análise de Estabilidade Para um Manipulador Robótico: O sistema resultante em Malha-Fechada: M ( Θ ) Θ & V ( Θ, Θ& ) K Assim, a função de Lyapunov: ε n 1 2 T = Θ & M ( )& Θ Θ 1 2 E K d Sempre positiva ou nula! T p Θ & K E p Θ = K p Θ d 67/145

68 Método de Lyapunov Análise de Estabilidade Para um Manipulador Robótico: Derivando a equação de ε n : & ε n 1 = Θ& T M& ( Θ) Θ & Θ& 2 1 = Θ& T M& ( Θ) Θ& Θ& 2 = Θ& T K Θ& d T T M ( Θ) Θ&& E K d Θ& Θ& É sempre negativa para valores de K d positivos T T K p Θ& V ( Θ, Θ& ) 68/145

69 Método de Lyapunov Análise de Estabilidade Para um Manipulador Robótico: Tem-se também que: 1 2 Θ & T M& ( Θ) Θ & = Θ& T V ( Θ, Θ& ) Equações de Lagrange Como ε& n(x) é nula apenas para Θ & = 0 e Θ & = 0, tem-se: K p E = 0 E = 0 69/145

70 Cartesian-based Control Controle em Coordenadas Cartesianas Para Manipuladores Robóticos: Muito empregado em centros de pesquisa; Frequentemente deseja-se que o órgão terminal do manipulador execute trajetórias descritas no espaço cartesiano; Idéia básica: converter para o espaço das juntas uma trajetória desejada que é representada no espaço cartesiano... 70/145

71 Cartesian-based Control Gerador de Trajetória x d (t) x& d (t) & x& d (t) Conversor de Trajetória θ d (t) & θ d (t) & θ d (t) Sistema de Controle τ Robô θ θ & Conversor de Trajetórias Processo computacionalmente caro se realizado analiticamente pois exige a cinemática inversa do manipulador... d Θ d = Cin Inv ( x d ) Θ& ) d = J 1 ( Θ x& d & & 1 1 Θ = J ( Θ) x & J ( Θ ) & x d d 71/145

72 Cartesian-based Control Gerador de Trajetória x d (t) x& d (t) & x& d (t) Conversor de Trajetória θ d (t) & θ d (t) & θ d (t) Sistema de Controle τ Robô θ θ & Na Prática: Calcula-se analiticamente as variáveis de junta Θ d As variáveis de velocidade e aceleração são obtidas numericamente... d Θ d = Cin Inv ( x d ) Θ& ) d = J 1 ( Θ x& d & & 1 1 Θ = J ( Θ) x & J ( Θ ) & x d d 72/145

73 Cartesian-based Control Gerador de Trajetória x d (t) x& d (t) & x& d (t) Conversor de Trajetória θ d (t) & θ d (t) & θ d (t) Sistema de Controle τ Robô θ θ & Na Prática: Calcula-se analiticamente as variáveis de junta Θ d As variáveis de velocidade e aceleração são obtidas numericamente Amplificação de Ruídos 2. Necessita de um filtro não-causal (presente-passado-futuro)... Trajetórias Pré-Definidas!! 73/145

74 Cartesian-based Control x d Σ - δ x Conversor de Coordenadas e Sistema de Controle τ Braço Robótico θ x Modelo Cinemático Do Manipulador Conversor de Coordenadas: opção alternativa A posição θ medida por sensores alimenta o modelo cinemático direto do manipulador e combinada com x d gera um sinal de erro a ser corrigido. Idem para a velocidade, com o Jacobiano... 74/145

75 Cartesian-based Control x d Σ - δ x Conversor de Coordenadas e Sistema de Controle τ Braço Robótico θ x Modelo Cinemático Do Manipulador Conversor de Coordenadas: opção alternativa O conversor de coordenadas fica dentro do loop; O modelo cinemático e o Jacobiano também Grande quantidade de cálculos dentro do loop... Baixa taxa de amostragem... 75/145

76 Cartesian-based Control Conversor de Coordenadas: Inverse Jacobian Controller O erro δx, no espaço cartesiano, é mapeado em forma x d de pequenos deslocamentos no espaço das juntas, δθ, através da matriz Jacobiana Inversa. O erro δθ no espaço das juntas é enviado ao controlador e multiplicado pelos ganhos... Σ δ x δ θ J -1 - x Ganhos Modelo Cinemático Do Manipulador τ Braço Robótico θ 76/145

77 Cartesian-based Control Conversor de Coordenadas: Transpose Jacobian Controller O erro δx, no espaço cartesiano, é multiplicado pelos x d ganhos, resultando em um vetor de Forças e Momentos no espaço cartesiano F. F é mapeado através da matriz Jacobiana Transposta na forma de torques que devem ser aplicados às juntas. Σ - δ x x Ganhos F J T Modelo Cinemático Do Manipulador τ Braço Robótico θ 77/145

78 Cartesian-based Control Conversor de Coordenadas: Comentários: Inverse Jacobian Controller Transpose Jacobian Controller 1. Pode-se obter sistemas estáveis com a seleção correta dos Ganhos; 2. Diagramas de blocos similares; 3. Apenas para Manipuladores Cartesianos tem-se: J -1 = J T ; 4. A performance do sistema não será boa para todo o espaço de trabalho, pois a resposta dinâmica do sistema irá variar com a sua configuração; 5. Ganhos Fixos não resultam em pólos em malha-fechada fixos... 78/145

79 Cartesian-based Control Desacoplando Equações em Coordenadas Cartesianas: Boa performance é caracterizada por erros dinâmicos constantes para qualquer configuração do Manipulador; Os erros são expressos no espaço cartesiano; i O controlador deve eliminar esses erros com comportamento similar a sistemas com amortecimento crítico! i Linearização e Desacoplagem das equações... 79/145

80 Cartesian-based Control Desacoplando Equações em Coordenadas Cartesianas: F ( Θ) && V ( Θ, Θ& ) G ( Θ) = M x x x x Vetor de Forças / Momentos que agem no end-effector Matriz de Inércia no espaço Cartesiano Vetor de Aceleração Centrífuga e de Coriollis no espaço Cartesiano Vetor de Termos relativos à Gravidade no espaço Cartesiano 80/145

81 Cartesian-based Control Desacoplando Equações em Coordenadas Cartesianas: Sendo: F ( Θ )&& V ( Θ, Θ& ) G ( Θ ) = M x x x x Tem-se: τ = J T (Θ)F Os torques e as forças que devem ser aplicados ao manipulador 81/145

82 Cartesian-based Control No Diagrama de Blocos: X & d X d X & d Σ K v E & K p E Σ - Σ - M X X (Θ) x Σ F V ( Θ, Θ & ) G ( Θ ) x J T (Θ) τ BRAÇO Θ Modelo Cinemático Θ & J(Θ) J(Θ) X X & 82/145

83 Cartesian-based Control No Diagrama de Blocos: X & d Σ M X X (Θ) Σ F J T (Θ) τ BRAÇO Θ Θ & Modelo Cinemático J(Θ) X d X & d K v K p E & E (Θ ) Σ - Σ - G x B x ( Θ ) C ( Θ ) x X X & 83/145

84 Sumário do Módulo Introdução Controle Linear Controle Não-Linear Controle Adaptativo Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada 84/145

85 Adaptive Control Controle Adaptativo Para um Manipulador Robótico: Falta de conhecimento de parâmetros Geração de erros que podem provocar instabilidades... E& K & & = Mˆ 1 ve KpE... ( V.[( M Vˆ) ( G Mˆ ). Θ &... Gˆ ) ( F Utiliza-se esses erros para atualizar os parâmetros de controle! Fˆ )] 85/145

86 Adaptive Control Controle Adaptativo Para um Manipulador Robótico: Processo de adaptação baseado nas observações do estado do manipulador e dos erros dos atuadores; O sistema aprende baseado em suas propriedades dinâmicas... 86/145

87 Adaptive Control Controle Adaptativo Θ & d Θ d Θ & d E & Σ K v Σ - E K p Σ τ Modelo Dinâmico - Leis Adaptativas τ Braço Robótico Θ Θ & 87/145

88 Adaptive Control Parametrização Linear Propriedade de Manipuladores Robóticos & & & && τ = M ( Θ) Θ V ( Θ, Θ) G( Θ) = Y ( Θ, Θ, Θ ) θ θ = Vetor de parâmetros Y(.) ) = Matriz de Regressão 88/145

89 Adaptive Control Controle baseado no Computed- Torque Method τ = α. τ ' β τ ' = Θ&& d K v.e & K ˆ Θ α = M ( ) β = V ˆ( Θ, Θ& ) G ˆ( Θ) F ˆ ( Θ, Θ& ) p.e Mˆ ( Θ ), Vˆ( Θ, Θ& ), Gˆ( Θ), Fˆ ( Θ, Θ& ) calculados a partir da adaptação dos parâmetros: θˆ 89/145

90 Sumário do Módulo Introdução Controle Linear Controle Não-Linear Controle Adaptativo Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada 90/145

91 Exercícios Recomendados Grupo: no máximo 3 alunos Exercícios: Controle Contínuo (Linear e Não Linear) Livro do Craig (2005): pp e Controle Digital Livro do Fu et al. (1987): pp /145

92 Sumário do Módulo Introdução Controle Linear Controle Não-Linear Controle Adaptativo Exercícios Recomendados Bibliografia Recomendada 92/145

93 Bibliografia Recomendada Craig, J.J., 2005, Introduction to Robotics: Mechanics and Control, 3 rd Edition, Pearson Education Inc., ISBN Craig, J.J. et al., 1986, Adaptive Control of Mechanical Manipulators, In: IEEE Conf. on Robotics and Automation, San Francisco, US, April Fu, K.S., Gonzales, R.C., and Lee, C.S.G., 1987, Robotics: Control, Sensing, Vision, and Intelligence, McGraw-Hill Int. Editions, ISBN Paul, R. P., 1981, Robot Manipulators. Mathematics, Programming and Control, The MIT Press, ISBN X. 93/145