Controle de Manipuladores Robóticos
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- Felícia Rosa
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1 SEM0317 Aula 8 Controle de Manipuladores Robóticos Prof. Assoc. Marcelo Becker Prof. Assoc. Adriano Siqueira USP - EESC - SEM
2 Sumário do Módulo Introdução ao Controle de Robôs Manipuladores Simulador de Robô Manipulador Planar de 2 Graus de Liberdade Controle Independente de Juntas Controle por Torque Calculado Controle Adaptativo baseado no Torque Calculado Controle Robusto (H 1 Linear, LPV, Estrutura Variável) Conclusões 2
3 Histórico UNIMATE, Unimation, Inc. - George Devol, Joseph Engelberger : Torque Calculado (PAUL, 1973) : Controle Adaptativo (CRAIG, 1985; SLOTINE & LI, 1987) : Controle Robusto (SPONG & VIDYASAGAR, 1989; DAWSON, 1990) 3
4 Aplicações 4
5 Estrutura de Controle Planejamento no espaço operacional (cartesiano) Y (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) q 2 q 1 X 5
6 Estrutura de Controle Planejamento no espaço operacional (cartesiano) Controle cartesiano ) cinemática direta 6
7 Estrutura de Controle Planejamento no espaço operacional (cartesiano) Controle cartesiano ) cinemática direta Controle no espaço das juntas ) cinemática inversa de toda trajetória KUKA KR 16: LIN(P1,P2) 7
8 Estrutura de Controle Planejamento no espaço das juntas Y (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) q 2 q 1 X 8
9 Estrutura de Controle Planejamento no espaço das juntas Cinemática inversa apenas em dois pontos KUKA KR 16: PTP(P1,P2) 9
10 Sumário do Módulo Introdução ao Controle de Robôs Manipuladores Simulador de Robô Manipulador Planar de 2 Graus de Liberdade Controle Independente de Juntas Controle por Torque Calculado Controle Adaptativo baseado no Torque Calculado Controle Robusto (H 1 Linear, LPV, Estrutura Variável) Conclusões 10
11 UARM e Ambiente de Controle 11
12 Interface Gráfica 12
13 Representação do Manipulador Massas concentradas Y m 2, a 2 a c2 q 2 a c1 m 1, a 1 q 1 X 13
14 Cinemática Direta Cinemática Direta de Posição Dados q 1 e q 2, obter (X, Y ): X = a 1 cos(q 1 )+a 2 cos(q 1 + q 2 ) Y = a 1 sin(q 1 )+a 2 sin(q 1 + q 2 ) 14
15 Cinemática Direta %Compute sum of joint angles for j = 1:2, phi(j) = sum(theta(1:j)); end; cphi = cos(phi); sphi = sin(phi); % Run forward kinematic to find out where joints are X(1) = 0; Y(1) = 0; for j = 2:2+1, X(j) = X(j-1) + l(j-1)*cphi(j-1); Y(j) = Y(j-1) + l(j-1)*sphi(j-1); end; % Display the robot for j = 1:2+1, set(motor(j),'xdata',x(j),'ydata',y(j)); end; set(link,'xdata',x,'ydata',y); 15
16 Modelo Dinâmico Equação dinâmica = M(q) q + C(q, q) q + G(q) M(q) - matriz de inércia C(q, q) - matriz de forças centrípetas e de Coriolis G(q) - vetor dos torques gravitacionais 16
17 Modelo Dinâmico Equação dinâmica = M(q) q + C(q, q) q + G(q) Elementos de M(q) M 11 (q) = m 1 ac1 2 + m 2(a1 2 + a2 c2 + 2a 1a c2 cos(q 2 )) M 12 (q) = M 21 (q) =m 2 (ac2 2 + a 1a c2 cos(q 2 )) M 22 (q) = m 2 ac2 2 17
18 Modelo Dinâmico Elementos de C(q, q) C 11 (q, q) = m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 2 C 12 (q, q) = m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 1 m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 2 C 21 (q, q) = m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 1 C 22 (q, q) = 0 Elementos de G(q) G 1 (q) = (m 1 ga c1 + m 2 ga 1 )cos(q 1 )+m 2 ga c2 cos(q 1 + q 2 ) G 2 (q) = m 2 ga c2 cos(q 1 + q 2 ) 18
19 Trajetória Desejada Polinômio de 5º Grau Dados: qi d (t 0 ), q i d (t 0 ), q i d (t 0 ), qi d (t f ), q i d (t f ) e q i d (t f ) Polinômio: qi d (t) = a i + b i (t t 0 )+c i (t t 0 ) 2 + d i (t t 0 ) 3 +e i (t t 0 ) 4 + f i (t t 0 ) 5 q i d (t) = b i + 2c i (t t 0 )+3d i (t t 0 ) 2 + 4e i (t t 0 ) 3 +5f i (t t 0 ) 4 q i d (t) = 2c i + 6d i (t t 0 )+12e i (t t 0 ) f i (t t 0 ) 3 19
20 Trajetória Desejada Polinômio de 5º Grau Substituindo: qi d (t 0 ) = a i q i d (t 0 ) = b i q i d (t 0 ) = 2c i qi d (t f ) = a i + b i (t f t 0 )+c i (t f t 0 ) 2 + d i (t f t 0 ) 3 +e i (t f t 0 ) 4 + f i (t f t 0 ) 5 = a i + b i T + c i T 2 + d i T 3 + 4e i T 3 + 5f i T 4 q d i (t f ) = b i + 2c i T + 3d i T 2 + 4e i T 3 + 5f i T 4 q d i (t f ) = 2c i + 6d i T + 12e i T f i T 3 20
21 Trajetória Desejada Função Linear com Extremidades Parabólicas Perfil de velocidade trapeizodal Dados: q d i (t 0 ), q d i (t 0 ), q d i (t f ), q d i (t f ), v i (v max )et b (ou a max ) Trajetória: 8 < qi d (t) = : a i + b i (t t 0 )+c i (t t 0 ) 2, t 0 apple t apple t 0 + t b d i + v i t, t 0 + t b apple t apple t f t b e i + f i (t t f )+g i (t t f ) 2, t f t b apple t apple t f 21
22 Sumário do Módulo Introdução ao Controle de Robôs Manipuladores Simulador de Robô Manipulador Planar de 2 Graus de Liberdade Controle Independente de Juntas Controle por Torque Calculado Controle Adaptativo baseado no Torque Calculado Controle Robusto (H 1 Linear, LPV, Estrutura Variável) Conclusões 22
23 Controle PD Erro de acompanhamento de trajetória e = q d q Controle Proporcional-Derivativo (PD) = K p e + K d ė sendo K p e K d matrizes diagonais Valores altos de ganho para eliminar distúrbios Erro de regime devido aos torques gravitacionais 23
24 Controle PID Controle Proporcional-Integral-Derivativo (PID) = K p e + K i Z edt + K d ė Valores altos de ganho para eliminar distúrbios Erro de regime nulo 24
25 Controle PD Com Compensação da Gravidade Controle Proporcional-Derivativo (PD) com Compensação da Gravidade = K p e + K d ė + G(q) Erro de regime nulo 25
26 Sumário do Módulo Introdução ao Controle de Robôs Manipuladores Simulador de Robô Manipulador Planar de 2 Graus de Liberdade Controle Independente de Juntas Controle por Torque Calculado Controle Adaptativo baseado no Torque Calculado Controle Robusto (H 1 Linear, LPV, Estrutura Variável) Conclusões 26
27 Linearização por Realimentação Dinâmica do robô manipulador = M(q) q + C(q, q) q + G(q) = M(q) q + b(q, q) Derivando o erro de acompanhamento de trajetória ė = q d q ë = q d q Substituindo q ë = q d M(q) 1 [ b(q, q)] 27
28 Linearização por Realimentação Espaço de estados: x =[e ė] T apple ė ë = apple 0 I 0 0 apple apple ė 0 e + I q d M(q) 1 [ b(q, q)] Definindo a variável de controle u = q d M(q) 1 [ b(q, q)] Sistema linear apple ė ë = apple 0 I 0 0 apple ė e + apple 0 I u 28
29 Controle por Torque Calculado Controle por Torque Calculado = M(q)( q d u)+b(q, q) Substituindo na equação dinâmica M(q) q + b(q, q) =M(q)( q d u)+b(q, q) ë = u 29
30 Controle por Torque Calculado Diagrama de blocos 30
31 Controle por Torque Calculado Controle por Torque Calculado + Proporcional-Derivativo (PD) u = K d ė K p e = M(q)( q d + K d ė + K p e)+b(q, q) Equação dinâmica do erro ë + K d ė + K p e = 0 31
32 Controle por Torque Calculado Valores estimados de M(q) e b(q, q) = ˆM(q)( q d u)+ˆb(q, q) Substituindo na equação dinâmica M(q) q + b(q, q) = ˆM(q)( q d u)+ˆb(q, q) Somando e subtraindo M(q) q e M(q)u h i ë = u M(q) 1 M(q) ˆM(q) h i (u q)+m(q) 1 b(q, q) ˆb(q, q) 32
33 Controle por Torque Calculado Controle por Torque Calculado + PD = ˆM(q)( q d + K d ė + K p e)+ˆb(q, q) Equação dinâmica do erro ë + K d ė + K p e = (K d ė + K p e)+d sendo = M(q) 1 [M(q) ˆM(q)] d = q + M(q) 1 [b(q, q) ˆb(q, q)] 33
34 Sumário do Módulo Introdução ao Controle de Robôs Manipuladores Simulador de Robô Manipulador Planar de 2 Graus de Liberdade Controle Independente de Juntas Controle por Torque Calculado Controle Adaptativo baseado no Torque Calculado Controle Robusto (H 1 Linear, LPV, Estrutura Variável) Conclusões 34
35 Parametrização Linear Propriedade de robôs manipuladores = M(q) q + C(q, q) q + G(q) =Y (q, q, q) sendo o vetor de parâmetros do manipulador e Y (q, q, q) a matriz de regressão. Elementos de M(q) M(q) q = m 1 a 2 c1 q 1 + m 2 (a a2 c2 + 2a 1a c2 cos(q 2 )) q 1 +m 2 (a 2 c2 + a 1a c2 cos(q 2 )) q 2 m 2 (a 2 c2 + a 1a c2 cos(q 2 )) q 1 + m 2 a 2 c2 q
36 Parametrização Linear Vetor dos torques de Coriolis e centrípetos 2 C(q, q) q = 4 2m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 1 q 2 + m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q m 2 a 1 a c2 sen(q 2 ) q 2 1 Vetor dos torques gravitacionais 2 m 1 ga c1 cos(q 1 )+m 2 ga 1 cos(q 1 )+m 2 ga c2 cos(q 1 + q 2 ) G(q) = 4 m 2 ga c2 cos(q 1 + q 2 )
37 Parametrização Linear Definindo: =[m 1 m 2 ] T Matriz de regressão apple y11 y Y (q, q, q) = 12 0 y 22 y 11 = ac1 q ga c1 cos(q 1 ) y 12 =(a1 2 + a2 c2 + 2a 1a c2 cos(q 2 )) q 1 +(ac2 2 + a 1a c2 cos(q 2 )) q 2 a 1 a c2 sen(q 2 )(2 q 1 q 2 + q 2 2 )+ga 1cos(q 1 )+ ga c2 cos(q 1 + q 2 )) y 22 =(ac2 2 + a 1a c2 cos(q 2 )) q 1 + ac2 q a 1 a c2 sen(q 2 ) q ga c2 cos(q 1 + q 2 )) 37
38 Controle Adaptativo Baseado no Torque Calculado Torque Calculado + PD = ˆM(q)( q d + K d ė + K p e)+ĉ(q, q) q + Ĝ(q) Valores estimados dos parâmetros são mantidos fixos Controle adaptativo: valores estimados dos parâmetros variam com o tempo Pode-se reescrever = ˆM(q)(ë + K d ė + K p e)+ ˆM(q) q + Ĉ(q, q) q + Ĝ(q) = ˆM(q)(ë + K d ė + K p e)+y (q, q, q)ˆ 38
39 Controle Adaptativo Baseado no Torque Calculado Considerando: = M(q) q + C(q, q) q + G(q) =Y (q, q, q) Equação do erro: ë + K d ė + K p e = ˆM 1 (q)y (q, q, q) sendo = Epaço de estados: x =[e ẋ = apple ė ë = apple ˆ ė] T 0 I K p K d x + apple 0 I ˆM 1 (q)y (q, q, q) 39
40 Controle Adaptativo Baseado no Torque Calculado Função de Lyapunov V (x) =x T Px + T 1 > 0 P ) Matriz simétrica definida positiva ) Matriz diagonal definida positiva V (x) =x T Pẋ + ẋ T Px + 2 T 1 V (x) =x T P(Ax + B ˆM 1 (q)y ( ) )+(Ax + B ˆM 1 (q)y T ( ) )Px + 2 T 1 40
41 Controle Adaptativo Baseado no Torque Calculado Manipulando V (x) = x T Qx + 2 T ( 1 + Y T ( ) ˆM 1 (q)b T Px) Q ) Matriz simétrica definida positiva que satisfaz a equação de Lyapunov: A T P + PA = Q Definindo: = Y T ( ) ˆM 1 (q)b T Px Então V (x) = x T Qx < 0 41
42 Controle Adaptativo Baseado no Torque Calculado Parâmetro é constante Lembrando: = ˆ Lei de adaptação: ˆ = Y T (q, q, q) ˆM 1 (q)b T Px x é assintoticamente estável limitado se ˆM 1 (q) existe 42
43 Controle Adaptativo Baseado no Torque Calculado Resumo Lei de controle: = ˆM(q)( q d + K d ė + K p e)+ĉ(q, q) q + Ĝ(q) Lei de adaptação: ˆ = Y T (q, q, q) ˆM 1 (q)b T Px Equação de Lyapunov: A T P + PA = Q 43
44 Controle Adaptativo Baseado no Torque Calculado Excitação Persistente Posição desejada, q d (s) Tempo, t (s) 44
45 Sumário do Módulo Introdução ao Controle de Robôs Manipuladores Simulador de Robô Manipulador Planar de 2 Graus de Liberdade Controle Independente de Juntas Controle por Torque Calculado Controle Adaptativo baseado no Torque Calculado Controle Robusto (H 1 Linear, LPV, Estrutura Variável) Conclusões 45
46 Controle Robusto H 1 Controle Torque Calculado + PD + Robusto H 1 Linear = ˆM(q)( q d + K d ė + K p e + u R )+Ĉ(q, q) q + Ĝ(q) Equação no espaço de estados com distúrbio w apple apple apple apple apple ė 0 I ė 0 0 = + u ë K p K d e I R + I w y = e =[I 0]x ẋ = Ax + B 1 u R + B 2 w y = C 2 x 46
47 Controle Robusto Hinf Linear Considere o sistema linear ẋ = Ax + B 1 w + B 2 u z = C 1 x + D 12 u y = C 2 x + D 21 w z P w Controlador K ẋ = A K x + B K y u = C K x + D K y y K u Controle sub-ótimo H 1 linear kt zw k 1 < 47
48 Controle Robusto Hinf Linear Hipóteses simplificadoras (A, B 1 ) é estabilizável e (C 1, A) é detectável (A, B 2 ) é estabilizável e (C 2, A) é detectável D T 12 [C 1 D 12 ]=[0 I] apple B1 D 21 D T 21 = apple 0 I 48
49 Controle Robusto Hinf Linear H 1 Solução A K = A B 2 B2 T X + 2 B 1 B1 T X + (I 2 Y 1 X 1 ) 1 YC2 T C 2 B K =(I 2 Y 1 X 1 ) 1 YC2 T C K = B2 T X D K = 0 sendo X e Y as soluções das equações algébricas de Ricatti relacionadas com as Hamiltonianas apple A H 1 = 2 B 1 B1 T B 2 B2 T C1 T C 1 A T e J 1 = apple A T 2 C1 T C 1 C2 T C 2 B1 T B 1 A 49
50 Controle Robusto Controle via Representação Quasi-LPV Sistema Linear a Parâmetros Variantes (LPV) ẋ = A( (t))x + B( (t))u, Sistema Quase-LPV ẋ = A( (x))x + B( (x))u, Estado: erro de acompanhamento de trajetória x = apple q q d q q d = apple q q 50
51 Controle Robusto Controle via Representação Quasi-LPV Dinâmica estimada do robô manipulador = ˆM(q) q d + Ĉ(q, q) q + Ĝ(q) Representação Quasi-LPV x = A(q, q) x + Bu + Bw sendo w = ˆM 1(q) (q, q, q) (q, q, q) ) incertezas paramétricas e distúrbios externos 51
52 Controle Robusto Controle via Representação Quasi-LPV Matrizes dinâmicas A(q, q) = B = Torques aplicados apple apple In 0 ˆM 1 (q)ĉ(q, q) 0 I n 0 = ˆM(q)( q d + u)+ĉ(q, q) q d + Ĝ(q) 52
53 Controle Robusto Controle Hinf para Sistemas LPV Considere o sistema LPV: ẋ = A( (t))x + B 1 ( (t))w + B 2 ( (t))u, z 1 = C 1 ( (t))x, z 2 = C 2 ( (t))x + u, (t) 2 P < m e i apple i com i 0. 53
54 Controle Robusto Controle Hinf para Sistemas LPV Se existe X( (x)) > 0 tal que 2 4 E( ) X( )C T 1 ( ) B 1( ) C 1 ( )X( ) I 0 B T 1 ( ) 0 2 I 3 5 < 0, E( ) = P m i=1 i + b A( )X( )+X( ) b A( ) T B 2 ( )B T 2 ( ), o sistema em malha fechada possui ganho L 2 apple considerando a lei de controle u = (B 2 ( )X 1 ( )+C 2 ( ))x 54
55 Bibliografia Recomendada CRAIG, J.J.; Adaptive Control of Mechanical Manipulators - Addison-Wesley Pub. Co., Reading, MA (1985). CRAIG, J.J.; Introduction to Robotics: Mechanics and Control - Addison-Wesley Pub. Co., Reading, MA, 2nd ed. (1989). DAWSON,D.M., et. al.; Robust Control for the Tracking of Robot Motion - International Journal of Control, vol. 52, no. 3, pp , (1990). LEWIS, F.L.; ABDALLAH, C.T.; DAWSON,D.M.; Control of Robot Manipulators - Macmillan. (1993) PAUL, R.P.; Trajectory Calculation and Servoing of a Computer Controlled Arm Technical Report AIM-177. Stanford University, Artificial Intelligence Laboratory (1972). SCIAVICCO, L.; SICILIANO, B; Modeling and Control of Robot Manipulators - McGraw-Hill. (1996). SLOTINE, J.J.; LI, W.; On the adaptive control of robot manipulators - International Journal of Robotics Research, vol. 6, no. 3, p (1987). SPONG, M. W.; VIDYASAGAR, M.; Robot Dynamics and Control - New York : Wiley, (1989). 55
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